二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用
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二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用
摘要：本文主要通过
一些典型例题讲解了二阶线性微分方程解的结构以及在
求齐次方程通解中的应用，包括：常数变易法、刘
维尔公式法、观察法等。
关键词：解的结构齐次方程通解特解
定义：二阶线性微分方程的一般形式为y″+p（x）y′+q（x）y=
f（x），（1
）其中f（x）称为自由项或非齐次项。当f（x）≠0时，方程（1）
称为非齐次的，当f（x）≡0
时，方程（1）成为y″+p（x）y′+
q（x）y=0，（2）称为齐次的。p（x）
，q（x）为常数时，称为二阶常系数线
性微分方程。下面笔者就对二阶线性微分方程解的结构在求齐次
方程通解中的应
用作一探讨。
1 二阶线性微分方程解的结构
定理（二阶齐次线性微分方程的通解结构）：如果y1（x），
y2（x）是方程
（2）的两个线性无关的解，则Y=c1y1+c2y2(c1，c2为任意
常数)也是方程的解。
例1:验证y1=c1cosx+c2sinx （c1，c2为任意常数）是方程
y″+y=0的通解。
证：将y1=cosx，y2=sinx分别
代入原方程，容易验证它们都是方程y″+y=0
的解。因为■=■=tanx不是常数，即y″+y=
0的两个解。y1=cosx，y2=sinx是线性
无关的。
因此，由定理知: y=c1cosx+c2sinx是方程y″+y=0的通解。
例2:
验证y1=x2，y2=x2lnx都是线性齐次方程x2y″-3xy′+4y=0的解，并写出
该方
程的通解。
解：因为y1′=2x，y1″=2，则x2y1″-3xy1′+4y1=
2x2-6x2+4x2=0，
所以y1=x2是方程的解。
又因为y2′=2xlnx+x，y2″=2lnx+3，则
x2y2″-3xy
2′+4y2=x2（2lnx+3）-3x（2xlnx+x）+4x2lnx=0，