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二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨论
幸 克 坚

（遵义师范学院 贵州 遵义 ５６３００２）
摘 要：
非数学专业《常微分方程》 中，“二阶常系数线性微分方程”一般是作为一个单独的模块来讲授。
但在非数学专业使用的不少《高等 数学》教材中，特解的介绍常常比较突然和不够完整，使学生不易于理
解和接受。本文是针对上述问题， 在对非数学专业学生的教学中，引导学生就特解的求法所进行的分析和
讨论。
关键词：
常系数 线性 微分方程 特解 讨论

中图分类号：O171 文献标识码：E 文章编号：1009-3583（2004）03-00


On Special Solution to 二阶常系数Linear 非齐次Differential Coefficient Equation
Xin Kejian
( Zunyi Normal College Zunyi Guizhou 563002 )
Abstract: In “Differential Coefficient Equation” for non-mathematics majors, 二阶常系数linear differential
coefficient equation is generally taught as an individual module. However, in the textbook “Advanced
Mathematics”, introduction to special solutions is often sudden and incomplete, which is not easy for students to
understand. This essay is to guide students to analyze special solutions on the above-mentioned problem.
Key words: 常系数 linear differential coefficient equation special solutions debate

一、问题的提出
“微分方程”中的“常系数线性微分方程”的求解理论，在数学专业的《常微 分方程》教材中已得
到较完美的解决，但由于专业所限，非数学专业《高等数学》内容中《常微分方程》 不可能系统介绍，
往往只是将“二阶常系数线性微分方程”作为一个单独的模块来讲授。一般是先求出二 阶常系数线性齐
次微分方程的通解，然后，找出非齐次方程：
ypyqyf(x)
（1）
'''
的一个特解，最后按 照“叠加原理”将这个特解与相应的齐次方程的通解相加，就得到非齐次方程的通
解。这两个环节比较而 言，难点在第二步——求非齐次方程的特解。虽然非数学专业的《高等数学》侧
重于应用而不在于推导， 但鉴于数学教育的目的不单纯是为了介绍数学知识点作为工具，而应潜移默化
的进行逻辑思维的训练。所 以，知识点的介绍和引入也应该遵循引入自然和易于理解接受的原则。而见
诸于教材市场以及各种渠道的 非数学专业使用的《高等数学》教材以及各种教案、教学辅导之类材料中，
特解的引入常常比较突然并且 不够完整，知识点较为零散，让学生无法理解和接受，难以形成清晰完整
 
收稿日期：2004-11-
作者简介：幸克坚（1954--），贵州遵义人，遵义师范学 院数学系副教授，从事数学哲学和数学史研究

1

的印象。如一篇高等数学教案中一段为：
二阶常系数非齐次线形微分方程常见的两种形式及其解为：
“1、
f(x)eP
m
(x)
型
如果
f(x) eP
m
(x)
，则二阶常系数非齐次线形微分方程（1）具有形如
yx Q
m
(x)e

x
①

x

x
（4）
的特解，其中
Q
m
(x)
是与
P
m
(x)
同次（
m
次）的多项式，而
k
按

不是特征方程的根、是特征方程的单
根或是特征方程的重根依次取为0、1或2。
上述结论 可推广到n阶常系数非齐次线形微分方程，但要注意（4）式中的
k
是特征方程含根

的重
复次数（即若

不是特征方程的根，
k
取为0，若
是特征方程的
s
重根，
k
取为
s
）
2、
f(x)e[P
l
(x)cos

xP
n
(x)sin

x]
型
如果
f(x)e[P
l
(x)cos

xP
n
(x)sin

x]
， 则二阶常系数非齐次线性微分方程（1）的特解可设
为
yxe[R
m
(x )cos

xR
m
(x)sin

x]
， （5）
其中
R
m
、
R
m
是
m
次多项式，
m
=
max
{
l
,
n
}，而
k
按

i

不是特征方程的根 、或是特
征方程的单根依次取0或1。
上述结论可推广到
n
阶常系数非齐次 线性微分方程，但要注意（5）式中的
k
是特征方程中含根
(1)(2)
k

x

x

x(1)(2)

i

的重复次数。”
结论来得相当突然，学生根本无法理解，只能机械的“接受”和死记硬背。
又如笔者使用的这本教材中也仅从一个十分具体的例子：
例1、求方程
yyyx2
(2)
yyx2
(3)
yx2
(4)
''
' ''
'''
②
的特解来引出。很突然地用：“我们设想方程（2）具有一次式形式的特 解：
y



„；显然，一次
式
y



x
不是方程（3）的解，设想它的特解为：
y(



x)x
„；显然，
(



x)x
不是方程
（4）的解，设想它的特解为：
y(



x)x
”，最后又说：“情况是这样的：方程（2）对应的特征方程
无零根；方程 （3）对应的特征方程以零为单根；方程（4）对应的特征方程以零为重根”。之后就依据这一
具体例子 ，给 “二阶常系数线性微分方程”的整个求解问题作了结论，显得比较玄乎和片面。
这样取材和讲解，很容易产生下列疑问：
①仅用一个系数这么简单的具体例子能得出可靠的普遍结论吗？
②方程的解的这三种设法是通过什么思路得到的？
③除了这三种形式之外是否还应该有更为普遍的其它形式？

2
2< br>


④解的这三种形式与特征方程有无零根的联系如何体现？
产生了上述疑问，学生就不能真正理解，也无法形成清晰完整的印象。为了避免这种不良结果，笔
者在 教学中，针对非数学专业学生的具体情况，引导学生结合教材所介绍的知识点，就特解的求法问题
进行了 如下的分析和讨论，较好地解答或澄清了上述问题。

二、特解的求法分析讨论
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为：

y
''
py
'
qyf(x)
(1)
其中y
״
项的系数为1，p、q为常数，f(x)为初等函数。因此， y 、y׳
、y
״
也只能是初等函数。而且能
作为初等函数的微商或导函数出现的 最常见的是多项式函数、三角函数和指数函数。所以，f(x)=ax+b、
f(x)=asinωx( 或f(x)=acosωx)、f(x)=ae
bx
（注：这三种函数本来比较简单，从适用范 围来说有一定的局限
性，但本教材只介绍如此）是最简单而常见的情况，我们就着重讨论f(x)的这三 种形式。
（一）首先考虑：
ypyqyf(x)
中
f(x)
为一般的非零多项式的情形：
设非零多项式
f(x)
的次数为
n
， 并设
y
为（1）的解。因为（1）式右边为非零多项式，所以左边
也必为非零多项式， 而初等函数中有且仅有多项式函数的微商才为多项式，所以
y

也必为非零多项式：< br>不失一般，设
yg(x)
，并设
g(x)
的次数为
m
。
下面分别根据（1）中系数情况来讨论
m
与
n
之间的关系：
根据
ypyqyf(x)
中系数有下列三种不同情况：
1） 当< br>q
≠0时(1)为：
ypyqyf(x)
。因为方程右边
f(x )
的次数为
n
，将
yg(x)
代入左

‘'''
'''


'''
边，由于
y
的次数 为
m
，
y
的次数为m－1，
y
‘

’的次数为m－2，所以，方程左边的次数为max｛
m
，
m
－1，
m
－2｝=
m
，应与方程右边
f(x)
的次数
n
相等。即：
m
=
n
；
2） 当
q
=0而
p
≠0时(1)为：
ypyf(x)
。此 时，方程右边
f(x)
的次数仍为
n
，将
yg(x)
代入 左边后方程左边的次数为max｛
m
－1，
m
－2｝=
m
－1，所以有：
m
－1=n，即
m
=
n
+1；
3） 当p=q=0时(1)为：
yf(x)
。此时，方程右边
f(x)
的次数 仍为
n
，将
yg(x)
代入左边后
''
'''
方程左边的次数为
m
－2，此时即：
m
－2=
n
，即
m
=
n
+2；
这就是（1）中
f(x)
为非零多项式时得出的特解y
*
与
f(x)
次数的关系。
如果
f(x)
为一次多项式时即
f(x)
 axb
，
f(x)
的次数为
n
=1，即若仍设
yg(x )
为（1）的特解：
1） 当
q
≠0时(1)为：
ypyq yaxb
，由上面的分析，
yg(x)
的次数
mn1
，
故可设
yg(x)
)为一次多项式
g(x)



x
，将
yg(x)




x代入（1）式并比较系数
得（1）特解为：
y


' ''

qbpa
q
''
2

a
q< br>x

2）当
q
=0而
p
≠0时(1)为：
ypyaxb
，由上面的分析，
yg(x)
的次数
m
=n
+1=1+1=2，

3
'

故可设
g(x)
为二次多项式
g(x)(



x)x

将
y

g(x)
(


x)x
代入（1）并比较系数得
（1）特解为：
y(

pba
p
2

a
2p
x)x
3）
p
=
q
=0时，同理可设
y

g(x) (



x)x
2
代入（1）并比较系数
ba
2
y(x)x
得（1）特解为：
26
以上三种情况体现在特征方程：

2
p

q0
中， 正好就是

0
与特征方程的根的三种情况，即
得如下结论：
1） 当
q0
时，

0
不是特征方程的根，方程特解 为一次多项式：



x
；
2） 当
q0
而
p0
时，

0
是特征方程的单根， 方程特解为二次多项式：
(



x)x
；
3） 当
pq0
时，

0
是特征方程的重根， 方程特解为三次多项式：
(



x)x
；
并且 ，特解中待定系数

、

可以由原方程的系数
p
、
q
、
a
、
b
唯一确定（至于为什么不设为二次
和三次式的一 般形式，可留给学生自己思索）。
（二）其次考虑：
ypyqyf(x)
中< br>f(x)asin

x
(或
f(x)acos

x
)的情形：
即：
ypyqyasin

x
（不失一般，取
f(x)asin

x
即可）
因为复角“

x
”的正、余弦函数的微商（或导数）仍然是复角“

x
”的正 、余弦函数，并且
y
、
y
'
与
y
''
中< br>sin

x
与
cos

x
总是交替出现的。 因此，要使方程
ypyqyasin

x
的特解
y
代 入原
方程后等式成立，
y
应该形如：
y

cos

x

sin

x

将
y
cos

x

sin

x
代入原 方程求导整理并比较系数得：

(q

)

p

0


(q

)

p

a

所以当
p

0
且
q

系式：
α=
唯一确定。
而pω=0与q—ω
2
=0正好 与：（±ωi）
2
+p（±ωi）+q=0 等价，即 ±ωi 是特征方程：
λ
2
+pλ+q=0 的根
所以，当±ωi 不是特征方程 λ
2
+pλ+q=0 的根时，原方程的特解由原方程的系数p、q、a、ω通过
上式唯一确定。
但当±ωi 是特征方程： λ
2
+pλ+q=0 的根时，pω=0与q—ω
2
=0，此时，若再设：

4
22
2


'''
'''
'''
2
0
时，特解中待定系数

、

可以由原方程的系数
p、
q
、
a
、

通过关
pωa
(q ω)(pω)
222
β=
(qω)a
(qω)(pω)
222
2

y
*
= αcosωx+βsinωx
将无法确定 α、β之值。考虑到这一结果正好是由 “αcosωx+ βsinωx”及其微商导致的，故可参
照f(x)为一次多项式时的情形，考虑试设：
y
*
= （αcosωx+βsinωx）x
则： （y
*
）′= （（αcosωx+βsinωx）x）′=（－αωsinωx+βωcosωx）x+（αcosωx+βs inωx）
（y
*
）″=（（－αωsinωx+βωcosωx）x+（αcos ωx+βsinωx））′
=（－αω
2
cosωx －βω
2
sinωx）x+2（－αωsinωx+βωcosωx）
代入原方程整理后比较系数，并考虑到pω=0与q—ω
2
=0，得：
－2ωα+ pβ = a
pα+2ωβ=0
2

apa
由此二式解得： α= β=
2222
4

p4

p
所以，当±ωi 是特征方程：λ
2
+pλ+q=0 的根时，α、β可由原方程的系数通过上式得出。
综上所述，对于：y
״
+py
׳
+qy= asinωx 形式的非齐次方程，其特解为：
1） 当±ωi 不是特征方程 λ
2
+pλ+q=0 的根时，则原方程的特解是：y
*
= αcosωx+βsinωx，
其中α、β由原方程的系数p、q、a、ω通过 ：
α=
pωa
(qω)(pω)
222
β=
(qω)a
(qω)(pω)
222
2
唯一确定。
2） 当±ωi 是特征方程：λ
2
+pλ+q=0 的根时，原方程的特解是：y
*
= （αcosωx+βsinωx）x，
其中α、β可由原方程的系数通过：
2

apa
α= β= 唯一确定。
2222
4

p4

p
（三）最后考虑： y
״
+py
׳
+qy=f(x) 中f(x)=ae
bx
即 y
״
+py
׳
+qy=ae
bx
的情形：
由于e
bx
的各阶微商均为e
bx
的常数倍，所以，方程y
״
+py
׳
+qy=ae
bx
的特解也应该形如：
y
*
=αe
bx

将其代入原方程求导整理并约去e
bx
（≠0）得：
（b
2
+ pb + q）α= a
所以，当 b
2
+ pb + q≠0，即 b 不是特征方程：
λ
2
+pλ+q=0 的根时，
α=
a
bpbq
a
bpbq
2
2

e
bx
方程的特解为： y
*
=αe
bx
=
而当b
2
+ pb + q=0，即b是特征方程λ
2
+pλ+q=0的根时，由此式不能确定α的值，
但若仍参照f(x)为一次多项式时的情形，考虑试设： y
*
=αxe
bx
代入原方程求导整理并比较系数得：

5

b
2
+ pb + q=0 且 (2b+ p)α=a
前一式说明b是特征方程： λ
2
+pλ+q=0 的根，
于是，在2b+ p≠0，即b只是特征方程 λ
2
+pλ+q=0的单根，而不是重根的情况下有：
α=
a
2bp

a
2bp
即原方程的特解为：y
*
=αxe
bx
= xe
bx

在2b+ p=0，即b是特征方程λ
2
+pλ+q=0的重根的情况下，由上式无法确定α之值，但也参照
f(x)为多项式时的情形，可考虑试设 y
*
=αx
2
e
bx
代入原方程求导整理得：
α=
a
2

a
2
即原方程的特解为：y
*
=αx
2
e
bx
=
综上所述，在f(x)=ae
bx
的情况下：
x
2
e
bx

1） 若b 不是特征方程 λ
2
+pλ+q=0 的根，则特解为： y
*
=αe
bx=
a
bpbq
2
e
bx

xe
bx
2） 若b 是特征方程 λ
2
+pλ+q=0 的单根，则特解为： y
*
=αxe
bx
=
a
2bp
3） 若b 是特征方程 λ
2
+pλ+q=0 的重根，则特解为： y
*
=αx
2
e
bx
=
''
a
2
x
2
e
bx

'< br>以上讨论，只是局限于笔者所使用这本教材介绍的知识点来进行的，其
ypyqyf(x)
中
f(x)
所
取的三种形式都比较简单，如果学生仅限于这三种形式，使用中 将会不太方便。作为对这个问题解决得比
较好的教材，是同济大学《高等数学》教材，就：
1 、
f(x)eP
m
(x)
与2、
f(x)e[P
l(x)cos

xP
n
(x)sin

x]

两种形式作了比较详尽的推导，不象上述“教案”一样只是突然引入结论。有兴趣的学生可以参考此教材 。
笔者认为，鉴于非数学专业学生数学基础特别是数学思维习惯较之数学专业的学生要差一些，不在理
论推导上严格要求是合理的，但正因为如此，更有必要让他们对所学的知识正确理解和掌握，才能对所学
数学内容产生兴趣，才能够基本学好、会用。所以，对每一个知识点一定要循序渐进，介绍得自然、流畅 、
完整，调动学生积极思维，养成严密的逻辑思维的习惯，才有可能达到数学教育预期的目的。
参考文献：
（1）蓝鸟工作室．高等数学教程 引自二〇〇四年十月三十日http: < br>（2）上海师范大学数学系．高等数学（一）［Z］．北京∶高等教育出版社．1978．185-186
（3）同济大学数学教研室．高等数学（下）［Z］．北京∶高等教育出版社．1996．387-38 9

x
③

x

6