宁波城市学院-学历证明样本

第十二章 微分方程
§12-1 微分方程的基本概念

一、判断题
1.y=ce
2x
(c的任意常数)是
y

=2x的特解。 ( )
2.y=(
y

)
3
是二阶微分方程。 ( )
3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ）
二、填空题
1.
微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是

。

2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线y=(c
1
+c
2
x)e
2x
中满足y
三、选择题
1．下列方程中 是常微分方程
（A）、x
2
+y
2
=a
2

x=0
=0,
y

x=0
=1的曲线是 。

2
a

2
a
d
arctanx
(B)、 y+、
y

=x
2
+y
2


(e)0
(C)、
2
+
2
=0 （D）
dx
x
y
2.下列方程中 是二阶微分方程
（ A）（
y

）+x
2
y

+x
2
=0 (B) (
y

)
2
+3x
2
y=x
3
(C)
y

+3
y

+y=0 (D)
y

-y
2
=sinx
d
2
y
2
3.微分方程+wy=0的通解是 其中c.c
1.
c
2
均为任意常数
2
dx
（A）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c
1
coswx+c
2
sinwx (D)y=c coswx+c sinwx
4. C是任意常数，则微分方程
y

=
3y
的一个特解是
（A）y-=(x+2)
3
(B)y=x
3
+1 (C) y=(x+c)
3
(D)y=c(x+1)
3

四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．
yCxC
（其中
C
为任意常数） 2.
yC1
e
222x
2
3
C
2
e
3x（其中
C
1
,C
2
为任意常数）




五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开始自由落下，已知物体在液体中 受的阻
力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始
条件。

12-2 可分离变量的微分方程

一、求下列微分方程的通解
1． sec
2
.tacydx+sec
2
ytanxdy=0






2． (x+xy
2
)dx-(x
2
y+y)dy=0






3． (e
x+y
-e
x
)dx+(e
x+y
-e
y
)dy=0






4．
y

=cos(x-y).(提示令.x-y=z)






二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
1． cosydx+(1+e
-x
)sinydy=0. y







x=0
=


4

2.





secx
dyxdx.y
2
1y
x
3

2
1

三 、设f(x)=x+

x
0
f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)











四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的 连
线。










五、船从初速v
0
=6米秒而开始运动，5秒后速度减至一半。 已知阻力与速度成正比，试求
船速随时间变化的规律。

12-3 齐次方程

一、求下列齐次方程的通解
1
xy

-xsin
y
yy
0
2 (x+ycos
)
dx-xcosdy=0
x
xx








二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
1．xy
dy
22
=x+y y
ax
x=e
=2e 2.x
2
dy+(xy-y
2
)dx=0y
x=1
=1








三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy的通解









四、设有连结点O(0，0)和A（ 1，1）一段向上凸的曲线孤
OA
对于
OA
上任一点
P（x ，y）,曲线孤与
OP
直线段
OP
所围图形的面积为x
2
， 求曲线孤
OA
的方程。




12.4 一阶线性微分方程

一、求下列微分方程的通解
1.x
y

+y=xe
x

2.
y

+ytanx=sin2x




3.
y

+




二、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．
y

cosy+siny =x y




三、已知f(

),曲线积分

a

s inxf(x)

b
dyy
1sinx

4.
y
dx
xy
3
e
y
xx
x0


4
2.(2x+1)e
y
y

2e
y
=4 y
x0
0

y
dxf(x)dy
与路径无关，求函数f(x).
x





四、质量为M
0
克的雨滴在下落过程中 ，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的速率
减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落 时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速
度与时间的关系。





五、 求下列伯努利方程的通解
1．y′+



1
yx
2
y
5
2. xy′+y-y
2
lnx=0
x

12-4 全微分方程

一、求下列方程通解
1．[cos(x+y
2
)+ 3y]dx+[2ycos(x+y
2
)+3x]dy=0





2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0





3.e
y
dx+(xe
y
-2y)dy=0





二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解
1 ydx-xdy+y
2
xdx=0





2 y(2xy+e
x
)dx-e
x
dy=0





三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy=0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函
数f(x) ，并求该方程的通解。

12-7 可降阶的高阶微分方程

一、求下列各微分方程的通解
1．
y

=xsinx 2.
y

-
y

=x




3.y
y

+(
y

)
2< br>=
y

4.
y

(1+e
x
)+
y

=0




二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
1．2
y

=sin2y y





2. x
y

-
y

ln
y

+
y

lnx=0 y





三、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及< br>f

(x)-
x
f(x)f(t)


dt 0
,求f(x).
2
1
x
t
x0


2

y

x0
1

x1
2

y

x1
e
2







四、一物体质量为m,以初速度Vo从一斜面上滑下，若斜面的倾角为

，摩擦系数为u,试求
物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。

12-8 高阶线性的微分方程

一、选择题
1．下列方程中 为线性微分方程
（A）（
y

）+x
y

=x (B)y
y

2yx

(C)
y

2
y


2
2
ye
x
(D)
y

y

3xycosy

xx
2.已知函数y
1
=
e
x
2

1< br>x
2
，y
1
=
e
x
2

1
x
2
，y
3
=e
(x-
1
2
)< br>x
则

（A）仅y
1
与y
2
线性相关 （B）仅y
2
与y
3
线性相关
（C）仅y
1
与y
3
线性相关 （D）它们两两线性相关
3．若y
1
和y
2
是二阶齐次线性方程，
y

+p(x)
y

+4(x)y=0两个特解，c1
c
2
为任意常数，则
y=c
1
y
1
+c
2
y
2

(A)一定是该方程的通解 （B）是该方程的特解
（C）是该方程的解 （D）不一定是方程的解
4．下列函数中哪组是线性无关的
（A）lnx, lnx
2
(B)1， lnx (C)x, ln2
x
(D)ln
x
, lnx
2
二、证明：下列函数是微分方程的通解
1y=c
1
x
2
+ c
2
x
2
lnx(c
1
c
2
是任意常数 )是方程x
2
y

-
3x
y

+4y= 0的通解



2y=c
1
e
-x
+c
2
e
x
e
x
(c
1
c
2
是任意常数)是方程2
y



y

2e< br>x
的通解
2



三、设y
1
( x)y
2
(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y
1
(x)y< br>2
(x).y
3
(x).线性无关，
证明：微分方程的通解为：




x
e
1
四、试求以y=
(c
1
e
x
+c
2
e
- x
)+ (c
1,
c
2
是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。
2
x
yc
1
y
1
(x)c
2
y
2
(x)(1c
1
c
2
)y
3
( x)

12-9 二阶常系数齐次线性微分方程

一、选择题
1以y
1
=cosx,y
2
=sinx为特解的方程是
（A）
y

y0
(B)
y

y0
(C)
y

y

0
(D)
y

y

0

2．微分方程2
y

y

y0
的通解是
（A）
yc
1
ec
2
e
x2x
（B ）
yc
1
e
x
c
2
e
（C）
yc
1
ec
2
e
x
2
x

x
2
(D)
yc
1
e
x
c
2e
2x

3．常微分方程
y

(

1


2
)y



1
2
y0
，（其中

1
,

2
是不等 的系数），在初始条件
y
1x=0
=
y

x0
 0
特解是

1
x
（A）y=0 (B )y=
c
1
e
2x
c
2
e

2
x
(C)
y

1

2
x
2
（D）
y(

1


2
)x
2

4．
ye
是微分方程
y

py

 6y0
的一个特解，则此方程的通解是
（A）
yc
1
e
（C）
yc
1
e
x
2x
c
2
e
3x
（B）
y(c
1
xc
2
)e
2x

c
2
e
3x
（D）
ye
2 x
(c
1
sin3xc
2
cos3x)

x< br>2x
5．
yc
1
ec
2
e
是微分方程 的通解
（C）
y

y

0
（D）
y

y

0
（A）
y

y 0
（B）
y

y0
二、求下列微分方程的通解
1．
y

5y

0
2．
y

4y

4y0








3．
y

4y

y0
4．
y

5y

6y0

5．
y

 6y

3y

10y0
5.
y








三、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．
y

2y

10y0

y









x0
(4)
2y

y

0

1

y
1x0
2

d
2
xdx
3x0

x
2．
dtdt
t0
0

x

t0
1









四、一质量为m的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入 液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大
小成正比（比例系数为k），求此质点的运动规律。

12-10 二阶常数非齐次线性微分方程

一、选择题
1微分方程，
y

2y

x的特解y形式为

(A)ax (B)ax+b (C)ax
2
(D)
axbx

2
*
的特解y形式为
2.微分方程
y

ye1
（A）
aeb
（B）
axeb
（C）
aebx
（D）
axebx

3．微分方程
y

2u

xe
的特解y
*
形式为
（A）
x(axb)e
（B）
(axb)e
2x
2x
2x
x*
xxxx
（C）
xe
2x
（D）
(axbxc)e

22x
4．微分方程
y

4ycos2x
的特解y
*
形式为
（A）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x
5. 微分方程
y

yxsinx
的特解形式为y*=
（A）（ax+b）sin
2
x (B)(ax+b)sin
2
x+(cx+d)cos
2
x
（C）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f
6. 微分方程
y
4y

5ye
（A）
ae
x
x
2
sin5x
的特解形式为
bsin5x
(B)
ae
x
bcos5xcsin5x

bsin5x
（D）
axe
x
bcos5xcsin5x
（C）
axe
x
二、求下列各方程的通解
1．
y

2y

yxe
2．
y

7y

6ysinx








3．
y

2y

5yesinx
4．
y

yxcosx





x
x

三、求微分方程
y

9ycos x
满足
y






x
2
y

x

2
0
的特解 < br>四、已知二阶常系数微分方程
y



y



y

(x2)
有特解
ye1x6x，求
*x2

,

,

的值，并求该方程的通 解






五、
k
为常数 。试求
y

2ky

kye
的通解。







六、设
f(x)sinx 
2x

x
0
f(t)dtx

f(t)dt< br>，其中f(x)为连续的数，求f(x)。
0
x









七、一链长18cm，挂在光滑的圆 钉上，一边垂下8cm，另一边垂下10cm，问整个链子滑过
钉子需要多少时间？

第十二章自测题一

一、 填空题
1．已知曲线y=y(x)过点（0， ）且其上任一点（x,y）处的切线斜率为xln(1+x
2
)，则f(x)=
2
2．以

xc

y1
为通解的微分方程是 （其中为任意常数）
2
1
2
3。微分方程ydx+(c
2
-4x)dy=0的通解为
4．微分方程
y

ylnxax
的通解为 ]
5．已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e
-x
,e
x
,s inx,cosx,则该微分方程为
二、选择题
１．已知函数y=f(x) 在任意点x处的增量

y=
阶的无穷小量，y(o)=

，则y(1 )等于
（A）2

（B）

（C）
e
（D）

e

2 y=y(x)是微分方 程
y

y

e
sinx
yx
< br>
且当

x

o时，

是比
x更高
1x
2

4

4
0
的解， 且
f

(x
0
)0
，则f(x)在
（A） x
０
的某个邻域内单调增加 （B）x
０
的某个邻域内单调减少
（C）x
０
处的取极小值 （D）x
０
处取极大值
3．一曲线通过点m(4.3),且该曲线上任意一点p处的 切线在y轴上的截距等于原点到p的距
离，则此曲线方程为
x
2
x
2
22
（A）
xy25
（B）
y2
（C ）
(x9)(y9)25
（D）
y4

1016
22
4．下列方程中可利用
py

,
p

y

降为p的一阶微分方程的是
（Ａ）
(y

)xy

x0
（Ｂ）
y

yy

y0

（C）
y

yy

yx0
(D)
y

yy

x0

三、求解下列微分方程
1.求ydx+(x
2
y-x)dy=0，满足
y





2.求
y

y




x1
22
22
1
的特解，
1
的通解
1e
x

四、求
y

y

 xsinx
的通解。







五、已知
y
1
xee
，
y
2
xe e
方程的三个解，求此微分方程。









六、已知函数f(x)可微 ，且对任意实数x,y满足：f(x+y)=
ef(y)ef(x)
,求此函数f(x).








七、火车沿水 平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b为常
数，v为火车的 速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s(t).











xy
x2xxx
x2xx
，
y
3
xeee
是某二阶线 性非齐次微分

第十二章自测题二

一、单项选择题
１．设 y=
f(x)
是方程
y

2y

4y0< br>的解，若
f(x
0
)0,
则
f(x)
在
x
0
点
（A）取得极大值； （B）取得极小值；（C）某邻域内单调递增；（D）某邻域内单调递减；
２．函数
y3e
2x
是方程
y

4y0
的
（A）通解；（B）特解；（C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不对
３．微分方程< br>2y

5y

cosx
的特解应具有形式（其中，a, b,c为常数）

（A）
x(acosxbsinx);
（B）
axbcos2xcsin2x

（C）a+bcos2x; (D) ax
2
+bcos2x+csin2x
4.微分方程
y

6y

9yxe
特解应具有形式
（A）（Ax+Bx）e
3x
(B)x(Ax+B)e
3x
（C）x
2
(Ax+B)e
3x
（D）Ax
3
e
3x

5.设一动点以等加速度a作直线运动，且其 初速度为v
0
,初始位移为s
0
，则此质点规律是
（A）s=v
0
+s
0
; (B)
s
3x22
2
1
2
atv
0
ts
0
(C)
sv
0
t
2
s
0;
(D)
sat
2
v
0
ts
0

2
t
2x
6 函数f(x)满足关系式
f(x)
0
f()dt1n2,则f(x)

2
（A）1n2·e
x
;

（B）1n2·e
2x
; （C）e
x
+ln2; （D） e
2x
+ln2.
二、填空题
1.微分方程
y

y

2y0
的通解y=
2.以

1


2
2
为特征根的阶数最 低的常系数线性齐次微分方程是
3.以
e,esinx,ecosx
为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
4.微分方程
y

2y3通解y

三、判断下列方程的类型并求其解
１．求
ydx(3x2y)dy0满足y< br>２．求(xe
y
+1)dx+(
5
x0
xxx
2 的特解

1
2y
xey
)dy=0的通解
2
2 x
四、求微分方程的
y

5y

6yxe
的通解
五、已知函
yf(x)
的图形经过原点和点M（1，2），且满足微分方程
y


2
y

2
0，
求1y

f(x).

六、设二阶常数线性微分方程
y
ay



y

e
的一个特 解为
ye
定常数

,

,

,
并求该方程的通解
七、设函数
f(x)
连续可微，
f(1)1,
且对任意闭曲线C都有
4xydxxf(x)dy0,

C
求
f(x).

x2x
(1x)e
x
,
试确

3