安阳工学院教务管理系统-团支书工作计划

题目：
变量代换求解常微分方程


院 （系）：理学院

专 业：信息与计算科学
学 生：郝腾宇

1

摘 要
本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变 量代换简化为可
解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。
变量代换法不仅是一种 重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常
微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方 程有不同的解。其中变量代
换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将 复
杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就
变量代换法 在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当
的变量代换求其通解或者特解。
关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解




2

目 录

一、
二、
三、
四、
五、
六、
七、
八、
九、

变量代换法求解一阶微分方程
……………………………………………………………3

变量代换法求解二阶微分方程…………………………………………………………………6

变量代换法求解三阶微分方程…………………………………………………………………7

变量代换法求解n阶微分方程…………………………………………………………………7

变量代换法求解Euler阶微分方程……………………………………………………………9

变量代换法在研究解或轨线性态中的应用…………………………………………….10

函数变换法求解常微分方程……………………………………………………………………11

三角变换法求解常微分方程……………………………………………………………………13

拉普拉斯变换求解常微分方程………………………………………………………… ……14


3

1变量代换法求解一阶微分方程
d
y
a
1
xb
1
yc
1

y

1）对于齐次微分方程是
u
的连续
g

，这里

d
x
xdaxbyc

x222
函 数，做变量代换
u
d
y
g

u

u< br>y
d
，使方程化为变量分离方程
u

，可求解。
x
d
x
x
d
y
d
x

a
1
xb
1
yc
1
，这里
a
1
，
b
1
，
c
1
，
a
2
，
b
2
，
c
2
均
a
2
xb
2
yc
2
2)对于准齐次微分方程
为常数。
①当
d
y
a
1
b
1
c
1
=k
（常数）时，方程直接化为< br>k
，有通解：
a
2
b
2
c
2
d
x
ykxc(c为常数)

②当
程
a
1b
1
c
k
1
时，做变量代换
ua
2< br>xb
2
y
，将方程化为变量分离方
a
2
b
2
c
2
d
u
kuc
1

a
2
b
2
d
x
uc
2
由上式可求解。
a
1
b
1

Xx


③当时，做变换< br>
，其中


,


为直线
a1
xb
1
yc
1
0

a
2b
2
Yy


和直线
a
2
xb
2
yc
2
0
在
xoy
平面的交点，将方程转化 为齐次方程
d
Y
a
1
XbY

Y
1< br>g

d
X
a
2
Xb
2
Y
X
由上式可求解。




4

3）对于更一般的类型
d
y

axb
1< br>yc
1




1

，这里a
1
，
b
1
，
c
1
，
a2
，
b
2
，
d
x
axbyc

222

c
2
均为常数
①当
d
a
1
b
1
c
1
=k
（常数）时，方程直接转化为
y
f(k)
，有通解
a
2
b
2
c
2
d
x
yf(k)xc
；
②
当
a
1< br>b
1
c
k
1
时，做变量代换
ua
2
b
2
y
，将方程化为变量分离方
a
2
b
2
c
2
程
dukuc
1
a
2
b
2
f()

dxuc
2
由上式可求解。
③当
a
1
b
1

Xx


时，作变换

，其中（

,

）为直线
a
1
xb
1
yc< br>1
0

a
2
b
2

Yy
和直线
a
2
xb
2
yc
2
0
在
xoy
平面的交点，将方程化为齐次方程

aXbYdY1
f

1
dX

a
2
Xb
2
Y


Y

f


g(< br>X
)





由上式即可求解。
4）对于方程
dy
f(axbyc)
，这里a，b，c均为常数，作变量代换
dx
uaxbyc
，将方程化为变量分离方程
du
abf(u)

dx
由上式可求解。
5）对于方 程
yf(mx

y)dxxg(nx

y)dy0
，这 里m，n，

均为常数，作变
量变换
ux

y
， 将方程化为变量分离方程
5

du

ug(nu)uf(mu)


dxxg(nu)
由上式即可求解。
6）对于方程
x

1
化为变量分离方程
du
u
f(u)


dxx
dy
f (x
a
y)
，这里

为常数，作变量变换
ux

y
，是方程
dx
由上式即可求解。
7）对于方程
M(x ,y)(xdxydy)N(x,y)(xdyydx)0
，其中M,N为关于x，
y 的其次函数，做变量变换
u
y
，化为变量分离方程
x

duf(u)(u
2
1)

M(x,y)
f(u)



dxxM(x,y)uN(x,y)


由上式即可求解。
8） 对于Bernoulli方程
dy
P(x)yQ(x)y
n
，这里P(x )，Q(x)为连续函
dx
数，
n0,1
为常数。当
y0时用
y
n
乘以原方程两边得
y
n
dy
y
1n
P(x)Q(x)

dx
作变量代换
zy
1n

使方程化为线性微分方程
dz
(1n)P(x)z(1n)Q(x)
，可求解。
dx
9）对于Riccati方程
dy
P(x)y
2
Q(x)yR(x)
，当R(x)恒为零时，Riccati
dx
方程就是Bernoulli方程，可采 用8）中的变换求解；
6

当R(x)不为零时，若y（x）为R iccati方程的一特解，作变量代换
zyy(x)
，
使方程化为一个关于z的 Bernoulli方程
dz
P(x)z
2
(2P(x)y(x)Q(x))z

dx
由上式即可求解。
dy
P(x)yQ(x)
，若Q(x) =0，则方程
dx
P(x)dx
dy
P(x)y
，有通解
yce

变为一阶齐次线性微分方程；
dx
10）对于一阶非齐次线性微 分方程
若
Q(x)0
对原方程作变量变换
yc(x)e

P(x)dx
，求得待定函数
P(x)dx
c(x)

Q(x )e

dxc
，代会变换，即得方程的通解。
2 变量代换法求解二阶微分方程
1)对于二阶变系数齐次微分方程
d
2
ydy
p(x)q(x)y0
（1）
dx
2
dx
设
yy
1
0
是方程（1） 的一特解，变量变换
yy
1

tdx
，将方程化为一阶
线 性微分方程
y
1
dt
[2y
'
1
p(x)y< br>1
]t0
，可求解。
dx
2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程
d
2
ydy
p(x)q(x)yf(x)
（2）
2
dxdx
q
'
(x)2p(x)q(x)
当方 程（2）满足
c
1
（
c
1
为常数）时，作自变量代换 < br>[q(x)]
32
t

c
2
q(x)dx
（
c
2
为常数） （3）
则方程（3）可化为 
dyd
2
y

aq
'
(x)
c2
q(x)
2


p(x)aq(x)

 q(x)yf(x)
（4）
dt

2q(x)

dt
7

方程（4）两边乘除以
c
2
q(x)
，得
d
2
y
dt
2

q
'
(x)2p(x) q(x)
2c
32

dy

1
y
f(x)
（5）
2

q(x)

dtc
2

c
2
q(x)
由于
q
'
(x)2p(x) q(x)
[q(x)]
32
c
1

所以
q
'
(x)2p(x)q(x)c
1
2c
2c
c常数
，又
2

q(x)

32

1
2
c
2
为常数，

由此可知，方程（2）可化为二阶常系数线性微分方程 < br>d
2
y
dt
2
c
dy
dt
1
c
2
yg(t)
。
3 变量代换发求解三阶微分方程
1）考虑三阶变系数齐次微分方程
x
6
d
3
y< br>2
dx
3
a
5
dy
4
dy
2x
dx
2
a
1
x
dx
a
0
y0
（6）
当
a6
和
a6
时，可作变换
x 
1
12

t
，则方程（6）可化为
d
3
y
dx
3
(6a2a
dyd
2
2
y
12
)x
dt
(6a
2
)x
dt
2
a
0
y0
（7）
将
a
1
6
和< br>a
2
6
代入（7）得到常系数齐次微分方程
d
3
y
dx
3
a
0
y0

2）考虑三阶变系数线性非齐次微分方程
d
3
y

G'

d
2
y

2

G
'
2
G
''
'

dx
3



aG3
G


dx
2

< br>
bG33aG
dy
cG
3
yf(x)



G


G



d x
8
8） （

其中
GG(x)
，< br>f(x)
都是
x
的已知连续函数，且
G(x)
二次可微，G(x)0,a,b,c
为常数。作自变量变换
t

G(x)dx< br>，则方程可化为
2
d
3
y
3
dy
3
dy
GaGbGcG
3
yf(x)
（9）
32dxdxdx
3
方程（9）两边同时除以
G
3
(x)
得 到三阶常系数线性微分方程
d
3
yd
2
ydy
abcyg(t)

dx
3
dx
2
dx
4 变量代换发求解n阶微分方程
1） 考虑n阶非齐次线性微分方程
d
n
xd
n1
xd x
a(t)a(t)a
n
(t)xf(t)
（10）
1n1
nn1
dtdtdt
设方程（10）对应的n阶齐次微分方程 < br>d
n
xd
n1
xdx
a(t)a(t)a
n
(t)x0
（11）
1n1
nn1
dtdtdt
通解为
xc
1
x
1
(t)c
2
x
2
(t)c
n
x
n
(t)
（12）
作变量变换，令
xc
1
(t)x
1
(t)c
2
(t)x
2
(t)c
n
(t)x
n
(t )
（13）
为（10）的通解。求出特定函数
c
i
(t)


i
v
i
,i1,2,

n
，代入（13），即得（10）
的通解。
2）考虑常系数非齐次线性微分方程 < br>d
n
xd
n1
xdx
L[x]
n
a< br>1
n1
a
n1
a
n
xp
m< br>(x)e

k
（14）
dtdtdt
9

m1
这里
a
1
,a
2
,,a
n
是常数，
p
m
(x)b
0
t
m
btb
m1
tb
m
。作变量变换，
1
令
xe

k
，则方程可化为
d
n
yd
n1
ydy
AAA
n
yp
m
(x)
（15）
1n1
dt
n
dt
n1
dt

其中< br>A
1
,A
2
...,A
n
都是常数。对于方程(15 )可采用比较系数法求得一特解
yt
k
(B
0
t
mB
1
t
m1
...B
m1
tB
m
)

故(14)有特解
x
t
k
(B
0< br>t
m
B
1
t
m1
...B
m1< br>tB
m
)e

x
, 其中k 为特征方程
F(λ)=0 的根λ的重数。
3)对于n 阶微分方程
F
(t,x,
x
'
…,
x
(n)
)=0 , 当方程不显含未知函数x ,
或更一般地, 设方程不含x,
x
'
…,
x
(n)
, 即方程:
F(t,x
(k)
,x
(k1)
,...,x
(n)
) 0
(1

k

n) (16)
作变量变换, 令y =
x
(k)
, 可将方程降为关于y 的 n-k 阶方程
F(t,y,y
'
,...,y
nk
)0

4)对于 n 阶微分方程
F(t,x
(k)
,x
(k1)
,...,x
(n)
)0
,当方程不显含自变量t ,
即方程 F(x
(k)
,x
(k1)
,...,x
(n)
) 0
(17)
作变量变换, 令x′=y , 采用数学归纳法不难证明,
x
(k)
可用y ,
dy
,…,
dx
d
k1
y
表示出(k ≤n), 将这些表达式代入方程(17), 可使方程化为关于x , y
dx
k1
的n -1 阶方程
10


dyd
k1
y

G

x,y,,...,
k1

0

dxdx

5 变量代换法求解 Euler 方程
形如
n 1
d
n
yydy
n1
d
xax...axa< br>n
y0
(18)
1n1
nn1
dxdxdx
n
的Euler方程, 这里
a
1
,…
a
n
为常数。
对于Euler 方程, 我们可以采用变量代换法从两个不同角度来考虑得以求
解。
角度一:引进自变量的变换
xe
t
, 则
tlnx
, 通过直接计算及数学归纳法
不难证明:对于一切自然数k 均有关系式
k
dk
yd
k1
ydy
kt
dy
e(
< br>...

)

1k1
dx
k
dtk
dt
k1
dt
其中

1
,
2
...,

k1
都是常数。于是有
d
k
yd
k
yd
k1
ydy
(19)
x

...

1k1
dx
k
d t
k
dt
k1
dt
k
将(19)代入方程(18), 就得到n 阶常系数齐次线性微分方程
d
n
yd
n1
ydyxb...bb
n
y0
(20)
1n1
dtn
dt
n1
dt
k
其中
b
1
,b< br>2
...,b
n
都是常数。此方程可采用特征根法求得通解, 再代回原来的变
量
tlnx
就可得欧拉方程(18)的通解。
11

角度二:由于n 阶常系数齐次线性微分方程(20)有形如
ye

t
的解, 结合角
度一中的推演过程, 从而方程(18)有形如
yx

的解, 因此可直接求欧拉方程
形如
yx

的解, 作变量变换
yx
k
, 代入方程(20), 并约去因子
x
k
, 即可得
到确定k 的代数方程, 也是方(20)的特征方程
k(k1)...(kn1)a
1
k(k1) ...(kn2)...a
n
0
(21)
因此, 方程(21)的m 重实根
kk
0
, 对应于方程(18)的m 个解
x
k
0
,x
k
0
lnx,x
k
0
l n
2
x...,x
k
0
ln
m1
x

而方程(21)的m 重复根
k

i

，对应于方程(18)的2m 个实值解: < br>x

cos(

lnx),x

lnxcos(
lnx),...,x

ln
m1
xcos(
< br>lnx)

x

sin(

lnx),x

lnxsin(

lnx),...,x

ln
m1xsin(

lnx)

6 变量代换法在研究解或轨线性态中的应用
1)考虑非线性常微分方程组
dy


(t;y),yR
n
解的性态, 我们通常将其与
dx
dy
f(t;x)
，从而使问题
dx
具有某些特殊性质的特解联系在一起考虑。为研究方程组的特解y =φ(t)邻近的
解的性态, 作变量变换
xy

(t)
使方程 组化为
转化为讨论方程组零解邻近的解的性态。
2)考虑全相平面上的轨线性态时, 常用极坐标变换引入周期解与极限环来
刻划全相平面上的轨线性态, 如研究平面一阶非线性驻定方程组


d
x
22
xyx(xy)

d

t


d

y
xyy(x< br>2
y
2
)


d
t
12

的全相平面的轨线状态，做极坐标变换

xrcos




yrsin

从而使方程组化为

dr

d
r(1r)(1r)

t

< br>d


1


d
t
经分析可知
r1
是稳定的极限环。
7 函数变换法求解常微分方程
1）考虑函数变换法求解伯努利方程
设
d
y
d
x
P(x)yQ(x)y
n
（23）

这里
n0,1
是 常数。
P(x)
，
Q(x)
是
x
的连续函数。假设方程（2 3）有形如
y(x)u(x)v(x)
的解，则有
d
y
d
x
u
'
(x)v(x)u(x)v
'
(x)
（24）
将上式代入方程（23），整理可得
u(x)(v
'
(xP(x)v(x ))Q(x)u
n
(x)v
n
(x)u
'
(x)v(x )
（25）
若令
v
'
(x)P(x)v(x)
，则< br>Q(x)u
n
(x)v
n
(x)u
'
(x)v(x )0
（26）
用变量分离法可以求得
v(x)ce

13
P(x)dx

若选取
c1
，则
v(x)e

将
v(x)e

P(x)dx
P(x) dx
。
代入（26），求得
(n1)

P(x)dx

u(x)

1nQ(x)ec




11n

于是，方程（23）的解为
P(x)dx

(n1)

P(x)dx

y(x)u(x)v(x)e

1nQ(x)ec




11n

特别的，当
n0
时，得一阶线性非齐次方程
y(x)e

P(x)dx
d
y
d
x
P(x)yQ(x)
的解为

Q(x)e


P(x)dx
c






这与常数变易法求得的通解相一致。
2）考虑函数变换法求解Riccati方程的特解。设
d
y
d
x
P(x)y
2
Q(x)yR(x)
（27）
其中
P (x)
、
Q(x)
、
R(x)
是其中某个区间内的一阶可微函数，且
P(x)0
。
设方程（27）有形如
y(x)u(x)v(x)
（28）
的解，则方程（27）可化为
u( x)(v'(x)P(x)v(x))R(x)p(x)u
2
(x)v
2
(x)u'(x)v(x)
（29）
令
v'(x)P(x)v(x)

求得
14

< br>v(x)ce

P(x)dx
及
u'(x)
R(x)p(x)u
2
(x)v
2
(x)u'(x)v(x)

v(x)
令
p(x)v(x)g(x)
，
R(x)
h(x)

v(x)
则上式化为
d
y
d
x
g(x)u2
(x)h(x)

此方程可通过公式法或者观察法求解
u(x)，则Riccati方程的特解可表示出
来。
8 三角变换法求解常微分方程
在求积分时，当被积函数有形如
(a
2
x
2
)
，
a
2
x
2
，
x
2
a
2
等形 式时，
可通过三角变换法求解。在常微分方程中，遇到此类形式的问题时，我们也可以
考虑三角 变换法。
1）对于Chebyshev方程：
d
2
y
d
x
2
x
d
y
n
2
y0

x 1,n0

（30）
2
1xd
x
1x
做 三角变换
xsint
，并求得
d
y
，代入原方程，整理得
d
t
2
d
x
d
2
y
n
2y0
，
d
x
2
d
2
y
由上式可解得
yc
1
cosntc
2
sinnt

15

所以Chebyshev方程的解为
yc
1
c os(narcsinx)c
2
sin(narsinx)


2)对于三阶变系数微分方程
d
3
ya
2
(x)d2
ya
1
(x)dya
0
y0
（31） dx
3
1x
2
dx
2
1x
2
dx (1x
2
)
2
当原方程满足

a
1
( x)6x
2
2c
2
xc
1
2
（32）


a
2
(x)6xc
2
可作三角变换
xtant

并求得
dyd
2
yd
3
y

,,
dtdt
2
dt
3
代入原方程整理得
d< br>3
yd
2
ydy
2
[a(x)6tant][a(x) 2a(x)tant6tant2]a
0
y0

212
dx
3
dx
2
dt
由（32）可得

a
1
(x)2a
2
(x)tant6tan
2
t2c
1



a
2
(x)6t antc
2
从而（31）可简化三阶常系数线性微分方程
d
3
yd
2
ydy
cca
0
y0

21
dt
3
dt
2
dt
9 Laplace变换法求解常微分方程
16

Laplace变换 法主要是借助于拉普拉斯变换将常系数微分方程（组）转换成
复变数S的代数方程（组），通过一些代数 运算，一般在利用拉普拉斯变换表，
即可找出微分方程（组）的解。
给定微分方程
d
n
yd
n1
y
a
1
n1
a
n
yf(x)
（33）
dx
n
dx
初始条件
y(0)y
0
,y
'
(0)y
'
0
,,y
(n1)
(0)y
(n1)
0
，其中
a
1
,a
2
,a
n
是常数，
而
f(x)
连续且满足原函数的条件。
如果
y(t)
是方程（33）的任意解，
y(t)
及其各阶导数
y
k
(t)(k1,2,,n)
均
是原函数，记
F(s)L[f(x)]

e
sx
f(x)dx
（34）
0

利用原函数微分性质，对方程（33）两端施行Laplace变换，从而有
A(s)Y(s)F(s)B(s)

其中
A(s)B(s)
和
F(s)
都是已知多项式，由此
Y(s)
F(s)B(s)

A(s)
这就是方程（33）的满 足所给初始条件的解
y(x)
的像函数，而
y(x)
可直接
查Lap lace变换表计算求得

17

题目：
变量代换求解常微分方程


院 （系）：理学院

专 业：信息与计算科学
学 生：郝腾宇

1

摘 要
本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化 为可
解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。
变量代换法不仅是一种重要的解题 技巧,也是一种重要的数学思维方法。常
微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的 解。其中变量代
换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复
杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就
变量代换法在常微分方 程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当
的变量代换求其通解或者特解。
关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解




2

目 录

一、
二、
三、
四、
五、
六、
七、
八、
九、

变量代换法求解一阶微分方程
……………………………………………………………3

变量代换法求解二阶微分方程…………………………………………………………………6

变量代换法求解三阶微分方程…………………………………………………………………7

变量代换法求解n阶微分方程…………………………………………………………………7

变量代换法求解Euler阶微分方程……………………………………………………………9

变量代换法在研究解或轨线性态中的应用…………………………………………….10

函数变换法求解常微分方程……………………………………………………………………11

三角变换法求解常微分方程……………………………………………………………………13

拉普拉斯变换求解常微分方程………………………………………………………… ……14


3

1变量代换法求解一阶微分方程
d
y
a
1
xb
1
yc
1

y

1）对于齐次微分方程是
u
的连续
g

，这里

d
x
xdaxbyc

x222
函 数，做变量代换
u
d
y
g

u

u< br>y
d
，使方程化为变量分离方程
u

，可求解。
x
d
x
x
d
y
d
x

a
1
xb
1
yc
1
，这里
a
1
，
b
1
，
c
1
，
a
2
，
b
2
，
c
2
均
a
2
xb
2
yc
2
2)对于准齐次微分方程
为常数。
①当
d
y
a
1
b
1
c
1
=k
（常数）时，方程直接化为< br>k
，有通解：
a
2
b
2
c
2
d
x
ykxc(c为常数)

②当
程
a
1b
1
c
k
1
时，做变量代换
ua
2< br>xb
2
y
，将方程化为变量分离方
a
2
b
2
c
2
d
u
kuc
1

a
2
b
2
d
x
uc
2
由上式可求解。
a
1
b
1

Xx


③当时，做变换< br>
，其中


,


为直线
a1
xb
1
yc
1
0

a
2b
2
Yy


和直线
a
2
xb
2
yc
2
0
在
xoy
平面的交点，将方程转化 为齐次方程
d
Y
a
1
XbY

Y
1< br>g

d
X
a
2
Xb
2
Y
X
由上式可求解。




4

3）对于更一般的类型
d
y

axb
1< br>yc
1




1

，这里a
1
，
b
1
，
c
1
，
a2
，
b
2
，
d
x
axbyc

222

c
2
均为常数
①当
d
a
1
b
1
c
1
=k
（常数）时，方程直接转化为
y
f(k)
，有通解
a
2
b
2
c
2
d
x
yf(k)xc
；
②
当
a
1< br>b
1
c
k
1
时，做变量代换
ua
2
b
2
y
，将方程化为变量分离方
a
2
b
2
c
2
程
dukuc
1
a
2
b
2
f()

dxuc
2
由上式可求解。
③当
a
1
b
1

Xx


时，作变换

，其中（

,

）为直线
a
1
xb
1
yc< br>1
0

a
2
b
2

Yy
和直线
a
2
xb
2
yc
2
0
在
xoy
平面的交点，将方程化为齐次方程

aXbYdY1
f

1
dX

a
2
Xb
2
Y


Y

f


g(< br>X
)





由上式即可求解。
4）对于方程
dy
f(axbyc)
，这里a，b，c均为常数，作变量代换
dx
uaxbyc
，将方程化为变量分离方程
du
abf(u)

dx
由上式可求解。
5）对于方 程
yf(mx

y)dxxg(nx

y)dy0
，这 里m，n，

均为常数，作变
量变换
ux

y
， 将方程化为变量分离方程
5

du

ug(nu)uf(mu)


dxxg(nu)
由上式即可求解。
6）对于方程
x

1
化为变量分离方程
du
u
f(u)


dxx
dy
f (x
a
y)
，这里

为常数，作变量变换
ux

y
，是方程
dx
由上式即可求解。
7）对于方程
M(x ,y)(xdxydy)N(x,y)(xdyydx)0
，其中M,N为关于x，
y 的其次函数，做变量变换
u
y
，化为变量分离方程
x

duf(u)(u
2
1)

M(x,y)
f(u)



dxxM(x,y)uN(x,y)


由上式即可求解。
8） 对于Bernoulli方程
dy
P(x)yQ(x)y
n
，这里P(x )，Q(x)为连续函
dx
数，
n0,1
为常数。当
y0时用
y
n
乘以原方程两边得
y
n
dy
y
1n
P(x)Q(x)

dx
作变量代换
zy
1n

使方程化为线性微分方程
dz
(1n)P(x)z(1n)Q(x)
，可求解。
dx
9）对于Riccati方程
dy
P(x)y
2
Q(x)yR(x)
，当R(x)恒为零时，Riccati
dx
方程就是Bernoulli方程，可采 用8）中的变换求解；
6

当R(x)不为零时，若y（x）为R iccati方程的一特解，作变量代换
zyy(x)
，
使方程化为一个关于z的 Bernoulli方程
dz
P(x)z
2
(2P(x)y(x)Q(x))z

dx
由上式即可求解。
dy
P(x)yQ(x)
，若Q(x) =0，则方程
dx
P(x)dx
dy
P(x)y
，有通解
yce

变为一阶齐次线性微分方程；
dx
10）对于一阶非齐次线性微 分方程
若
Q(x)0
对原方程作变量变换
yc(x)e

P(x)dx
，求得待定函数
P(x)dx
c(x)

Q(x )e

dxc
，代会变换，即得方程的通解。
2 变量代换法求解二阶微分方程
1)对于二阶变系数齐次微分方程
d
2
ydy
p(x)q(x)y0
（1）
dx
2
dx
设
yy
1
0
是方程（1） 的一特解，变量变换
yy
1

tdx
，将方程化为一阶
线 性微分方程
y
1
dt
[2y
'
1
p(x)y< br>1
]t0
，可求解。
dx
2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程
d
2
ydy
p(x)q(x)yf(x)
（2）
2
dxdx
q
'
(x)2p(x)q(x)
当方 程（2）满足
c
1
（
c
1
为常数）时，作自变量代换 < br>[q(x)]
32
t

c
2
q(x)dx
（
c
2
为常数） （3）
则方程（3）可化为 
dyd
2
y

aq
'
(x)
c2
q(x)
2


p(x)aq(x)

 q(x)yf(x)
（4）
dt

2q(x)

dt
7

方程（4）两边乘除以
c
2
q(x)
，得
d
2
y
dt
2

q
'
(x)2p(x) q(x)
2c
32

dy

1
y
f(x)
（5）
2

q(x)

dtc
2

c
2
q(x)
由于
q
'
(x)2p(x) q(x)
[q(x)]
32
c
1

所以
q
'
(x)2p(x)q(x)c
1
2c
2c
c常数
，又
2

q(x)

32

1
2
c
2
为常数，

由此可知，方程（2）可化为二阶常系数线性微分方程 < br>d
2
y
dt
2
c
dy
dt
1
c
2
yg(t)
。
3 变量代换发求解三阶微分方程
1）考虑三阶变系数齐次微分方程
x
6
d
3
y< br>2
dx
3
a
5
dy
4
dy
2x
dx
2
a
1
x
dx
a
0
y0
（6）
当
a6
和
a6
时，可作变换
x 
1
12

t
，则方程（6）可化为
d
3
y
dx
3
(6a2a
dyd
2
2
y
12
)x
dt
(6a
2
)x
dt
2
a
0
y0
（7）
将
a
1
6
和< br>a
2
6
代入（7）得到常系数齐次微分方程
d
3
y
dx
3
a
0
y0

2）考虑三阶变系数线性非齐次微分方程
d
3
y

G'

d
2
y

2

G
'
2
G
''
'

dx
3



aG3
G


dx
2

< br>
bG33aG
dy
cG
3
yf(x)



G


G



d x
8
8） （

其中
GG(x)
，< br>f(x)
都是
x
的已知连续函数，且
G(x)
二次可微，G(x)0,a,b,c
为常数。作自变量变换
t

G(x)dx< br>，则方程可化为
2
d
3
y
3
dy
3
dy
GaGbGcG
3
yf(x)
（9）
32dxdxdx
3
方程（9）两边同时除以
G
3
(x)
得 到三阶常系数线性微分方程
d
3
yd
2
ydy
abcyg(t)

dx
3
dx
2
dx
4 变量代换发求解n阶微分方程
1） 考虑n阶非齐次线性微分方程
d
n
xd
n1
xd x
a(t)a(t)a
n
(t)xf(t)
（10）
1n1
nn1
dtdtdt
设方程（10）对应的n阶齐次微分方程 < br>d
n
xd
n1
xdx
a(t)a(t)a
n
(t)x0
（11）
1n1
nn1
dtdtdt
通解为
xc
1
x
1
(t)c
2
x
2
(t)c
n
x
n
(t)
（12）
作变量变换，令
xc
1
(t)x
1
(t)c
2
(t)x
2
(t)c
n
(t)x
n
(t )
（13）
为（10）的通解。求出特定函数
c
i
(t)


i
v
i
,i1,2,

n
，代入（13），即得（10）
的通解。
2）考虑常系数非齐次线性微分方程 < br>d
n
xd
n1
xdx
L[x]
n
a< br>1
n1
a
n1
a
n
xp
m< br>(x)e

k
（14）
dtdtdt
9

m1
这里
a
1
,a
2
,,a
n
是常数，
p
m
(x)b
0
t
m
btb
m1
tb
m
。作变量变换，
1
令
xe

k
，则方程可化为
d
n
yd
n1
ydy
AAA
n
yp
m
(x)
（15）
1n1
dt
n
dt
n1
dt

其中< br>A
1
,A
2
...,A
n
都是常数。对于方程(15 )可采用比较系数法求得一特解
yt
k
(B
0
t
mB
1
t
m1
...B
m1
tB
m
)

故(14)有特解
x
t
k
(B
0< br>t
m
B
1
t
m1
...B
m1< br>tB
m
)e

x
, 其中k 为特征方程
F(λ)=0 的根λ的重数。
3)对于n 阶微分方程
F
(t,x,
x
'
…,
x
(n)
)=0 , 当方程不显含未知函数x ,
或更一般地, 设方程不含x,
x
'
…,
x
(n)
, 即方程:
F(t,x
(k)
,x
(k1)
,...,x
(n)
) 0
(1

k

n) (16)
作变量变换, 令y =
x
(k)
, 可将方程降为关于y 的 n-k 阶方程
F(t,y,y
'
,...,y
nk
)0

4)对于 n 阶微分方程
F(t,x
(k)
,x
(k1)
,...,x
(n)
)0
,当方程不显含自变量t ,
即方程 F(x
(k)
,x
(k1)
,...,x
(n)
) 0
(17)
作变量变换, 令x′=y , 采用数学归纳法不难证明,
x
(k)
可用y ,
dy
,…,
dx
d
k1
y
表示出(k ≤n), 将这些表达式代入方程(17), 可使方程化为关于x , y
dx
k1
的n -1 阶方程
10


dyd
k1
y

G

x,y,,...,
k1

0

dxdx

5 变量代换法求解 Euler 方程
形如
n 1
d
n
yydy
n1
d
xax...axa< br>n
y0
(18)
1n1
nn1
dxdxdx
n
的Euler方程, 这里
a
1
,…
a
n
为常数。
对于Euler 方程, 我们可以采用变量代换法从两个不同角度来考虑得以求
解。
角度一:引进自变量的变换
xe
t
, 则
tlnx
, 通过直接计算及数学归纳法
不难证明:对于一切自然数k 均有关系式
k
dk
yd
k1
ydy
kt
dy
e(
< br>...

)

1k1
dx
k
dtk
dt
k1
dt
其中

1
,
2
...,

k1
都是常数。于是有
d
k
yd
k
yd
k1
ydy
(19)
x

...

1k1
dx
k
d t
k
dt
k1
dt
k
将(19)代入方程(18), 就得到n 阶常系数齐次线性微分方程
d
n
yd
n1
ydyxb...bb
n
y0
(20)
1n1
dtn
dt
n1
dt
k
其中
b
1
,b< br>2
...,b
n
都是常数。此方程可采用特征根法求得通解, 再代回原来的变
量
tlnx
就可得欧拉方程(18)的通解。
11

角度二:由于n 阶常系数齐次线性微分方程(20)有形如
ye

t
的解, 结合角
度一中的推演过程, 从而方程(18)有形如
yx

的解, 因此可直接求欧拉方程
形如
yx

的解, 作变量变换
yx
k
, 代入方程(20), 并约去因子
x
k
, 即可得
到确定k 的代数方程, 也是方(20)的特征方程
k(k1)...(kn1)a
1
k(k1) ...(kn2)...a
n
0
(21)
因此, 方程(21)的m 重实根
kk
0
, 对应于方程(18)的m 个解
x
k
0
,x
k
0
lnx,x
k
0
l n
2
x...,x
k
0
ln
m1
x

而方程(21)的m 重复根
k

i

，对应于方程(18)的2m 个实值解: < br>x

cos(

lnx),x

lnxcos(
lnx),...,x

ln
m1
xcos(
< br>lnx)

x

sin(

lnx),x

lnxsin(

lnx),...,x

ln
m1xsin(

lnx)

6 变量代换法在研究解或轨线性态中的应用
1)考虑非线性常微分方程组
dy


(t;y),yR
n
解的性态, 我们通常将其与
dx
dy
f(t;x)
，从而使问题
dx
具有某些特殊性质的特解联系在一起考虑。为研究方程组的特解y =φ(t)邻近的
解的性态, 作变量变换
xy

(t)
使方程 组化为
转化为讨论方程组零解邻近的解的性态。
2)考虑全相平面上的轨线性态时, 常用极坐标变换引入周期解与极限环来
刻划全相平面上的轨线性态, 如研究平面一阶非线性驻定方程组


d
x
22
xyx(xy)

d

t


d

y
xyy(x< br>2
y
2
)


d
t
12

的全相平面的轨线状态，做极坐标变换

xrcos




yrsin

从而使方程组化为

dr

d
r(1r)(1r)

t

< br>d


1


d
t
经分析可知
r1
是稳定的极限环。
7 函数变换法求解常微分方程
1）考虑函数变换法求解伯努利方程
设
d
y
d
x
P(x)yQ(x)y
n
（23）

这里
n0,1
是 常数。
P(x)
，
Q(x)
是
x
的连续函数。假设方程（2 3）有形如
y(x)u(x)v(x)
的解，则有
d
y
d
x
u
'
(x)v(x)u(x)v
'
(x)
（24）
将上式代入方程（23），整理可得
u(x)(v
'
(xP(x)v(x ))Q(x)u
n
(x)v
n
(x)u
'
(x)v(x )
（25）
若令
v
'
(x)P(x)v(x)
，则< br>Q(x)u
n
(x)v
n
(x)u
'
(x)v(x )0
（26）
用变量分离法可以求得
v(x)ce

13
P(x)dx

若选取
c1
，则
v(x)e

将
v(x)e

P(x)dx
P(x) dx
。
代入（26），求得
(n1)

P(x)dx

u(x)

1nQ(x)ec




11n

于是，方程（23）的解为
P(x)dx

(n1)

P(x)dx

y(x)u(x)v(x)e

1nQ(x)ec




11n

特别的，当
n0
时，得一阶线性非齐次方程
y(x)e

P(x)dx
d
y
d
x
P(x)yQ(x)
的解为

Q(x)e


P(x)dx
c






这与常数变易法求得的通解相一致。
2）考虑函数变换法求解Riccati方程的特解。设
d
y
d
x
P(x)y
2
Q(x)yR(x)
（27）
其中
P (x)
、
Q(x)
、
R(x)
是其中某个区间内的一阶可微函数，且
P(x)0
。
设方程（27）有形如
y(x)u(x)v(x)
（28）
的解，则方程（27）可化为
u( x)(v'(x)P(x)v(x))R(x)p(x)u
2
(x)v
2
(x)u'(x)v(x)
（29）
令
v'(x)P(x)v(x)

求得
14

< br>v(x)ce

P(x)dx
及
u'(x)
R(x)p(x)u
2
(x)v
2
(x)u'(x)v(x)

v(x)
令
p(x)v(x)g(x)
，
R(x)
h(x)

v(x)
则上式化为
d
y
d
x
g(x)u2
(x)h(x)

此方程可通过公式法或者观察法求解
u(x)，则Riccati方程的特解可表示出
来。
8 三角变换法求解常微分方程
在求积分时，当被积函数有形如
(a
2
x
2
)
，
a
2
x
2
，
x
2
a
2
等形 式时，
可通过三角变换法求解。在常微分方程中，遇到此类形式的问题时，我们也可以
考虑三角 变换法。
1）对于Chebyshev方程：
d
2
y
d
x
2
x
d
y
n
2
y0

x 1,n0

（30）
2
1xd
x
1x
做 三角变换
xsint
，并求得
d
y
，代入原方程，整理得
d
t
2
d
x
d
2
y
n
2y0
，
d
x
2
d
2
y
由上式可解得
yc
1
cosntc
2
sinnt

15

所以Chebyshev方程的解为
yc
1
c os(narcsinx)c
2
sin(narsinx)


2)对于三阶变系数微分方程
d
3
ya
2
(x)d2
ya
1
(x)dya
0
y0
（31） dx
3
1x
2
dx
2
1x
2
dx (1x
2
)
2
当原方程满足

a
1
( x)6x
2
2c
2
xc
1
2
（32）


a
2
(x)6xc
2
可作三角变换
xtant

并求得
dyd
2
yd
3
y

,,
dtdt
2
dt
3
代入原方程整理得
d< br>3
yd
2
ydy
2
[a(x)6tant][a(x) 2a(x)tant6tant2]a
0
y0

212
dx
3
dx
2
dt
由（32）可得

a
1
(x)2a
2
(x)tant6tan
2
t2c
1



a
2
(x)6t antc
2
从而（31）可简化三阶常系数线性微分方程
d
3
yd
2
ydy
cca
0
y0

21
dt
3
dt
2
dt
9 Laplace变换法求解常微分方程
16

Laplace变换 法主要是借助于拉普拉斯变换将常系数微分方程（组）转换成
复变数S的代数方程（组），通过一些代数 运算，一般在利用拉普拉斯变换表，
即可找出微分方程（组）的解。
给定微分方程
d
n
yd
n1
y
a
1
n1
a
n
yf(x)
（33）
dx
n
dx
初始条件
y(0)y
0
,y
'
(0)y
'
0
,,y
(n1)
(0)y
(n1)
0
，其中
a
1
,a
2
,a
n
是常数，
而
f(x)
连续且满足原函数的条件。
如果
y(t)
是方程（33）的任意解，
y(t)
及其各阶导数
y
k
(t)(k1,2,,n)
均
是原函数，记
F(s)L[f(x)]

e
sx
f(x)dx
（34）
0

利用原函数微分性质，对方程（33）两端施行Laplace变换，从而有
A(s)Y(s)F(s)B(s)

其中
A(s)B(s)
和
F(s)
都是已知多项式，由此
Y(s)
F(s)B(s)

A(s)
这就是方程（33）的满 足所给初始条件的解
y(x)
的像函数，而
y(x)
可直接
查Lap lace变换表计算求得

17