十六大-七夕活动主题

郑州航空工业管理学院

毕业论文（设计）


2015届数学与应用数学专业1111062班级






题 目 二阶常微分方程的降阶解法
姓 名贾静静学号111106213
指导教师程春蕊职称讲师


2015年4月5号

二阶常微分方程的降阶解法
摘 要

常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于
解决问题，分析 模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用
在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应 用范例都归结为二阶线性
常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微
分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的
求解却有一定程度的困难,迄今 为止还没有一个行之有效的普遍方法。
本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常 系
数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方
程的特征方程，并求 解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子
乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方 程化为一阶微分
形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，
可求得二 阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐
次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程 通过降阶法求解二阶齐次变
系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易
法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。
关键词
二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式

Order reduction method of second order ordinary
differential equations
Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213
Abstract

Ordinary differential equation is a very important topic in the field of
mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing
model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential
occupied first place, it has been widely used in engineering application and
scientific research as well as physics, many application examples are
attributed to second order linear ordinary differential equation solving
problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential
equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations
is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order
linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far
we haven't a well- established general method.
This paper mainly introduces the method of reduction of order two order
linear differential equation with constant the problem of
solving the linear differential equation with two order constant
coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential
equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots
of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times
differential equation and derivative operation and turn two order constant

coefficient linear differential equation into the first order differential equation.
Finally, We first order differential and integral form on both sides, solve the
first order linear differential equations and find out a special solution or
general solution of the second order linear constant coefficient differential
equation. We solve the problem of second order homogeneous linear
differential equation with variable coefficients, and should be turned into the
appropriate equation, through the order reduction method to solve the second
order homogeneous general solution of differential equation with variable
g non-homogeneous linear differential equation, we need to
calculate it by applying the method of constant variation of a particular
solution, problem is solved accordingly.
Keywords
second order ordinary differential equation ；
Order reduction method; Characteristic root;
Constant variation method;
A first order differential form.

目 录

第一章 预备知识...........................................2
第二章 二阶常系数线性微分方程的降阶法.....................5
2.1提出问题........................................5
2.2二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法............6
2.3举例............................................6
2.4小结............................................8
第三章 二阶变系数线性常微分方程的降阶法...................9
3.1提出问题.......................................10
3.2二阶齐次变系数线性常微分方程的降阶法...........10
3.2.1求满足条件1的恰当方程的通解.............10
3.2.2求满足条件2的恰当方程的通解..............12
3.3小结...........................................14
第四章 可降阶的二阶常微分方程............................15
d
2
y
f

x

型的微分方程.... ......................15
2
4.1
dx


d
2
y

dy

f

x,

4.2
d
2
x< br>
dx

型的微分方程.......................15
d
2
y

dy

f

y,
2
4.3
dx

dx
型的微分方程.......................16
第五章

可降阶的高阶常微分方程............................18


n

5.1
yf

x

型的方程............................18

5.2
F

x ,y

k

,y

k1

,...y< br>
n


0

1kn

型的 方程............18


n

5.3

0
的方程.......................19

Fy,y',y,...,y

d

n

n1


Fx,y,y',...,yx,y,y',. ..,y0
型的方程......205.4

dx

总结......................... .......................21
致谢.......... ......................................22
参考文献............................................23

二阶常微分方程的降阶解法
班级学号 1111062 贾静静 指导教师 程春蕊 职称 讲师

第一章 预备知识
1.只有自变量、未知函数及函 数的导数（或微分）构成的关系式，就是
微分方程。通过求解微分方程求出未知函数。当在微分方程中只 有一个
自变量时，我们便称为常微分方程。
2.考虑一阶线性微分方程
y'px)yQ(x)


（1.1）
其中
p

x

,q

x

在考虑的区间上是
x
的连续函数。
如果
Q(x)0
则式(1.1)变为
y'p(x)y
（1.2）
式（1.2）称为一阶齐次线性微分方程。如果
Q(x)
则 称式(1.1)为一阶非
齐次线性微分方程。式（1.2）是变量分离方程，我们可以求得它的通解为

yce

这里
c
是任意常数。
下面探讨非齐次线性方程（1.1）通解的求法。
不难看出,(1.2)是(1.1)的特殊情形,可 以想像一下：在（1.3)中，将常数
c
变
易为
x
的待定函数
c

x

。令
yc

x

e

p

x

dx
p

x

dx
（1.3）

（1.4）


p

x

dx
微分，得
y' c'

x

e

c

x
< br>P

x

e
p

x

dx

（1.5）


p

x

dx
将（1.4），（1.5）代入（ 1.1），得到

y'c'

x

e



·6·
p

x

dx
c

x

P

x

e

p

x

dx
P

x

c

x

e

Q

x


即
p

x

dx
c'

x



Q

x

e

dx

p

x

dx
积分后 得到
c

x



Q

x

e

dxc
1
.
这里
c
1
是任意常数。将上式代入(1.4)得到方程(2.1)的通解

ye

p

x

dx

Q

x

e

p

x

dx
dxc



1



这种将常数变易为待定函数的方式，我们通常称为常数变易法。
3.分离变量法
一 阶微分方程的显式形式是
y'f

x,y

和
M

x,y

dxN

x,y

dy0
(1.6)
分离变量法主要是用于解显式形式中变量可分离的方程
y 'f

x



y

和
f< br>1

x

g
1

y

dx f
2

x

g
2

y

dy0

(1)方程
y'f

x



y

(1.7)
用
dx
dy
f

x

dx
,这样变量
x
与
y
分离了。再将两乘以等式两端，得到
< br>
y



y

端取不定积分，得

含导数
dy
f

x

dxC
,其中
C
是任意常数。这个式子已经不


y


dy
或微分
dx,dy
了，它具有形式称为方程(1.7)的通积分。如果还能dx
从中解出
y


x,C

,则称为方程 (1.7)的通解。
注意：若存在某个
y
0
使


y
0

0
时，从式(1.7)可知，
yy
0
也是方程的解，
它在乘因子
1
时被丢失了，应补入通解或通积分表达式中。


y

(2)方程
f
1

x

g
1

y

dxf
2

x
g
2

y

dy0
（1.8）
同方程(1.7)一样，两边同乘以
得到通积分

< br>1
分离变量，再取不定积分，
g
1

y

f
2

x

f
1

x

g

y

dx

2
dyC
,还要注意可 能丢失的解。
f
2

x

g
1

y

·7·

4.变量代换法
有些方程，通常可以通过引入适当的变量代换，化为变量已分离型
方程或其他已知解法的方程。
(1)齐次方程
dy

y

g

（1.9）
dx

x

对于此类方程，我们可以引入变量代换yux
，化原方程为
du
g

u

u< br>
，这样，变量就可以分离了。
dxx
(2)方程
dy
a< br>1
xb
1
yc
1

（1.10）
dxa
2
xb
2
yc
2
这里< br>a
1
2
a
2
2
0,b
1
2b
2
2
0,a
1
2
b
2
20
且
a
2
2
b
1
2
0

这类方程我们分三类情况讨论：

c
1
c
2
 0
时：它就是齐次方程，上面已经讨论了。

c
1
2
c
2
2
0,a
1
b
2
a
2
b< br>1
0
时，此时有
a
1
b
2
a
2
b
1
，如果
a
2
b
2
0
，设
a
1
b
1
dyk

a
2
xb< br>2
y

c
1
k
,则原方程可写成
< br>
a
2
b
2
dxa
2
xb
2yc
2
引进代换
ua
2
xb
2
y
,上式可以化为
dudykuc
1

a
2
b2
a
2
b
2
dxdxkuc
2
这时已经 变成变量可分离的方程了。
假如
a
2
b
2
0
， 则由前面的假定有
a
2
b
2
0
，这时，令
u a
1
xb
1
y
，则原方
程可以化为如下的可分离变量方程 ：
b
du
a
1

1

uc
1


dxc
2

c
1
2
c2
2
0,a
1
b
2
a
2
b
1
0
时，我们用下例来说明解法的一般步骤。
(3)方程
yf

xy

dxxg

xy

dy0
（1.11）

·8·

这类方程可以引入变量代换uxy
，达到分离变量的目的。令
uxy
，就有
duydxxd y
。代入原方程，得
yf

u

dxg

u

duydx

0
，
g

u

duy

g

u

f
< br>u


dx
u
g

u

dx

g

u

f

u

dx
，即
du
,达到了分离
x
u

g

u

f

u


x变量的目的。

第二章 二阶常系数线性微分方程的降阶法
2.1提出问题
二阶常系数线性微分方
ypy'qyf

x

（2.1）
式中：
f

x

为已知函数，
p,q
为已知函数；
yy

x

为未知函数，称式(2.1)< br>为二阶常系数线性微分方程。如果
f

x

0,
称 式(2.1)为二阶非齐次常系数
线性微分方程；如果
f

x
0
，称式(2.1)为二阶齐次常系数线性微分方程，
即

ypy'qy0
（2.2）
对于二阶齐次常系数线性微分方程（2.2）的求解，通常是运用特征
根法，
特殊的情况下(当
q0,
即
qy
不存在时)，可能运用变量代换法，将二阶方程转化为一阶微分方程，即令
y'l
，代入公式(2.2)(
q0时)，
可得
l'pl0,
即
l'pl
,两边同时积分 ，得
lnlpxc
1
，即
lce
px

再代入到
y'l
中，得到

ye
px

即为
q0
时方程(2.2)的通解。
关于二阶非齐次常系数线性微分方程(2.1)的求解，通常首先会讨论

·9·
c
p

非齐次项
f
x

的情形，主要有两种类型：形如
f

x

p
n

x

e
ux
与形如
< br>f

x

p
n

x

e
ux
cos

x


0

或f

x

p
n

x

e
ux
sin

x


0

,

其中
p
n

x

a
n
x
n
a
n1
x
n1
...a
1
xa< br>0
为
n
次多项式。利用待定系数法可以求
得一个特解。对于非齐次项< br>f

x

是一般的情形，用待定系数法显得无能为
力。在本文 中，对于一般的非齐次项
f

x

，利用降阶法，求出其微分方程< br>的一个特解或通解。

2.2二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法
二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法的步骤为：
步骤1 写出二阶齐次常系数线性微分方程(2.2)的特征方程，即

2
p
< br>q0
,求出特征方程的两个特征根

1
,

2< br>且

1


2
p,

1

2
q



1
x

2
x
e或e
步骤2 用

乘以式(2.1)的两边，得
（2.3）
利用关系式
e


1
x

ypy'qy

f

x

e< br>

1
x

1


2
 p,

1

2
q
和导数的运算，将式(2.3)化为一阶 微分形


1
x

1
x

dey'

yfxedx
(2.4)
2
式，即


步骤3 对于式(2.4)的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶线
性微分方程，有

y'

2
ye

1
x

f< br>
x

e


1
x
dxC
1
e

1
x
（2.5）
F

x

e

1
x

f

x

e


1
x
dx
步骤4 求解一阶线性微分方程（2.5），令

1

2
时，通解为
y
，当
1
C
1
e

1
x
C
2
e

2
x
e

2
x

F

x

e


2
x
dx

1


2
122
当

1


2
时，通解为
y

C
1
xC
2

e

x
e

x

F

x

e

x
dx
一个特解公式为


·10·

ye

2
x

F
< br>x

e


2
x
dx
(2.6)

其中
F

x

e
x

f

x

e


xdx
11

2.3举例
通过具体例子说明降阶法求微分方程解的详细计算过程。
例1 求微分方程

x
2
1

y2xy'
满足条件
y
x01,y'
x0
2
的解
解 令
y'p

dp

yp'

即

，
，
于是
dx

把它们代入原方程，得

x
2
1< br>
p'2xp
,
分离变量并积分，得
pc

x< br>2
1

，
代回到
y'
，有
y'c
x
2
1

,
再以条件
y'
x0
2
代入上式，得
c2,
于是
y'2x
2
1
，

两边同时再积分，得

x
2


y2

x

3

c
1


将条件
y
x0
1
代入上式，得
c
1
1

故原方程的解为

x
3

< br>y2

x

3

1


例2 求微分方程
解
步骤
y4y'4ye
 2x

x
k0
98
k
的一个通解。

1 写出特征方程，即

2
4

40

其特征根为

1


2
2

步骤2 用
e
2x
乘以微分方程的两边，得

·11·

e
2x

y4y'4y



x
k

k0
98
上式可化为如下的一阶微分形式
< br>2x'



x
k
dxd

ey 2y


k0
98
(2.7)
步骤3 对于式(2.7)的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶线
性微分方程，有
k1
x
e
2x

y
'
2y



x
k
dx

C
1
k0k 0
k1
(2.8)
9898
步骤4，求解一阶线性微分方程(2.8),通解为
y

C
1
xC
2

e
2x
e
2x< br>x
k2

k0

k1

k2
98

2e
x
例3 求微分方程
yy
x
的通解。
e1
解 步骤1 写出特征方程，即

2
10
，
特征根为

1
1,

2
1

步骤2 用
e
x
乘以方程的两边，得
2e
2x
e

yy


x

e1
x
上式可化为如下的一阶微分形式
2e
x

de

y'y


x
（2.9）
e1

x

步骤3 对于式（2.9）的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶
线性微分方程，有

·12·

2e
2x
e

yy



x
dx2e
x
2ln

e
x
1

2C
1
e1
(2.10)
x'
步骤4 求解一阶线性微分方程（2.10），通解为
yC1
e
x
C
2
e
x
1xe
x< br>

e
x
e
x

ln

e
x
1






2.4 小结
上面2个例子中，例1是常见的非齐次项的微分方程的两种类型，如果利用待定系数法求解，计算量比较大、比较繁琐，例2不是常见的
非齐次项的微分方程的类型， 利用待定系数法无法求解，利用降阶法计
算比较简单和方便.特别地对于一般的非齐次项的常系数线性微 分方程，
运用降阶法都能得到求解，同时给出了一般的非齐次项的常系数线性微
分方程求特解的 一个公式，即公式(2.6)，因此降阶法在实际运用中有用。









·13·

第三章 二阶变系数线性常微分方程的降阶法
3.1提出问题
二阶变系数线性常微分方程的一般形式
yp

x

y'q

x

yf

x

(3.1)
其中
p

x

,q

x

,f

x

是
x
的已知函数 ；
yy

x

是未知函数，
x
是自变量，我们< br>称式(3.1)为二阶变系数线性微分方程。如果
f

x

 0
，则称式(3.1)为二阶
非齐次变系数线性微分方程；如果
f

x

0,
则称(3.1)为二阶齐次变系数线
性微分方程，即
y p

x

y'q

x

y0
(3.2)


3.2二阶齐次变系数线性常微分方程的降阶法

二阶齐次变系数微分方程的通解可通过降阶法化为恰当方程求通
解。
引入概念
假如二阶变系数齐次微分方程满足下列条件1和条件2中的系数
p

x

,q

x

限制的条件时，所得到的方程就是恰当方程。
怎样运用恰当方程通过降阶法求解方程的通解？我们首先观察二阶
变系数齐次线性微分 方程的系数，将系数化为满足恰当方程的系数形式，
其次将转化后的的系数形式代入方程，再运用变量代 换，经过降阶法，

·14·

化方程为熟悉的一阶方程，最终积分求得方程的通解。
3.2.1 求满足条件1的恰当方程的通解
条件1 二阶变系数线性常微分方程(3.2)，对于系数
p

x

,q

x

若满足

p

x

F

x

W

x

且q

x

F'

x

W

x

F

x

(3.3)
则把此类方程称为恰当方程。

这些函数
F

x

,W

x

,F'

x

都是连续函数，
假如方程(3.2)的系数满足条件1的(3.3),则方程是恰当方程。将其 代
入方程(3.2),就可以得到

y

F

x

W

x

y'

F'

x

W

x

F

x

y0
(3.4)
将上式通过变形得：



y'F< br>
x

y

'W

x


y'F

x

y

0
(3.5)
利用变量代换，令
uy'F(x)y,
(3.6)
则有
u'W

x

u0
(3.7)
解方程(3.7)得：
W

x

dx

W

x

dx
c

(3.8)
e

ue

1



把(3.8)代入(3.6)，得
W

x

dx


W

x

dx
c

(3.9)
e

y'F

x

ye

1



解得：
F

x

dx



W

x

dx


W
x

dx
c

e

F

x

dx
c

(3.10)
ye

ee


1

2





则方程的通解为：

·15·

F

x

dx


F

x

W

x< br>

dx

e

W

x

dx
c

dxc

(3.11)
ye

e


1

2




其中
c
1
,c2
为任意常数。
例4 求微分方程
y4xy'

4x2
2

y0
的通解。
解 令
F

x

2x,W

x

2x,
则
F'

x

W

x

F
x

4x
2
2

系数满足条件1，则是恰当方程。将其带入原方程就可以得到

y 

F

x

W

x
y'

F'

x

W

x

F

x

y0


将上式通过变形得：

y'F

x
y

'W

x


y'F
x

y

0

利用变量代换，令
uy'F

x

y

则有
u'W

x

u0

解方程(3.15)，得：
W

x

dx
< br>
W

x

dx

ue




edxc

1



式（3.16）代入（3.14），得
y'F

x

y e


W

x

dx


W

x

dx


edxc
1



解得：
ye


F

x

d x




W

x

dx


W

x

dx


e


edxc

1


e

F

x

dx
dxc
2


则方程的通解为：
ye


F

x

dx


e



F
x

W

x



dx




e

W

x

d x
dxc

1


dxc
2


其中
c
1
,c
2
为任意常数
所以原方程的解为：

·16·
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
把
(3.17)
(3.18)
（3.19）


e
x
c
1

dxc
2





22
1
2
1

即ye
2x
 c
1
e
x
x
2
c
2
e
x
x
42
ye
x
2

2
3.2 .2 求满足条件2的恰当方程的通解
条件2 二阶变系数线性微分方程(3.2),对于系数
p< br>
x

,q

x

，若满足
p
x


F'

x

W

x

W'

x

，其中
F
x

,W

x

为一阶导数连续的函数，
且q

x


F

x

F

x


则把此类方程称为恰当方程。

若方程(3 .2)的系数
p

x

,q

x

满足条件2，将其代入方程(3.2)，可得：
F

x

y< br>
F'

x

W

x

y'W'

x

y0

将上式两边同时减去
Q'
，整理得到：

F

x

y'W

x

yQ

'Q'< br>
进一步可得：
F

x

y'W
x

yQ

Q'dxc
1

W

x

W

x



F

x

dx


Qc
2


F

x

dx
ec
2

(其中
c
1
,c
2
为任意常数) (3.20) 解得：
ye





F

x





若方程满足条件2中的条件，且
Q
< br>x

0,F

x

W

x
,

则方程(3.2)的通解为

ye
x



(其中
c
1
, c
2
为任意常数)
2

2
例5 求方程
y

1y'y0
的通解。


x

x


c
1

x

edxc
2

(3.21)



F

x



解 令
F

x

x
2
,W

x
x
2
，则可得

·17·

< br>F'

x

W

x

2xx< br>2
2
p

x

1
2
F
x

xx

W'

x

2 x2
q

x


F

x
< br>x
2
x
可见系数
p

x

,q
x

满足条件2且满足条件2中的2，即
Q

x
0,F

x

W

x

,

则可由通解公式得所求原方程的解为：
c
1
e
x

ye

2
dxc
2
(其中
c
1
,c
2
为任意 常数)
x
x

3.3小结
二阶变系数齐次线性微分方程转化 为恰当方程，通过对观测方程的
系数之间的关系，通过变量代换的方法解决降阶方程解的问题，使这个< br>问题变得简单可行，这个方法对于满足条件的二阶变系数齐次方程适用
性强，然而不具普遍性，并 且对于那些相对复杂的系数我们也很难一眼
看出它们之间的关系，这对我们解决问题具有必然的局限性。
对于二阶变系数非齐次线性微分方程，先利用上述的方法求出二阶齐次
变系数线性微分方程的通 解，再运用常数变易法求出它的一个特解，问
题也就解决了。







·18·

第四章 可降解的二阶微分方程
3.1
d
2
y
d
2
x
f
< br>x

型的微分方程
对于方程
d
2
y
d2
x
f

x


只需积分两次，就能求出解。
dy
积分一次，得到
dx


f

x

dxc
1


再积分一次，得到

y



f

x

dxc
1

dxc
2




f

x

dx
dxc
1
xc
2

（其中
c
1
,c
2
为任意常数）这就是方程的通解。
例6 求方程
y2x3
的通解。
解 积分一次，得到

y'


2x3

dxc
2
1x3xc
1
,
再积分一次，得到
y


x
2
3xc
1

dxc
1
3< br>x
3

3
2

2
x
2
c
1
xc
2
（其中
c
1
,c
2
为 任意常数）这就是方程的通解。

·19·
4.1）
4.2）

（4.3）
（
（

d
2
y

dy
f

x,

4.2
d
2
x

dx

型的微分方程 (4.5)
这类方程的特点是方程中不明显含有未知函数
y
，为了降阶，我们作变量
代换：
dy
p
, (4.6)
dx
d
2
ydp
于是
2

(4.7)
dxdx
方程化为
p
对
x
的一阶微分方程dp
f

x,p

(4.8)
dx
若能求得方程(4.8)的通解
p


x,C
1

(4.9) < br>其中
C
1
是任意常数，

是它的变元的已知函数，则将它代入 (4.5)后，得
到
dy



x,C
1

。由此得方程的通解为
dx
y



x,C
1

dxC
2< br>。

d
2
ydy
例7 解
x1
2
2x,y
dxdx

2

x0
1,
dy< br>dx
x0
2

dy
d
2
ydp
解 令
p,
于是
2

，把它们代入方程，得到
dx
dxdx


x
2
1

dp
2xp,

dx
分离变量并积分，得
pc

x
2
1


再将其代入
再将条件
dy
dx
dy
dy
,
有
cx
2
1
,
dx
dx

x0< br>2
代入上式，得
c2,
于是
dy
2x
2
1,

dx

再积分， 得
yx
3
2xc
1
.
将条件
y
x 0
1
代入上式，得
c
1
1

故得方程的解为
yx
3
2x1
.

·20·
2
3
2
3

d
2
y

dy

f

y,

4. 3
d
2
x

dx

型的微分方程
这类方程的特点是方程中不明显含有未知函数
x
，为了降阶，我们作
dy
变量 代换：
p
(4.10)
dx
d
2
y
引进新 的未知函数
p
，但是在更换
2
时，不能再使用(4.7)式。因为
d x
如果使用(4.7)式的话，将它和(4.11)代入(4.10)后，(4.10)化成
d p
f

x,p

dx
是
p
对
y
的一阶微分方程。当然也不能认为是
p
对
x
的一阶微分方程。令(4.10)之后的意图是要使
x
在方程中彻底地不出现，而把
y
作为自 变量来
d
2
y
处理。即从(4.10)按下面的方法算得
2
：
dx
d
2
yd

dy

dpdpdy dp

2


p
(4.11)
dxdx

dx

dxdydxdy
将(4 .10)和(4.11)代入(4.9)，于是(4.9)可化为
p
dp
f

y,p

(4.12)
dy
这是一个
p
对
y
的一阶微分方程。如果 能求得(4.12)的通解：
p


y,C
1

(4.13)
那么将它们代入(4.11),得到
分离变量并积分，得
dy



y,C
1


dx< br>dy



y,C
1



dxC
2
xC
2
即为原方程的通积分。
d
2
y

dy

例8 求解方程

y
2
0
。
dx

dx

2
解 因为方程不明显含有
x
，因此可令

dy
p
，
dx
·21·

d
2
ydp
于是
2
p
，原方程化为
dxdy

p
2
yp< br>由此可得
p0或py
由
p0
(即
dp
0
dy
dp
0

dy
dy
0
)， 得
y
常数，即由
p0
得到的解已经包含在上式中，因
dx
此“
y
常数”这个解不需要另行写出。



第五章 可降阶的高阶常微分方程
对于某些特殊类型的高阶方程，我们可以采用降阶法求解，即把高
阶 方程的求解问题通过变量代换转化为较低阶的方程来求解。下面我们
主要介绍几类较容易降阶的高阶微分 方程的求解方法。
5.1
y

n

f

x

型的方程
微分方程
y

n

f

x
< br> (5.1)
的右端函数仅含自变量
x
，两边积分，得到一个
n1
阶方程
y
n1



f

x

d xc
1

再积分，得
y

n2

< br>


f

x

dxc
1

dxc
2

这样连续积分
n
次，即可得到方程(5. 1)的含有
n
个任意常数的通解。
例9 求方程
ysinxcosx
的通解。
解 对所给方程连续积分三次，得
ycosxsinxc
1


·22·

y'sinxcosxc
1
xc
2

1
2
ycosxsinxc
1
xc
2
xc
3
2
这就是所求的通解，其中
c
1
,c
2
,c
3< br>为任意常数。
5.2
F

x,y

k

,y

k1

,...y

n


0

1kn

型的方程
对于方程
F< br>
x,y

k

,y

k1
< br>,...y

n


0

1kn
(5.2)
只要作变量代换
y

k

p,
就可以降阶为关于
p
的
n k
阶方程

F

x,p,p',...,p

nk


0
（5.3）
如果能够求得方程(5.3)的通解
p


x,c1
,c
2
,...,c
nk

,

再解放程
y

k




x,c
1
,c
2
,...,c
nk


经过
k
次积分，便得到方程(5.3)的通解
y

< br>x,c
1
,c
2
,...,c
n

其中c
1
,c
2
,...,c
n
为任意常数。
特 别地，若二阶方程不显含未知函数
y
，(即
n2,k1
的情形)，则用< br>变量代换
y'p
便可以把方程化为一阶方程。
d
5
y1d
4
y
例10 求方程
5

4
0
的通解。
dxxdx
dp1
d
4
y
解 令
4
p,
方程化为
p0
,
dxx
dxd
4
y
这是一阶方程，分离变量且积分后得
pcx,
即
4
cx

dx
从而
yc
1
x
5c
2
x
3
c
3
x
2
c
4
xc
5

其中
c
1
,c
2
, c
3
,c
4
,c
5
为任意常数，这就是原方程的解。
5.3
F

y,y',y,...,y

n
< br>
0
的方程
方程
F

y,y',y,. ..,y

n


0
(5.4)
的一个特点是不显含自变量
x
，如果令
y'p
，则可 以将方程降低一阶，

·23·

这时
p
看作
y
的函数
pp

y

，这样，就有
dy
p
dx
d
2
ydpdpdydp
p
dx
2
dxdydxdy
2
d
3
yd

d p

d

dp

dy
2
dp
< br>
p



p

p
dx
3
dx

dy

dy

dy

dxdy
2
......

dp

p


dy

2

d
k
y
显然，导数
k
可以由
p
对
y
的不高于
k1
阶的导数 来表示，因而将
dx
其代入式(5.4)后，方程就降了一阶。

特别地，若二阶方程不显含自变量，则经上述变量代换后它就化为
一阶方程了。
例11 求方程
yy

y'

2
0
的通解。
解 令
y'p
，则
yp
dpdp
，代入方程，得
pyp
2
0

dydy
dp
p0

dy
c
y
c
y
当
p0
时，方程为
y
变量分离后两边积分，得
p,
即
y'

所以原方程的通解 为
y
2
c
1
xc
2

c
1< br>2c


当
p0
时，
yc
显然 是解，它被包含在通解中(对应于
c0
)
5.4
F

x,y,y',...,y

n



d
x,y ,y',...,y

n1

0
型的方程
dx

若方程
F

x,y,y',...y< br>
n


0
(5.5)
的左端是某个函数


x,y,y',...,y
< br>n1


对
x
的导数，则方程(5.5)可化为
d
x,y,y',...,y

n1

0
这样我们就 可以把方程(5.5)降低一阶，成为
dx


·24·

x,y,y',...,y

n1

c
之后再设法求解这个方程。

例11也可以这样求解：
原方程可以 写为
d

yy'

0
，从而
yy'c
，即
dx
ydycdx
，两边积分，即得通解
y
2
c
1
xc
2

c
1
2c


例12 求方程
yy

y'

2
0
的通解。
解 方程的两端乘以因子
u
1
，则有
2
y
2< br>y'
d

y'

yy

y'
< br>
c
即从而
0
0,
2

ydx

y

y
则可以求得通解为
yc
1e
cx
(
c
1
,c
2
为任意常数)。
总结


本文主要讨论二阶线性微分方程的降阶解法，在方程满足特
定
条件
下，巧妙地求解二阶变系数齐次微分方程的通解。主要是通过常数变易
法，运用恰当方程通过降阶法，使得变系数齐次微分方程的解法变得有
效可行。使用这种方法，我们需要 准确把握题目的隐含条件，对应于找
到相应的解决方案，然后进入方程的常见形式解决方程的解，使得二 阶
变系数齐次微分方程解法变得更容易理解。文章中的降阶方法尽管能够
解决很多二阶常系数及 变系数齐次微分方程，然而却不具普遍适用性，
对于不少的二阶变系数方程的解法必定具有局限性，依旧 需要大家今后
在这一课题上继续努力钻研。本文在解题过程当中也利用了解决方程问
题常用的一 些方法，常数变易法、变量代换法、降阶法等让我们对于这
些方法的研究有了更广泛运用和更深刻的理解 。


·25·

※※※※※
致谢
至此,我的这篇 论文基本完成:光阴如梭,我在大学的四年岁月也即将
敲响结束的钟声。即将告别学校，离别老师及同学 ，步入社会， 站在人
生的又一个新的起点上, 我的心中难免思绪万千, 一种离别的伤感之情
在心中隐隐作痛，同时也满怀对大家深深的感恩之情。
刚开始 拿到论文题目的时候，思索万千也不知道从何下笔，幸亏与
我的论文指导老师程春蕊老师及时进行了沟通 ，在了解了我的想法之后，
程老师给与了及时的辅导，并给我推荐了几本相关的书籍、资料。在本
论文的写作过程中，特别感谢程老师的指导和监督，并感谢她的理解和
宽容，在百忙之中抽出时问为我 指导，没有程老师的悉心指导，我就不
会完成现在的这篇论文。
“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。”求学历程是艰苦的, 但又是快
乐的。感谢辅导员高老师，谢谢他在这四年中为我们2011级所做的一切,
他不求 回报,无私奉献的精神，任劳任怨，深深地触动了我，再次向他表
示衷心的感谢。感谢这四年来教过我的 老师，在学习上你们是我的良师，
在生活上你们是我的益友，谢谢你们让我学到了许多相关的知识，也领
悟到了学习数学的思维方式。在此，向你们献上真挚的谢意。
感谢在这四年的大学 时光中结识的各位生活和学习上的挚友，是她
们让我领悟到了什么是友情，我上大学的真正意义何在，她 们的帮助以
及批判，让我学会思考、学会独立、学会坚强，积累了人生最大的一笔

·26·

财富。在此, 也对她们表示忠心的感谢。
参考文献
1王高雄,周之铭,朱恩铭,王寿松. 常微分方程[M].(第三版).北京:高等教育出版社,2006
2丁同仁,李承治.常微分方程教程 [M].北京:高等教育出版社,2004.
3周义仓,靳祯,秦军林. 常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2003.197-200.
4王字彬,周云华. 一类变系数齐次微分方程的求解方法[J].重庆师范学院学报(自然科学
版),1999,(02): 256-263.
5张玉兰. 二阶变系数线性齐次微分方程的通解[J].长沙大学学报(自然科学
版),2013,(02):1-3.
6刘琼. 一类二阶变系数微分方程的解[J].广西 右江民族师专学
报,2002,(06)::.1673-8233.2002.05.004.
7 李鸿祥. 两类二阶变系数线性微分方程的求解[J]. 高等数学研究, 2002, 5 (2) : 10-13.
8 胡劲松，郑克龙.一类二阶变系数线性微分方程的解法[J]. 重庆工商大学学报，自然科学
版,2004, 21(5) : 429-430.
9 窦霁虹. [M] . 西安: 西北工业大学出版社, 2007: 69-73.
10 梁洪亮, 徐华伟. 一类二阶变系数常微分方程的初等解法[J].数学的实践与认识,
2009,(20): 213-215.
11 刘玲苏农. N阶常系数非齐次线性微分方程的降阶解法.[J]. 大学数学, 2012 , (06) :95-99

·27·

郑州航空工业管理学院

毕业论文（设计）


2015届数学与应用数学专业1111062班级






题 目 二阶常微分方程的降阶解法
姓 名贾静静学号111106213
指导教师程春蕊职称讲师


2015年4月5号

二阶常微分方程的降阶解法
摘 要

常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于
解 决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用
在工程应用、科学研究以及物理学 方面,不少应用范例都归结为二阶线性
常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性 常微
分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的
求解却有一定程度 的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。
本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法 。关于二阶常系
数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方
程的特 征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子
乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系 数线性微分方程化为一阶微分
形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐
次线性微分方程的求解问题， 化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变
系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常 数变易
法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。
关键词
二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式

Order reduction method of second order ordinary
differential equations
Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213
Abstract

Ordinary differential equation is a very important topic in the field of
mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing
model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential
occupied first place, it has been widely used in engineering application and
scientific research as well as physics, many application examples are
attributed to second order linear ordinary differential equation solving
problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential
equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations
is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order
linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far
we haven't a well- established general method.
This paper mainly introduces the method of reduction of order two order
linear differential equation with constant the problem of
solving the linear differential equation with two order constant
coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential
equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots
of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times
differential equation and derivative operation and turn two order constant

coefficient linear differential equation into the first order differential equation.
Finally, We first order differential and integral form on both sides, solve the
first order linear differential equations and find out a special solution or
general solution of the second order linear constant coefficient differential
equation. We solve the problem of second order homogeneous linear
differential equation with variable coefficients, and should be turned into the
appropriate equation, through the order reduction method to solve the second
order homogeneous general solution of differential equation with variable
g non-homogeneous linear differential equation, we need to
calculate it by applying the method of constant variation of a particular
solution, problem is solved accordingly.
Keywords
second order ordinary differential equation ；
Order reduction method; Characteristic root;
Constant variation method;
A first order differential form.

目 录

第一章 预备知识...........................................2
第二章 二阶常系数线性微分方程的降阶法.....................5
2.1提出问题........................................5
2.2二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法............6
2.3举例............................................6
2.4小结............................................8
第三章 二阶变系数线性常微分方程的降阶法...................9
3.1提出问题.......................................10
3.2二阶齐次变系数线性常微分方程的降阶法...........10
3.2.1求满足条件1的恰当方程的通解.............10
3.2.2求满足条件2的恰当方程的通解..............12
3.3小结...........................................14
第四章 可降阶的二阶常微分方程............................15
d
2
y
f

x

型的微分方程.... ......................15
2
4.1
dx


d
2
y

dy

f

x,

4.2
d
2
x< br>
dx

型的微分方程.......................15
d
2
y

dy

f

y,
2
4.3
dx

dx
型的微分方程.......................16
第五章

可降阶的高阶常微分方程............................18


n

5.1
yf

x

型的方程............................18

5.2
F

x ,y

k

,y

k1

,...y< br>
n


0

1kn

型的 方程............18


n

5.3

0
的方程.......................19

Fy,y',y,...,y

d

n

n1


Fx,y,y',...,yx,y,y',. ..,y0
型的方程......205.4

dx

总结......................... .......................21
致谢.......... ......................................22
参考文献............................................23

二阶常微分方程的降阶解法
班级学号 1111062 贾静静 指导教师 程春蕊 职称 讲师

第一章 预备知识
1.只有自变量、未知函数及函 数的导数（或微分）构成的关系式，就是
微分方程。通过求解微分方程求出未知函数。当在微分方程中只 有一个
自变量时，我们便称为常微分方程。
2.考虑一阶线性微分方程
y'px)yQ(x)


（1.1）
其中
p

x

,q

x

在考虑的区间上是
x
的连续函数。
如果
Q(x)0
则式(1.1)变为
y'p(x)y
（1.2）
式（1.2）称为一阶齐次线性微分方程。如果
Q(x)
则 称式(1.1)为一阶非
齐次线性微分方程。式（1.2）是变量分离方程，我们可以求得它的通解为

yce

这里
c
是任意常数。
下面探讨非齐次线性方程（1.1）通解的求法。
不难看出,(1.2)是(1.1)的特殊情形,可 以想像一下：在（1.3)中，将常数
c
变
易为
x
的待定函数
c

x

。令
yc

x

e

p

x

dx
p

x

dx
（1.3）

（1.4）


p

x

dx
微分，得
y' c'

x

e

c

x
< br>P

x

e
p

x

dx

（1.5）


p

x

dx
将（1.4），（1.5）代入（ 1.1），得到

y'c'

x

e



·6·
p

x

dx
c

x

P

x

e

p

x

dx
P

x

c

x

e

Q

x


即
p

x

dx
c'

x



Q

x

e

dx

p

x

dx
积分后 得到
c

x



Q

x

e

dxc
1
.
这里
c
1
是任意常数。将上式代入(1.4)得到方程(2.1)的通解

ye

p

x

dx

Q

x

e

p

x

dx
dxc



1



这种将常数变易为待定函数的方式，我们通常称为常数变易法。
3.分离变量法
一 阶微分方程的显式形式是
y'f

x,y

和
M

x,y

dxN

x,y

dy0
(1.6)
分离变量法主要是用于解显式形式中变量可分离的方程
y 'f

x



y

和
f< br>1

x

g
1

y

dx f
2

x

g
2

y

dy0

(1)方程
y'f

x



y

(1.7)
用
dx
dy
f

x

dx
,这样变量
x
与
y
分离了。再将两乘以等式两端，得到
< br>
y



y

端取不定积分，得

含导数
dy
f

x

dxC
,其中
C
是任意常数。这个式子已经不


y


dy
或微分
dx,dy
了，它具有形式称为方程(1.7)的通积分。如果还能dx
从中解出
y


x,C

,则称为方程 (1.7)的通解。
注意：若存在某个
y
0
使


y
0

0
时，从式(1.7)可知，
yy
0
也是方程的解，
它在乘因子
1
时被丢失了，应补入通解或通积分表达式中。


y

(2)方程
f
1

x

g
1

y

dxf
2

x
g
2

y

dy0
（1.8）
同方程(1.7)一样，两边同乘以
得到通积分

< br>1
分离变量，再取不定积分，
g
1

y

f
2

x

f
1

x

g

y

dx

2
dyC
,还要注意可 能丢失的解。
f
2

x

g
1

y

·7·

4.变量代换法
有些方程，通常可以通过引入适当的变量代换，化为变量已分离型
方程或其他已知解法的方程。
(1)齐次方程
dy

y

g

（1.9）
dx

x

对于此类方程，我们可以引入变量代换yux
，化原方程为
du
g

u

u< br>
，这样，变量就可以分离了。
dxx
(2)方程
dy
a< br>1
xb
1
yc
1

（1.10）
dxa
2
xb
2
yc
2
这里< br>a
1
2
a
2
2
0,b
1
2b
2
2
0,a
1
2
b
2
20
且
a
2
2
b
1
2
0

这类方程我们分三类情况讨论：

c
1
c
2
 0
时：它就是齐次方程，上面已经讨论了。

c
1
2
c
2
2
0,a
1
b
2
a
2
b< br>1
0
时，此时有
a
1
b
2
a
2
b
1
，如果
a
2
b
2
0
，设
a
1
b
1
dyk

a
2
xb< br>2
y

c
1
k
,则原方程可写成
< br>
a
2
b
2
dxa
2
xb
2yc
2
引进代换
ua
2
xb
2
y
,上式可以化为
dudykuc
1

a
2
b2
a
2
b
2
dxdxkuc
2
这时已经 变成变量可分离的方程了。
假如
a
2
b
2
0
， 则由前面的假定有
a
2
b
2
0
，这时，令
u a
1
xb
1
y
，则原方
程可以化为如下的可分离变量方程 ：
b
du
a
1

1

uc
1


dxc
2

c
1
2
c2
2
0,a
1
b
2
a
2
b
1
0
时，我们用下例来说明解法的一般步骤。
(3)方程
yf

xy

dxxg

xy

dy0
（1.11）

·8·

这类方程可以引入变量代换uxy
，达到分离变量的目的。令
uxy
，就有
duydxxd y
。代入原方程，得
yf

u

dxg

u

duydx

0
，
g

u

duy

g

u

f
< br>u


dx
u
g

u

dx

g

u

f

u

dx
，即
du
,达到了分离
x
u

g

u

f

u


x变量的目的。

第二章 二阶常系数线性微分方程的降阶法
2.1提出问题
二阶常系数线性微分方
ypy'qyf

x

（2.1）
式中：
f

x

为已知函数，
p,q
为已知函数；
yy

x

为未知函数，称式(2.1)< br>为二阶常系数线性微分方程。如果
f

x

0,
称 式(2.1)为二阶非齐次常系数
线性微分方程；如果
f

x
0
，称式(2.1)为二阶齐次常系数线性微分方程，
即

ypy'qy0
（2.2）
对于二阶齐次常系数线性微分方程（2.2）的求解，通常是运用特征
根法，
特殊的情况下(当
q0,
即
qy
不存在时)，可能运用变量代换法，将二阶方程转化为一阶微分方程，即令
y'l
，代入公式(2.2)(
q0时)，
可得
l'pl0,
即
l'pl
,两边同时积分 ，得
lnlpxc
1
，即
lce
px

再代入到
y'l
中，得到

ye
px

即为
q0
时方程(2.2)的通解。
关于二阶非齐次常系数线性微分方程(2.1)的求解，通常首先会讨论

·9·
c
p

非齐次项
f
x

的情形，主要有两种类型：形如
f

x

p
n

x

e
ux
与形如
< br>f

x

p
n

x

e
ux
cos

x


0

或f

x

p
n

x

e
ux
sin

x


0

,

其中
p
n

x

a
n
x
n
a
n1
x
n1
...a
1
xa< br>0
为
n
次多项式。利用待定系数法可以求
得一个特解。对于非齐次项< br>f

x

是一般的情形，用待定系数法显得无能为
力。在本文 中，对于一般的非齐次项
f

x

，利用降阶法，求出其微分方程< br>的一个特解或通解。

2.2二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法
二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法的步骤为：
步骤1 写出二阶齐次常系数线性微分方程(2.2)的特征方程，即

2
p
< br>q0
,求出特征方程的两个特征根

1
,

2< br>且

1


2
p,

1

2
q



1
x

2
x
e或e
步骤2 用

乘以式(2.1)的两边，得
（2.3）
利用关系式
e


1
x

ypy'qy

f

x

e< br>

1
x

1


2
 p,

1

2
q
和导数的运算，将式(2.3)化为一阶 微分形


1
x

1
x

dey'

yfxedx
(2.4)
2
式，即


步骤3 对于式(2.4)的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶线
性微分方程，有

y'

2
ye

1
x

f< br>
x

e


1
x
dxC
1
e

1
x
（2.5）
F

x

e

1
x

f

x

e


1
x
dx
步骤4 求解一阶线性微分方程（2.5），令

1

2
时，通解为
y
，当
1
C
1
e

1
x
C
2
e

2
x
e

2
x

F

x

e


2
x
dx

1


2
122
当

1


2
时，通解为
y

C
1
xC
2

e

x
e

x

F

x

e

x
dx
一个特解公式为


·10·

ye

2
x

F
< br>x

e


2
x
dx
(2.6)

其中
F

x

e
x

f

x

e


xdx
11

2.3举例
通过具体例子说明降阶法求微分方程解的详细计算过程。
例1 求微分方程

x
2
1

y2xy'
满足条件
y
x01,y'
x0
2
的解
解 令
y'p

dp

yp'

即

，
，
于是
dx

把它们代入原方程，得

x
2
1< br>
p'2xp
,
分离变量并积分，得
pc

x< br>2
1

，
代回到
y'
，有
y'c
x
2
1

,
再以条件
y'
x0
2
代入上式，得
c2,
于是
y'2x
2
1
，

两边同时再积分，得

x
2


y2

x

3

c
1


将条件
y
x0
1
代入上式，得
c
1
1

故原方程的解为

x
3

< br>y2

x

3

1


例2 求微分方程
解
步骤
y4y'4ye
 2x

x
k0
98
k
的一个通解。

1 写出特征方程，即

2
4

40

其特征根为

1


2
2

步骤2 用
e
2x
乘以微分方程的两边，得

·11·

e
2x

y4y'4y



x
k

k0
98
上式可化为如下的一阶微分形式
< br>2x'



x
k
dxd

ey 2y


k0
98
(2.7)
步骤3 对于式(2.7)的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶线
性微分方程，有
k1
x
e
2x

y
'
2y



x
k
dx

C
1
k0k 0
k1
(2.8)
9898
步骤4，求解一阶线性微分方程(2.8),通解为
y

C
1
xC
2

e
2x
e
2x< br>x
k2

k0

k1

k2
98

2e
x
例3 求微分方程
yy
x
的通解。
e1
解 步骤1 写出特征方程，即

2
10
，
特征根为

1
1,

2
1

步骤2 用
e
x
乘以方程的两边，得
2e
2x
e

yy


x

e1
x
上式可化为如下的一阶微分形式
2e
x

de

y'y


x
（2.9）
e1

x

步骤3 对于式（2.9）的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶
线性微分方程，有

·12·

2e
2x
e

yy



x
dx2e
x
2ln

e
x
1

2C
1
e1
(2.10)
x'
步骤4 求解一阶线性微分方程（2.10），通解为
yC1
e
x
C
2
e
x
1xe
x< br>

e
x
e
x

ln

e
x
1






2.4 小结
上面2个例子中，例1是常见的非齐次项的微分方程的两种类型，如果利用待定系数法求解，计算量比较大、比较繁琐，例2不是常见的
非齐次项的微分方程的类型， 利用待定系数法无法求解，利用降阶法计
算比较简单和方便.特别地对于一般的非齐次项的常系数线性微 分方程，
运用降阶法都能得到求解，同时给出了一般的非齐次项的常系数线性微
分方程求特解的 一个公式，即公式(2.6)，因此降阶法在实际运用中有用。









·13·

第三章 二阶变系数线性常微分方程的降阶法
3.1提出问题
二阶变系数线性常微分方程的一般形式
yp

x

y'q

x

yf

x

(3.1)
其中
p

x

,q

x

,f

x

是
x
的已知函数 ；
yy

x

是未知函数，
x
是自变量，我们< br>称式(3.1)为二阶变系数线性微分方程。如果
f

x

 0
，则称式(3.1)为二阶
非齐次变系数线性微分方程；如果
f

x

0,
则称(3.1)为二阶齐次变系数线
性微分方程，即
y p

x

y'q

x

y0
(3.2)


3.2二阶齐次变系数线性常微分方程的降阶法

二阶齐次变系数微分方程的通解可通过降阶法化为恰当方程求通
解。
引入概念
假如二阶变系数齐次微分方程满足下列条件1和条件2中的系数
p

x

,q

x

限制的条件时，所得到的方程就是恰当方程。
怎样运用恰当方程通过降阶法求解方程的通解？我们首先观察二阶
变系数齐次线性微分 方程的系数，将系数化为满足恰当方程的系数形式，
其次将转化后的的系数形式代入方程，再运用变量代 换，经过降阶法，

·14·

化方程为熟悉的一阶方程，最终积分求得方程的通解。
3.2.1 求满足条件1的恰当方程的通解
条件1 二阶变系数线性常微分方程(3.2)，对于系数
p

x

,q

x

若满足

p

x

F

x

W

x

且q

x

F'

x

W

x

F

x

(3.3)
则把此类方程称为恰当方程。

这些函数
F

x

,W

x

,F'

x

都是连续函数，
假如方程(3.2)的系数满足条件1的(3.3),则方程是恰当方程。将其 代
入方程(3.2),就可以得到

y

F

x

W

x

y'

F'

x

W

x

F

x

y0
(3.4)
将上式通过变形得：



y'F< br>
x

y

'W

x


y'F

x

y

0
(3.5)
利用变量代换，令
uy'F(x)y,
(3.6)
则有
u'W

x

u0
(3.7)
解方程(3.7)得：
W

x

dx

W

x

dx
c

(3.8)
e

ue

1



把(3.8)代入(3.6)，得
W

x

dx


W

x

dx
c

(3.9)
e

y'F

x

ye

1



解得：
F

x

dx



W

x

dx


W
x

dx
c

e

F

x

dx
c

(3.10)
ye

ee


1

2





则方程的通解为：

·15·

F

x

dx


F

x

W

x< br>

dx

e

W

x

dx
c

dxc

(3.11)
ye

e


1

2




其中
c
1
,c2
为任意常数。
例4 求微分方程
y4xy'

4x2
2

y0
的通解。
解 令
F

x

2x,W

x

2x,
则
F'

x

W

x

F
x

4x
2
2

系数满足条件1，则是恰当方程。将其带入原方程就可以得到

y 

F

x

W

x
y'

F'

x

W

x

F

x

y0


将上式通过变形得：

y'F

x
y

'W

x


y'F
x

y

0

利用变量代换，令
uy'F

x

y

则有
u'W

x

u0

解方程(3.15)，得：
W

x

dx
< br>
W

x

dx

ue




edxc

1



式（3.16）代入（3.14），得
y'F

x

y e


W

x

dx


W

x

dx


edxc
1



解得：
ye


F

x

d x




W

x

dx


W

x

dx


e


edxc

1


e

F

x

dx
dxc
2


则方程的通解为：
ye


F

x

dx


e



F
x

W

x



dx




e

W

x

d x
dxc

1


dxc
2


其中
c
1
,c
2
为任意常数
所以原方程的解为：

·16·
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
把
(3.17)
(3.18)
（3.19）


e
x
c
1

dxc
2





22
1
2
1

即ye
2x
 c
1
e
x
x
2
c
2
e
x
x
42
ye
x
2

2
3.2 .2 求满足条件2的恰当方程的通解
条件2 二阶变系数线性微分方程(3.2),对于系数
p< br>
x

,q

x

，若满足
p
x


F'

x

W

x

W'

x

，其中
F
x

,W

x

为一阶导数连续的函数，
且q

x


F

x

F

x


则把此类方程称为恰当方程。

若方程(3 .2)的系数
p

x

,q

x

满足条件2，将其代入方程(3.2)，可得：
F

x

y< br>
F'

x

W

x

y'W'

x

y0

将上式两边同时减去
Q'
，整理得到：

F

x

y'W

x

yQ

'Q'< br>
进一步可得：
F

x

y'W
x

yQ

Q'dxc
1

W

x

W

x



F

x

dx


Qc
2


F

x

dx
ec
2

(其中
c
1
,c
2
为任意常数) (3.20) 解得：
ye





F

x





若方程满足条件2中的条件，且
Q
< br>x

0,F

x

W

x
,

则方程(3.2)的通解为

ye
x



(其中
c
1
, c
2
为任意常数)
2

2
例5 求方程
y

1y'y0
的通解。


x

x


c
1

x

edxc
2

(3.21)



F

x



解 令
F

x

x
2
,W

x
x
2
，则可得

·17·

< br>F'

x

W

x

2xx< br>2
2
p

x

1
2
F
x

xx

W'

x

2 x2
q

x


F

x
< br>x
2
x
可见系数
p

x

,q
x

满足条件2且满足条件2中的2，即
Q

x
0,F

x

W

x

,

则可由通解公式得所求原方程的解为：
c
1
e
x

ye

2
dxc
2
(其中
c
1
,c
2
为任意 常数)
x
x

3.3小结
二阶变系数齐次线性微分方程转化 为恰当方程，通过对观测方程的
系数之间的关系，通过变量代换的方法解决降阶方程解的问题，使这个< br>问题变得简单可行，这个方法对于满足条件的二阶变系数齐次方程适用
性强，然而不具普遍性，并 且对于那些相对复杂的系数我们也很难一眼
看出它们之间的关系，这对我们解决问题具有必然的局限性。
对于二阶变系数非齐次线性微分方程，先利用上述的方法求出二阶齐次
变系数线性微分方程的通 解，再运用常数变易法求出它的一个特解，问
题也就解决了。







·18·

第四章 可降解的二阶微分方程
3.1
d
2
y
d
2
x
f
< br>x

型的微分方程
对于方程
d
2
y
d2
x
f

x


只需积分两次，就能求出解。
dy
积分一次，得到
dx


f

x

dxc
1


再积分一次，得到

y



f

x

dxc
1

dxc
2




f

x

dx
dxc
1
xc
2

（其中
c
1
,c
2
为任意常数）这就是方程的通解。
例6 求方程
y2x3
的通解。
解 积分一次，得到

y'


2x3

dxc
2
1x3xc
1
,
再积分一次，得到
y


x
2
3xc
1

dxc
1
3< br>x
3

3
2

2
x
2
c
1
xc
2
（其中
c
1
,c
2
为 任意常数）这就是方程的通解。

·19·
4.1）
4.2）

（4.3）
（
（

d
2
y

dy
f

x,

4.2
d
2
x

dx

型的微分方程 (4.5)
这类方程的特点是方程中不明显含有未知函数
y
，为了降阶，我们作变量
代换：
dy
p
, (4.6)
dx
d
2
ydp
于是
2

(4.7)
dxdx
方程化为
p
对
x
的一阶微分方程dp
f

x,p

(4.8)
dx
若能求得方程(4.8)的通解
p


x,C
1

(4.9) < br>其中
C
1
是任意常数，

是它的变元的已知函数，则将它代入 (4.5)后，得
到
dy



x,C
1

。由此得方程的通解为
dx
y



x,C
1

dxC
2< br>。

d
2
ydy
例7 解
x1
2
2x,y
dxdx

2

x0
1,
dy< br>dx
x0
2

dy
d
2
ydp
解 令
p,
于是
2

，把它们代入方程，得到
dx
dxdx


x
2
1

dp
2xp,

dx
分离变量并积分，得
pc

x
2
1


再将其代入
再将条件
dy
dx
dy
dy
,
有
cx
2
1
,
dx
dx

x0< br>2
代入上式，得
c2,
于是
dy
2x
2
1,

dx

再积分， 得
yx
3
2xc
1
.
将条件
y
x 0
1
代入上式，得
c
1
1

故得方程的解为
yx
3
2x1
.

·20·
2
3
2
3

d
2
y

dy

f

y,

4. 3
d
2
x

dx

型的微分方程
这类方程的特点是方程中不明显含有未知函数
x
，为了降阶，我们作
dy
变量 代换：
p
(4.10)
dx
d
2
y
引进新 的未知函数
p
，但是在更换
2
时，不能再使用(4.7)式。因为
d x
如果使用(4.7)式的话，将它和(4.11)代入(4.10)后，(4.10)化成
d p
f

x,p

dx
是
p
对
y
的一阶微分方程。当然也不能认为是
p
对
x
的一阶微分方程。令(4.10)之后的意图是要使
x
在方程中彻底地不出现，而把
y
作为自 变量来
d
2
y
处理。即从(4.10)按下面的方法算得
2
：
dx
d
2
yd

dy

dpdpdy dp

2


p
(4.11)
dxdx

dx

dxdydxdy
将(4 .10)和(4.11)代入(4.9)，于是(4.9)可化为
p
dp
f

y,p

(4.12)
dy
这是一个
p
对
y
的一阶微分方程。如果 能求得(4.12)的通解：
p


y,C
1

(4.13)
那么将它们代入(4.11),得到
分离变量并积分，得
dy



y,C
1


dx< br>dy



y,C
1



dxC
2
xC
2
即为原方程的通积分。
d
2
y

dy

例8 求解方程

y
2
0
。
dx

dx

2
解 因为方程不明显含有
x
，因此可令

dy
p
，
dx
·21·

d
2
ydp
于是
2
p
，原方程化为
dxdy

p
2
yp< br>由此可得
p0或py
由
p0
(即
dp
0
dy
dp
0

dy
dy
0
)， 得
y
常数，即由
p0
得到的解已经包含在上式中，因
dx
此“
y
常数”这个解不需要另行写出。



第五章 可降阶的高阶常微分方程
对于某些特殊类型的高阶方程，我们可以采用降阶法求解，即把高
阶 方程的求解问题通过变量代换转化为较低阶的方程来求解。下面我们
主要介绍几类较容易降阶的高阶微分 方程的求解方法。
5.1
y

n

f

x

型的方程
微分方程
y

n

f

x
< br> (5.1)
的右端函数仅含自变量
x
，两边积分，得到一个
n1
阶方程
y
n1



f

x

d xc
1

再积分，得
y

n2

< br>


f

x

dxc
1

dxc
2

这样连续积分
n
次，即可得到方程(5. 1)的含有
n
个任意常数的通解。
例9 求方程
ysinxcosx
的通解。
解 对所给方程连续积分三次，得
ycosxsinxc
1


·22·

y'sinxcosxc
1
xc
2

1
2
ycosxsinxc
1
xc
2
xc
3
2
这就是所求的通解，其中
c
1
,c
2
,c
3< br>为任意常数。
5.2
F

x,y

k

,y

k1

,...y

n


0

1kn

型的方程
对于方程
F< br>
x,y

k

,y

k1
< br>,...y

n


0

1kn
(5.2)
只要作变量代换
y

k

p,
就可以降阶为关于
p
的
n k
阶方程

F

x,p,p',...,p

nk


0
（5.3）
如果能够求得方程(5.3)的通解
p


x,c1
,c
2
,...,c
nk

,

再解放程
y

k




x,c
1
,c
2
,...,c
nk


经过
k
次积分，便得到方程(5.3)的通解
y

< br>x,c
1
,c
2
,...,c
n

其中c
1
,c
2
,...,c
n
为任意常数。
特 别地，若二阶方程不显含未知函数
y
，(即
n2,k1
的情形)，则用< br>变量代换
y'p
便可以把方程化为一阶方程。
d
5
y1d
4
y
例10 求方程
5

4
0
的通解。
dxxdx
dp1
d
4
y
解 令
4
p,
方程化为
p0
,
dxx
dxd
4
y
这是一阶方程，分离变量且积分后得
pcx,
即
4
cx

dx
从而
yc
1
x
5c
2
x
3
c
3
x
2
c
4
xc
5

其中
c
1
,c
2
, c
3
,c
4
,c
5
为任意常数，这就是原方程的解。
5.3
F

y,y',y,...,y

n
< br>
0
的方程
方程
F

y,y',y,. ..,y

n


0
(5.4)
的一个特点是不显含自变量
x
，如果令
y'p
，则可 以将方程降低一阶，

·23·

这时
p
看作
y
的函数
pp

y

，这样，就有
dy
p
dx
d
2
ydpdpdydp
p
dx
2
dxdydxdy
2
d
3
yd

d p

d

dp

dy
2
dp
< br>
p



p

p
dx
3
dx

dy

dy

dy

dxdy
2
......

dp

p


dy

2

d
k
y
显然，导数
k
可以由
p
对
y
的不高于
k1
阶的导数 来表示，因而将
dx
其代入式(5.4)后，方程就降了一阶。

特别地，若二阶方程不显含自变量，则经上述变量代换后它就化为
一阶方程了。
例11 求方程
yy

y'

2
0
的通解。
解 令
y'p
，则
yp
dpdp
，代入方程，得
pyp
2
0

dydy
dp
p0

dy
c
y
c
y
当
p0
时，方程为
y
变量分离后两边积分，得
p,
即
y'

所以原方程的通解 为
y
2
c
1
xc
2

c
1< br>2c


当
p0
时，
yc
显然 是解，它被包含在通解中(对应于
c0
)
5.4
F

x,y,y',...,y

n



d
x,y ,y',...,y

n1

0
型的方程
dx

若方程
F

x,y,y',...y< br>
n


0
(5.5)
的左端是某个函数


x,y,y',...,y
< br>n1


对
x
的导数，则方程(5.5)可化为
d
x,y,y',...,y

n1

0
这样我们就 可以把方程(5.5)降低一阶，成为
dx


·24·

x,y,y',...,y

n1

c
之后再设法求解这个方程。

例11也可以这样求解：
原方程可以 写为
d

yy'

0
，从而
yy'c
，即
dx
ydycdx
，两边积分，即得通解
y
2
c
1
xc
2

c
1
2c


例12 求方程
yy

y'

2
0
的通解。
解 方程的两端乘以因子
u
1
，则有
2
y
2< br>y'
d

y'

yy

y'
< br>
c
即从而
0
0,
2

ydx

y

y
则可以求得通解为
yc
1e
cx
(
c
1
,c
2
为任意常数)。
总结


本文主要讨论二阶线性微分方程的降阶解法，在方程满足特
定
条件
下，巧妙地求解二阶变系数齐次微分方程的通解。主要是通过常数变易
法，运用恰当方程通过降阶法，使得变系数齐次微分方程的解法变得有
效可行。使用这种方法，我们需要 准确把握题目的隐含条件，对应于找
到相应的解决方案，然后进入方程的常见形式解决方程的解，使得二 阶
变系数齐次微分方程解法变得更容易理解。文章中的降阶方法尽管能够
解决很多二阶常系数及 变系数齐次微分方程，然而却不具普遍适用性，
对于不少的二阶变系数方程的解法必定具有局限性，依旧 需要大家今后
在这一课题上继续努力钻研。本文在解题过程当中也利用了解决方程问
题常用的一 些方法，常数变易法、变量代换法、降阶法等让我们对于这
些方法的研究有了更广泛运用和更深刻的理解 。


·25·

※※※※※
致谢
至此,我的这篇 论文基本完成:光阴如梭,我在大学的四年岁月也即将
敲响结束的钟声。即将告别学校，离别老师及同学 ，步入社会， 站在人
生的又一个新的起点上, 我的心中难免思绪万千, 一种离别的伤感之情
在心中隐隐作痛，同时也满怀对大家深深的感恩之情。
刚开始 拿到论文题目的时候，思索万千也不知道从何下笔，幸亏与
我的论文指导老师程春蕊老师及时进行了沟通 ，在了解了我的想法之后，
程老师给与了及时的辅导，并给我推荐了几本相关的书籍、资料。在本
论文的写作过程中，特别感谢程老师的指导和监督，并感谢她的理解和
宽容，在百忙之中抽出时问为我 指导，没有程老师的悉心指导，我就不
会完成现在的这篇论文。
“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。”求学历程是艰苦的, 但又是快
乐的。感谢辅导员高老师，谢谢他在这四年中为我们2011级所做的一切,
他不求 回报,无私奉献的精神，任劳任怨，深深地触动了我，再次向他表
示衷心的感谢。感谢这四年来教过我的 老师，在学习上你们是我的良师，
在生活上你们是我的益友，谢谢你们让我学到了许多相关的知识，也领
悟到了学习数学的思维方式。在此，向你们献上真挚的谢意。
感谢在这四年的大学 时光中结识的各位生活和学习上的挚友，是她
们让我领悟到了什么是友情，我上大学的真正意义何在，她 们的帮助以
及批判，让我学会思考、学会独立、学会坚强，积累了人生最大的一笔

·26·

财富。在此, 也对她们表示忠心的感谢。
参考文献
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2丁同仁,李承治.常微分方程教程 [M].北京:高等教育出版社,2004.
3周义仓,靳祯,秦军林. 常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2003.197-200.
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版),1999,(02): 256-263.
5张玉兰. 二阶变系数线性齐次微分方程的通解[J].长沙大学学报(自然科学
版),2013,(02):1-3.
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报,2002,(06)::.1673-8233.2002.05.004.
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11 刘玲苏农. N阶常系数非齐次线性微分方程的降阶解法.[J]. 大学数学, 2012 , (06) :95-99

·27·