用“约束条件法”和“公式法”求二阶线性微分方程的特解
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用“约束条件法”和“公式法”求二阶线性微分
方程的特解
作者：邱法玉
来源：《课程教育研究》2017年第37期
【摘要】用本文中的“约束条件法”和“公式法”求二阶线性微分方程的特解，能收到既快又
准之效。
【关键词】约束条件法 公式法
【中图分类号】G71
【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）37-0126-01
一、求y（x）e？ x特解y 的“约束条件法”
我们知道，满足上述微分方程的特解形式为y =R（x）e？ x.将其代入原方程得如下约束
条件
R（x）+（2？ +p）R'（x）+（？ 2+p？
+q）R（x）=Pm（x）.
（1）当？
是特征方程r2+pr+q=0的二重根时，必有？ 2+p？ +q=0，且由韦达定理得？
+？
=-p，此时约束条件简化为；R（x）=Pm（x）；
（2）当？
是特征方程r2+pr+q=0的单根时，必有？ 2+p？ +q=0，且 2？ +p≠0.
此时约束
条件简化为R（x）+（2？ +p）R'（x）=Pm（x）.
例1求微分方程y（x+1）e3x的一个特解。
解 由于？
=3是特征方程r2-6r+9=0的二重根，所以特解形式必为y
=R（x）e3x=x2Rm
（x）e3x=x2（ax+b）e3x=（ax3+bx2）e3x，
此时R（x）=ax3+bx2，且满足约束条件R（x）=Pm（x）.
将R'（x）=3ax2+2bx，R（x）=6ax+2b，Pm（x）=x+1，代入上式得6ax+2b=
x+1，
即a= ，b= ，所求特解y =（ x3+ x2）e3x.
二、求y？ x（A cos？ +Bsin？ ）特解y 的“公式法”
公式1 当？ ± i是特征方程r2+pr+q=0的根时，特解为