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微分方程的例题分析及解法
本单元的基本内容是常微分方程的概念， 一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解
法，微分方程的应用。
一、常微分方程的概念
本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基
本概念， 要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定
理。
二、一阶常微分方程的解法
本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；
对于一阶线性微分方程 ，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解
非齐次方程；当然也可直接代下列通解公 式：
p

x

dx


p

x

dx
dxC


ye

q(x)e




齐次型微分方程
y
y

f()

x
令
u
y< br>，则方程化为关于未知数
u
与自变量
x
的变量可分离的微分方程。
x
三、二阶微分方程的解法
1．特殊类型的二阶常微分方程
本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：
（1）
y

f(x)
，直接积分；
（2）
y

f(x,y

)
，令
y

p，
（3）
y

f(y,y

)
，令y

p
，则
y


dp
p

dy
这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程
二阶线性常系数微分方程求解的关键是：
（1）特征方程
对于相应的齐次方程，利用特征方程

2
p

q0

求通解：
（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点
f(x)e

x
P
m
(x)

ax
p
n
(x)sin

x

和
f(x)e

P
l
(x)cos

x
~
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—
设置特解
y
的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用
求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应
该遵循的规律，找 出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相
应的方法求解，还应注意，有的 应用问题还含有初始条件。

一、疑难解析
（一）一阶微分方程
1．关于可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如

f
1
(x)g
1
(y)dxf
2
(x)g
2
(y)dy0
（1）
的微分方程称为变量 可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若
f
2
(x)g
1
(y)0
，则方程（1）可化为变量已分离的方程
g
2
(y)f(x)
dy
1
dx

g
1
(y)f
2
(x)
两端积分，即得（1）的通解：

G(y)F(x)C
（2）
（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求
出其通解为
ysin(xc)
，但显然
y1
也是该方程的解，却未 包含在通解中，从这个例
子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。
有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求
解。如齐次型微分 方程。

y

f(
y
)
或
dy
f(
y
)
（3）
x
dxx
dudx


f(u)ux
可用代换
yux
化为
两端同时积分即可求解。
（2）关于一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程是指形如

y

p(x)yq(x)
（4） 的方程，其中
p(x)
、
q(x)
是已知函数，其特点是
y，
y

都以一次幂的形式出现在方
程中，求它的通解时，即可以用公式
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2

—
p(x)dxp(x)dx
(q(x)e

dxC)
（5）
ye


来求，也可以用常数变易法来求，即 通过分离变量法先求出齐次线性方程
y

p(x)y0

< br>的通解
yCe

p(x)dx
p(x)dx
，再令
C
来未知函数
C(x)
，将
yC(x)e

代入
p(x)dx
方程（4），求出
C(x)
，最后得到所求通解
yC(x )e

。
有的方程把
x
看作未知函数，
y
看作自 变量时成为一阶线性微分方程，如方程
ylnxdx(xlny)dy0

可变形为关于
xx(y)
的一阶线性非齐次方程
dxx1


dyylnyy
如同一些方程用适当的变量代换可化 成可分离变量方程求解一样，有些方程用变量代换
可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方程。 y

p(x)yq(x)y
n
，
(n0,1)

用代换
zy
1n
则化为
z

(1n)p( x)z(1n)q(x)

（二）关于常数变易法
所谓常数变易法就是将相应的 线性齐次微分方程通解中的常数
C
变为待定函数
C(x)
，
然后代入 线性非齐次微分方程中，求出
C(x)
，从而得到线性非齐次微分方程通解的方法。
p(x)dx
常数变易法的关键是如何确定
C(x)
，由于
y
< br>p(x)y0
的通解为
yCe

（1），
p(x)d x
将常数
C
用
C(x)
代换，设
yC（x)e

为方程
y

p(x)yq(x)
的通解，将其代入
方程 中，就得到关于待定函数
C(x)
的导数
C

(x)
应满足 的方程，即
p(x)dx

C

(x)e

q(x)
（*）
（*）式是求
C(x)
过程中重要的一步，应记住这个表达式，事实上，它的 左端是将通
p(x)dx
解
yC(x)e

中的
C(x )
换成
C

(x)
，右端是原方程中右端顶（非齐次项）将（*）式
变形，再求积分就得到
C(x)
。
p(x)dx
C(x)
q(x)e

dxD

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3

—
例 求
y


y21nx
的通解。

xx
12lnxy
，
q(x)
。相应的齐次方程
y

0
的
xxx
解 这是一阶线性方程，
p(x)
通解为
yCx
。
设非齐次方程的通解为
yC(x)x
，代入原方程，得
C

(x)x
2lnx

x
2lnx1
2lnxd()

2

xx
2222
lnx

2
dxlnxC

xxxx
22
所求通解为面
y(lnxC)x2xlnx2Cx

xx
C(x)



（三）可降阶的特殊
本章 所研究的二阶微分方程主要有两类：一是可降价的二阶微分方程，它的形式及相应
的解法见表8-1：
表8-1可降阶的二阶微分方程及求解方法
方程形式 求解方法
积分得
y



f(x)dxC
，再积分，得通解。
设
y

p
，则
y

p

，方程化为
p

f(x,p)

设
y

p,则
y

p
dp
，方程化为
y

f(y,y

)

p
y

f(x)

y

f(x,y

)

dy
dp

f(y,p)
dy
（四）二阶线性常系数微分方程
y

py

qyf(x)
(其中
p,q
为常数)
当
f(x)0
时称为齐次的，此时通解依 特征方程

p

q0
的特征根

1
,

2
而定
（见教材表8-6-1），当
f(x)0
时， 称为非齐次的。它的通解可写成
2
yyy


其中
y
是该方程对应的齐次方程
y

py

qy0

的通解，而
y
是该方程的一个特解。
一般说来，求特解
y
并不是件容易的事情，但当右端项
f(x)
为某些特殊形式函数时，
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4



—
特解
y
具有相应的特 殊形式，如表8-2所示。这时可用特定系数法来求出
y
。
表8-2
非齐次项

f(x)
的形式

特征方程的根
0不是特征根（即
q
特解
y

的形式
0
时）
0
时
y



( x),

(x)
是与
f(x)
同次的多项式
y

x

(x)

y

x
2

(x)

y

Q
m
(x)e

x

f(x)
是
n
次多项式

0是特征方程的单根（即
q
0是特征重根，（即
pq0
时）
f(x)eP
m
(x)

即
ax
a
不是特征根

f(x)
是指数函数
与多项式乘积
Q
m
(x)
是与
P
m
(x)
同次的多项式
a
是单特征根
y

xQ
m
(x)e
x

y

x
2
Q
m
(x)e

x

y< br>
A
l
(x)cos

xB
l
(x)s in

x

a
是重特征根
f(x)P
n
(x)cos

x

Q
m
(x)sin

x

i

不是特征根

lmax

m,n


y

x

A
l
(x)cos

xB
l
(x)sin< br>
x


i

是特征根
ai

不是特征根
ai

是特征根
A
l
(x)、B
l
(x)
都是
l
次多项式 < br>y

e
ax

A
l
(x)cos

xB
l
(x)sin

x


y
xe
ax

A
l
(x)cos

xB
l
(x)sin

x


f(x)eax
[p
n
(x)cos

x

Q
m
(x)sin

x]

从表8-2可以看出 ，特解
y
的设法与非齐次项
f(x)
的形式基本是相同的，只不过依
a
不是特征根、是单根、是重根时，依次再分别乘以一个
x
因子（
k0,1 ,2
）。
解题时首先应设定特解
y
的形式，注意其中的未知多项式

(x)
或
Q
m
(x)
或
A
l
( x)
，

k
B
l
(x)
的次数的确定方法；设定未 知多项式的系数后，将
y

代入原方程，用待定系数法确
定未知系数。
（五）关于特征根法
特征根法不仅可用于二阶线性常系数齐次微分方程通解，也可用于求高阶 线性常系数齐
次微分方程通解，即
（1）若

是单实根，则通解中含加
C
1
e
m1

x
（2）若

是
m
重实根，则通解中 含加项（
C
1
C
2
xC
m
x)e


x
（3）若

ai

是共轭复根，则有通解 中含加项
e(c
1
cos

xC
2
sin

x)

根据上述这些加项，就可写出方程的通解形式。
例如求方程y
(4)
ax
2y

2y

2y

6y0
的通解。
其求特征方程是

4
 2

3
2

2
2

10

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5

—
分解因式为
(

1)(

1)0_

特征根为

1


2
1,

3,4
 i

x
因为

1
是二重根，所以通解中含加项
( C
1
C
2
x)e
；因为

3,4
i
是一对共轭复根，
22
所以通解中含加项
C
3
cosx_ C
4
sinx,
从而得到原方程的通解为
yC
1
ex
C
2
xe
x
C
3
cosxC
4
sinx

二、例题分析
例1 为下列各题选择正确答案：
（1）下列微分方程中，是二阶线性微分方程的为（ ）
22
A．
(y

)y

yx
B．
(y

)2ycosx

C．
y

y

2y
D．
xy

5y

3x
2
ylnx

（2）下列微分方程中，（ ）所给的函数是通解。
A．
y


2
xx
,yx
； B．
y

,x
2
y
2
C
2
；
yy
xC
x
,y
； D．
y

,x
2
y
2
1
； y
yx
C．
y


（3）下列微分方程中为可分离变 量方程的是（ ）
dxdx
xtt
； B．
xe
xt
sint
；
dtdt
dxdx
C．
xtt
2
； D．
x
2
t
2
；
dtdt
A．
（4 ）微分方程
y

2y

ye
x
x
cosx
的特解形式应设为
y


（ ）
x
A．
Cecosx
； B．
e(C
1
cosxC
2
sinx)
；
C．
xe(C
1
cosxC
2
sinx)
； D．
xe(C
1
cosxC
2
sinx)
；
（5）微分方程
y

y0
的通解为（ ）
A．
yC
1
eC
2
e
xx
x2x
B．
y(C
1
C
2
x)e
x
；
C．
yC
1
cosxC
2
sinx
； D．
y(C
1
C
2
x)e
；
解 （1）微分 方程的“阶”是指方程中未知函数的导数的最高阶数，“线性”是指未知
函数及其导数均以线性（一次） 形式出现在方程中，由于，A、C中分别含有
(y

)
和
y

y

项，
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6
2
x

—
都呈非线性形式，B中
(y
)
是一阶导数，方程为一阶方程，故只有选择D正确，事实上，D
中方程可化成二阶线性方 程的标准形式为
y


2
51
y

3 xylnx
。
xx
（2）微分方程的通解是指所含独立任意常数的个数与微分方程 的阶相等的解。经验证，
所给四个答案中，A、B、C是方程的解，但A、D中不含任意常数，说明它们 是特解，不是
通解，故选项B正确。
（3）将方程进行变量分离，可知
A
为
dx
t(x1)
是可分离变量方程。
dt
B、C、D均不能分离变量，故正确选择是A。
（4）二阶常系数线性非齐次微 分方程的特解形式与右端项的形式密切相关，此方程中
右端项
f(x)e
x
cosx
，因此特解
y

应设为
y

x
k
e
x
(C
1
cosxC
2
sinx),< br>其中
k
由
是单根或是重根而分别设为0，1，2此题中
a1,
1,a

iai

不是特征方程的根，
不是特 征根，因此特解应设为
ye(C
1
cosxC
2
sinx),< br>故正确的选项为B。
（5）二阶常系数线性齐次方程的通解与特征方程的根的形式密切相关。< br>y

y0
的
特征根为

i
，是共 轭复根，通解为三角函数形式
yC
1
cosxC
2
sinx，故选项C正
确。
例2 在下列各题的空白处填写正确答案：
（1）通过点（1，1）处，且斜率处处为
x
的典线方程是 。
（2）二阶微分方程
y

e
的通解是 。
（3）微分方程
y

y

0
满足初始条 件
y(0)1,y

(0)1
的特解为 。
（4）齐次方程
y


x
x
y
1< br>的通解是 。
x
解 （1）斜率处处为
x
的曲线方程应满足
y

x

积分得
y


1
2
111

xC
，代入条件
y(1)1
，得
C
，故所求曲线方程是
yx
2

。
2222
xxx
（2）对
y

e
两次积分，得
y

eC
1
,ye C
1
xC
2
，此为所求通解。
（3）微分方程
y
y

0
的特征方程为



0
，特征根为

1
1,

2
0
， 通解
为
yC
1
e
x
2
C
2

x
将初始条件
y(0)1,y

(0)1
代入，得
C1
1,C
2
2
，故所求特解为
ye2
。
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7

—
（4）设
u
y
,
则
dyudxxdu,
代入原方程中，得
xdudx,ulnC x
，故所求通
x
解为
yxlnCx

例3 判断下列微分方程属于哪种类型，并求出它们的通解或特解。
（1）
(e
xye
x
)dx(e
xy
e
y
)dy0
；
（2）
y(x2y)dxx
2
dy0
；
（3）
(yx
2
y
2
)dxxdy0,y(1)0
< br>（4）
y


4xxy
2
yx
2
y
,y(0)1

分析 这几个方程都是一阶微分方程，通过适当变形来判断它们的类型。
解 （1）将方程变形，得 e
x
(e
y
1)dxe
y
(e
x
1)dy0

这是变量可分离型方程，分离变量得
e
y
ey
1
dy
e
x
e
x
1
dx< br>
d(e
y
1)d
e
y
1

(e
x
1)
e
x
1

两端积分得：
ln(e
y
1)ln(e
x
1)C
1

整理后得方程的通解为

(e
x
1)(e
y
1)C

（2）观察方程 中
dx
、
dy
的系数，都是二次函数，故原方程为齐次方程。
当x0
时，各项除以
x
2
，得
y
x
(1
2y
x
)dxdy0

令
u
y
x
，则
yux

dyudxxdu

代入方程中，得
u(12u)dx(udxxdu)0

2u
2
dxxdu0

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8

—
du2dx


u
2
x
1
两端积分得：
2lnxC
1

u
再将
u
x
y
代回，得
2lnxC
1

y
x
于是方程的通解为
y
x

2lnCx
（3）观察方程中
dx
、dy
的系数，都是一次函数
(x
2
y
2
可看作是一次 函数），因此
方程为齐次方程。
当
x0
时，将各项除以
x
，得
yy
[1()
2
]dxdy0

xx
令
u
y
，则
yux

x
dyudxxdu

代入齐次方程中，得
(u1u
2
)dx(udxxdu)0

du
1u
2
两端积分，得

dx

x
lnu1u
2
lnCx

u1u
2
Cx

将
u
y
代回，得
x
yx
2
y
2
Cx
2

将初始条件
y(1)0
代入，得
10C,C1
。
故满足方程初始条件的特解为
yx
2
y
2
x
2

移项，两端平方
xy(xy)

2222
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9

整理后得
y
1
2
(x
2
1)

此即为所求特解。
（4）将方程变形，得
dyx(4y
2
）< br>dx

y(1x
2
)

此为变量可分离方程。分离变量，得
ydyxdx
d(4y
2
) d(1x
2
)
4y
2

1x
2

4y
2

1x
2
两端积分得
ln(4y
2
)ln(1x
2
)lnC

(4y
2
)(1x
2
)C
（
C
为任意常数）
将初始条件
y
x0
1
代入，得
C5

因此满足方程初始条件的特解为
(4y
2
)(1x
2
)5

例4 判断方程的类型，并求解：
（1）
y

cosxysinx1

（2）
x
2
dy(2xyx1)dx0
，
y(1) 0

（3）
x
3
y

(23x
2< br>)y0,y(1)1

*（4）
ylnydx(xlny)dy0

（5）
y

e
xy
e
x
0

解 （1）方程变形为
y

ytanxsecx

这是一阶线性非齐次方程
方法一：用公式法
ye


p(x)dx
[

q(x)e

p(x)dx
dxC]< br>
这里
p(x)tanx,q(x)secx,
于是通解为
y e

tanxdx
[

secxe

tanxd x
dxC]


e
lncosx
[

secxe
lncosx
dxC]

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—
10

—
cos[

secxsecxdxC]

cosx(tanxC)

sinxCcosx
（
C
为任意常数）
方法二：用常数变易法
先求出齐次方程
y

ytanx0
的通解；
将
y

ytanx0
变形为
dy
y
tanxdx,
两端积分得
lnylncosxC
1

即齐次方程的通解为
yC
1
cosx(C
1
为任意常数）
设
yC(x)cosx,
将其代入非齐次方程，得
C

(x)cosxsecx,C

(x)sec
2
x

积分求得
C(x)

sec
2
xdxtanxC

故所求方程的通解为
y(tanxC)cosxsinxCcosx
（
C
为任意常数）
（2）方程变形为
dy
dx

211
x
yx

x
2

此为一阶线性非齐次方程
用公式求解：这 里
p(x)
2
x
,q(x)
1
x

1
x
2
，于是方程的通解为
2
ye


2
x
dx
[

(
11

x
dx< br>x

x
2
)edxC]

e
2lnx
[

(
1
x

1
lnx
x
2
)e
2
dxC]



111
2
x
2
[

(
x

x
2
)xdxC]



11
2
x
2
[(
2
xx)C]


1
2< br>
1
x

C
x
2
（其中
C
为任意常数）
将初始条件
y(1)0
代入，得
C
1
2
，因此方程满足初始条件的特解为
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11

—
y
（3）方程变形为
111

2

2x2x
23x
2
y

y0

x
3
这是一阶线性齐次方程，用公式求通解为
23x
2
3
yCe
x
Ce
x
Cxe

1
将初 始条件
y(1)1
代入，得
C
，因此方程满足初始条件的特解为
e
yxe
3
1
1
x
2


dx
1
2
3lnx
1
3
x
2

*（4）将
y
看作自变量，
x
看作未知函数，则原方程是关于未知函数
x

(y)
的一阶
线性非齐次方程。
dx11
x,(y1)

dyylnyy
这里
p(y )
11
,q(y),
于是通解为
ylnyy
xe


ylny
dy
1
1

ylny
dy[

edyC]

y
1

e
l nlny
1
[

e
lnlny
dyC]

y

1lny
[

dyC]

lnyy
11
2
(lnyC)

lny2
1C
lny
（
C
为任意常数）
2ln y


（5）该方程是一阶非线性方程，是可分离变量型方程，原方程变形为
y

e
x
(e
y
1)0

e
y
dy
dy
x
e
x
dx

edx,
y
y
1e
e1
yx
积分得
ln(e1)eC
，
e1Ce
ye
x

12
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—
故通解为
yln(1Ce
e
)
（
C
为任意常数）
小结
（1）从上面的例子看出，判断方程的类型是最基本的，分清类型才能确定求解的办
法， 这不仅是对一阶微分方程而言的，对其它的微分方程也是如此。
（2）对一阶微分方程来说，如果它是 形如
y

f(x)g(y)
的方程，则属于变量可分离
方程；如果 方程形如
y

f()
，则属于齐次方程。有些方程则需作适当代换，化成上 述两
种类型。如
y

f(axbyc)
，令
uax byc
，则可化成变量可分离的形式。
（3）一阶线性微分方程是一阶微分方程中比较基本而又重要的类型之一，它可以用
公式
p(x)dxp(x)dx
[q(x)e

dxC]
①
ye

x
y
x

求通解，也 可以用常数变易法求通解，用公式法求通解时，要注意先把方程化成标准
形式

y

p(x)yq(x)
②
这亲才能准确地确定出
p(x)、q(x)
。用公式法求通解时，要先求出齐次方 程的通解
p(x)dx
，然后将常数
C
变成待定函数
C(x)，即令
yCe

p(x)dx

yC(x)e

③
为非齐 次方程的通解，代入原方程求出
C(x)
，将
C(x)
代回③，这样便得到方 程②的
通解。
（4）一阶线性非齐次方程的通解式①可写成下面两项之和
p(x)dxp(x)dx

p(x)dx
dx

y Ce

e

q(x)e

上式右端第一项是对应的齐次线 性方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解（在通解式
①中取
C0
便得到这个特 解）。由此可知，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方
程的通解与非齐次方程的一个特解之和。
例5 求下列微分方程的通解。
（1）
y

xe
（2）
yy

(y

)0

（3）
(1x)y

2xy

,y(0)0,y

(0) 3
（4）
y

(y

)y


分析 这些都是可降价的二阶微分方程式，可用变量代换的方法将它们化为一阶微
分方程来求解。
解 （1）方程右端不显含
y,y

，只把
y

作为新未知函数 ，则方程就是关于
y

的一
阶微分方程，两边积分，得
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13
23
x2

—
y



xe
x
dxxe
x
e
x
C
1< br>
再积分即得通解
y(xe
x
e
x
C
1
)dx



xe2eC
1
xC
2

（2）方程不显含
x
，作代换
py

，于是
xx
y


dpdpdydp
p

dxdydxdy
dp
p
2
0

dy
代入原方程，得
yp
如果
p0
，那么约去
p
并分离变量，得
dpdy


py
两端积分并化简，得
pC
1
y
，即
y


C
1
y

分离变量并积分，得
lnyC
1
xlnC
2

于是有
yC
2
e
C
1
x

如果
p0
，那么从
y

p
中可得
yC
，显然它也是原方 程的解，但
yC
已被包含在解
yC
2
e
c
1
x

中了（仅
C
1
0
，就得到它），所以原方程通解为
yC
2
e
C
1
x

（3）方程不显得< br>y,
设
y

p
，则
y

p< br>
代入方程并分离变量后，有
dp2x
dx

p1x< br>2
两端积分，得
lnpln(1x)lnC
1
，即
2
py

C
1
(1x
2
)

由条件
y

(0)3
，得
C
1
3，所以
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14

—
y

3(1x
2
)

再积分，得
yx3xC
2

由条件
y(0)1
，
得C
1
1

于是所求的特解为
yx3x1

（ 4）方程仅含
y

，不显含
y
与
x
，设
p y

，则
y

p
3
3
dp
，代入原方程，得
dy
p
当
p0
时，约去
p
并分离变量，得
dp
p
3
p

dy
dp
dy

p
2
1
积分得
arctanPyC,Ptan(yC)

将
py

代入并分离变量得
dy
dx

tan(yC)
积分得
lnsin(yC)xlnC
2
即
sin(yC)C
2
e
x

于是原方程的通解为 yarcsin(C
2
e
x
)C
1
(C
1
C)

此题是中，若
y

表示为
p

，即
y

p

，那么代入原方程后也得到一个可分离 变量方
3
程。
p

pp

分离变量并积分得
dp
dx

p(p
2
1)
11
ln( 1
2
)xC

2p


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15

—
即
p
故
y
2
1
Ce
2x
1


1
Ce
2x
1
x
dx

e
x
dx
Ce
2x

arcsin(C
1
e)C
2
（其中
C
1

两个计算结果是一致的。
小结
1

C
从上面 例子看出，方程（1）
y

f(x)
直接积分两次就可得到通解，而方程 （2）和（3）
则必须作代换后通过降价才能求通解，值得注意的是，对方程（2）和（3）所作的代换 是相
同的，即均为
y

p
，但
y

的 表达式却是不同的，要根据方程中是含有
x
还是含有
y
而将
y

分别表示成
y

p

（方程（3）情形，含x
不含
y
）或
y

p
。
y
不含
x
）
例6 求下列微分方程的通解：
dp（方程（2）情形，含
dy
（1）
y

4y
13y0
（2）
y

5y

6y0

分析 这 两个是二阶常系数线性齐次方程，写出特征方程，求出特征根，根据特征根
的不同情况，定出它们的通解 。
解 （1）所给微分方程的特征方程是

2
4

130

特征根

23i
，为一对共轭复根，因此所求通解为
ye
2x
(C
1
cos3xC
2
sin3x)

（2）所给方程的特征方程是

2
5

60

特征根

1
6
，

1
1
是两个不相等的实根，因此所求通解为
yC
1
e
6x
C
2
e
x

例7 求初值问题

4y

4y

y0



y(0)1,y(0)0

的解。
解 所给微分方程的特征方程为
4

2
4

10

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16

—
特征根

1,2

1
是两个相等的实根，因此所求方程的通解为：
2
y(C
1
C< br>2
x)e
1
x
2

将初始条件
y(0) 1,y

(0)0
代入，求得
C
1
1,C
2< br>
1
1
，因此初值问题的解为
2
x
1
y(1x)e
2

2
例8 求下列微分方程的通解
（1）
2y

5y

5x
（2）
y

6y

9y(x1)e

分析 这是二阶常系数线性非齐次方程，求通解
y
时，应先求出对应齐次方程的通 解
223x
y
，再根据右端函数的形式及特征根的情况，设出非齐次的方程的特解y

，则
yy

就是
所求通解。
解 （1）先求齐次方程
2y

5y

0
的通解
y
，特征方程为
2

5

0
，特征根
为
2

1
0,

2


故齐次方程通解为
yC
1
C
2
e
20x
5
x
2
5
2

由于
a0
是特征根（方程右端函数可看作是
5xe
），故特解设为
y

x(Ax
2
BxC)e
0x
Ax3
Bx
2
Cx

注意：
无论
f(x)< br>中有无了一次项及常数项，在设
y
时，其中的二次多项式
Q
2
(x)
中必须含有
二次项、一次项和常数项。
因为
y3Ax2BxC


y6Ax2B

代入方方程中，有




2

15 Ax
2
(12A10B)x(4B5C)5x
2

比较两边同次幂的系数，得

15A5


12A10B0


4B5C0

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17

—
从而求得
A
128
，所以原方程的一个特解是
,B,C< br>3525
128
y

x
3
x
2
x

3525
5
x
2
于是原方程的通解为
y C
1
C
2
e
128
(x
3
x2
x)

3525
（2）齐次方程
y

 6y

9y0
的特征方程为

2
6

90

特征根为两个相符的实根< br>
3
，故齐次方程的通解为
y(C
1
C
2x)e

由于
a3
是重根，因此非齐次方程的特解形式为
3 x
y

x
2
(Ax
2
BxC)e
3 x

因为
y[3Ax(4a3B)x(3B3C)x2Cx]e



4323x
y


[9Ax
4< br>(24A9B)x
2
(12A18B9c)x
2
(6B 12C)x2C]e
3x

代入方程中，整理有
12Ax
2
6Bx2Cx
2
1

比较两端同次幂的系数，有
A
所以原方程的一个特解为
11
,B0,C

122
11
y

 x
2
(x
2
)e
3x

122
于是原方程的通解为
11
y(C
1
C
2
x)e
3x
x
2
(x
2
)e
3x< br>
122
11
(x
4
x
2
C
2
xC
1
)e
3x

122
例9 求下列方程的特解
(1)
y

8y

16yxe

(2)
y

2y

2yxe,y(0)1,y

(0)0

解 （1）方程右端函数
f(x)xe可看作是函数
f
1
(x)x
与
f
2
(x) e
之和，
因此原方程的特解
y
是下列两个方程

4x4x
x
4x
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18

—
y

8y

16yf
1
(x)x
①
y

 8y

16yf
2
(x)x
4x
②

的特解
y
1
与
y
2
之和，即
y y
1
y
2


微分方程的特征方程为

8

160
，显然

0
不是特征根，因 此方程①的特解设为
2
y

1
AxB

计算
y




2
、
y
2
并代入方程，有
8A16Ax16Bx
，
解出
A
11
16
,B
32
故方程①的特解为
y

1

11
16
x
32

由于

4
是二重特征根，因此方程②的特解为
y

2
Cx
2
e
4x

计算< br>y




2
、
y
2
并 代入方程有
2Ce
4x
e
4x
,C
1
2

故方程②的特解为
y

1
24
2

2< br>xe
x

于是原方程的一个特解为
y

y
1

y
2


1
16
x
1 1
24x
32

2
xe

（2）特征方程为

2
2

20
，显然
a1
不是 特征根，因此特解设为
y

(AxB)e
x

因为
y


(ABAx)e
x


y


(B2AAx)e
x

代入方程 中，有
(AxB)e
x
xe
x
，比较两端同次幂系数，求得
A1,B0

于是求得方程的一个特解
y

xe
x

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19

—
经验证知它不是满足初始条件的特解
为求满足初始条件的特解，必须要先求出原方程的通解，由于原方程对应的齐次方程的
通解为
ye
x
(C
1
cosxC
2
sinx)
所以原方程的通解为
yyy

e
x
(C< br>1
cosxC
2
sinx)xe
x

将初始条件
y(0)1,y

(0)0
代入，求得
C
1
1,C
2
0

故满足初始条件的特解为
y

(cosxx)e
x

由此例可以看出，如果 仅求方程的一个特解，那么由待定系数法就可以求出：若要求满
足初始条件的特解，则需先用特定系数法 求出一个特解（此特解不一定满足题给的初始条
件），这时应先求出非齐次方程的通解，然后再代入初始 条件，确定任意常数，这样才能求
得初值问题的解。
例10 求下列微分方程的一个特解。
（1）
y

4y

4yesin5x
< br>（2）
y

2y

3y(x1)sinx

（3）
y

2y

2y4ecosx

解 (1)特征方程为

4

40
，特征根为
1


2
2

由于非齐次项
f(x)e
设为
2x
x
2x
2< br>sin5x,
其中
a2,

5,ai

2 5i
不是特征根，故特解
y

e
2x
(Acos5xB sin5x)

其中A、B是待定系数（注意：特解不能只设一项
Aesin5x），因为
f(x)
应看成是
2x
f(x)e
2x
(sin5x0cos5x)

对特解求导
y


e
2x
[(2A5B)c os5x(2B5A)sin5x]

y


e
2 x
[(20B21A)cos5x(20A21B)sin5x]

将
y,yy
一同代入原方程，整理后得




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20

—
e
2x
(25Acos5x25Bsin5x)e
2x
sin 5x

比较两端同类项系数，得
A0,B
1
,
于是方程的一个特解为
25
1
y

e
2x
sin5x
25
（2）特征方程为

2

30,
特征根
1
3,

2
1
，由于
f(x)(x 1)sinx
属
ax
于
f(x)e[p
l
(x)cos

xQ
n
(x)sin

x]
型，这里
a0,

1,p(x)0
，故特解设为
2
y
(a
1
xa
0
)cosx(b
1
xb
0
)sinx

计算
y,y,有





y


(a
1
b
0
b
1
x)cosx(b
1
a
0
a
1
x )sinx

y


(2a
1
b
0
b
1
x)sinx(2b
1
a
0
a1
x)cosx

代入原方程，有
(4a
0
2b
0
2a
1
2b
1
4a
1
x2b< br>1
x)cosx

(2a
0
4b
1
2 a
1
2b
1
2a
1
x4b
1
x)s inx(x1)sinx

比较两端同项的系数，得

4a
0
2b
0
2a
1
2b
1
0
4a2b0

11


2a4b2a2b1011

0


2a
1
4b
11
由此解得
11
,b
1


105
111
a
0
,b
0


2550
a
1

于是求得一个特解为
11111
y

(x)cosx(x)sinx

1025550
2
（3）特征方程为

2

20< br>，特征根

1i
，由于
f(x)4ecosx
，属于< br>x
f(x)e
ax
型，这里
a1,

1,p< br>1
(x)4,
~
p
n
(x)0,
由于
a i

是单特征根，故特解设为
y

xe
x
( C
1
cosxC
2
sinx)

为求导计算方便，设u(x)C
1
cosxC
2
sinx,
于是
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21

—
y

xe
x
u


ye(uxuxu

)



x

y


e
x
(xu

2xu
2u

2uxu)

将以上三式代入方程中，并考虑到
u

u,u

C
1
sinxC
2
cosx
，于是有
y


2y


2y

e
x
(xuxu

2u
)


e
x
2u



2e
x
(C
1< br>sinxC
2
cosx)


4xe
x
cosx

较同类项系数，得
C
1< br>0,C
2
2,
于是所求方程的一个特解为
y

2xe
x
sinx

例11 求方程< br>y

y

ycos
2
x
的通解。
解 将
f(x)sin
2
x
变形为
f(x)
1
2

1
2
cos2x

于是原方程的通解
y
是齐次方程
y

y

y0
①
的通解
y
与下面两个方程
y

y

y
1
2
②
y

y

y
1
2
cos2x
③
的特解
y

1
和
y
2
的和，即
yyy
1
y
2

特征 方程为

2


10
，特征根为

 
1
2

3
2
i
，故方程①的通解为
y e

1
2
x
(C
1
cos
3
2
xC
3
2
sin
2
x)

对方程②来讲，由于0不是特征根，故特解设为
y

1
A

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22

—
代入方程②，解出
A
11

，故y
1


22
对方程③来讲，由于
a0,

2,ai

不是特征根，故特解设为
y
2
B
1
cos2xB
2
sin2x

计算
y
2
、
y
2
并代入方程，整理得





1
(3B
1
2B
2
)cos2x(3B
2
2B
1
)sin2xcos2x< br>
2
比较两端同类项系数得
1


3B
1
2B
2

2




3B
2
2B
1
0
解出
B
1

3 1
,B
2
,
故
2613
y
2

31
cos2xsin2x

2613

所以原方程的通解为
yyy
1
y
2

e(C
1
cos

x
2
33131
xC
2
sinx)cos 2xsin2x

2222613
求一阶或二阶微分方程通解常用的方法还有数值解 法（如龙格一库塔法）、幂级数解法
等，这些例子教材中已讲得较详细了，在此不赘述了，下面看一下关 于微分方程的应用问题
举例。
例12 求一曲线，使由其任一点的切线、二坐标轴和过切 点平行于纵轴的直线所围成
的梯形面积等于常数值
3a

解 ①列方程 < br>设
p(x,y)
是所求曲线
yf(x)
上的任一点，则过该点的切线 方程为
2
Yyy

(Xx)
或
Yy
< br>(Xx)y

其中
(X,Y)
是切线上任意一点的坐标。
于是由该切线、二坐标轴及直线
Xx
所围成的梯形面积为
11
x
S

[y

(Xx)y]dX[y

(X x)
2
yX]
0
yxy

x
2

0
22
x
由已知条件
S3a
得
2
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23

—

1
2
y

xyx3a
2

2
2y6a
2

2
（*） 即
y


xx
②解方程
这是一个线性非齐次方程，其对应的齐次方程的通解为
yCe


x
2
Ce
2lnx
Cx
2

用常数变易法求非齐次方程（*）的通解，设通解为
yC(x)x
2

代入方程（*），整理后得
6a
2
6a
2
C
< br>(x)x
2
,C

(x)
4

xx
2
6a
2
2a
2
积分，得
C(x)


4
dx
3
C

xx
2a
2
2
从而得到
y(
3
C)x

x
即所求曲线方程为
2a
2
yCx()

x
2
求解微分方程的应用 问题时，首先要列出方程，然后再求解。一般说来，列方程有有下
述两种方法：
（1）根据有 关科学知识，分析所研究的变量应遵循的规律，找出各变量之间的等量关
系，列出微分方程；
（2）微元法：这种方法的基本思想是，把所研究的整体理加以“细分”，取微元，分析
变量在微元内的 变化情况，找出等量关系，再列出方程，具体做法是：将自变量
x
的取值区
间细分，从 中任取一小段
dx
,在微小区间
[x,xdx]
上，示知函数看作是均匀不 变的，于是
可用微分
dy
近似代替函数
y
的改变量，在后根据物理定 律列出方程。
例13 潜水艇下降过程中受到重力
mg
与阻力
kdx
的作用，于是运动方程为
dt
dxd
2
x
m
2
即
mgk
dtdt
d
2
mdx
mg
①
m
2
k
dtdt
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24

—
这是二阶线性非齐次方程，特征方程为

m

k

0

特征根为

0,


2
k
,
故对应的齐次方程的通解为
m
xC
1
C
2
e
k
t
m
②
由非齐次项
f(x)mg,
0
是特征根，故方程①的特建设为
x

At

代入方程①得
kAmg,A
mg
，从而特解为
k
mg


xt
③
k
k
t
m
由②、③知方程①的通解为

x(t)C
1
C
2
e
mg
t
④
k
依题意，
t0
时，
x(0)0,x

( 0)0
，代入④中有
x(0)C
1
C
2
0

t
kmg
x(0)(C
2
e
m
)
t0
0

mk
k
m
2
gm
2
g
解出
C
2

2
,C
1

2

kk
于是得到潜水艇下降的深度
x
与时间
t
的关系是 
mgm
2
g
x(t)t
2
(1e
m< br>t)

kk
k
三、自我检测题
（一）填空题
1.微分方程
y

x
的通解为 。
2．方程
y

2y0
的通解为 。
3．方程
y

2y

3yxe
的特解应设 为
y
。
4．求方程
y

(1y

)
232
x
的通解时，设变量代换
py

，则原方程化为一阶微分工
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25

程 。
5．微分方程
y

2y

y0
的通解为 。
（二）单项选择题
1．微分方程
F(x,y
4
,y

,(y

)
2
)0
的通解中含有（ ）个独立任意常数。
A．1； B．2；
C．4； D．5
2．微分方程
xy

yQ(x)0
的通解为（ ）
A．
x

Q(x)
x
2
dxC
B．
e
x
(

xQ(x)dxC)
；
C．
e
x

Q(x)
x
dxC
D．
x

Q(x)
x
2
dxC

3.微分方程
2y

y

y0
的通解为（ ）
x
A．
yC
x2x
1
eC
2
e
； B．
yC
x
1
e

C
2
e
2
；
x
C．
yC
x

1< br>eC
2
e
2
； D.
yC
2x
1
e
x
C
2
e

4．微分方程
y
2
dx(1x)dy0
是（ ）微分方程。

A．一阶线性齐次； B．一阶线性非齐次；
C．可分离变量； D．二阶线性齐次；
5．下列方程中，可用代换< br>Py

,p

y

降为关于
p
的一阶微分方程的是（

A．
(
d
2
y
2
d
2
y
2
dx
2
)xy

x0< br> B．
dx
2
yy

y0


C．
d
2
y
22
d
2
ydy
dx
2
xy

yx0
D．
dx
2
y
dx
x0


（三）计算题

1．求下列微分方程的通解或特解；

（1）< br>xydx1x
2
dy0,y
x0
1
（2）
(x
2
y
2
)dxxydy0

（3）
yy

2xsecy
（4）
y


y
x
(1lnylnx)

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—
。
26
）

2．求下列方程的通解或特解

（1）
y


y
x

sinx
x
,y(

)1
（2）
y

xy1

3．设方程
y
2y

10yf(x)
中
f(x)
分别为以下各函数，问 特解如何去设？

（1）
f(x)xe
x
（2）
f(x)e
x
sin3x

（3）
f(x)xe
x
cos3x

4．求下列方程的通解

（1）
y

3y

2yxe
x
（2）
y

6y

9y5cosx

（3 ）
y

y

ysin
2
x

5．一曲线上各点的法线都通过点
(a,b)
，求此曲线的方程。
自我检查题答案或提示
（一）1．
y
1
x
3
 C
1
xC
2
2．
yCe
2x
6

3．
y

x(AxB)e
x
4．
dp
dx
(1p
2
)
32

5．
yC
x
C
x
1
C
2
e
3
xe

（二）1．B； 2．A； 3．B； 4．C； 5．A；
（三）1．（1）
ye
1x
2
1
（2）
y
2
2x
2
ln(xC)

（3）
x
2
ysinycosyC
（4）
yxe
cx

2．（1）
y

1cosx
x
（2）
xy2Ce
x

3.（1）
y

(AxB)e
x
（2）
y

xe
x
(Acos3xBsin3x)

（3）
y

xe
x
[(AxB)cos3x(C xD)sin3x]

4．（1）
yC
x
C
2x
1
1
e
2
e(
2
x
2
x）e
x

（2）
yC
3x3x
23
1eC
2
xe
5
cosx
10
sinx

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—
27

—
（3）提示：
s inx

x
2
2
1cos2x
；
2
33131
xC
2
sinx)sin2xcos2x

2213262
22
5.
(xa)(yb)C
ye(C
1
cos

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28