社会调查报告2000字-寒假社会实践报告范文

目 录
待定系数法
常数变异法
幂级数法
特征根法
升阶法
降阶法
关键词：微分方程，特解，通解，

二阶齐次线性微分方程

常系数微分方程 待定系数法
d
2
xdx
L

x


2
a
1a
2
x0, (1)
解决常系数齐次线性微分方程
dtdt

这里a
1
,a
2
是常数.


(1.1)
特征方程
F(

)

2
a
1

a
2
0

(1)特征根是单根的情形
设

1
,

2
,L,

n
是特征方 程的
(1.1)
的
2
个彼此不相等的根，则相应的方程
(1)
有如
下
2
个解：
e

1
t
,e

2
t

(1.2)

如果

i
(i1,2)
均为实数，则
(1.2)
是方程
(1)
的
2
个线性无关的实值解，而方程
(1)
的通解可表示为
xc
1
e

1
t
c
2
e
2
t

如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出 现。设





i
是一特征根，则
< br>



i
也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)
有两
个复值解
e
(



i)t
e

t
(cos

tisin

t),

e
(



i)t
e

t
(cos

tisin

t).

它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根



i

，我们可求得方程
(1)
的两个实值解

e

t
cos

t,e

t< br>sin

t.

（2）特征根有重跟的情形


0
(1)
的
k
个线性无关的解
1,t,t< br>2
,
L
t
k1
。
k
1
重零根，对 应于方程

若特征方程的

0,
设特征根为

1
,

2
,L,

m
,
其重数为若这个k
重零根
1
k
1
,k
2
,L,k
m< br>(k
1
k
2
Lk
m
2)
。方程
(1)
的解为
e

1
t
,te

1
t
,
L
t
k
1
1
e

1
t
;e

2
t
,te

2
t< br>,
L
t
k
2
1
e

2
t
;
L
;e

m
t
,te

mt
,
L
t
k
m
1
e

m< br>t
;

对于特征方程有复重根的情况，譬如假设



i

是
k
重特征根，则



i

也是
k
重特征根，可以得到方程
(1)
的
2k
个实值解
:
e

t
cos

t,te

t
cos

t,t
2
e

t
cos

t,
L
,t
k1e

t
cos

t,
e

t
sin

t,te

t
sin

t,t
2
e

t
sin

t,
L
,t
k 1
e

t
sin

t.

d
2
x
x0
2
dt
的通解。
例1 求方程
解 特征方程
解为

2
10
的根为

1
1,

2
1
有两个实根，均是单根，故方程的通< br>xc
1
e
t
c
2
e
t
,
这里
c
1
,c
2
是任意常数。
d
2
x
x0
dt
2
的通解。
例2 求解方程
解 特征方程
为

2
10
的根为

1
i,

2
i
有两个复根，均是单根，故方程的通 解
xc
1
sintc
2
cost,

这里

c
1
,c
2
是任意常数。

某些变系数线性齐次微分方程的解法
（一）化为常系数
1.在自变量变换下，可化为常系数的方程
一类典型的方程是欧拉方程
d
2
ydy
xaxa
2
y0
(2)
1
2
dxdx

2
这里a
1
,a
2
为常数，它的特点是y的k阶导数（k=0,1,2,规定y
(0)
=y）的系数是x 的k
次方乘以常数.
我们想找一个变换，使方程
(2)
的线性及齐次性保持不 变，且把变系数化为常系

t

(t)e
x

(t)
x
本身的特点，我们选取自变量的变换
数。根据方程，并取，即
变换
xe
t
(tlnx)

(2.1)

t
xe
x0x0
，当时，取，以后为确定起见，
就可以达到上述目 的（这里设
认为
x0
）。
事实上，因为
dydydtdy
e
t
dxdtdxdt

2
d
2
yd
t
dydtdy
2t
dy
(e) e()
22
dxdtdtdxdxdt

代入方程
(2)
，则原方程变为
d
2
ydy
( a1)a
2
yo
(2.2)
1
2
dtdt

方程
(2.2)
常系数二阶线性微分方程，由 上可求得方程的通解。再变换
(2.1)
，
代回原来的变量，就得到原方程
(2)
的通解。

d
2
ydy
x5x4y0
例 求方程
dx
2
dx
的通解
2
解 此方程为欧拉方程，令
xe
t
，则由
(2.2)
知，原方程化为

d
2
ydy
44yo
(2.3)
dt
2
dt

其特征方程为

2
4

40

特征根为

1


2
2
，故方程
(2.3)
的通解为
y(c
1
c
2
t)e
2t

换回原自变量
x
，则原方程的通解为
y(c
1
c
2
lnx)x
2


2.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程
现在考虑二阶变异系数线性方程 < br>d
2
ydy
P(x)P
2
(x)y0
(2.4 )
1
2
dxdx

的系数函数
P
1
(x),P
2
(x)
满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换
ya(x)z
(2.5)

化为常系数方程。这里
a(x)
是待定函数。
为此，把
(2.5)
代入方程
(2.4)
，可得到
a(x )z
''
[2a
'
xP
1
(x)a(x)]z
'
[a
''
(x)P
1
(x)a
'
(x)P
2
(x)a(x)]z0
(2.6)

欲使
(2.6)< br>为常系数线性齐次方程，必须选取
a(x)
使得
z
''
、z< br>'
及
z
的系数均为常
数。特别地，令
z
的系数为零， 即
2a
'
P
1
(x)a0
'

可求得
a(x)e


1
P
1
(x) dx
2

再代入
(2.6)
，整理之，得到
1
2
1
'
(2.7)
z
''
[P
2
(x) P(x)P
11
(x)]z0
42

由此可见，方程
ye


1
p
1
(x)dx2
(2.4)
可经线性齐次变换
gz
(2.8)

化 为关于
z
的不含一阶导数项的线性齐次方程
(2.7)
，且当
z的系数
1
2
1
'
I(x)P
2
(x)P (x)P
11
(x)
42

(2.7)
为常系数方程。
为常数时，方程
因方程
(2.4)
在形如
(2.8)
的变换 下，函数
I(x)
的值不会改变，故称
I(x)
为方程
(2.4)
的不变式。因此，当不变式
I(x)
为常数时，方程
(2.4)
可经 变换
(2.8)
化为常
系数线性齐次方程。

1
2''' 2
xyxy(x)y0
例求方程
4
的通解
11
P(x),P(x)1
12
x4x
2
，因 解 这里
I(x)1
故令
111
2
11
()() 1
22
4x4x2x

ye


11
d x
2x
gz
z
x

就可把原方程化为常系数方程
z
''
z0

可求得其通解为
zc
1
cosxc
2
sinx

代回原变量
y
，则得原来方程的通解为
yc
1
cosxsinx
c
2
xx



（二）降阶的方法 处理一般高阶微分方程的基本原则是降
阶，即利用适当的变 换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。具

体参考常微分方程的思想与方 法，这里只讨论二阶的。
d
2
xdx
x
1
0
已 知
2
p(t)q(t)x0
dtdt
的一个特解，试求该方程的通解
，则原方程可化为一阶线性微分方程
解 作变换
dy
'
x
1


2xp(t)x
1

1

y 0,
dx


求解，得

xx
1
< br>ydt
yc
1
1


p(t)dt
e,< br>x
1
2

所以原方程的通解为

1
p( t)dt

xx
1

c
2
c
1

2
e

dt

.
x
1
< br>

法二
设
x
2
是方程的任一解，则有刘维尔公式得

x
1
x
1
'
x
2
x
2
'
p(t)d t
ce


c0
，亦即
其中常数
p(t) dt
x
1
x
2
'
x
1
'
x2
ce

.

1
以积分因子
x
2
1
乘上式两端，就可推出
d< br>x
2
c
p(t)dt
()
2
e

,
dtx
1
x
1

积分上式可得到


1
p(t)dt

xx
1

c
2< br>c
1

2
e

dt

.

x

1


例 求方程
xy
''
xy
'
y0
的通解

解 由观察知方程有一特解
y
1
(x)x
，令
yxz

'''''''
yzxz,y2zxz
则，代入方程，得
x
2
z
''
(2xx
2
)z
'
0

'
z
再令
u
，得一阶线性齐次方程
x
2
u
'
(2x)xu0

从而可得 e
x
e
x
uc
1
2
,zc
1
2
dxc
2
xx

取
c
1
1,c
2
0,
便得原方程的另一解 < br>e
x
y
2
x

2
dx
x

显然，解
y
1
,y
2
线性无关，故方程的通解为
e
x
yc
1
xc
2
x

2
d x

x










幂级数法
d
2
ydy
y(x
0)y
0
p(x)q(x)y0 (1)
2
及
dxd x
考虑二阶线性微分方程及初值
y
'
(x
0
)y
'
0
的情况
可设一般性，可设
x
0
0
，否则， 我们引进新变量
txx
0
，经此变换，方程的
形式不变，但这时对应于< br>xx
0
的就是
t
0
0
了.因此总认为
x
0
0
.

定理 若方程
则方程

(1)
中的系数
p(x)
和
q(x )
都能展成
x
的幂级数，且收敛区间为
xR
,
(1)有形如
y

a
n
x
n
n0


xR
的特解，也以

定理 若方程
则方程

为级数的收敛区间.

(1)
中的系数
p(x)
和
q(x)
都能展成
x
的幂级数，且收敛区间为
xR
,
(1 )
有形如
y

a
n
x
n
n0


xR
的特解，也以
为级数的收敛区间.


定理 若方程
(1)
中的系数
p(x)
和
q(x)
具有这样的性质，即< br>xp(x)
和
x
2
q(x)
都能展
成
x的幂级数，且收敛区间为
xR
,若
a
0
0
，
则方程
(1)
有形如


yx


ax
n
n0
n
(1.1)

的特解，

是一个待定的常数.级数
(1.1)
xR
也以
为级数的收敛区间.


例 求方程
y
''
2xy
'
4y0
的满足初值条件
y( 0)0
及
y
'
(0)1
的解
解 设
ya
0
a
1
xa
2
x
2
an
x
n
L

(1.2)

为方程的解.利用初值条件，可以得到

a
0
0,a
1
1,

因而 < br>yxa
2
x
2
a
n
x
nL

y
'
12a
2
x3a
3
x
2
na
n
x
n1
L

y
''
2a
2
3g2a
3
xn(n1)a< br>n
x
n2
L

将
y,y
'
,y
''
的表达式代入原方程，合并
x
的同次幂的项，并令各项系数等于零，得< br>到
a
2
0,a
3
1,a
4
0,L
a
n

2
a
n2
,
L
n 1

因而

1111
a
5
,a
6< br>0,a
7
,a
8
0,a
9
,L
2 !63!4!

最后得
111
a
2k1

g< br>,a
2k
0,
k(k1)!k!

对一切正整数
k
成立.
将
a
i
(i0,1,2 ,L)
的值代回
(1.2)
就得到、

x
5
x< br>2k1
yxx
L

L
2!k!
x
4
x
2k
2
x(1x
L

L
)
2!k!
3
=xe,
x
2

这就是方程满足所给初值条件的解.



例用幂级数解法求解方程
y
''
xy
'
y0

n
x0
p(x)1,p(x)x,p(x)1
ya x
0
012

0n
解 因为
，所以在的邻域内有形如
n0

的
幂级数解.将

y
0
,y
0
'
,y
0
''
代入原方程，得
(2a
2
a
0
)

[n(n1)a
n
(n1)a
n2
]x
n2
0.
n3

比较
x
的同次幂的系数，得


2a
2
a
0
0,6a
3
2a
1
0,
n(n1) a
n
n(n1)a
n2
0 (n4).
解得
a
a
1
a
2

0
,a
3

1
,a
2n
(1)
n
n
a
0,
232n!

(1)
n
a
1
a
2n1
.
1g3gg(2n1)

所以，原方程的通解为

1x
2
n
(1)
n
ya
0

() a
1

x
2n1
,
23
g

g
(2n1)
n0
n!
n0
1
g


即
ya
0
e

x
2
2
( 1)
n
a
1

x
2n1
.
3
g

g
(2n1)
n0
1
g







方程组的消元法 在某些情形下，类 似于代数方程组的消元，我们可以把多个未
知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求 解
例 求解线性微分方程组

dx
x5y,


dt


dy
2xy.


dx
解 从第一个方程可得

1dy
(1.2)
y(x),
5dx

把它代入第二个方程，就得到关于
d
2
x
9x0.
2< br>dt

x
的二阶方程式
不难求出它的一个基本解组为
x
1
cos3t,x
2
sin3t,

把x
1
和
x
2
分别代入
(1.2)
式，得出y
的两个相应的解为
11
y
1
(cos3t3sin3t ),y
2
(sin3t3cos3t).
55

由此得到原来微分方程组的通解为
5cos3t5sin3t

x

cc

1

2

,

y

cos3t3sin3t

sin3t3cos3t


其中

c
1
和
c
2
为任意常数


二阶非齐次线性微分方程


待定系数法
d
2
xdx
L

x


2
a
1
a
2
xf

t

,(2)
常用于解决常系数非齐次 线性微分方程
dtdt

这里a
1
,a
2
是常数， f

t

为连续函数
类型一

设f
< br>t

(b
0
t
m
b
1
t
m1
Lb
m1
tb
m
)e

t
,其中

及b
i
(i0,1,Lm)为实常数，
那么方程

1

有形如

xt
k
(B
0
t
m
B
1
t
m1

L
B
m1
tB
m
)e

t
:

k

当

不是
的特解，其中
为特征方程
F



=0
的根
的重数(单 根相当于
k1
；
可以通过比较系数来确定
.
特征根时，取
k0
),而
B
0
,B
1
,LB
m
是待定 常数，

类型二
at
设f

t


Atcos

tBtsin

te

 

其中

,

是常数,而A

t< br>
,B

t

是带实系数的t
的多项式，其中一个的 次数为m,而另一个的次数不超过m,那么我们有如下结论：
方程

2
有形如


at
xt
k

< br>P

t

cos

tQ

t
sin

t


e

:
k
ai

的重数，而
P

t

,Q

t

的特解，其中
为特征方程
F



=0
的根均为待定
的带实系数的次数不高于
m
的
t的多项式，
可以通过比较系数来确定
.





d
2
xdx
求方程
2
23x3t1dtdt
的通解
解 先求对应的齐次线性微分方程
d
2
xdx
23x0
dt
2
dt

的通解.这里特征方程

2
2

30
有两个 根

1
3,

2
1
.
3tt< br>xcece
12
因此，通解为，其中
c
1
,c
2
为任意常数.再求非齐次线性微分方程的
一个特解.这里
f

t
3t1,

0,
又因为

0
不是特 征根，故可取特解形如

::
xABt
,
其中
A,B
待定常数.为了确定A,B,将
xABt
代入原方程，得到
2B3A3Bt3t1
，
比较系数得

3B3,
2B3A1,

:
11
B1,A,xt,
3
从而
3
因此，原方程的通解为
由此 得
1
xc
1
e
3t
c
2
e
 t
t.
3


:
d
2
xdx
4xcos2t
求方程的
2
4
dtdt
通解.

解 特征方程

2
4

40
有重根

1


2
2
，因此，对应的齐次线性微分方程的通解为
x(c
1
c
2
t)e
2t
,
其中
c
1
,c
2
为任意常数.现求非齐次线性微分方程的一个特 解.因为
:
2i
不是特征
根，我们求形如
xAcos2tBs in2t
的特解，将它代入原方程并化简得到

8Bcos2t8Asin2tcos2t,

:
11
A0, B,xsin2t,
比较同类项系数得
8
从而
8
因此原方程的通 解为

1
x(c
1
c
2
t)e
2 t
sin2t.
8

方法二
由方法一知对应的齐次线性的通解为
x(c
1
c
2
t)e
2t
.
为求非 齐次线性微分方程的一个特解，我们先求方程
d
2
xdx
2it
44xe
2i
不是特征根，故可设特解为
2
dtdt< br>的特解.这是属于类型一，而
:
i
2it
i1
1
x ecos2tsin2t,
Rexsin2t,
888
8
分出它的 实部
于是原方程的通解为
:

1
x(c
1
 c
2
t)e
2t
sin2t
8

注：对于

d
2
xdxaa
2
xf

t

(3)
1

d
2
xdx

dt
2
dt
a
1
a
2
xf

t

g(t),可分解为< br>
2
,并且f

t

,
2
dtdt

dx
a
dx
axg

t

(4)
12

dt

dt
2
g
< br>t

均满足类型一或者类型二.若(3),(4)的特解分别为x
1
, x
2
,则原方程的特解为
::
x
:
x
::
1
x
2
.
d
2
x
2
1
a< br>dx
1
a
dx
2
这是因为
dt
2
1
dt
2
x
1
f

t

，dt
2
a
dx
2
1
dt
a
2x
2
g(t)
d
2
:
x
:
d(:
x
:::
:
2
1
x
2
)d(x< br>1
::
dt
2
a
dx
x
2
)< br>1
dt
a
2
x
dt
2
a
1< br>dt
a
2
(x
1
x
2
)
2::
=（
dx
1
dx
:
2
::
:
dt
a
1
dx
2
dx
2
2
1
dt
a
2
x
1
）（+
dt
2
a
1
dt
a
2
x
2
）
=f

t

g(t),



求
x
''
4x
'
4xe
t
e
2t
1
的通解.
对应的齐次方程的特征方程为

2
4

40,

即得特征根为

1


2
2.

(1)
对应方程
x
''
4x
'
4xe
t< br>:
，设其特解为
xA
g
e
t
,
代入方程则 的
A1,

:
即方程
x
''
4x
'
4xe
t
的一个特解为
xe
t
.

(2)
对应方程
x
''
4x
'
4xe
2t< br>:
，设其特解为
xBt
2
e
2t
,
代入方 程则的

B
1
2
,

x
''
4x
'< br>4xe
2t
x
:
即方程
有一个特解为

1
22t
2
te.


，

(3)< br>对应方程
x4x4x1
，设其特解为
xC,
代入方程则的
'''
:
1
C,
4

'''2t
1
x.
x4x4xe
有一个特解为
即方 程
4

所以原方程的通解为

11
xe
2t< br>(c
1
c
2
t)e
t
t
2
e
2t
,
24

c
1
,c
2
是任意常数.
这里




升阶的方法
升阶是常微分方程很少提到的一种方法，这是因为随着阶数 的升高，一般会使得
求解更为繁琐，但适当运用这种方法，在有些情况下也可以受到事半功倍的效果.< br>升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程，具体分析见参考文献【9】
:
'''
例 用升阶法求方程
x2x3x3t1
的一个特解
解 两边同时逐次求导，直到右边为常数，得
x
'''
2x
''
3x
'
3,

'
'''''
x1
xx0
代回原方程，得
23 x3t1
，解之，有
xt1
，该，则
令
表达式几位方程的 一个特解.


'''t
例 用升阶法求方程
x2x5xesin2t
的一个特解
'''(12i)t
y2y5ye
解 先求解方程
，
(12i)t
'''
yu(t)e
u4iu1
，
令，代入方程，得
'
取
u
111
iuit
4i4
，进一步取
4
，则
11
yite
(12i)tite
t
(cos2tisin2t)
44
11
te
t
sin2tite
t
cos2t,
44

其虚部函数为原方程的一个特解，即可求得原方程的一个特解为
1
xte
t
cos2t.
4


常数变易法
a
1
(t),a
2
(t),La
n< br>(t),f(t)
atb
上的连续函数，
x
1
(t),x
2
(t),Lx
n
(t)
是区间
定理 如果
是区间
atb
上齐次线性微分方程
x

a< br>1
(t)x

nn1

La
n
(t) x0

La
n
(t)xf(t)

的基本解组，那么，非齐次线性微分方程
x

a
1
( t)x

nn1

的满足初值条件

(t
0< br>)0,

'
(t
0
)0,L

(n1 )
(t
0
)0,t
0
[a,b]
的解有下面公式给出
t


(t)

x
k
(t)


k1
n

W
k
[x
1
(s) ,x
2
(s),
L
,x
n
(s)]

< br>f(s)ds,
W[x
1
(s),x
2
(s),
L< br>,x
n
(s)]

t
0


的朗斯 基行列式，
W[x
1
(s),x
2
(s),L,x
n
(s)]
这里
W
k
[x
1
(s),x
2
(s),L,x
n
(s)]
是
x
1
(s),x
2< br>(s),L,x
n
(s)
是在
W[x
1
(s),x< br>2
(s),L,x
n
(s)]
k
列代以
(0,0,< br>L
,0,1)
T
中的第
后得到的行列式，而且非齐次方程的任一解u(t)
都具有形式
u(t)c
1
x
1
(t)c
2
x
2
(t)Lc
n
x
n
(t)< br>
(t),

这里
c
1
,c
2
,L ,c
n
是适当选取的常数.
x
''
a
1
(t) x
'
La
n
(t)x0
n2
时
特别地，当 的特解为
t

W
1
[x
1
(s),x
2
(s)]

W
2
[x
1
(s),x
2< br>(s)]


(t)x
1
(t)

f(s)dsx(t)

f(s)ds.
2

W[x(s ),x(s)]W[x(s),x(s)]
12

12

t
0

t
0


t
其中
0x
2(s)
W
1
[x
1
(s),x
2
(s)] x
2
(s),
1x
2
'
(s)
x
1(s)0
x
1
(s),
'
x
1
(s)1
W
2
[x
1
(s),x
2
(s)]

当
n2
时，常数变易公式变为
因此，
t

(t)

t
0
x
2
(t)x
1
(s)x
1
(t)x
2
(s)
f(s)ds.
W[x< br>1
(s),x
2
(s)]

而通解就是
x c
1
x
1
(t)c
2
x
2
(t)
(t).

nn1

法二
设
下
n
x
1
(t),x
2
(t),L,x
n
(t)< br>
xa(t)x
1
是方程
La
n
(t)x 0
的基本解组，当满足以
是方程条件
n1

时，
xc
1
(t)x
1
(t)c
2
(t)x
2
( t)Lc
n
(t)x
n
(t)
x

a1
(t)x

La
n
(t)xf(t)
的通解

x
1
(t)c
1
'
(t)x
2
(t)c
2
'
(t)
L
x
n
(t)c
n
'
(t)0

''''''
x(t)c(t)x(t)c( t)
L
x(t)c

1122nn
(t)0

(n2)
(t)c
1
'
(t)x
2
(n2)
(t)c
2
'
(t)
L
x
n
(n2)(t)c
n
'
(t)0

x
1

M

(n1)'(n1)'(n1)'


x
1
(t)c
1
(t)x
2
(t)c
2
(t)
L
x
n
(t)c
n
(t)f(t)


x
1
(t)c
1
'
(t)x
2
(t)c
2
'
(t)0
特别地，当n2
，满足条件

''''< br>
x
1
(t)c
1
(t)x
2
(t)c< br>2
(t)f(t)
的
c
1
(t),c
2
( t)
，则
xc
1
(t)x
1
(t)c
2
(t)x
2
(t)
为二阶非齐

次线性微分方程
x
''
a
1
(t)x
'
a
2
(t)xf(t )
的通解
例 试求方程
x
''
xtant
的一个解
''
解 易知对应的齐次线性微分方程
xx0
的基本解组为
t< br>x
1
(t)cos t,x
2
(t)sin t.
我们直 接利用公式

(t)

t
0
x
2
(t) x
1
(s)x
1
(t)x
2
(s)
f(s)ds .
W[x
1
(s),x
2
(s)]
来求方程的一个的一个解 。这时
W[x
1
(t),x
2
(t)]
t
0< br>0
costsint
sintcost
1

取

t

(t)

(sin tcos scos tsin s)tan s ds
0
tt
=sin t

sin s dscos t

sin s tans ds
00
=sin t(1-cos t)+cos t(sin t-lnsecttant)
=sin t-cos t lnsecttant

注意，因为sint
是对应的齐次线性微分方程的一个解， 所以函数

cos t lnsec ttan t
:
也是原方程的一个解。




218页13题
165页6题


参考文献
1王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编 高等教育出版社 常微分方程第三版
2丁同仁，李承志.常微分方程教程 .北京： 高等教育出版社
3都长清 焦宝聪 焦炳照编著 北京师范大学出版社
4 孙清华 李金兰 孙昊 华中科技大学出版社 常微分方程内容、方法与技巧
5.孙肖丽 杨艳平著，山东大学出版社 116-119页常微分方程的思想与方法
6. 李青、徐崇志、胡汉 涛，用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解，塔
里木农垦大学学报，Vol.15,No.1,2 003,24-25