关于国庆节的诗句-邮电局上班时间

§
2

一阶微分方程

【目的要求】

1
、会熟练求解一阶变量可分离微分方程、齐次微分方程；

2
、熟练求解一阶微分方程的通解及满足初始条件的特解．

【重点难点】

1
、微分方程的阶、通解与特解等概念；分离变量法；

2
、利用微分方程建立数学模型．

【教学内容】


本节我们讨论一般形式为

F(x,y,y

)0

的一些解法
.
在一定条件下
,
上式可表示为

y

f(x,y)
.


一、可分离变量的微分方程



形如


dy
f(x)g(y
(
)< br>或
g(y)dyf(x)dx
)
dx
的微分方程称为可分离变量的微分方程


即


能把微分方程写成一端只含
y
的函
数和
dy


另一端只含
x
的函数和
dx
.
可分离变量的微分方程的解法



第一步

分离变量


将方程写成
g(y)dyf(x)dx
的形式



第二步

两端积分
,
得

g(y)dy

f(x)dx


设积分后得
G(y)F(x)C



第三步

求出由
G(y)F(x)C
所确定的隐函数
y(x)
或
x(y)
,
则
G(y)F(x)C


y(x)
或
x(y)
都是方程的通解


其中
G(y)F(x)C
称
为隐式
(
通
)
解< br>


例
1

求微分方程
dy
2xy
的通解


dx

解

此方程为可分离变量方程


分离变量后得

1
dy2xdx


y
两边积分得

1
dy2xdx

y



2
||xC
即

lny
1


从而

ye
x
2
C
1
e
C
1
e
x

2
因为
e
C
1
仍是任意常数


把它记作
C


便得所给方程的通解

yCe
x


2

例
2

设降落伞从跳伞塔下落后


所受空气阻力与速度成正比


并设降落伞离
开跳伞塔时速度为零


求降落伞下落速度与时间的函数关系



解

设降落伞下落速度为
v(t)


降落伞所受外力为
Fmgkv
(
k
为比例系
数
)


根据牛顿第二运动定律
Fma


得函数
v(t)
应满足的方程为

m
dv
mgkv


dt
初始条件为

v

方程分离变量


得

t0
0


dv

dt

mgkvm

dvdt
两边积分


得

mgkv


m



1
ln(mgkv)
t
C
1


km
kC
1

k
t
mg
e
m< br>(
C
)


即

vC e
k
k
将初始条件
v
t0
0
代入通解得
C
mg


k

k
t
mg
于是降落伞下落速度与时间的函数关系为
v(1e
m
)


k

例
3

求微分方程

解

方程可化为

dy
1xy
2
xy
2
的通解


dx
dy
(1x)(1y
2
)


dx
分离变量得

1
dy(1x)dx


1y
2
两边积分得

1
dy(1x)dx



1y
2

1
即
arctanyx
2
xC

2
1
于是原方程的通解为
ytan(x
2
xC)


2


二、齐次微分方程



我们遇到的许多方程不是可分离变量的微分方程
,
但可以根据方程的特点
,
把所给的方程转化为可分离变量的方程
.
下面介绍的齐次方程就是一种可化为
分离变量的方程
.

如果一阶微分方程
dy
y
f(x,y)
中的函数
f(x,y)可写成的函数


即
dx
x
ydyy
f(x, y)

()


则称


()
为齐次方程


xdxx

齐次方程的解法



在齐次方程
y
dyy


()
中


令
u


即
yux


有

dxxx
ux
du


(u)


dx
du

dx

(u)ux


分离变量


得

两端积分


得

du

dx


(u)u

x


求出积分后


再用
y
代替
u


便得所给齐次方程的通解


x

例
4

求微分方程
y
2
x
2

解

原方程可写成

dydy
xy
的通解


dxdx
y
2
()
dyy
2
x



dx
xyx
2
y
1
x
y
dy
ux
du


因此原方程是齐次方程


令
u


则
yux


xdx

于是原方程变为

ux
du
dx

u
2
u1


即

x
duu
dx

u1



分离变量


得

(1
1
)du
dx
ux


两边积分


得
uln|u|Cln|x|


即
,
ln|xu|uC
.

则所给方程的通解为

ln|y|
y
x
C



例
5

求微分方程
(x
2
y
2
)dxxydy0
的通解
.

解

原方程可写为

dy
y
2
dx

x
2
y
2
1(
x
)
xy

y
,
x
令

u
y
dydu
x
,
得
yux
,
dx
ux
dx
.

于是原方程变为

ux
du1u
2

1
dx

u

u
u
.

即

x
du1
dx

u

分离变量
,
得

udu
1
x
dx

两边积分
,
得

dx

u
2
lnxlnC
1

2
)
所以原方程的解为
:
y
2
x
2
ln(Cx
2
.

例
6

求解微分方程
x
dyy
yln
的通解
.
dxx

解

原方程可写为

dyyy
ln

dxxx
dydu
y
ux
.
令

u
,
得
yux
,
dxdx
x
du
ulnu
.
于是原方程变为

ux
dx
分离变量
,
得

du1
dx

u(lnu1)x
两边积分
,
得

ln(lnu1)lnxlnC


即

lnu1Cx

所以原方程的解为
:
yxe
Cx1
.


三、一阶线性微分方程



形如

dy
p(x)yQ(x)
(1)
dx
的微分方程称为一阶线性微分方程
.
所谓线性是指未知函数及其导数都是一次
幂的
.
这里
P(x)
和
Q(x)
为已知连续函数
.

若
Q(x)0
,
则方程
(1)
称为一阶线性齐次微分方程
,
否则
,
方程
(1)
称为一阶
线性非齐次微分方程
.
一阶线性齐次微分方程
dy
P(x)y0
是变量可分离方程


分离变量后得

dx

dy
P(x)dx


y
两边积分


得

ln|y|

P(x)dxC
1


或

yCe


P(x)dx
(Ce
C
1
)
. (2)

例
7

求解方程
(x2)
dy
y
的通解


dx

解

该方程为一阶线性齐次微分方程


分离变量得

dy
dx



yx2
两边积分得

ln|y|ln|x2|lnC
,
所以原方程的通解为

yC(x2)
.


一阶线性非齐次微分方程的解法
:

我们利用一阶线性齐次微分方程 的通解
(2)
来求一阶线性非齐次微分方程
(1)
的通解
,
即把
(2)
中的任意常数
C
换成未知函数
u(x)

把

P(x)dx

yu(x)e

假设成非齐次线性方程的通解


代入方程
(1)
求得

P(x)dxP(x)dxP(x)d x
u

(x)e

u(x)e

P(x)P( x)u(x)e

Q(x)


化简得

u

(x)Q(x)e

P(x)dx

< br>u(x)

Q(x)e

P(x)dx
dxC


于是方程
(1)
的通解为

P(x)dxP(x) dx
ye

[

Q(x)e

dxC]


P(x)dxP(x)dx

P(x)dx
dx

(3)
或

yCe

e

Q(x)e


因此
,
非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性
方 程的一个特解之和


(3)
式可作为一阶线性非齐次微分方程的求解公式
.
上述求解公式的推导过
程称为常数变异法
,
以后求解此类方程只需把
(3)
当作一个公式套用即可
.
5
dy2y

例
8

求解方程
(x1)
2
的通解


dxx1

解法一

这是一个非齐次线性方程



先求对应的齐次线性方程
分离变量得

dy
2dx



yx1
dy2y
0
的通解


dxx1
两边积分得

lny2ln(x1)lnC
,
齐次线性方程的通解为

yC(x1)
2
.

用常数变易法


把
C
换成未知函数
u(x)


即令
yu(x)(x1)
2


代入所给非
齐次线性方程


得

u
< br>(x1)2u(x1)
2
u(x1)
2
(x1)
2

x1
2
1
u

(x1)
2
5


两边积分


得

u
2
(x1)
2
C


3
3
再把上式代入
yu(x)(x1)
2
中


即得所求方程的通解为

y(x1)[
2
(x1)
2
C]


3
2
3

解法二

本方程是一阶线性非齐次微分方程
,
可用
(3)
式来求解
,

5
2
P(x)
,
2

x1
Q(x)(x1)
p(x)dxp(x)dx

得

ye

(

Q(x)e

dxC)


e

e


2
dx
x1
(

Q(x1)e

5
2
5
2
p(x)dx
dxC)

lnx(1 )
2
(

(x1)e
lnx(1)
C)

2
2

(x1)[(x1)
2
C]

3
2
3

例
9

求解方程
2
dy1

的通解
.
dx3x2y

解

本方程并不是一个一阶线性微分方程
,
但经过适当的变形后
,
可 变为一
个以
x
为函数
y
为自变量的一阶线性微分方程
.

原方程化为

dx
2(3x2y)

dy
dx
6x4y

即

dy
P(y)6
,
Q(y)4y


代入
(3),
得

p(y)dyp(y)dy
xe< br>
(

Q(y)e

dyC)

6xy6xy

e

(

4ye

C)

6y6y

e(

4yedyC)

2
6y
1
6y
yeeC)

39
21

yCe
6y

39

e
6y
(



四、伯努利方程



形如

dy
P(x)yQ(x)y
n

(
n0,1.
) (4)
dx
的微分方程
,
称为伯努利方程


这里
P(x)
和
Q(x)
为已知连续函数
.

伯努利方程的解法



以
y
n
同除方程
(4)
的两边


得

y
n
令
zy
1n


得一阶线性方程

dy
P(x)y
1n
Q(x)

dx
dz
(1n)P(x)z(1n)Q(x)


dx
因此
,
可用上节方法求解
.

例
10

求方程
dyy
ay
2
l nx
的通解


dxx

解

以
y
2
除方程的两端


得

y
2
d(y
1
)
1
1
即

yalnx


dxx
令
zy
1


则上述方程成为

dy
1
1
yalnx


dxx
dz

1
zalnx


dxx
这是一个线性方程


它的通解为

zx[C
a
(lnx)
2
]


2
以
y
1
代
z


得所求方程的通解为

yx[C
a
(lnx)
2
]1


2

经过变量代换


某些方程可以化为变量可分离的方程


或化为已知其求解方
法的方程



例
11

解方程
dy1



dxxy

解

若把所给方程变形为

dx
xy


dy

即为一阶线性方程


则按一阶线性方程的解法可求得通解



但这里用变量代换来解所给方程



令
xyu


则原方程化为

du
1
1


dxu
du

u1
即
,


dxu
分离变量


得

u
dudx


u1
两端积分得

uln|u1|xln|C|


以
xyu
代入上式


得

yln|xy1|ln|C|
,
或
xCe
y
y1
