常微分方程教材
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常微分方程教材
第九章 微分方程
一、教学目标及基本要求
(1) 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。
(2) 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法,会解
齐次方程。
(3) 会
用降阶法解下列方程:
y
(n)
f(x),y
f(x,y<
br>
),y
f(y,y
)
。
(4)
理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。
(5)
掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某
些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
(6) 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,
以及它们的和与二阶常系数非齐
次线性微分方程的特
解和通解。
(7) 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、本章教学内容的重点和难点
1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念;
2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法;
3、熟悉线性方程的基础理论,掌握常系数二阶线性齐次
与非齐次方程的解法;
4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。
三、本章教学内容的深化和拓宽:
1、分离变量法的理论根据;
2、常用的变量代换;
3、怎样列微分方程解应用题;
4、黎卡提方程;
5、全微分方程的推广;
6、二阶齐次方程;
7、高阶微分方程的补充;
8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解;
9、求线性非齐次方程的一个特解;
10、常数变易法。
本章的思考题和习题
解下列方程(第1-6题)
1、
(1x)y
yx,y(0)2
2、
f(x)ee
f
x
dx
,f
可微
3、
1xsin2y•y
2xsinye
4、
(y3x)dyxydx0
5、
y
2xy
0,y(0)1,y
(0)
1
<
br>2
xx
x
2
0
2221X
2
42
2
6、
yxy
y
y
7、已知可微函数
f(x)
满足
2
x
1
f(x
)dx
f(x)1,求f(1)和f(x)
f
2
(x)x
;
8、已知
1
0
f(ax)da
1
f(x)1
,f可微,求f(x)
2
22
;
9、求与曲线族
2x3yC
相交成
45
角的曲线;
10、一容器的容积为100L,盛满盐水,含10kg的盐,现
以每分钟3L的速度向容器内
注入淡水冲淡盐水,又以同样的
速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内,多余
的
水便从容器内流出,问经过多少时间,两容器内的含盐量相
等?
§9.1 微分方程的基本概念
一、内容要点:
先从实例引入建立几个微分方程的模型,引入微分方程的
一系列概念;
常微分方程:常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特
解、积分曲线族的定义;
二、教学要求和注意点
了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特
解以及积分曲线
说明1:一
个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实
际问题两种等价的描述形式。前者强调的是运动的过程
,是系
统的机理;后者强调的则是运动的结果,是系统的输出。
说明2:可分离变量的微分方
程虽然简单,但它是求解各种微
分方程的基础,要求学生必须熟练掌握。
定义1:称含有导数或微分的方程为微分方程,并称方程种
最高阶导数的阶数为方程的阶数。
如:
等等
讲方程,都是为了解方程,前两个方程不好解,第三个方程
好解
。解之,
y
1
4
1
xC
1
x
2
C
2
xC
3
242
y
x
y
y
2
xy1
二阶方程;
y
2
xy0
一阶方程;
y
x
三阶方程
,
,方程两边三次积分,得方程的解
4
23
1
x
时,也满足
方(
C,C,C
为任意常数)。当
y
24
1
程。可见 <
br>y
1
4
1
xC
1
x
2
C2
xC
3
242
包括了所有的解的形式。则称它为通解。
定
义2:称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种
含有相互独立的任意常数,常数的个数恰好等于
方程的阶数,
则称此解为方程的通解;称不含任意常数的解为方程的特解。
注1:通解与特解只是方程的两类解,一阶方程的解要么是通
解,要么是特解
注2:
一阶方程的几种形式:一般形式:
F(x,y,y
)0
,从这个方
程种有可能解出
y
,也有可能解不出来;一阶显式方程:
y
<
br>f(x,y)
P(x,y)
;对称形式:
dy
或
PdxQdy0
dxQ(x,y)
注3:在一阶方程种,
x
和
y
的关系是等价的.因此,有时可将
x
看成函数,
y
看做变
量。
§9.2 可分离变量的微分方程
一、内容要点:
可分离变量的方程及其他可化为变量可分离的方程的定
义及解法。
本单元的讲课提纲:
然后再讲具体的类型与解法—可分离变量的方程与分离
变量法。
重点是微分方程的阶、通解与特解等概念,分离变量
法。难点是利用微分方程建立数学模型关键是判别可
分离变量
方程的方法,以及具体积分方法。
二、教学要求和注意点
掌握可分离变量微分方程的解法
注意问题:
(x)dx
通常只表示一个原函数,积分常数C有
时写成
lnC,lnC
定义1:称
能改写为形式:
f(y)dyg(x)dx
的一阶方程为可分离变量
方程。
注:不是所有的方程都能这样,故可分离变量方程为一阶线性
方程的特殊情况。
定理
1:若
F
(y)f(y)
,
G(x)g(x)
,则<
br>f(y)dyg(x)dx
的通解为
F(y)G(x)C
证:
(1)先证
F(y)G(x)C
是方程的解。
两边对
x
求导,得
f(y)
dy
g(x)
,即
f(y)
dyg(x)dx
dx
故
F(y)G(x)C
是方程的解
(2)设
y
(x)
是方程的任一解,则
f[
(x)]
(x)dxg(x)dx
两边关于
x
积分,得
f[
(x)]
(x)dx
g(x)dx
又
F(x)
是
f(x)
的一个原函数,
G(x)
是
g(x)
的
一个原函数
则
F[
(x)]G(x)C
,即
y<
br>
(x)
在
F(y)G(x)C
中
所以,
通解。
注2:用来确定通解中的任意常数的条件,称为方程的初始条
件。
【例1】 求
sinxcosydxcosxsinydy0
的通解,并求满足初
始条件
y(0)
4
的特解。
sinxsiny
dx
dy
,两边积分,得
lncosxlncosylnC
解:方程可变为cosxcosy
F(y)G(x)C
为
f(y)dyg(x)dx
的通解。
注1:可分离变量方程的解法:先分离变量,再两边积分,即得
即
cosyCcosx
为方程的通解。
cos
又
y(0)
,代入,得
4
4
Ccos0
C
2
cosx
2
2
2
即满足初始条件的特解为
【例2】 求
y
e
的通解。
xy
cosy
解:由
y
e
e
y
e
x
c
xy
e
x
e
y
edx
,两边积分,得
,分离变量,得
dy
e
x
y
,即为方程的隐式通解。
二、可化为齐次方程的方程
xXh
dyaxby
c
经
变换将行如方程化为齐次方程。
dxaxb
yc
yYk
111
xy1
【例3】
求
dy
的通解。
dxxy1
xXh
dYXY(hk
1)
解:令
,则
dXXY(hk1)<
br>yYk
令
hk10
h0
hk10
k1
即
xX
yY1
dYXYY
方程变为:
dX
,令
u
代入,得 <
br>
X
XY
1udX
du
12uu
2X
,积分,得
12uu
2
2
CX
2
,由
u
Y
X
代回,得
通解为:
y1
y1
2
12
Cx
x
x<
br>
(其中
C
为任意常数)
§9.3 齐次方程
内容要点:
齐次方程的定义及求解公式,可化为齐次方程的定义以及
解法
本单元的讲课提纲
齐次方程的判别和解法不算困难,难在寻找相应的变量代
换的问题,变量代换法比较灵活,可多举一些各类型的例题,
让学生多见识一些变量代换,以便学生活跃
思路,积累经验。
重点是齐次方程与变量代换法,难点是寻找变量代换。
作业:同步训练习题
一、齐次方程
y
f
的微分方程为一阶
齐次方程。定义1:称能改写成形式:
dy
dxx
我们下面来看看齐次方程解的情形:
y
令
u
x
,即
yux
,代入方程,得
ux
du
f(u)
dx
dx
,分离变量,得
u
du
f(u)x
y
两边积
分,解出
u
,再将
u
x
回代,即得通解。
【例1】 求
(yx
2
y
2
)dxxdy0
的通解。
2
解:原方程可化为
ux
du
u1u
2
dxdyy
y
1
dxx
x
du
1u
2
y
,令
u
x
,即
yux
,代入方程,得
,化简
c
x
dx
x
x
2
y
2
c
积分,得
u1u
2
y
,将
u
x
回代,得通解为
y
二、可化为齐次方程的方程
xXh
dyaxbyc
经<
br>
变换将行如方程化为齐次方程。
dxaxbyc
yYk
111
xy1
【例4】 求
dy
的通解。
dxxy1
xXh
dYXY(hk1)
解:令<
br>
,则
dXXY(hk1)
yYk
令
hk10
h0
h
k10
k1
即
xX
yY1
dYXYY
方程变为:
dX
,令
u
代入,得 <
br>
X
XY
1udX
du
12uu
2X
,积分,得
12uu
2
2
CX
2
,由
u
Y
X
代回,得
通解为:
y
1
y1
2
12
Cx
x<
br>
x
(其中
C
为任意常数)
§9.4
一阶线性微分方程
一、内容要点:
一阶线性微分方程的形式及求解公式,伯努利方程的形式
及解法
本单元的讲课提纲
(1)讲线性非齐次的一阶方程的解法时,要交待变易常
数的想法并加强练习,这对今后讲二阶线性方程和线性方程组
的常数变易法是有益的。
(2)导出线性非齐次一阶方程的求通解公式以后,可顺
利导出满足条件
y(x)y
的特解公式,还应指出两点:第一,当
P(x),Q(x),C
时,线性方程的解总可通过两
次积分求得,第二,揭
示通解结构。重点是解线性非齐次方程的公式法与常数变易
法。难点是伯
努利方程。关键是套求解公式或常数变易法及凑
微分或令
y
z解伯努利方程。
二、教学要求和注意点
1、知道解一阶线性微分方程的常数变易法,并掌握一阶
非齐次线性方程的通解公式。
2、 知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的
通解和非齐次方程的一个特解之和
3、齐次方程与线性齐次方程的作用
一、 一阶线性微分方程
001n
定义1:称可转化为形式:
dy
P(x)yQ(x)
(1
)的方程为一阶线性
dx
方程;若
Q(x)0
,则(1)式称为一阶线性齐
次方程;
Q(x)0
,(1)
式称为一阶线性非齐次方程。
下
面我们来看看方程(1)的解的情形:先看齐次方程:
dy
P(x)y0
dx (2) 显然是可分离变量方程。
P(x)dx
yce
P(x)dx
,两边积分,得
得
dy
y
(3)为一阶线性齐次方
程(2)的通解。
下面我们求(1)的解,由方程(1)和(2)形式的相似
性,那它们的解也具有某种相似性。我们用一种常数变易法来
求(1)的解:假设
yc(x
)e
得
P(x)dxP(x)dxP(x)dx
c
(x)e
P(x)c(x)e
P(x)c(x)e
<
br>Q(x)
P(x)dx
为非齐次方程(1)的解,代入方程,
则
c
(x)e
则
P(x)dx
Q(x)
,
c
(x)e
P(x)dx
P(x)dx
Q(x)
积分,得
c(x)
Q(x)e
dxC
P(x)dx
dxC
e
P(x)dx
y
Q(x)e
(4)即为方程(1)的通解。
【例1】求
y
ytgxsecx
的通解。
解:由于
y
ytgxsecx
为一阶线性非齐次方程,且
P(x)
tgx,Q(x)secx
,
代入(4),得其通解为
<
br>tgxdx
tgxdx
y
dxC
secxe
e
=
(xC)secx<
br>
y
[例2] 求
dy
的通解。
dx2xy
2
解: 若将
y
看成函数,
x
作为变
量,此方程不是一阶线性方程。
故将
x
看成函数,
y
作为变量,则原
方程化为:
dx2xy
2
dyy
dx2
xy<
br>,为一阶线性方程,
进一步化简,
dyy
P(y)
2
,Q(y)y
y
xy(Clny)
代入(4),得方程的通解为 。
二、
贝努力方程―可化为一阶线性方程的方程
P(x)yQ(x)y
的方程为一阶贝努力方程。 定义2:称形如:
dy
dx
n
下面我们看看贝努力方程的解的情形:将方程变形为
y
n
dy
P(x)y
1n
Q(x)
dx
,令
zy
,则方程化为
1n
dz
(1n)P(x)z
(1n)Q(x)
dx
1n
,为一阶线性方程,故可用上述方法求解,
最
后将
zy
代回,即得通解。
【例3】求
xy
yy
2
lnx0
的通解。
y
2
y
1
1
lnx
y
解:将方程变形,得
,为贝努力方程。令
zy
,代
1
xx
入
dz1ln<
br>dx
x
z
x
x
,利用(4),得
zlnx1Cx
,又
zy
1
,
所以
y
1
lnxcx1
为原方程的通解。
§9.5 全微分方程
一、内容要点:
全微分方程的定义及其条件,解的表达式常见的积分因
子。
本单元的讲课提纲
1、全微分方程的解法关键在于首先将方程写成
P(x,y)dxQ(x,y)dy0
P
Q
验证
如果成立,则可把上式写成
duPdxQdy0<
br>解为
U(x,y)C
,
yx
求
U(x,y)
有
下列三种方法:
1)线积分法 2)偏积分法 3)分组观察凑全微分法
PQ
2、若
P(x,y)dxQ(x,y)dy0
中
<
br>,则可以寻求一个积分因子
yx
(x,y)
,使得
<
br>
y
(
P)
x
(
Q)
,即存在
U(x,y)
使得
dU
(Pd
xQdy)o
从而
是通解。
U(x,y)C
二、教学要求和注意点
判断和求解全微分方程的方法;寻找积分因子的分组观察
法;
定义1:如果存在可微函数
u(x,y)
,使
duP(x,y)
dxQ(x,y)dy
,则称
P(x,y)dxQ(x,y)dy0
微全微分方
程。
QP
命题:(1)
PdxQdy0
为全微分方程
xy
(2)
xy
x
0
y
0
PdxQdy0
的通解为
u(x,y)C
,其中
u(x,y)
P(x,y
0<
br>)dx
Q(x,y)dy
。
的通解。 【例1】求
解:
令
x
2
1
xydx()dy0
2y
x
21
Pxy,Q
2y
x
QP
,由于
,故方程为全微分方程
xy
y
xy
所以
u(x,y)
x
0
P(x,y
0
)dx
Q(x
,y)dy
0
xdx
1
y
0x
2
1
()dy
2y
x
2
y
lnyC
2
二、可化为全微分方程的方程―积分因子
定义2:设
PdxQdy0
不
是全微分方程,如果存在可微函数
u(x,y)
使
uPdxuQdy0
为
全微分方程,则称
u(x,y)
为原方程的积分因子。
注:积分因子不唯一,而且一
般也没有什么固定的方法求解积
分因子,故只有多积累才能有效的解题。
【例2】(1)
xdyydx0
; (2)
xdxydy(x<
br>解:(1)
(xdyydx)
x
1
2
2
y
2
)x
2
dx0
0
1yy
<
br>y
dy
2
dx0
d
0
c
x
xx
x
(2)
[xdxydy(x
2
y
2
)x
2
dx]
1xdxydy
0x
2dx0
2222
xyxy
1111
d[ln
(x
2
y
2
)]d(x
3
)0
l
n(x
2
y
2
)x
3
c
2323
§9.6 可降阶的高阶微分方程
一、内容要点:
可降阶的高阶微分方程的三种类型:
yf(x),
F(x,y
,y
)0,
F(y,y
,y
)0
,找出解的表达式及解法。
本单元的讲课提纲:
1、关于高阶微分方程的解法
求解的思路是
通过变量代换把高阶方程的求解化为较低
阶方程求解,教材介绍了三种可降阶方程的类型,对于不属于<
br>这三类方程的特殊高阶方程有时也能通过换元或者全微分等
手段变成这三种类型进行求解。
2、
yf(x)
只需逐步积分即可求解,在求积分过程中每次都需增加一
个常数,最后的解应包含n个常数。
3、可降阶的二阶微分方程
通常的二阶微分方程为
F(y,y
,y
)0
,有四个变数,仅当缺少
x或y
时一定可以降阶求解。
二、教学要求和注意点
dp
y
p
解方程
y
f(y,y
)
中令
y
p
dp
的作用,的导出过程
dydy
(n)<
br>(n)
说明1:求解全微分方程可暂不引入偏导数概念,对x求导时
把y看成常数即可,
对积分因子只须介绍用目测可以解
决的简单情形;对于全微分的原函数概念可在格林公式
以后介绍。
说明2:高阶线性微分方程的应用背景非常广泛,要针对不同
的专业选择不同的问题引入课题,这样能使学生对微
分方程的学习产生兴趣。
定义1:称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程。
一、
y
(n)
f(x)
―连续积分n次即得其通解。
x
【例1】
y
e
连续积分两次,得,ye
x
c
1
xc
2
二、
y<
br>
f(x,y
)
―跟标准形式相比,缺少
y
。
令
py
,则
p
y
,
则
p
f(x,p)
,设其通解为
p
(x,
c)
则
y
(x,c)
,两边积分即得通解。
2
【例2】求
y
y
x
的通解。
解:令令
py
,则
p
y
,则
利用(4),得通解:
又
py
,所以通解
y
1
x
3
三、
y
f(y,y
<
br>)
―缺少
x
y
dydpdp
ppf(y,p)
令
py
,则
y
d
,代入,得
dydxdydy
dx
,积分即得。 设其通解为
p
(y,c)
,则<
br>y
(y,c)
,即
(
dy
y,c)
3
p
px
2
(一阶线性方程)
px
2
2x2c
1
e
x
x
2
2xc
1
e
x
c
2
【例3】
y
2y
,
y(0
)y
(0)1
求特解。
3
解:令
py
,则
y
p
dp
,从而
dy
积分,得
所以
所以
py
2
p
dp
2y
3
dy
,
pdp2ydy
31
2
1
4
c
1
py
222
由
y(0)y
(0)1
,得
c
2
1
0
由
y
(0)1
知
py
dy
dx
1
y
1
x
1
xc
2
y
由
y(0)1
知
c
2
2
1
【例5】
求
y
1(y
)
的通解。
解:此题既
缺少
x
,又缺少
y
。从理论上,按以上两种方法都
能算出结果,但可
能难度有差别。
此题课堂上当场做,检查学生的能力。
§9.7
高阶线性微分方程
一、内容要点:
二阶线性微分方程的解的结构,高阶线性微分方程
的解的
结构,常数变易法,函数组线性无关的充分必要条件。
本单元的教学提纲
1、关于二阶线性微分方程的解的结构
①齐次线性方程和非齐次线性方程都有解的可加性。
②非齐次线性方程的通解可表示为一个特解与相应齐次
线性方程的通解之和。
③线性方程的通解包括了该方程的所有解。
2、关于二阶线性方程只须知道齐次方程的一个特解,则
利用常数变易法可求出它的全部解。
3、对于二阶非齐次线性方程而言,若相应的二阶齐次线
性方程的通
解为
Cy(x)Cy(x)
,也可用常数变易法找出其特解。
本单元的作业:
二、教学要求和注意点
二阶线性齐次方程中,通解中所含特解的线性无关性
1122
一、 函数的线性相关与线性无关
定义1:设
y(x),y(x)
,,y(x)
是定义在区间I上的函数,如果存在不
12n
全为零的数
k,
k,k
,使得
12n
k
1
y
1
k
2
y
2
k
n
y
n
0
12n
则称
y(x),y(x),,y(x)
在区间I上线性相关。否则,
12n
称
y(x),y(x),,y(x)
在区间I上线性无关。
y(x)
命题
1:设
y(x),y(x)
是定义在I上的函数,则
y(x),y(x)
线性
无关
y(x)
1
1212
2
不恒为常数。
注1
:若
y(x),y(x)
线性无关,则
ky(x)ky(x)
无法合并成<
br>ky(x)
,但当
121122
y
1
(x),y
2<
br>(x)
线性相关可以合并。
二、 二阶线性微分方程及其解的结构
定义2:
称形如:
y
P(x)y
Q(x)yf(x)
的
方程为二阶线性非齐次方
程。若
f(x)0
,则方程为齐次的,若
f(x)
0
,则称方程为非齐次
的。
定理1:设
y(x),y(x)
是<
br>y
P(x)y
Q(x)y0
的两个线性无关的解
,则
12
c
1
y
1
(x)c
2
y
2
(x)
为方程的通解。
1122
定理2:设
y
是<
br>y
P(x)y
Q(x)yf(x)
的特解。cy(x)cy(x)
是对应的齐
次方程的通解,则
y
y
c
1
y
1
(x)c
2
y<
br>2
(x)
•
1
是
y
P(x)y
Q(x)yf(x)
的通解。
•
2
定理3:设
y
,
y
分别是
y
P(x)y
Q(
x)yf(x)
与
y
P(x)y
Q(x)y
f(x)
,则
y
12
•
1
+
y
是
•
2
y
P(x)y
Q(x)yf
1
(x)f
2
(x)
的解。
是某二阶线性非齐次方程【例1】设<
br>y
1
xe
x
e
2x
,y
2
x
e
x
e
x
,y
3
xe
x
e
2x
e
x
的解,求该方程的通解。
解:
Yyy
,
Y
112
12
2
y
1
y
3
,又
Y
1
e
2x
e
x
2xxY
2
ee
不恒为常数
x
1
所以,
Y,Y
线性无关。故通解为
yce
c
2
(e
2x
e
x
)xe
x
e
2x
§9.8 常系数齐次线性微分方程
内容要点:
二阶常系数齐次线性方程的定义,特征方程、通解、n阶常
系数齐次线性方程的定义,特征方程、通解。
本单元的讲课提纲
高阶微分方程一般都很难求得通解,只有常系数线性微分
方程的解法已经完全解决,一般形式可写成
ypypy0
其中
p,p
是常数,由于假设
ye
为它的解,经求导代入方程消
去
e
后得到的相应的特征方程
rprp0
这是n次方程,它一定有n个根
r,,r
,其中
r
可以是k重实根,
也可以是k重共轭复根
i
,每一个
r
都对应齐次方程的一个特
解,共得到n个线性无关的特解,利用线
性微分方程解的结构,
可构成n个任意常数的通解。
本单元的作业:
说明1: 把
求解常系数线性齐次微分方程的问题化成求解多项
式代数方程的问题,这不仅仅是一种普通的求方程解的
技巧,
在线性控制系统中系统和不同的环节都可以用常系数线性微
分方程来描述,用拉普拉斯变
换导出它的传递函数也是一个多
项式代数方程,这说明常系数线性齐次微分方程和多项式代数
方
程之间有着本质上的联系。通过对多项式代数方程的分析,
可以得到控制系统的特性。
说明2:用特征方程求解常系数线性齐次微分方程要求熟练
(n)(n1)
1n<
br>rx
1n
rx
nn1
1n
1ni
i
一、
二阶常系数线性齐次方程的解
二、
定义:称形如
y
py
qy0
(1),其中
p,q
为常数的方程为二阶
常系数线性齐次方程.
下面我们来讨论其解的结构.
命题1:
e
rx
是
y
py
qy0
的解
r
是
r
2
prq0
的解,并称
r
2
prq0
(2)
是(1)的特征方程.
(i) 当特征方程(2)有两个不同的实根
r,r
时,则
y
12
1
e
r
1
x
,<
br>y
2
e
r
2
x
时方
y
程(1)的两个解,且
y
不恒为常数,从而方程(1)的通解为
12
yc
1
e
r
1
x
c
2
e
r
2
x
.
1
(ii) 当
rr
12
r
时,则
y
2
rx
e
r
1
x
是(1)的一个解.现在求另一个线性无关
的解
y
.设
e
y
2
u(x)
,代入(1)得
,
2rp0,r
2
2
e
rx
[u
(2rp)u
(r
2
prq)]0prq0
所以
u
0
则
u(x)ccx
取
12
u(x)x
,则
yxe
rx
通解为:
yc
1
e
rx
c
2
xe
rx
i
r
1
x
e
1
(iii) 当
r
1,2<
br>,则
y
,
y
2
e
r
2
x
,应用欧拉公式,得
y
y0
y<
br>1
e
x
(cos
xisin
x)
,
y
2
e
x
(cos
<
br>xisin
x)
构造
1
1
Y
1
(y
1
y
2
)e
x
cos
<
br>x
2
Y
2
1
(y
1
y
2
)e
x
cos
x
2i显然
Y,Y
线性无关,故通解为:
2
ye
x(c
1
cos
xc
2
sin
x
)
[例1] 求通解 (1)
y
2y
y0
(2)
y
2y
30
(3)
解:
(1) 特征方程为
从而通解为
yce
1
x
r
2
2r10
则
rr
12
1
c
2
xe
x
2
则
r3,r
12
(2) 特征方程为
r
从而通解为
yce
1
3x
2r30
1
c
2
e
x
则
r
1,2
(3)
特征方程为
r
2
10
i
从而通解为
yccosxcsinx
12
二.n阶常系数线性齐次方程
y
(n)
a
1
y
(n1)
a
n1
y
a
n
y0
n
(1)
(2)
rx
特征方程为<
br>ra
1
r
n1
a
n1
ra
n
0
(i) 当(2)中有单根时,(1)的通解中含:
ce
;
(ii) 当(2)中有
k
重根时,(1)的通解中含:
(iii)
当(2)中有一对单复根时,
r
e(ccos
xcsin
x)
x
12
1,2
(c
1
c
2
xc
k
x
k1
)e
rx
i
,(1)的通解中含:
(iv)
当(2)中有
k
重单复根时,(1)中的通解含有:
(c
1
c
2
xc
k
x
k1
)e
rx
cos
x
(4)
+
(ccxcx
12k
k1
)e
rx
sin
x
[例2]
求
y2y
2y
0
4
通解.
则
rr
1
4
解: 特征方程为
r
1
2r
3
2r
2
0
x
2
0
r
3,4
1i
,
则
y
的通解为
yccxe(ccosxcsinx)
§9.9 常系数非齐次线性微分方程
一、内容要点:
二阶常系数非齐次线性方程的定义及在自由项为两种特殊
形式时用待定系数法寻找特解。
本单元的讲课提纲
非齐次常系数方程的通解可表示为相应的齐次方程通解与
非
齐次方程一个特解之和,从而关键在于寻求特解,当自由项
为
P(x)e
时,可通过待
定系数法求特解,应熟练掌握,若自由项
可写成若干个项相加,应用线性方程解的结构定理。但自由项<
br>23
x
m
不是本节的两种形式,可用常数变易法求特解。
二、教学要求和注意点
常系数非齐次线性微分方程中自由项的局限性。
说明1:非齐次常系数线性微分方程的解法主
要是求它的特解;
方程的右边项应理解为系统的输入,用实例说明系统
的输入对输出的影响。
说明2:微分方程的幂级数解法可归入幂级数部分介绍
定义:称形式为:
y
py
qyf(x)0
(2)方程,为二阶常系数线性
非齐次方程.
下面讨论它的解的结构.
一、
f(x)e
x
P
m
(x)
型 <
br>•
设方程(2)的特解结构为:
ye
x
Q(x)
m
(1)
当
不是特征根时,
Q(x)
可设为
Q(x)Q
项式。
(x)
,即为一m次多
(2) 当
是特征单根时,
Q(x
)
可设为
Q(x)xQ
次多项式。
m
(x)
,即为一m+1
(3) 当
是特征重根时,Q(x)
可设为
Q(x)xQ
2
m
(x)
,即为一m
+2
次多项式。
【例1】
求
y
y
x
的通解。
2
解:特征方程为
ycce
x
12
r
2
r0
则
r0,r
12
1
,则齐次方程的通解为
由于
=0是特征单根,则设特解
为
y
•
xQ
2
(x)x(ax
2
bxc)
代入方程,比较系数得
所以
1
a
,b1,c2
3
3ax
2
(6a2b)x2bcx
2
x
故 特解
1
y
•
x(x
2
x2)
3
所以通解为:
ycce
12
1
x(x
2
x2)
3
二、
f(x
)e
x
[P
L
(x)cos
xR
n
(x)sin
x]
•
x
k
e
x
[R
m
(x)cos
xS
m
(x)sin
x]
令
mMax{L,n}
,则特解设为
y
其中若
i
不是特征方程的根,
k0
;若
i
是特征方程的根,
k1。
x
【例2】 求
y
2y
5y
e
解:特征方程:
r
2
sinx
的一个特解。
1,2
2r50
,则
r12i
又
<
br>
i
=
1i
不是特征方程的根,
k0
从而特解设为
y
•
e
x
(AcosxBsinx),代入方程比较系数,得
3Acosx3Bsinxsinx
所以
A0,B
1
y
3
•
1e
x
sinx
3