俗话-体检通知

常微分方程教材

第九章 微分方程
一、教学目标及基本要求
（1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。
（2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解
齐次方程。
（3） 会 用降阶法解下列方程：
y
(n)
f(x),y

f(x,y< br>
),y

f(y,y

)
。
（4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。
（5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某
些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
（6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，
以及它们的和与二阶常系数非齐 次线性微分方程的特
解和通解。
（7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、本章教学内容的重点和难点
1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；
2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；
3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次
与非齐次方程的解法；
4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。
三、本章教学内容的深化和拓宽：
1、分离变量法的理论根据；
2、常用的变量代换；
3、怎样列微分方程解应用题；
4、黎卡提方程；
5、全微分方程的推广；
6、二阶齐次方程；
7、高阶微分方程的补充；

8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；
9、求线性非齐次方程的一个特解；
10、常数变易法。

本章的思考题和习题
解下列方程（第1-6题）
1、
(1x)y

yx,y(0)2

2、
f(x)ee


f

x


dx ,f
可微
3、
1xsin2y•y

2xsinye

4、
(y3x)dyxydx0

5、
y

2xy

0,y(0)1,y

(0)
1
< br>2
xx
x
2
0
2221X
2
42
2
6、
yxy

y

y


7、已知可微函数
f(x)
满足

2
x
1
f(x )dx
f(x)1,求f(1)和f(x)
f
2
(x)x
；
8、已知

1
0
f(ax)da
1
f(x)1 ,f可微,求f(x)
2
22
；

9、求与曲线族
2x3yC
相交成
45
角的曲线；
10、一容器的容积为100L，盛满盐水，含10kg的盐，现
以每分钟3L的速度向容器内 注入淡水冲淡盐水，又以同样的
速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余
的 水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相
等？








§9.1 微分方程的基本概念
一、内容要点：

先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的
一系列概念；
常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特
解、积分曲线族的定义；
二、教学要求和注意点
了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特
解以及积分曲线
说明1：一 个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实
际问题两种等价的描述形式。前者强调的是运动的过程 ，是系
统的机理；后者强调的则是运动的结果，是系统的输出。
说明2：可分离变量的微分方 程虽然简单，但它是求解各种微
分方程的基础，要求学生必须熟练掌握。
定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种
最高阶导数的阶数为方程的阶数。
如：
等等
讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程
好解 。解之，
y
1
4
1
xC
1
x
2
C
2
xC
3
242
y

x
y

y

2
xy1
二阶方程；
y

2
xy0
一阶方程；
y

x
三阶方程 ，
，方程两边三次积分，得方程的解
4
23
1
x
时，也满足 方（
C,C,C
为任意常数）。当
y
24
1
程。可见 < br>y
1
4
1
xC
1
x
2
C2
xC
3
242
包括了所有的解的形式。则称它为通解。
定 义2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种
含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于 方程的阶数，
则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。

注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通
解，要么是特解
注2： 一阶方程的几种形式：一般形式：
F(x,y,y

)0
，从这个方
程种有可能解出
y

，也有可能解不出来；一阶显式方程：
y
< br>f(x,y)
P(x,y)

；对称形式：
dy
或
PdxQdy0

dxQ(x,y)
注3：在一阶方程种，
x
和
y
的关系是等价的.因此，有时可将
x
看成函数，
y
看做变 量。
§9.2 可分离变量的微分方程
一、内容要点：
可分离变量的方程及其他可化为变量可分离的方程的定
义及解法。
本单元的讲课提纲：
然后再讲具体的类型与解法—可分离变量的方程与分离
变量法。 重点是微分方程的阶、通解与特解等概念，分离变量
法。难点是利用微分方程建立数学模型关键是判别可 分离变量
方程的方法，以及具体积分方法。
二、教学要求和注意点
掌握可分离变量微分方程的解法
注意问题：


(x)dx
通常只表示一个原函数，积分常数C有
时写成
lnC,lnC

定义1：称 能改写为形式：
f(y)dyg(x)dx
的一阶方程为可分离变量
方程。
注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性
方程的特殊情况。
定理 1：若
F

(y)f(y)
，
G(x)g(x)
，则< br>f(y)dyg(x)dx
的通解为
F(y)G(x)C

证： （1）先证
F(y)G(x)C
是方程的解。

两边对
x
求导，得
f(y)
dy
g(x)
，即
f(y) dyg(x)dx

dx
故
F(y)G(x)C
是方程的解
（2）设
y

(x)
是方程的任一解，则
f[

(x)]


(x)dxg(x)dx

两边关于
x
积分，得

f[

(x)]


(x)dx

g(x)dx

又
F(x)
是
f(x)
的一个原函数，
G(x)
是
g(x)
的 一个原函数
则
F[

(x)]G(x)C
，即
y< br>
(x)
在
F(y)G(x)C
中
所以，
通解。
注2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条
件。
【例1】 求
sinxcosydxcosxsinydy0
的通解，并求满足初 始条件
y(0)

4
的特解。
sinxsiny
dx dy
，两边积分，得
lncosxlncosylnC
解：方程可变为cosxcosy
F(y)G(x)C
为
f(y)dyg(x)dx
的通解。
注1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得
即
cosyCcosx
为方程的通解。
cos
又
y(0)

，代入，得
4

4
Ccos0

C
2
cosx
2
2
2

即满足初始条件的特解为
【例2】 求
y

e
的通解。
xy
cosy

解：由
y

e
e
y
e
x
c
xy
e
x
e
y
edx
，两边积分，得 ，分离变量，得
dy
e
x
y
，即为方程的隐式通解。
二、可化为齐次方程的方程

xXh
dyaxby c

经

变换将行如方程化为齐次方程。

dxaxb yc
yYk

111
xy1

【例3】 求
dy
的通解。
dxxy1
xXh
dYXY(hk 1)

解：令

，则

dXXY(hk1)< br>yYk

令

hk10

h0



hk10

k1

即

xX


yY1

dYXYY
方程变为：
dX
，令
u
代入，得 < br>
X
XY
1udX
du
12uu
2X
，积分，得
12uu
2
2
CX
2
，由
u
Y
X
代回，得
通解为：
y1

y1

2
12

Cx
x

x< br>
（其中
C
为任意常数）
§9.3 齐次方程
内容要点：
齐次方程的定义及求解公式，可化为齐次方程的定义以及
解法
本单元的讲课提纲
齐次方程的判别和解法不算困难，难在寻找相应的变量代
换的问题，变量代换法比较灵活，可多举一些各类型的例题，
让学生多见识一些变量代换，以便学生活跃 思路，积累经验。
重点是齐次方程与变量代换法，难点是寻找变量代换。
作业：同步训练习题
一、齐次方程

y

f

的微分方程为一阶 齐次方程。定义1：称能改写成形式：
dy

dxx

我们下面来看看齐次方程解的情形：
y
令
u
x
，即
yux
，代入方程，得

ux
du
f(u)
dx
dx

，分离变量，得
u
du

f(u)x
y
两边积 分，解出
u
，再将
u
x
回代，即得通解。
【例1】 求
(yx
2
y
2
)dxxdy0
的通解。
2
解：原方程可化为
ux
du
u1u
2
dxdyy

y

1

dxx

x

du
1u
2
y
，令
u
x
，即
yux
，代入方程，得
，化简
c
x

dx
x

x
2
y
2
c
积分，得
u1u
2

y
，将
u
x
回代，得通解为
y

二、可化为齐次方程的方程
xXh
dyaxbyc

经< br>
变换将行如方程化为齐次方程。

dxaxbyc
yYk

111
xy1

【例4】 求
dy
的通解。
dxxy1
xXh
dYXY(hk1)

解：令< br>
，则

dXXY(hk1)
yYk

令

hk10

h0



h k10

k1

即

xX


yY1

dYXYY
方程变为：
dX
，令
u
代入，得 < br>
X
XY
1udX
du
12uu
2X
，积分，得
12uu
2
2
CX
2
，由
u
Y
X
代回，得
通解为：


y 1

y1

2
12

Cx
x< br>
x

（其中
C
为任意常数）
§9.4 一阶线性微分方程
一、内容要点：
一阶线性微分方程的形式及求解公式，伯努利方程的形式

及解法
本单元的讲课提纲
（1）讲线性非齐次的一阶方程的解法时，要交待变易常
数的想法并加强练习，这对今后讲二阶线性方程和线性方程组
的常数变易法是有益的。
（2）导出线性非齐次一阶方程的求通解公式以后，可顺
利导出满足条件
y(x)y
的特解公式，还应指出两点：第一，当
P(x),Q(x),C
时，线性方程的解总可通过两 次积分求得，第二，揭
示通解结构。重点是解线性非齐次方程的公式法与常数变易
法。难点是伯 努利方程。关键是套求解公式或常数变易法及凑
微分或令
y
z解伯努利方程。
二、教学要求和注意点
1、知道解一阶线性微分方程的常数变易法，并掌握一阶
非齐次线性方程的通解公式。
2、 知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的
通解和非齐次方程的一个特解之和
3、齐次方程与线性齐次方程的作用

一、 一阶线性微分方程
001n
定义1：称可转化为形式：
dy
P(x)yQ(x)
(1 )的方程为一阶线性
dx
方程；若
Q(x)0
，则（1）式称为一阶线性齐 次方程；
Q(x)0
，（1）
式称为一阶线性非齐次方程。
下 面我们来看看方程（1）的解的情形：先看齐次方程：
dy
P(x)y0
dx （2） 显然是可分离变量方程。
P(x)dx
yce

P(x)dx
，两边积分，得 得
dy
y
（3）为一阶线性齐次方
程（2）的通解。

下面我们求（1）的解，由方程（1）和（2）形式的相似
性，那它们的解也具有某种相似性。我们用一种常数变易法来
求（1）的解：假设
yc(x )e

得
P(x)dxP(x)dxP(x)dx
c
(x)e

P(x)c(x)e

P(x)c(x)e
< br>Q(x)
P(x)dx
为非齐次方程(1)的解，代入方程，

则
c

(x)e

则
P(x)dx
Q(x)
，
c

(x)e

P(x)dx
P(x)dx
Q(x)

积分，得
c(x)

Q(x)e

dxC


P(x)dx
dxC

e


P(x)dx
y

Q(x)e




（4）即为方程（1）的通解。
【例1】求
y

ytgxsecx
的通解。
解：由于
y

ytgxsecx
为一阶线性非齐次方程，且
P(x) tgx,Q(x)secx
，
代入（4），得其通解为


< br>tgxdx

tgxdx
y

dxC



secxe

e

＝
(xC)secx< br>
y

[例2] 求
dy
的通解。
dx2xy
2
解： 若将
y
看成函数，
x
作为变 量，此方程不是一阶线性方程。
故将
x
看成函数，
y
作为变量，则原 方程化为：
dx2xy
2

dyy
dx2
xy< br>，为一阶线性方程， 进一步化简，
dyy
P(y)
2
,Q(y)y
y

xy(Clny)
代入（4），得方程的通解为 。
二、 贝努力方程―可化为一阶线性方程的方程
P(x)yQ(x)y
的方程为一阶贝努力方程。 定义2：称形如：
dy
dx
n
下面我们看看贝努力方程的解的情形：将方程变形为

y
n
dy
P(x)y
1n
Q(x)
dx
，令
zy
，则方程化为
1n
dz
(1n)P(x)z (1n)Q(x)
dx
1n
，为一阶线性方程，故可用上述方法求解，
最 后将
zy
代回，即得通解。
【例3】求
xy

yy
2
lnx0
的通解。
y
2
y


1
1
lnx
y
解：将方程变形，得 ，为贝努力方程。令
zy
，代
1
xx
入
dz1ln< br>dx

x
z
x
x
，利用（4），得
zlnx1Cx
，又
zy
1
，
所以
y
1
lnxcx1
为原方程的通解。

§9.5 全微分方程
一、内容要点：
全微分方程的定义及其条件，解的表达式常见的积分因
子。
本单元的讲课提纲
1、全微分方程的解法关键在于首先将方程写成

P(x,y)dxQ(x,y)dy0

P
 Q

验证

如果成立，则可把上式写成
duPdxQdy0< br>解为
U(x,y)C
,
yx
求
U(x,y)
有 下列三种方法：
1）线积分法 2）偏积分法 3）分组观察凑全微分法
PQ

2、若
P(x,y)dxQ(x,y)dy0
中
< br>，则可以寻求一个积分因子
yx

(x,y)
，使得
< br>
y
(

P)


x
(

Q)
，即存在
U(x,y)
使得
dU

(Pd xQdy)o
从而
是通解。
U(x,y)C

二、教学要求和注意点
判断和求解全微分方程的方法；寻找积分因子的分组观察
法；

定义1：如果存在可微函数
u(x,y)
，使
duP(x,y) dxQ(x,y)dy
，则称
P(x,y)dxQ(x,y)dy0
微全微分方 程。
QP

命题：（1）
PdxQdy0
为全微分方程


xy
（2）
xy
x
0
y
0
PdxQdy0
的通解为
u(x,y)C
，其中
u(x,y)

P(x,y
0< br>)dx

Q(x,y)dy
。
的通解。 【例1】求
解： 令
x
2
1
xydx()dy0
2y
x
21
Pxy,Q
2y
x
QP

，由于

，故方程为全微分方程
xy
y
xy
所以
u(x,y) 

x
0
P(x,y
0
)dx

Q(x ,y)dy


0
xdx

1
y
0x
2
1
()dy
2y

x
2
y
lnyC
2

二、可化为全微分方程的方程―积分因子
定义2：设
PdxQdy0
不 是全微分方程，如果存在可微函数
u(x,y)
使
uPdxuQdy0
为 全微分方程，则称
u(x,y)
为原方程的积分因子。
注：积分因子不唯一，而且一 般也没有什么固定的方法求解积
分因子，故只有多积累才能有效的解题。

【例2】（1）
xdyydx0
； （2）
xdxydy(x< br>解：（1）
(xdyydx)
x
1
2
2
y
2
)x
2
dx0

0

1yy
< br>y

dy
2
dx0

d

 0

c
x
xx

x


（2）
[xdxydy(x



2
y
2
)x
2
dx]
1xdxydy
0x
2dx0

2222
xyxy

1111
d[ln (x
2
y
2
)]d(x
3
)0

l n(x
2
y
2
)x
3
c
2323

§9.6 可降阶的高阶微分方程
一、内容要点：
可降阶的高阶微分方程的三种类型：
yf(x),

F(x,y

,y

)0,

F(y,y

,y

)0
，找出解的表达式及解法。
本单元的讲课提纲：
1、关于高阶微分方程的解法
求解的思路是 通过变量代换把高阶方程的求解化为较低
阶方程求解，教材介绍了三种可降阶方程的类型，对于不属于< br>这三类方程的特殊高阶方程有时也能通过换元或者全微分等
手段变成这三种类型进行求解。
2、
yf(x)

只需逐步积分即可求解，在求积分过程中每次都需增加一
个常数，最后的解应包含n个常数。
3、可降阶的二阶微分方程
通常的二阶微分方程为
F(y,y
,y

)0
，有四个变数，仅当缺少
x或y

时一定可以降阶求解。
二、教学要求和注意点
dp
y

p
解方程
y

f(y,y

)
中令
y

p
dp
的作用，的导出过程
dydy
(n)< br>(n)
说明1：求解全微分方程可暂不引入偏导数概念，对x求导时
把y看成常数即可， 对积分因子只须介绍用目测可以解
决的简单情形；对于全微分的原函数概念可在格林公式

以后介绍。
说明2：高阶线性微分方程的应用背景非常广泛，要针对不同
的专业选择不同的问题引入课题，这样能使学生对微
分方程的学习产生兴趣。
定义1：称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程。
一、
y
(n)
f(x)
―连续积分n次即得其通解。
x
【例1】
y

e

连续积分两次，得，ye
x
c
1
xc
2

二、
y< br>
f(x,y

)
―跟标准形式相比，缺少
y
。
令
py

，则
p

y

， 则
p

f(x,p)
，设其通解为
p

(x, c)

则
y



(x,c)
，两边积分即得通解。
2
【例2】求
y

y

x
的通解。
解：令令
py

，则
p

y
，则
利用（4），得通解：
又
py

，所以通解
y
1
x
3
三、
y

f(y,y
< br>)
―缺少
x

y

dydpdp
ppf(y,p)
令
py

，则
y


d
，代入，得
dydxdydy
dx
，积分即得。 设其通解为
p

(y,c)
，则< br>y



(y,c)
，即

(
dy
y,c)
3
p

px
2
（一阶线性方程）

px
2
2x2c
1
e
x
x
2
2xc
1
e
x
c
2

【例3】
y

2y
，
y(0 )y

(0)1
求特解。
3
解：令
py

，则
y

p
dp
，从而
dy
积分，得
所以
所以
py
2
p
dp
2y
3
dy
，
pdp2ydy

31
2
1
4
c
1
py
222
由
y(0)y

(0)1
，得
c
2
1
 0

由
y

(0)1
知
py
dy
dx

1

y
1

x

1
xc
2
y
由
y(0)1
知
c
2
2
1
【例5】 求
y

1(y

)
的通解。
解：此题既 缺少
x
，又缺少
y
。从理论上，按以上两种方法都
能算出结果，但可 能难度有差别。
此题课堂上当场做，检查学生的能力。

§9.7 高阶线性微分方程
一、内容要点：
二阶线性微分方程的解的结构，高阶线性微分方程 的解的
结构，常数变易法，函数组线性无关的充分必要条件。
本单元的教学提纲
1、关于二阶线性微分方程的解的结构
①齐次线性方程和非齐次线性方程都有解的可加性。
②非齐次线性方程的通解可表示为一个特解与相应齐次
线性方程的通解之和。
③线性方程的通解包括了该方程的所有解。
2、关于二阶线性方程只须知道齐次方程的一个特解，则
利用常数变易法可求出它的全部解。

3、对于二阶非齐次线性方程而言，若相应的二阶齐次线
性方程的通 解为
Cy(x)Cy(x)
，也可用常数变易法找出其特解。
本单元的作业：
二、教学要求和注意点
二阶线性齐次方程中，通解中所含特解的线性无关性
1122
一、 函数的线性相关与线性无关
定义1：设
y(x),y(x) ,,y(x)
是定义在区间I上的函数，如果存在不
12n
全为零的数
k, k,k
，使得
12n
k
1
y
1
k
2
y
2
k
n
y
n
0
12n
则称
y(x),y(x),,y(x)
在区间I上线性相关。否则，
12n
称
y(x),y(x),,y(x)
在区间I上线性无关。
y(x)
命题 1：设
y(x),y(x)
是定义在I上的函数，则
y(x),y(x)
线性 无关

y(x)
1
1212
2
不恒为常数。
注1 :若
y(x),y(x)
线性无关，则
ky(x)ky(x)
无法合并成< br>ky(x)
，但当
121122
y
1
(x),y
2< br>(x)
线性相关可以合并。
二、 二阶线性微分方程及其解的结构
定义2： 称形如：
y

P(x)y

Q(x)yf(x)
的 方程为二阶线性非齐次方
程。若
f(x)0
，则方程为齐次的，若
f(x) 0
，则称方程为非齐次
的。
定理1：设
y(x),y(x)
是< br>y

P(x)y

Q(x)y0
的两个线性无关的解 ，则
12
c
1
y
1
(x)c
2
y
2
(x)
为方程的通解。
1122
定理2：设
y
是< br>y

P(x)y

Q(x)yf(x)
的特解。cy(x)cy(x)
是对应的齐
次方程的通解，则

y
y
c
1
y
1
(x)c
2
y< br>2
(x)
•
1
是
y

P(x)y

Q(x)yf(x)
的通解。
•
2
定理3：设
y
，
y
分别是
y

P(x)y

Q( x)yf(x)
与
y

P(x)y

Q(x)y f(x)
，则
y
12
•
1
＋
y
是
•
2
y

P(x)y

Q(x)yf
1
(x)f
2
(x)
的解。
是某二阶线性非齐次方程【例1】设< br>y
1
xe
x
e
2x
,y
2
x e
x
e
x
,y
3
xe
x
e
2x
e
x
的解，求该方程的通解。
解：
Yyy
，
Y
112
12
2
y
1
y
3
，又
Y
1
e
2x
e
x

2xxY
2
ee
不恒为常数
x
1
所以，
Y,Y
线性无关。故通解为
yce







c
2
(e
2x
e
x
)xe
x
e
2x

§9.8 常系数齐次线性微分方程
内容要点：
二阶常系数齐次线性方程的定义，特征方程、通解、n阶常
系数齐次线性方程的定义，特征方程、通解。
本单元的讲课提纲

高阶微分方程一般都很难求得通解，只有常系数线性微分
方程的解法已经完全解决，一般形式可写成
ypypy0

其中
p,p
是常数，由于假设
ye
为它的解，经求导代入方程消
去
e
后得到的相应的特征方程
rprp0

这是n次方程，它一定有n个根
r,,r
，其中
r
可以是k重实根，
也可以是k重共轭复根

i

，每一个
r
都对应齐次方程的一个特
解，共得到n个线性无关的特解，利用线 性微分方程解的结构，
可构成n个任意常数的通解。
本单元的作业：
说明1： 把 求解常系数线性齐次微分方程的问题化成求解多项
式代数方程的问题，这不仅仅是一种普通的求方程解的 技巧，
在线性控制系统中系统和不同的环节都可以用常系数线性微
分方程来描述，用拉普拉斯变 换导出它的传递函数也是一个多
项式代数方程，这说明常系数线性齐次微分方程和多项式代数
方 程之间有着本质上的联系。通过对多项式代数方程的分析，
可以得到控制系统的特性。
说明2：用特征方程求解常系数线性齐次微分方程要求熟练
(n)(n1)
1n< br>rx
1n
rx
nn1
1n
1ni
i
一、 二阶常系数线性齐次方程的解
二、 定义:称形如
y

py

qy0
(1),其中
p,q
为常数的方程为二阶
常系数线性齐次方程.
下面我们来讨论其解的结构.
命题1:
e
rx
是
y
py

qy0
的解

r
是
r
2
prq0
的解,并称
r
2
prq0
(2)
是(1)的特征方程.
(i) 当特征方程(2)有两个不同的实根
r,r
时,则
y
12
1
e
r
1
x
,< br>y
2
e
r
2
x
时方

y
程(1)的两个解,且
y
不恒为常数,从而方程(1)的通解为
12
yc
1
e
r
1
x
c
2
e
r
2
x
.
1
(ii) 当
rr
12
r
时,则
y
2
rx
e
r
1
x
是(1)的一个解.现在求另一个线性无关
的解
y
.设
e
y
2
u(x)
,代入(1)得
,
2rp0,r
2
2

e
rx
[u
 
(2rp)u

(r
2
prq)]0prq0
所以
u

0

则
u(x)ccx
取
12
u(x)x
,则
yxe
rx

通解为:
yc
1
e
rx
c
2
xe
rx




i

r
1
x
e
1
(iii) 当
r
1,2< br>,则
y
,
y
2
e
r
2
x
,应用欧拉公式,得



y

y0
y< br>1
e

x
(cos

xisin
x)
,
y
2
e

x
(cos
< br>xisin

x)
构造
1
1
Y
1
(y
1
y
2
)e

x
cos
< br>x
2

Y
2

1
(y
1
y
2
)e

x
cos

x
2i显然
Y,Y
线性无关,故通解为:
2
ye

x(c
1
cos

xc
2
sin

x )
[例1] 求通解 (1)
y

2y

y0
(2)
y

2y

30
(3)
解: (1) 特征方程为
从而通解为
yce
1
x
r
2
2r10
则
rr
12
1

c
2
xe
x
2

则
r3,r
12
(2) 特征方程为
r
从而通解为
yce
1
3x
2r30
1

c
2
e
x

则
r
1,2
(3) 特征方程为
r
2
10
i

从而通解为
yccosxcsinx

12
二.n阶常系数线性齐次方程

y
(n)
a
1
y
(n1)
a
n1
y

a
n
y0
n
(1)
(2)
rx
特征方程为< br>ra
1
r
n1
a
n1
ra
n
0
(i) 当(2)中有单根时,(1)的通解中含:
ce
;
(ii) 当(2)中有
k
重根时,(1)的通解中含:
(iii) 当(2)中有一对单复根时,
r
e(ccos

xcsin

x)


x
12
1,2
(c
1
c
2
xc
k
x
k1
)e
rx





i
,(1)的通解中含:
(iv) 当(2)中有
k
重单复根时,(1)中的通解含有:

(c
1
c
2
xc
k
x
k1
)e
rx
cos

x
(4)
+
(ccxcx
12k
k1
)e
rx
sin

x

[例2] 求
y2y

2y

0
4
通解.
则
rr
1
4
解: 特征方程为
r
1
 2r
3
2r
2
0
x
2
0
r
3,4
1i
,
则
y
的通解为
yccxe(ccosxcsinx)

§9.9 常系数非齐次线性微分方程
一、内容要点：
二阶常系数非齐次线性方程的定义及在自由项为两种特殊
形式时用待定系数法寻找特解。
本单元的讲课提纲
非齐次常系数方程的通解可表示为相应的齐次方程通解与
非 齐次方程一个特解之和，从而关键在于寻求特解，当自由项
为
P(x)e
时，可通过待 定系数法求特解，应熟练掌握，若自由项
可写成若干个项相加，应用线性方程解的结构定理。但自由项< br>23

x
m

不是本节的两种形式，可用常数变易法求特解。
二、教学要求和注意点
常系数非齐次线性微分方程中自由项的局限性。
说明1：非齐次常系数线性微分方程的解法主 要是求它的特解；
方程的右边项应理解为系统的输入，用实例说明系统
的输入对输出的影响。
说明2：微分方程的幂级数解法可归入幂级数部分介绍
定义:称形式为:
y

py

qyf(x)0
（2）方程,为二阶常系数线性
非齐次方程.
下面讨论它的解的结构.
一、
f(x)e

x
P
m
(x)
型 < br>•
设方程（2）的特解结构为：
ye

x
Q(x)

m
（1） 当

不是特征根时，
Q(x)
可设为
Q(x)Q
项式。
(x)
，即为一m次多
（2） 当

是特征单根时，
Q(x )
可设为
Q(x)xQ
次多项式。
m
(x)
，即为一m＋1
（3） 当

是特征重根时，Q(x)
可设为
Q(x)xQ
2
m
(x)
，即为一m ＋2
次多项式。
【例1】 求
y

y

x
的通解。
2
解：特征方程为
ycce

x
12
r
2
r0
则
r0,r
12
1
，则齐次方程的通解为
由于

＝0是特征单根，则设特解 为
y
•
xQ
2
(x)x(ax
2
bxc)

代入方程，比较系数得
所以
1
a ,b1,c2
3
3ax
2
(6a2b)x2bcx
2



x
故 特解
1
y
•
x(x
2
x2)
3
所以通解为：
ycce
12
1
x(x
2
x2)
3

二、
f(x )e

x
[P
L
(x)cos

xR
n
(x)sin

x]
•

x
k
e
x
[R
m
(x)cos

xS
m
(x)sin

x]
令
mMax{L,n}
，则特解设为
y

其中若



i
不是特征方程的根，
k0
；若



i
是特征方程的根，
k1。
x
【例2】 求
y

2y

5y e
解：特征方程：
r
2
sinx
的一个特解。
1,2
2r50
，则
r12i

又
< br>

i
＝
1i
不是特征方程的根，
k0

从而特解设为
y
•
e
x
(AcosxBsinx)，代入方程比较系数，得
3Acosx3Bsinxsinx

所以
A0,B
1


y
3
•
1e
x
sinx
3