微笑的力量-2013高考人数

微分方程

第十二章 微分方程
§12-1 微分方程的基本概念

一、判断题
1.y=ce
2x
(c的任意常数)是
y

=2x的特解。 ( )
2.y=(
y

)
3
是二阶微分方程。 ( )
3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ）
二、填空题
1.
微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是

。

2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线y=(c
1
+c
2
x)e
2x
中满足y
三、选择题
1．下列方程中 是常微分方程
（A）、x+y=a (B)、 y+
222
x=0
=0,
y

x=0
=1的曲线是 。
d
dx
(e
arctanx
)0
(C)、
a
x
2
2
+
a
y
2
2
=0 （D）、
y

=x+y
22
2.下列方程中 是二阶微分方程

（A）（
y

）+x
2
y< br>+x
2
=0 (B) (
y

)
2
+3x
2
y=x
3
(C)
y

+3
y

+y=0 (D)
y

-y
2
=sinx
3.微分方程
d y
dx
2
2
+w
2
y=0的通解是 其中c.c
1.
c
2
均为任意常数
（A）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c
1
coswx+c
2
sinwx (D)y=c coswx+c sinwx
2
4. C是任意常数，则微分方程
y

=
3y
3
的一个特解是
（A）y-=(x+2)
3
(B)y=x
3
+1 (C) y=(x+c)
3
(D)y=c(x+1)
3

四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．
yCx


五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开 始自由落下，已知物体在液体中受的阻
力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度 与时间的关系并写出初始
条件。


12-2 可分离变量的微分方程

2
C
（其中
C
为任意常数） 2.
yC1
e
22x
C
2
e
3x
（其中
C< br>1
,C
2
为任意常数）
1

微分方程

一、求下列微分方程的通解
1． +secytanxdy=0


2． (x+xy
2
)dx-(x
2
y+y)dy=0


3． (e
x+y
-e
x
)dx+(e
x+y
-e
y
)dy=0


4．
y

=cos(x-y).(提示令.x-y=z)


二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
1． cosydx+(1+e)sinydy=0. y


2.


三 、设f(x)=x+



四、求一曲线的方程，曲线通过点（ 0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连
线。


五、船 从初速v
0
=6米秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求
船速随时间变化的规律。


12-3 齐次方程
一、求下列齐次方程的通解
1
xy

-xsin


二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
y
x
0
x
0
22
-x
x=0
=

4

s ecx
1y
2
dyxdx.y
x
3

21

f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)
2 (x+ycos
y
x
)
dx- xcos
y
x
dy=0
2

微分方程

1．xy
dy
ax
=x+y y
22
x=e
=2e +(xy-y)dx=0y
22
x=1
=1


三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy的通解


四、设 有连结点O(0，0)和A（1，1）一段向上凸的曲线孤
O

A
对于
O

A
上任一点
P（x，y）,曲线孤与
O
< br>P
直线段
OP
所围图形的面积为x
2
，求曲线孤
O< br>
A
的方程。



12.4 一阶线性微分方程

一、求下列微分方程的通解
1.x
y

+y=xe
x

2.
y

+ytanx=sin2x


3.
y

+
1
x
y
sinx
x
4.
dy
dx

y
xye
3y



二、求下列微分方程满足初始条件的特解


1．
y

cosy+siny =x y
x0

2.(2x+1)e
y
y
2e
y
=4 y
4
x0
0



b
三、已知f(< br>
),曲线积分

a

sinxf(x)

y
x
dxf(x)dy
与路径无关，求函数f(x).


四、质量为M
0
克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的 速率
减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速
度与时间的关系。


五、 求下列伯努利方程的通解
1．y′+


1
x
yx
2
y
5
2. xy′+y-y
2
lnx=0
3

微分方程

12-4 全微分方程

一、求下列方程通解
22
1．[cos(x+y)+3y]dx+[2ycos(x+y)+3x]dy=0


2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0


3.e
y
dx+(xe
y
-2y)dy=0


二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解
1 ydx- xdy+y
2
xdx=0


2 y(2xy+e
x
)dx-e
x
dy=0


2
三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+xy]dy=0为全微分方程，其中函数f( x)连续可微，f(0)=0,试求函
数f(x)，并求该方程的通解。


12-7 可降阶的高阶微分方程

一、求下列各微分方程的通解
1．
y

=xsinx 2.
y

-
y

=x


3.y
y

+(
y

)
2
=
y

4.
y

(1+e
x
)+
y

=0


二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解

1．2
y

=sin2y y
x0


y

x0
1

2


2. x
y

-
y
< br>ln
y

+
y

lnx=0 y


x1
2

y

x1
e

2
4

微分方程

三、函数f (x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及
f

(x)-
f(x )
x


x
f(t)
t
2
1
dt 0
,求f(x).


四、一物体质量为m,以初速度Vo从一斜面上滑 下，若斜面的倾角为

，摩擦系数为u,试求
物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关 系。


12-8 高阶线性的微分方程

一、选择题
1．下列方程中 为线性微分方程
（A）（
y

）+x
y

=x (B)y
y

2yx

(C)
y

2
x
y


2
x
2
xye
(D)
y

y

3xycosy

2.已 知函数y
1
=
e
x
2
1
x
2
， y
1
=
e
x
2
1
x
2
，y3
=e
(x-
1
x
)
2
则

（A）仅y
1
与y
2
线性相关 （B）仅y
2
与y
3
线性相关
（C）仅y
1
与y
3
线性相关 （D）它们两两线性相关
3．若y
1
和y
2
是二阶齐次线性方程，
y

+p(x)
y

+4(x)y=0两个特解，c1
c
2
为任意常数，则
y=c
1
y
1
+c
2
y
2

(A)一定是该方程的通解 （B）是该方程的特解
（C）是该方程的解 （D）不一定是方程的解
4．下列函数中哪组是线性无关的
（A）lnx, lnx
2
(B)1， lnx (C)x, ln2
x
(D)ln
x
, lnx
2
二、证明：下列函数是微分方程的通解
1y=c
1
x
2
+ c
2
x
2
lnx(c
1
c
2
是任意常数 )是方程x
2
y
-
3x
y

+4y=0的通解


2y=c
1
e
-x
+c
2
e


三、设y
1
(x)y
2
(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个 解，且y
1
(x)y
2
(x).y
3
(x).线性无关，
证明：微分方程的通解为：


yc
1
y
1
(x)c
2
y
2
(x)(1c
1
c< br>2
)y
3
(x

x
2
x
x
e
(c
1
c
2
是任意常数)是方程2
y


y

2e
的通解

5

微分方程

x
四、试求以y=


1
x
(c
1
e+c
2
e)+
x -x
e
2
(c
1,
c
2
是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。
12-9 二阶常系数齐次线性微分方程

一、选择题
1以y
1
=cosx,y
2
=sinx为特解的方程是
（A）
y

y0
(B)
y

y0
(C)
y

y

0
(D)
y

y

0

2．微分方程2
y

y

y0
的通解是
x
（A）
yc
1
e
x
c
2
e
2x
（B）
yc
1
e
x
c
2e
2
（C）
yc
1
e
x
c
2e

x
2
(D)
yc
1
e
x< br>c
2
e
2x

3．常微分方程
y
(

1


2
)y



1

2
y0
，（其中

1
,

2
是不等的系数），在初始条件y
1x=0
=
y

x0
0
特解是

1
x
（A）y=0 (B)y=
c
1
ec
2
e

2
x
(C)
y

1

2
x
（D）
y(

1


2
)x

2
4．
ye
2x
是微分方程
y

py

6y0
的一个特解，则此方程的通解是
（A）
y c
1
e
2x
c
2
e
3x
（B）
y(c
1
xc
2
)e
2x

（ C）
yc
1
e
2x
c
2
e
3x
（D）
ye
2x
(c
1
sin3xc2
cos3x)

5．
yc
1
e
x
c
2
e
x
是微分方程 的通解
（A）
y

y0
（B）
y

y0
二、求下 列微分方程的通解
1．
y

5y

0
2．
y

4y

4y0



3．
y

4y

y0
4．
y

5y

6y0


< br>5．
y

6y

3y

10y 0
5.
y


(4)
（C）
y

y

0
（D）
y
< br>y

0

2y

y

0

6

微分方程

三、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．
y

2y

10y0

y


2．


四、一质量为m的质点 由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大
小成正比（比例系数为 k），求此质点的运动规律。


12-10 二阶常数非齐次线性微分方程

一、选择题
1微分方程，
y

2y
x的特解y
*
形式为

(A)ax (B)ax+b (C)ax
2
(D)
ax
2
bx

2.微分方程
y

ye
x
1的特解y
*
形式为

（A）
ae
x
b
（B）
axe
x
x0
1

y
1x0
2

dx
dt
2

dx
dt
3x0

x
t0
0

x

t0
1

b
（C）
ae
x
bx
（D）
axe
x
bx

3．微分方程
y
2u

xe
2x
的特解y
*
形式为
（A）
x(axb)e
2x
（B）
(axb)e
2x
（C）
xe
2x
（D）
(axbxc)e
22x

4．微分方程
y

4ycos2x
的特解y
*
形式为
（A）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x
5. 微分方程
y

yxsin
2
x
的特解形式为y*=
（A）（ax+b）sin
2
x (B)(ax+b)sin
2
x+(cx+d)cos
2
x
（C）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f
6. 微分方程
y
4y

5ye
（A）
ae
x
x
sin5x
的特解形式为
x
bsin5x
(B)
aebcos5xcsin5x

x
（C）
axe
x
bsin5x
（D）
axebcos5xcsin5x

二、求下列各方程的通解
1．
y

2y

yxe
2．
y

7y

6ysinx

x
7

微分方程



3．
y

2y

5ye
x
sin x
4．
y

yxcosx





三、求微分方程
y

9ycosx
满足
y


四、已知二阶常系数微分方程
y



y


y

(x2)
有特解
y
*
e
x
1x
2
6x
，求
x
2
y

x

2
0
的特解

,

,

的值，并求该方程的通解


五、
k
为常数。试求
y

2ky

 k
2
ye
x
的通解。


六、设
f(x)sinx


七、一链长18cm，挂在光滑的 圆钉上，一边垂下8cm，另一边垂下10cm，问整个链子滑过
钉子需要多少时间？
xx

0
f(t)dtx

f(t)dt
，其中f( x)为连续的数，求f(x)。
0
8