翠华山-经典爱情语录大全

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第７章 微分方程练习题
习题７.1
1．选择题
（1）（ ）是微分方程
（（A））
dy(4x1)dx
． (（B）)
y2x1
．
(（C）)
y3y20
． (（D）)
sinxdx0
．
（2）( )不是微分方程
2

d
2
y
3xsinx
． （（A））
y

3y0
． (（B）)
2
dx
22222
(（C）)
3y2xy0
． (（D）)
(xy)dx(xy)dy0
．
（3）微分方程
(y

)3xy4sinx
的阶数为（ ）
(（A）)
2
． (（B）)
3
． (（C）)
1
． (（D）)
0
．
2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”）
（1）
xy

2y,
2
y5x
2
． （ ）
x
2
xy
2
C
. ( ) (2)
(x2y)y

2xy,
(3)
dx
siny0,
dy
22
yarccosxC
. ( )
(4)
y

xy,y
1
. ( )
x
习题7.2
1．解微分方程
dy
1
dy1y
2
(1) ．

． (2)

2
dxx
dx
1x










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(3)
y

e
2xy
． (4)
y(1x)dyx(1y)dx0
．
22









(5) x
2
y

xyy,y
x
1
4
．
2












2．解微分方程
(1)
(xy)y

(xy)0
．









(3)
y


yy
x
tan
x
．





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y
2
x
2
dydy
dx
xy
dx
． (2)

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3．解微分方程
(1)
y

ye
x
． (2)
y

cosxysinx1
．








1．选择题
（1）（ ）是微分方程
（（A））
dy(4x1)dx
． (（B）)
y2x1
．
(（C）)
y3y20
． (（D）)
sinxdx0
．
（2）( )不是微分方程
2

d
2
y
3xsinx
． （（A））
y

3y0
． (（B）)
2
dx
22222
(（C）)
3y2xy0
． (（D）)
(xy)dx(xy)dy0
．
（3）微分方程
(y

)3xy4sinx
的阶数为（ ）
(（A）)
2
． (（B）)
3
． (（C）)
1
． (（D）)
0
．
2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”）
（1）
xy

2y,
2
y5x
2
． （ ）
x
2
xy
2
C
. ( ) (2)
(x2y)y

2xy,
(3)
dx
siny0,
dy
22
yarccosxC
. ( )
(4)
y

xy,y
1
. ( )
x
习题7.2
1．解微分方程
dy
1
dy1y
2

． (2) (1) ．

2
dxx
dx
1x



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(3)
y

e
2xy
． (4)
y(1x)dyx(1y)dx0
．
22






(5)
x
2
y
xyy,y
x
1
4
．
2









2．解微分方程
(1)
(xy)y

(xy)0
．










(3)
y


yy
x
tan
x
．









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(2)
y
2
x
2
dydy
dx
xy
dx
．

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3．解微分方程
(1)
y

ye
x
． (2)
y

cosxysinx1
．







(3)
dyy
x1
dx

x

x
,








(4)
dy
dx

y
xy
2
．








1．解下列微分方程
(1)
y

x
2
．






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y
x2
3
．



(5)
y


1
xcosysin2y
．

7.3
(2)
y

3y,y
x0
1,y

x0
2
．


习题

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(3)
y

y

x
． (4)
xy

y

0
．









(5)
yy

(y

)
2
y

0
．










2．解下列微分方程
（1）
y

y

2y0
．








(3)
y

4y

4y0
．







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(6) < br>yy

y

,y
x0
1,y
x0
1
．
(2)
y

9y0
．
y

4y
< br>3y0,y
x0
2,y

x0
0
．< br>

(4)

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(5)
4y< br>
4y

y0,y
x0
2,y

x0
0
．









3．解下列微分方程
(1)
y

2y

3y3x1
．














(3)
y

10y

9ye
2x
,y
6
x0

7
,














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y

x0

33
7
．
2y

3y

 y2e
x
． (2)

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(4)
y

y

2y8sin2x
． (5)
y

ysinx
．













(6)
y

ysin2x0,













y
x

1,y

x

1
．
习题7.4
1．一条曲线通过点
P(0,1)
,且该曲线上任一点M(x,y)
处的切线斜率为
3x
，求这曲线的方
程．









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2

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2．生物活体含有少量固定比的放射性
C
，其死亡时存在的
C
量按与瞬时存量成比例的速
率减少，其半衰期约为5730年， 在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭
C
含
量为原来的77.2％ ，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．














3．作直线运 动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s时与原点相距100m，
在20s时与原点 相距200m，求物体的运动规律．











4．设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总 量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，
污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化， 设
k
为比例系数，且
Q(0)Q
0
，求
该湖泊的污染物的 化规律，当










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14
1414
k
0.38
时，求99％污染物被清除的时间．
V

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5．一质量为m的质点从水面由静止状态开始下降，所受 阻力与下降速度成正比，求质点下
降深度与时间t的函数关系．












6 ．一弹簧挂有质量为2kg的物体时，弹簧伸长了0.098m，阻力与速度成正比，阻力系数

24
N(ms)．当弹簧受到强迫力
f100sin10t
（N）的作用后，物 体产生了振动．求振动
规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．












复习题七
一、选择题
1．微分方程
y

y

y

xy0
阶数是（ ）
（A）1； （B）2； （C）3； （D）4．
2．下列函数中，可以是微分方程
y

y0
的解的函数是（ ）
（A）
ycosx
； （B）
yx
； （C）
ysinx
； （D）
ye
．
3．下列方程中是一阶线性方程的是（ ）
x
234
dyy
2

（A）
(y3)lnxdxxdy0
； （B）；
dx12xy
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（C）
xy

yxsinx
； （D）
y

y

2y0
．
4．方程y

4y

3y0
满足初始条件
y
x 0
6,
x3xx3x
22
y

x0
10< br>特解是（ ）
x3xx3x
（A）
y3ee
； （B）
y2e3e
； （C）
y4e2e
；（D）
yC< br>1
eC
2
e
．
5．在下列微分方程中，其通解为
yC
1
cosxC
2
sinx
的是（ ）
（A）
y

y

0
； （B）
y

y

0
； （C）
y

y0
； （D）
y

y0
．
6．求微分方程
y

3y

2yx
的一个特解时，应设特解的形式为（ ）
22
（A）
ax
； （B）
axbxc
； （C）
x(axbxc)
； （D）
x(axbxc)
．
222
2
7．求微分方程
y

3y

2ysinx
的一个特解时，应设特解的形式为（ ）
（A）
bsinx
； （B）
acosx
； （C）
acosxbsinx
； （D）
x(acosxbsinx)
．
二、填空题
9．微分方程
x
dy
yx
2
sinx
的通解是 ．
dx
10．微分方程
y

3y0
的通解是 ．
11．微分方程
y

4y

5y0
的 通解是 ．
12．以
yC
1
xeC
2
e
为通解的二阶常数线性齐次分方程为 ．
13．微分方程
4y

4y

y0
满 足初始条件
y
x0
2,
是 ．
1 4．微分方程
y

4y

5y0
的特征根是 ．
15．求微分方程
y

2y

2x1
的一个特解时，应设特解的形式为 ．
16．已知
y
1
e
x
及
y
2
xe
x
都是微分方程
y

4xy

(4x2)y0
的解，则此方程的
通解为 ．
三、计算题
17．求下列微分方程的通解
(1)



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22
xx
y

x0
0
的特解
2
2
dyxy

． (2)
y

ycosx
．
2
dx
1x

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(3)
secxtanydxsecytanxdy0
． (4)
y

ysinx
．
22











(5)
y

y

2y0
．










18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解
(1)
cosysinxdxco sxsinydy0,y

x0

4
．









(2)
y
5y

6y0,y
x0
1,y

x0
2
．



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(6)
y

5y

4y32x
．

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(3)
4y

16y

15y4e








(4)
2y

5y

29cosx,









19．求一曲线方程，这曲线通过原 点，并且它在点
(x,y)
处的切线斜率等于
2xy
．





20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的
37 C
按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体
温度为
31C
，且周围气温保持
20C
不变．
（1）求尸体温度H与时间t(h)的函数关系，并作函数草图．
（2）最终尸体温度将如何？
（3）若发现尸体时其温度是
25C
，时间为下午4时，死者是何时被害的？








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x
2
,y
x0
3,y

x0
11
．
2
y
x0
0,y

x0
1
．

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21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起， 有一个与运动方向一致．大
小与时间成正比（比例系数为k
1
）的力作用于它，此外还 受一与速度成正比（比例系数为k
2
）的
阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关 系．












(3)
dyy
x
dx

x

1
x
,











(4)
dy
dx

y
xy
2
．












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y
x2
3
．

y


1
xcosysin2y
．


(5)

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习题7.3
1．解下列微分方程
(1)
y

x
． (2)
y

3y,
2
y
x0
1,y
x0
2
．







(3)
y

y

x
．








(5)
y y

(y

)
2
y

0
．











2．解下列微分方程
（1）
y

y

2y0
．







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(4)
xy

y

0
．
yy< br>
y

,y
x0
1,y

x0< br>1
．
(2)
y

9y0
．
(6)

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(3)
y

4y

4y0
． (4)
y

4y

3y0,y2,y

0
．









(5)
4y

4y

y0,y
x0< br>2,












3．解下列微分方程
(1)
y

2y

3y3x1
．















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y

x0
0
．

x0x 0
2y

3y

y2e
x
． (2)

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(3)
y

10y
9ye,
2x
y
x0

6
,
7
y

x0

33
．
7











(4)
y

y

2y8sin2x
．












(6)
y

ysin2x0,y
x

1,















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y

x

1
．
y

ysinx
． (5)

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习题7.4
1．一条曲线通过点
P(0,1)
,且该曲线上任一点
M(x,y)
处的切线斜率为
3x
，求这曲线的方
程．








2．生物活体含有少量固定比的放射 性
C
，其死亡时存在的
C
量按与瞬时存量成比例的速
率减少，其半衰 期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭
C
含
量 为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．
















3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s时与原 点相距100m，
在20s时与原点相距200m，求物体的运动规律．












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14
2
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4． 设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，
污染物的减少率 以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设
k
为比例系数，且
Q(0)Q
0
，求
该湖泊的污染物的化规律，当
k
0.38
时，求99％污染 物被清除的时间．
V










5．一质量为m的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速 度成正比，求质点下
降深度与时间t的函数关系．











6．一弹簧挂有质量为2 kg的物体时，弹簧伸长了0.098m，阻力与速度成正比，阻力系数

24
N( ms)．当弹簧受到强迫力
f100sin10t
（N）的作用后，物体产生了振动．求振动
规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．













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复习题七
一、选择题
1． 微分方程
y

y

y

xy0
阶 数是（ ）
（A）1； （B）2； （C）3； （D）4．
2．下列函数中，可以是微分方程
y

y0
的解的函数是（ ）
（A）
ycosx
； （B）
yx
； （C）
ysinx
； （D）
ye
．
3．下列方程中是一阶线性方程的是（ ）
x
234
dyy
2

（A）
(y3)lnxdxxdy0
； （B）；
dx12xy
22
（C）
xy

yxsinx
； （D）
y

y

2y0
．
4．方程y

4y

3y0
满足初始条件
y
x 0
6,
x3xx3x
y

x0
10
特解是 （ ）
x3xx3x
（A）
y3ee
； （B）
y2e3e
； （C）
y4e2e
；（D）
yC< br>1
eC
2
e
．
5．在下列微分方程中，其通解为
yC
1
cosxC
2
sinx
的是（ ）
（A）
y

y

0
； （B）
y

y

0
； （C）
y

y0
； （D）
y

y0
．
6．求微分方程
y

3y

2yx
的一个特解时，应设特解的形式为（ ）
22
（A）
ax
； （B）
axbxc
； （C）
x(axbxc)
； （D）
x(axbxc)
．
222
2
7．求微分方程
y

3y

2ysinx
的一个特解时，应设特解的形式为（ ）
（A）
bsinx
； （B）
acosx
； （C）
acosxbsinx
； （D）
x(acosxbsinx)
．
二、填空题
9．微分方程
x
dy
yx
2
sinx
的通解是 ．
dx
10．微分方程
y

3y0
的通解是 ．
11．微分方程
y

4y

5y0
的 通解是 ．
12．以
yC
1
xeC
2
e
为通解的二阶常数线性齐次分方程为 ．
13．微分方程
4y

4y

y0
满 足初始条件
y
x0
2,
是 ．
1 4．微分方程
y

4y

5y0
的特征根是 ．
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xx
y

x0
0
的特解

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15．求微分方程
y

2y
2x1
的一个特解时，应设特解的形式为 ．
16 ．已知
y
1
e
x
及
y
2
xe
x
都是微分方程
y

4xy

(4x2)y0< br>的解，则此方程的
通解为 ．
三、计算题
17．求下列微分方程的通解
(1)
22
2
2
dyxy
． (2)
y

ycosx
．

2
dx
1x








(3)
sec
2
xtanydxsec
2
ytanxdy0
．











(5)
y

y

2y0
．












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(4)
y

ysinx
．
(6)
y

5y

4y32x
．

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18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解
(1)
cosysinxdxcosxsinydy0,








(2)
y

5y

6y0,









(3)
4y

16y

15y4e










(4)
2y

5y

29cosx,







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3
x
2
y
x0


4
．
y
x0
1,y

x0
2
．
,y
x0
3,y

x0

11
．
2
y
x0
0,y

x0
1
．

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19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点
(x, y)
处的切线斜率等于
2xy
．







20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的
37C
按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体
温度为
31C
，且周围气温保持
20C
不变．
（1）求尸体温度H与时间t(h)的函数关系，并作函数草图．
（2）最终尸体温度将如何？
（3）若发现尸体时其温度是
25C
，时间为下午4时，死者是何时被害的？


























21.设有一质量为m的质点作直线 运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大
小与时间成正比（比例系数为k
1< br>）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k
2
）的
阻力作用.求 质点运动的速度与时间的函数关系．

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