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第一单元 分数乘法
【例1】看图写算式。
（ ）×（ ）＝（ ）
这个算式表示求（ ）是多少，
结果是（ ）。


解析：本题考查的知识点是利用“数形结合”思想来理解分数乘分数的意义和计算方法。解答
1 13
时，先根据左图得出阴影部分表示单位“1”的，右图表示求的是多少，它相当于把单位
3 3
4
1
“1”平均分成了（3×4=12）份，取了其中的3份，也就是相当于单位“ 1”的。
4
139131
解答：×＝ 的是多少
要点提示
33
41244
数形结合思想侧重的是数与

形的和谐对应。 1
【例2】一桶油净重100千克，用去这桶油的以后，又买来这
10
1
时桶里油的，现在桶里还有（ ）千克的油。
10
A.100 B.101 C.99
D.80
解析：本题考查 的知识点是解决实际问题中单位“1”的理解。通过读题发现：第一次用去时的
1
单位“1”与 第二次买来时的单位“1”是不同的。第一次用去这桶油的以后，桶里还有100
10
11×（1-）=90（千克），所以买来的油是90×=9（千克），因此现在桶里有油90+9=99（千< br>1010
克），所以选C。
答案：C
【例3】根据以下信息完成统计表。联系实际想一想，这样的天气情况说明了什么？

1
解析：从已知信息中我们发现：6月份的天数是30天，其中阴天占，根据求一个数的几分之
5
1
几是多少用乘法计算，可以列式计算出阴天的天数是30×=6（天），再结合晴天比阴 天多占总
5
11
天数的，可以求出晴天的天数是 6×（1+）=8（天），这样可以得出雨天的天数是 30-6-8=16
33
（天），由此 填写统计表并得出结论：雨天的天数大约占这个月的一半，其余天数约占一半。
解答：

要点提示
读图表时，一般根据已有已
知信息来步步分析推算其它
信息。

结合统计表说明，这个月以晴天为主，阴天和雨天的天数和大约占这个月的一半。
20162 016
【例4】已知a、b是均不为0的整数，如果×a=×b，则a与b相比，哪个数大？
20172018
解析：本题考查的知识点是分数乘法积的大小比较。解答时，读已知信息发现：a、b 是均不为
2016
0的整数，且×a=×b，所以要比较a与b的大小，可以通过比较与的大< br>2018
小来比较。根据乘积相等的乘法等式中，已知因数越小，那么与它相乘的另一个因数就越 大，
据此解答即可。
6
解答：因为＞，所以1-＜1-，即＜，所以a＞b。
2
【例5】计算：
（1）
（2）
解析：
（1）本题 考查的知识点是采用拆数法解答分数乘法问题。解答时结合每个乘法算式的特征，把
把每个分数拆成两个 分数相减的形式，然后通过加减相互抵消求得结果。
（2）本题考查的知识点是利用“交换因数与分子 的方法”结合乘法分配律进行分数乘法的简算。
解答时，先把24和51的位置交换，这样出现相同的因 数51，然后利用乘法分配律进行简算。
解答：
要点提示
拆数法是一种重要的数学方法。


（2）
2419
+51×
43
43
2419
=51×（+）
43
43

=51×

=51×1
=51
111
，二儿子分，三儿子 分，并
39
2
且分羊时不许宰杀。老人临终后，三个儿子犯了愁，这怎么分呢？亲爱的 同学，你能帮帮他们
吗？
解析：本题考查的知识点是通过“借数法”来解答分数乘法简单的实 际问题。解答时，我们会
11111117
发现已知信息中，单位“1”的、和都不是整数只， 但++=，所以先借1只羊，
39
22
39
18
111
这样 变成18只，通过计算18的、和来求解。
39
2
解答：先借一只羊，17+1=18（只）
要点提示
111
18×=9（只） 18×=6（只） 18×=2（只）
借数法是常用的解决问题的
39
2
方法。
9+6+2=17（只）
答：老大分9只，老二分6只，老三分2只。
【例7】老妇卖鸡蛋，有趣又大方，见人卖一半 ，还送半盒蛋，见了4个人，卖光箱中蛋，请
问箱中蛋几盒？
解析：本题考查的知识点是用“ 逆推法”来解答分数乘法问题。解答时，先从遇到最后一个人，
1
卖了一半，送了半盒，刚好卖 完，分析得出，最后一个人得到的是：×2=1（盒）蛋；遇到第
2
1
三个人，卖了一 半，送了半盒，这时有：（1+）×2=3（盒）；遇到第二个人，卖了一半，送了
2
1
半盒，这时有：（3+）×2=7（盒）；
2
1
遇到第一个人，卖了一半，送了半盒，一共有：（7+）×2=15（盒）。
2
11
解答：×2=1（盒） （1+）×2=3（盒）
要点提示
22
逆推法解题也就是由结果出
11
（3+）×2=7（盒） （7+）×2=15（盒）
发，逐步还原至最初。
22
答：箱中有鸡蛋15盒。
11
【例8】亮亮在计算13+×M时，错误地计算成了13+，结果比正确的结果少4，则M 是多
22
少？
解析：本题考查的知识点是利用“方程的方法”解答“错中求解”问题 ，解答时，先根据给出
11
的已知信息：比正确的结果少4得出方程为13+×M-（13+） =4，然后解这个方程，最后求
22
出M=4。
11
解答：由题意得：13+×M-（13+）=4
22
11
13+×M-13-=4
22
11
×M-=4
22
M-1=8
【例6】一位老人养了17只羊，临终前立下遗嘱：大儿子分

M=9
答：M是9。
11111
【例9】2017减去它的，再减去余下的、又减去余下的、以后每次都减去余下的、、… …，
35
624
1
以后以此类推，一直减到最后余下的，那么最后得多少？
2017
1
解析：本题考查的知识点是用类推法解答“连续余问题”，解答时，先从2 017减去它的开始
2
1111
分析，还剩下2017×（1-），再减去余下的，还 剩下余下的（1-），即2017×（1-）×
33
22
1111
（1-）， 依次类推，一直减到最后余下的，最后剩下的是2017×（1-）×（1-）×
320173
2
1
1
（1-）×……×（1-），然后找规律计算出结果即可。
2017
4
1111
解答：2017×（1-）×（1-）×（1-）×……×（1-）
32017
24
1232016
=2017××××……×
2017
234
1
=2017×
2017
=1
11
【例10】修一条路，第一天修了全长的，第二天修了余下的，第二天修了全长的几分之几？ 3
4
11
解析：本题考查的知识点是不同的单位“1”的理解。解答时，先找出的 单位“1”是全长，
3
4
11
的单位“1”是第一天修后余下的，也就是（1 -）的，求第二天修了全长的几分之几，就是
3
4
11113
求（1-）的是 多少，根据求一个数的几分之几是多少用乘法列式计算为（1-）×=×
33
444
1 1
=。
3
4


11311
解答：（1-）×=×=
3
4
3
44
1
答：第二天修了全长的。
4
【例11】看图写算式并计算。
（1） （2）

解析：本题考查的知识点是利用“数形结合思 想和图示法”来解答分数乘法问题。解答时，先
读懂线段图中给出的已知信息和所求的问题，然后利用数 形结合思想分析已知信息和所求的问
题之间的关系并找到问题的解答方法。
3
（1） 从图中读出：这条路400米是单位“1”，已经修了，问题是求剩下的米数，求还剩下的
5
3
米数就是求400米的（1-）是多少，根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，列式计算
5
3
为400×（1-）=160（米）。
5
22
（2）从图中读 出，已知白菜有168吨，土豆比白菜多，求土豆有多少吨，就是求比168多
77
2
的数是多少，根据求比一个数多几分之几的数是多少用乘法计算，列式计算为168×（1+）
7
9
=168×=216（吨）。
7
解答：
3
要点提示
（1）400×（1-）=160（米）
5
数形结合思想的关键是抓住
29
数与形的对应。
（2）168×（1+）=168×=216（吨）
77
1
【例11】有甲乙两个仓 库，甲仓存粮30吨，如果从甲仓中取出放入乙仓，则两仓存粮数相
10
等。两仓一共存粮多少 千克？
解析：本题考查的知识点是“移多补少”的方法来解答分数乘法简单的实际问题。解答时，先< br>1
求出甲仓剩下的吨数30×（1-）=27（吨），这个吨数就是乙仓现在的吨数，接着再求出 乙仓
10
1
原来的吨数27-30×=24（吨），最后求出两仓一共的吨数。
10
11
解答：30×（1-）=27（吨） 27-30×=24（吨） 24+27=51（吨）
1010
答：两仓一共存量51吨。
44
【例12】两堆一样重的煤，第一堆烧掉了吨，第二堆烧了，哪堆煤烧掉的多一些？ 55
解析：本题考查的知识点是用“分类讨论思想、图表方法来”解答“烧煤多少问题”。解答时，
可以通过列表法来帮助分析和解答。解答此类问题的关键是分三种情况来进行讨论。
原来煤的质量 假设质量是1吨 假设质量大于1吨假设质量大于或
4
（假设是10吨）
等于吨小于1吨
5
9
（如假设吨）
10
44
第一堆运走的质
4
吨 吨 吨
量
555
4449418
第二堆运走的质
1×=（吨） 10×=8（吨） ×=（吨）
量
555105
25
18
比较结果 烧掉的质量同样第二堆烧掉的质
4
吨＞吨，所
多。 量多一些。
25
5

以第一堆烧掉的
质量多一些。
解答：因为煤的质量不确定，所以无法比较出哪堆烧掉的质量多一些。
【例13】黄沙包有多少克？

解析:本题考查的知识点是利用数形结合思想解答连 续求一个数的几分之几问题。解答时，先找
73
到的单位“1”是绿沙包，的单位“1”是红沙 包；然后结合“红沙包有60克，绿沙包占红
94
3
沙包的”这两个已知信息，根据求 一个数的几分之几是多少用乘法计算，列式求出绿沙包的
4
37
克数是60×=45（ 克）；再结合已知信息黄沙包占绿沙包的，根据求一个数的几分之几是多
49
7
少，列 式计算出黄沙包的克数是45×=35（克）。
9
37
解答：60×=45（克）45×=35（克）
要点提示
49
求一个数的几分之几的几分之几是
答：黄沙包有45克。
第二单元 位置与方向（二）
几几
多少，用这个数××。
【例1】小林是石家庄人，学习了《 位置与方向》（二）后，
几几
他在院子里立了一根竹竿，中午时影子与竹竿在一条直
线 上，下午某一时刻影子向右移动了30°，这时的太阳在（ ）方向。

A.南偏东30° B.南偏西30° C.北偏东30° D.北偏西30°
解 析：本题考查的知识点是联系实际解答方向与位置问题。解答时，先明确小林身处北半球，
中午时太阳在 正南方，影子与太阳的方向相反，影子在正北方；下午某一时刻影子向右移动了
30°，就是向东方移动 了30°，那么太阳就是向西移动了30°。
解答：
B

【例2】图书馆在剧院的东偏南30°方向500米处，那么剧院在图书馆的（ ）。
A.东偏南30°方向500米处 B.南偏东60°方向500米处
C.北偏西30°方向500米处 D.西偏北30°方向500米处

解析：本题考查的知识点是“相对位置”理解。解答时可归纳解决这类题目的一般方法：即相
对位置所 具有的方向相反，角度和距离相等是不变的。
从图中读出：图书馆在剧院的东偏南30°
要点提示
方向500米处，是以剧院为观测点，图书馆
相对位置所具有的方向相反，角

度和距离相等是不变的

在剧院的方向是东偏南30°，距离是500米
处，所以站在图书馆看剧院，剧院应在图书馆
的西偏北30°方向，距离是不变的，还是500米。
解答：
D

【例3】丫丫上学：

（1）看图描述丫丫从家到学校的路线；
（2）如果丫丫每分钟走60米，丫丫从家到学校需要多少分钟？
（3）学校14:00开始 上课。一天中午，丫丫13:30从家出发走到商场时，发现没带数学课本。
于是她赶回家取了课本后继 续上学。如果丫丫每分钟走60米，她会迟到吗？
解析：本题考查的知识点是利用方向与路线知识解答 “丫丫上学问题”。解答时先找到图中的方
向“上北下南、左西右东”，然后再描述丫丫上学的路线，描 述路线时，先说方向再说距离，确
定方向时，描述哪个位置哪个位置是标准；最后再根据数量关系“路程 ÷速度=时间”解答第（2）
和（3）小题。
（1）丫丫从家到学校，先向正东方向走300 米到商场，再向东南方向走150米到公园，接着从
公园向北偏东30°方向走200米到医院，再向正 东方向走310米到广场，最后从广场向东偏北
20°方向走180米到学校。
（2）先求出 从家到学校的总路程列式为300+150+200+310+180，然后用总路程除以速度就是行
驶 的时间，列式计算为（300+150+200+310+180）÷60=19（分钟）。
（3）先 求出丫丫从家到商场的往返时间列式为300×2÷60，再加上丫丫从家到学校的时间19
分钟，求出 这次丫丫上学需要的时间，列式计算为300×2÷60+19=29（分钟），然后和30分钟
比较， 最后得出是否迟到。
解答：（1）丫丫每天从家到学校，先向正东方向走300米到商场，再向东南方 向走150米到公
园，接着从公园向北偏东30°方向走200米到医院，再向正东方向走310米到广 场，最后从广
场向东偏北20°方向走180米到学校。
（2）（300+150+200+310+180）÷60=19（分钟）
答：丫丫从家到学校需要19分钟。
（3）300×2÷60+19=29（分钟） 29分钟＜30分钟
答：丫丫不会迟到。
【例4】根据描述，把公共汽车行驶的路线图画完。（1厘米长的线段表示1千米）
“8路公 共汽车从起点站向北偏西30°方向行驶3千米后，向正西方向行驶5千米，最后
向西偏南45°方向行 驶4千米到达终点站”

解析：本题考查的知识点是根 据给出的已知信息方向（角度）和距离判定物体位置并画出路线
图。因为图上距离1厘米表示实际距离1 千米，则3千米÷1千米=3（厘米），5千米÷1千米
=5（厘米），4千米÷1千米=4（厘米）， 又由电车行驶的方向是从起点站向北偏西30°方向行
驶3千米后，向正西方向行驶5千米，最后向西偏 南45°方向行驶4千米到达终点站。
解答：

【例5】学校教学楼在花坛的北偏 东60°方向的50米处，实验楼在教学楼的北偏西30°方向
的30米处，图书馆在实验楼的南偏西6 0°方向的50米处，问图书馆在花坛的什么方向多少米
处？
解析：本题考查的知识点是利用 “数形结合思想”，根据方向和距离确定物体的位置。解答此题
的关键是确定观察的中心点，然后再根据 “上北、下南、左西、右东”的方法进行确定方向和
位置即可。
解答时，先画出花坛、教学楼 、实验楼和图书馆的位置，然后将教学楼与实验楼、实验楼
与图书馆、图书馆与花坛、花坛与教学楼相连 接，连接后可知：花坛、教学楼、实验楼、图书
馆围成了一个长为50米，宽为30米的长方形，根据长 方形的性质可知图书馆与花坛的距离为
30米，阴影图书馆、花坛、教学楼围成了一个直角，教学楼再花 坛的北偏东60度上，所以图
书馆就在花坛北偏西30°方向上。
解答：图书馆在花坛的北偏西30°方向的30米处。

【例6】某海域一艘轮船发生故障，船上雷达搜索附近显示：

1、请你根据雷达搜索显示，在平面图上画出它们的位置。

2、如果商船以每小时50千米的速度赶往出事地点，需要几小时？军舰想与商船同时赶到， 每
小时至少行驶多少千米？
解析：本题考查的知识点是线段比例尺的意义以及依据方向（角度 ）和距离判定物体位置。解
答时，依据线段比例尺的意义求出军舰，货船，商船与出事船只之间的图上距 离，再据它们之
间的方向关系在图上标出它们的位置。最后根据已知
条件求出商船的形式时间和军舰的速度。
解答：
1、因为图上距离1厘米表示实际 距离100千米，则军舰，货船，商船的图上距离分别为：300
÷100=3（厘米），300÷10 0=3（厘米），250÷100=2.5（厘米），再据它们的方向关系，标注如
下：

2、250÷50=5（小时） 300÷5=60（千米）
答：商船以每小时50千 米的速度赶往出事点，需要5小时，军舰想与商船同时赶到，每小时至
少行驶60千米。
【例 7】某市有一东西走向的路与另一南北走向的路交汇于路口A。李智聪在路口A南面240来
的B点处， 陈晓慧在路口A北面120米的C点处。李以每分钟80米的速度匀速行走，陈以每分
钟60米的速度匀 速行走，两人都是先朝着A点走去，到达A后立即转向往东面继续走．他俩在
某一点D第一次相遇，D点 距A点多少米？

解析:本题考查的知识点是根据方向和距离确定物体的位置。解答此题的关键是根据路程÷速度

=时间计算出两个人到达A点时分别用了多长时间，然后再根据两人从A点出 发的时间推算出相
遇时地点距A点的距离即可。
解答时可利用：路程÷速度=时间，计算出李 智聪、陈晓慧分别到达A点时所用的时间，由
计算得知陈晓慧比李智聪提前1分钟到达A点，那么当陈晓 慧从A点向东行驶1分钟即行驶了
60米的路程时，李智聪到达A点，当陈晓慧从A点行驶2分钟即12 0米时，李智聪行驶了1分
钟即80米，当陈晓慧从A点向东行驶3分钟时即180米，李智聪行驶2分 钟即160米，当陈晓
慧从A点向东行驶了4分钟即240米时，李智聪向东行驶了3分钟即240米， 此时是两人的第
一次相遇，那么从A点到D点的距离就为240米。
解答：李智聪到达A点所 用的时间为：240÷80=3（分钟），陈晓慧到达A点所用的时间为：120
÷60=2（分钟）， 所以李智聪到达A点时，陈晓慧已经向东行驶了60米，当陈晓慧从A点向东
行驶2分钟即120米时， 李智聪行驶了1分钟即80米，当陈晓慧从A点向东行驶3分钟时即
180米，李智聪行驶2分钟即16 0米，
当陈晓慧从A点向东行驶了4分钟即240米时，李智聪向东行驶了3分钟即240米，所以A 点
到D点的距离为240米。

第三单元 分数除法
【例1】对错我来判。（对的打“∨”，错的打上“×”）
1212
（1）因为+=1，所以的倒数是。（ ）
3
3
3
3
（2）一个数的倒数一定比这个数小。（ ）
34
（3）是倒数，也是倒数。（ ）
43
解析：本题考查的知识点是 倒数的意义。解答时，要明确的是乘积是1的两个数叫做互为倒数，
也就是说倒数不是单独存在的，是指 两个数的积是1时，我们说其中的一个数是另一个数的倒
数。
1212212
（1）因为+=1，它们的积×=≠1，所以和不是互为倒数。
3< br>3
33
393
1
（2）一个非0自然数的倒数比这个数小，如2的倒数 是，但是一个数的倒数不一定比这个数
2
11
小，如的倒数是3,3就比大。
33
要点提示
（3）互为倒数的两个数的积是1，也就是说乘积
是1的两个数互为倒数，单独的一个数不能说倒
单独的一个数不能说是倒数。

34
数，所以是倒数，也是倒数都是错误的。
43
解答：1、×2、×3、×
21
【例2】一个自然数与它的倒数的差是21，这个自然数是多少？
22
2121
解析：本题考查的知识点是运用转化法解答倒数差问题。解答时，先把21转化为21+，2222
11211
它等于22-的差，22和互为倒数，21正好是22与的差，所以得 出这个数是22。
22222222
解答：22
【例3】请根据图列式。

（ ） （ ）
解析：本题考查的知识点是利用数形结合思想来根据图形列算式。解答时先读懂图意，然后根
据图中隐含的数量关系列出算式。左图把单位“1”先平均分成了4份，取其中的一份，然后再
13< br>求其一半是多少，列式为÷2；右图是把单位“1”平均分成3份，取其中的2份，再求其是
44
23
多少，所以列式为×。
34
123
解答：÷2 × 434
4
【例4】丫丫在计算一除法算式时，把除以6看成了乘6，结果得，你知道正确的 结果是多少
5
吗？
解析：本题考查的知识点是运用逆推法来解答“错中求解”问题。 解答时，先用结合错中求解
44122211
利用“逆推法”求出被除数是÷6=×=，然后再 求出正确的商是÷6=×=。
5561515156
45
44122211
解答：÷6=×= ÷6=×=
5561515156
45
要点提示
1
逆推法又叫还原法，就是一步一
答：正确的结果是。
45
步往回算，原来是除就用乘，原
2017
来是乘就用除。

【例5】计算2017÷2017
2018
解析：本题考查的知识点是用转化法解答 特殊数的分数除法。解答时，先观察给出的算式，除
数是一个带分数，它的整数部分和分数部分的分子都 和被除数相同，都是2017，所以可以利用
商不变的规律被除数和除数都除以2017，转化为比较简 单的分数计算。
2017
解答：2017÷2017
2018
要点提示
2017
化繁为简是转化，转化是常用的
=（2017÷2017）÷（2017÷2 017）
2018
一种数学方法。

2017
=1÷
2018
2018
=
2017
【例6】如果，且均不等于0。这四个数中最大的是（ ），
最小的是（ ）。
A.a B.b C.c D.d
解析：本题考查的知识点用假设法来解答分数乘除法中的分数大小比较问题。
解答时，可以先设=1，这样我们根据分数乘法或除法的计算方法得出

a=
4463
、b=、c=、d=,因为
3552
，所以
解答：D，B
【例7】体育课上，同学们站成一列，梁玲数了数，排在她前面的人数是这列总 人数的
在她后面的人数是这列总人数的
2
，排
3
1
，从前面 数，梁玲排第几？
4
解析：本题考查的知识点是用“方程的方法”来解答分数除法问题。解答 时，先设给出的分数
的单位“1”为x，也就是这列队伍有x人。然后根据“这列队伍的人数- 梁玲前面的人数-梁玲
21
后面的人数=1”列出方程x- x-x=1，接着求出方程的解是 x=12,最后再根据梁玲前面的人
34
22
数是这列队伍总人数的，求出梁玲排第几 ，列式为12×+1=9。
33
解答：解：设这列队伍一共有x人。
21
x- x-x=1
34
要点提示
21
(1--)x=1
这列队伍的人数-梁玲前面的人数-梁玲后面的人数
34
=1

1
x=1
12
X=12
2
12×+1=9
3
答：梁玲排第9。
11
【 例8】六一班男生的一半和女生的共16人，女生的一半和男生的共14人。这个班共有
44
学 生多少人？
1
解析：本题考查的知识点是合并单位“1”。解答时，要明确的是男生的一半和 女生的+女生的
4
1333
一半和男生的=男生的+女生的=全班的。所以设全班有x 人，可以得方程
4444
11
x+x=16+14，解这个方程得x=40,从而求出 全班有40人。
24
解答：解：设全班有x人。
要点提示
11
x+x=16+14
11
24
男生的一半和女生的+女生的一半和男生的
44
3
x=30
33
4
=男生的+女生的
44
X=40
3
答：全班有40人。
=全班的
4


2
【例9】科技书和文体书共450本，其中科技书占，元旦 期间又买来一些科技书，这时科技
9

2
，买了科技书多少本？
7
解析：本题考查的知识点是利用“抓不变量的” 方法来解答购买的科技书问题。解答时
2
先根据求一个数的百分之几是多少用乘法计算求出文艺 书的本数是450×（1-）=350（本），
9
再利用量率对应的方法“部分量÷部分量对应 的分率=单位“1””求出现在的书的本数是350÷
2
（1-）=490（本），最后求出新 购买的科技书的本数是490-350=140（本）。
7
22
解答：450×（1-）=350（本） 350÷（1-）=490（本）
97
490-350=140（本）
答：买了科技书140本。
【例10 】搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。现有同样
的仓库2个，甲 在A仓库，乙在B仓库搬运货物，丙开始搬运时，帮助甲搬，中途又帮着乙搬
运，最后同时搬运完2个仓 库的货物，问丙帮甲搬运了几小时？
解析：本题考的知识点是“工程问题”。解答时，先不考虑丙是怎 么帮甲和乙的,因为3人搬运
了两个仓库的货物，所以可以把工作总量看成单位“2”，也就是说3人合 作完成单位“2”，这
1111
样根据工作总量÷工效和=工作时间，求出工作时间是2÷（+ +）=2÷=8（小时），
1012154
111
这样可以得出甲8小时完成的工作总 量是×8，其余的工作总量是丙完成是1-×8=，所
5
1010
11
以丙帮 甲搬运的时间是÷=3（小时）。
5
15
1111
解答：2÷（++）=2÷=8（小时）
1012154
1111
1-×8= ÷=3（小时）
55
1510
答：丙帮甲搬运了3小时.
1
【例11】一家服装店 卖出两件不同的衣服，售价都是240元，按成本价计算，其中一件赚了，
5
1
另一件 亏了，售出衣服后，商店是赚了还是亏了？差额是多少？
5
解析：本题考查的知识点是利用求 单位“1”的方法来解答“购买衣服的盈亏问题”。解答时，
1111
先找到一件赚中的单位“ 1”是这件衣服的进价，另一件亏了中的的单位“1”是另一件
5555
衣服的进价，两件衣服 的进价都不知道，所以根据量率对应的方法，用除法计算出两件衣服的
11
进价分别是240÷ （1+）=200（元），240÷（1-）=300（元）；然后用两件衣服的进价和减
55
去售价和就可以求出两件衣服亏的钱数是200+300-240×2=20（元）。
11
解 答：
两件衣服的成本分别是240÷（1+）=200（元），240÷（1-）=300（元），20 0+300-240
55
×2=20（元）
答：商店亏了，差额是20元。
【例12】同学们参加野营活动．一个同学到负责后勤的教师那是去领碗．教师问他领多少，他
说领5 5个，教师又问：“多少人吃饭？”这个学生说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三个人
一个汤碗．” 请你帮忙算一算参加野营活动的共有多少学生？
书占

解 析：本题考查的知识点是用量率对应的方法解答“领碗问题”。解答时，先根据题意，先求一
1111< br>人用多少个碗，即1++=（个）；再求共有多少人即55÷
2
36
111111
=30（人），列出综合算式是55÷（1++）=55÷=30（人）。
66
2
3
1111
解答：55÷（1++）=55÷=30（人）
要点提示
6
2
3
量率对应的方法是分数除法常用的方法。
答：参加野营活动的共有30学生。


1
【例13】有红黄两种 颜色的小球共140个，拿出红球的，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄
4
球正好一样多，原来 红球和黄球各有多少个？
解析：本题考查的知识点是利用“方程的方法”解答较复杂的分数问题。解答 时，读懂题意，
找到题中隐含的数量关系：红球和黄球的数量和是140，如果设红球有x个，则黄球有 （140-x）
1
个，这样根据拿出红球的，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄球正好一样多， 可以列方程为
4
1
（1-）x=（140-x）-7，解这个方程得，x=76, 则黄球有：140-76=64（个）.
4

解答：解：设红球有x个，那么黄球就有（140-x）个。
1
（1-）x=（140-x）-7
4
3
要点提示
x=133-x
4
找到题中隐含的等量关系并列出方程是
3
用方程法解答较 复杂的分数问题的关
x+x=133
4
键。
7
x=133
4
x=76
则黄球有：140-76=64（个）
答：原来红球有76个，黄球有64个。
【例14】一个蓄水池，有一个进水管和一个出水管 ，单开进水管3分钟能放满全池，单开出水
管5分钟能放完全池的水，两个水管同时开放，多长时间能放 满全池？
解析：本题考查的知识点利用工效差来解答“工程问题。”解答时，先把进水管和出水管同时 打
1
开灌满水池看成单位“1”,还知道单开进水管3分钟灌满全池，则每分钟放满水池的，单 开
3
1
出水管，5分钟放完全池的水，则每分钟放全池水的，两个水管同时打开，则每 分钟注入全池
5
11
水的（-），所以灌满水池需要
35
112
1÷（-）=1÷=7.5（分钟）。
35
15
112
解答：1÷（-）=1÷=7.5（分钟）
35
15
答：两个水管同时开放，7.5分钟能放满全池。

11
【例14】一根绳子，如果3折量一口井，余出米；如果4折量 又不足米。求绳长、井深各
3
4
是多少米？
解析：本题考查的知识点是利用 量率对应的方法解答绳子长度和井的深度问题。解答时，先明
111111
确的是3折量一口井 ，余出米；如果4折量又不足米，说明绳子的比它的多（+）
333
444
1111< br>米，因此，根据量率对应的思想方法，可以求出绳子的长度是（+）÷（-）=7（米），
34
3
4
11
井的深度是×7-=2（米）。
33
解答：
1111
绳子的长度：（+）÷（-）=7（米）
3
4
3
4
11
井的深度：×7-=2（米）
33
答：绳子的长是7米，井的深度是2米。

第四单元 比
【例1】甲、乙、丙三位同学分别调制了一杯蜂蜜水。甲调制时用了40毫升的蜂蜜，200毫升
水；乙 调制时用了5小杯蜂蜜，20小杯水；丙调制时用的水是蜂蜜的7倍。（ ）调制的蜂蜜
水最甜。
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法判断
解析 ：本题考查的知识点是利用比的意义解决实际问题。甲调制的蜂蜜水中，蜂蜜与水的比是
11
4 0:200=1:5=；乙调制的蜂蜜水中，蜂蜜与水的比是5:20=1:4=；丙调制的蜂蜜水中，蜂蜜5
4
1111
与水的比是1:7=。＞＞，所以，乙调制的蜂蜜水最甜。
5
747
解答：B
【例2】已知甲:乙=3:4，乙:丙=3:2，那么甲、乙、丙三个数的大小关系是（ ）。
A.甲＞乙＞丙 B.丙＞乙＞甲 C.乙＞甲＞丙 D.甲=乙=丙
解析：本题考查的知识点是比的基本性质解答连比问题。解答时，需将两个不同的比中共有
的 量转化为同一个数。甲:乙=3:4=9:12；乙:丙=3:2=12:8，则甲:乙:丙=9:12:8，所 以，乙＞甲
＞丙，选C。
解答：C
【例3】成年人的足长与身高的比大约是1:7 。某小区发生了一起盗窃事件，在犯罪现场留下了
一个长26厘米的足印。经过周密侦察，锁定了四名犯 罪嫌疑人，下表是这四名犯罪嫌疑人的身
高记录。

请你根据以上信息计算说明：这四人中，谁的嫌疑最大？
解析：本题考查的知识点是利用比的知识解决 实际问题。解答时，先根据“成年人的足长与身
高的比大约是1:7”，可以看作成年人的身高是足长的 7倍来推算出犯罪嫌疑人的身高。该题具
备探索性和趣味性，同时运用了估算的知识。

解答：26×7=182（cm），四人中王某的身高最接近182cm。
答：王某的嫌疑最大。
【例4】骆驼体重250千克，能搬运质量为300千克的货物；蚂蚁 体重0.05克，能搬运质量为
2克的虫子．写出它们各自搬运的质量与体重的比，并求出比值．相对于 自身体重，你觉得谁
的力气大？为什么？
解析：本题考查的知识点是比和求比值的方法，解答 时需要明确的是：比值越大，力气就越大。
依据比的意义，用它们各自搬运的质量比体重；再用比的前项 除以后项，就可求比值，最后根
据比较比值的大小，从而得出结论。
解答：300：250=6：5=1.2 2：0.05=40：1=40 40＞1.2
答：相对于自身体重，虫子的力气大，因为它每千克的体重承受的重量大．
【例5】盒子里有 三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是2:3，红球个数与白球个数的比是
4:5。已知三种颜色的 球共175个，红球有多少个？
解析：本题考查的知识点是用按比例分配的方法来解答三种颜色的球问 题。解答时，先通过建
立连比得出红球份数与总份数之间的关系。
黄球:红球=2:3=8: 12，红球:白球=4:5=12:15，所以，黄球:红球:白球＝8:12:15，这样可
以看作把 三种球平均分成8+12+15=35份，红球占其中的12份，最后利用按比例分配的知识计
算得出结 果。
12
解答：175×=60（个）
35
答：红球有60个。 【例6】丫丫读一本书，已读的和未读的页数之比是5:4，如果再读18页，这时已读的和未读
的 页数比是2:1,这本书有多少页？
解析：本题考查的知识点是利用转化法来解答比的问题。解答时， 把整本书的页数看成单位“1”，
5
先根据给出的两次已读的页数和未读的页数比转化为分数： 第一次已读的页数占全书的，
45
225
第二次已读的页数占全书的，这充分说明， 两次读的分率差是-，页数差是18，
212145
这样根据“数量差÷该数量差对应的 分率差=单位“1””求出这本书的页数，列式为18÷
25251
（-），计算结果是18÷ （-）=18÷=162(页)。
214521459
251
解答：18÷（-）=18÷=162(页)
21459
答：这本书有162页。
【例7】四位乘客合租一辆汽车回家过春节 ，由于下车地点不同，每人承担的车费各不同，乘
客A付的车费与其他三位的比是1：2，乘客B付的车 费与其他三位的比是1：3，乘客C付的车
费与其他三位的比是1：4，乘客D付的车费是26元，这四 位乘客一共付车费多少元？
解析：本题考查的知识点是利用转化法来解答按比例分配问题。解答此题的 关键是题目中出现
了3个不同的单位“1”，要抓住不变量，统一单位“1”。

由“ 乘客A付的车费与其他三位的比
是1：2”可知乘客A付的车费占总数的
可知乘客B付的车费占 总数的
付的车费占总数的
，由“乘客B付的车费与其他三位的比是1：3”
，由“乘客 C付的车费与其他三位的比是1：4”可知乘客C
，可求出可知乘客D付的车费占总数的几分之几，再由 “乘客D付的车

费是26元”，根据“部分数量÷部分数量对应的 分率=单位“1””列式计算得出总费用为26÷
11113
（1---）=26÷=120（ 元）。
12131460
11113
解答：26÷（1---）=26÷=1 20（元）。
12131460
答：四位乘客一共付费120元。
【例8】 一只老鼠沿着长方形边线逃跑，一只猫同时从A点朝另一个方向沿着长方形边线去捕
捉，结果在距B点6 米的C点捉住了老鼠，已知老鼠和花猫所行路程的比是11:14，这个长方
形的周长是多少米？

解析：本题考查的知识点是用份数法解答老鼠逃跑路线问题，解答此题的关键是求出每份的距
离是多少，然后再求出周长。解答时，根据老鼠和花猫的所行路程的比是11：14，可设它们跑
的路程分别是11份、14份；因为花猫跑的路程是长方形的长和宽再加上6，老鼠跑的路程是长
方形 的长和宽减去6，所以花猫比老鼠多跑了：6×2=12（米），因此每份是：12÷（14-11）=4
（米），则长方形的周长是：4×（11+14）=4×25=100（米）。
解答：6×2=12（米） 12÷（14-11）=4（米）
4×（11+14）=4×25=100（米）
答：长方形的周长是100米

第五单元 圆
【例1】一个圆的半径增加1厘米，它的周长就增加（ ）。
A.1厘米 B.2厘米 C.6.28厘米 D.3.14厘米
解析 ：本题考查的知识点是圆的半径变化引起圆的周长变化的规律。解答时，根据圆的周长公
式为
则
计算出圆的半径增加1厘米，
要点提示
，它的周长会增加厘米，
圆的半径增加a厘米，则圆的
周长增加2a厘米。
即6.28厘米，所以选C。
解答：C
【例2】妈妈要买一块台布盖住家中一张直径1米的圆形桌面，你认为选（ ）比较合适。
A.120厘米×120厘米 B.3140平方厘米 C.120厘米×80厘米 D.785平方厘米
解析：本题考查的知识点是利用圆的知识解决实际问题。因为是一张直径1米的圆 形桌面，所
以台布的边长应大于1米。选项中只有120厘米×120厘米的桌布符合要求，该题错误的 做法
是计算桌面的面积。
解答：A
【例3】计算下图的周长和面积。

解析：本题考查的知识点是利用“转化法”解答不规则图形的周长和面积。解答不规则图形的
周 长时，可以把不规则的图形转化为大圆的周长的一半+小圆的周长，这样根据圆的周长计算方

法列式计算为3.14×10+3.14×10=20×3.14=62.8 （厘米）；计算不规则图形的面积时，可以把
不规则图形通过翻转、平移转化为一个半圆，这样不规则图 形的面积列式计算为3.14×10
2
÷
2=157（平方厘米）。
解答:
周长:3.14×10+3.14×10=20×3.14=62.8（厘米）
面积：3.14×10
2
÷2=157（平方厘米）
要点提示
转化法是解答组合图形周
长和面积常用的方法。

【例4】有一个面积为7 00平方米的圆形草坪，要为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌。现有
射程为20米、15米、10米的 三种装置，你认为选哪种比较合适？安装在什么位置？
解析：本题考查的知识点是圆的认识和面积计算 。解答时，先要明确射程的含义，即为圆的半
径。已知的半径长度，分别求出可以喷灌的面积，再和给出 的圆的面积相比较得出结果。
解答：1256（平方米），（平方米），（平方米），706.5平方米最接近圆形草坪的面积。
答：选择射程为15米的装置最合适。安装在圆形草坪的圆心的位置。
【例5】如图。一只小 狗拴在等边三角形的墙角，墙边长3米。绳长4米，求这只小狗最多能
看护的面积。

解析：本题考查的知识点是利用与圆有关的组合图形面积计算来解决简单的实际问题。解答此
题的关键 是弄清小狗的看护范围由哪些图形组成。
5
如下图，小狗最多能看护的面积以4米为半径圆的 （绿色部分）+两个以1米为半径
6
2
圆的（蓝色部分）。解答时，利用圆心角的度数 得出每个扇形面积相当于整个圆面积的几分之
3
几，最后列式解答。
5
绿色 部分是半径是4米的圆的面积的几分之几：（360-60）÷360=；蓝色部分占半径是
6
2
1米的圆的面积的几分之几：（180-60）×2÷360=。
3
要点提示
等边三角形的任意一个内角
都是60

解答：（平方米）。
答：这只小狗最多能看护的面积是43.96平方米。
【例6】从一个正方形铁皮上分别剪下不同规格的圆片，剩下的废料（ ）。

A、剪法1多 B、剪法2多 C、同样多 D、无法比较
解析：本题考查的知识点是组合图形面积的计算。解答此题的关键是要理解：剩下的废料 的面
积=正方形的面积-圆的面积，然后运用设数法来解答，确定答案。
设正方形的边长是4厘米，则正方形的面积是：4×4=16（平方厘米）。
剪法1：圆的半 径是4÷2=2（厘米），剩下的废料的面积是16-3.14×2=16-12.56=3.44（平方
厘米）；
剪法2：圆的半径是4÷2÷2=1（厘米）；剩下的废料的面积是16-3.14×1× 4=16-12.56=3.44
（平方厘米）
3.44=3.44，即剩下的废料同样多。
解答：C
【例7】如图，阴影甲的面积比阴影乙的面积大17平方米，AB长20米，BC长多少米？
2
2

解析：本题考查的知识点是抓住面积差利用方程的方法来解答组合图形 的面积问题。解答时，
设BC的长度为x米，分别利用圆的面积公式和三角形的面积公式表示出半圆的面 积和三角形
ABC的面积，再据“阴影甲的面积-阴影乙的面积=17平方米”列方程求出BC的长度。
解答：设BC的长度为x米，
20
3.14×()
2
÷2-20×x÷2=17
2
要点提示
314÷2-10x=17
阴影甲的面积-阴影乙
157-10x=17
的面积=17平方米

10x=140
x=14
答：BC长14米。
【例8】求阴影部分的周长。（单位：分米）

解析：本题考查的知识点是半圆的周 长的计算方法，解答时根据半圆的弧长=πr，得出图中两
个小半圆的弧长之和等于大半圆的弧长。所以 图中阴影部分的周长，就是直径为4+8=12分米的
圆的周长，由此利用圆的周长公式即可进行计算。
解答：周长：3.14×（4+8）=3.14×12=37.68（分米）
答：阴影部分的周长是37.68分米。

【例9】如图 ，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚
动．当小圆盘的中心围绕 大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘
米？

解析： 本题考查的知识点是圆环的面积，需要注意是外圆半径是4+1×2=6厘米，然后根据圆
环的面积公式 求得面积后乘
90
，最后还要加上一个小圆的面积。
360
解答：4+1×2=6（厘米）
901
3.14×（6
2< br>-4
2
）×+3.14×1
2
=3.14×20×+3.14
360
4
=15.7+3.14=18.84（平方厘米）
答：小圆盘运动过程中扫过的面积是18.84平方厘米。
【例10】如图，已知环形面积为12.56平方厘米，求阴影部分的面积。

解析 ：本题考查的知识点是组合图形的面积，解答时找出阴影部分的面积和圆环的面积之间的
关系是解决问题 的关键。设大圆的半径为R厘米，小圆的半径为r厘米，则图中两个正方形的
边长分别为R厘米和r厘米 ，所以阴影部分的面积是（R
2
-r
2
）平方厘米，因为本题中圆环的
面积是已知的，根据圆环的面积=π（R
2
-r
2
），则可以求出（R2
-r
2
）的值时R
2
-r
2
=12.56÷
3.14=4（平方厘米），从而求出阴影部分的面积。
解答：设大圆半径为R厘米，小圆的 半径为r厘米则圆环的面积可表示为：π（R
2
-r
2
），又已
知环 形的面积是12.56平方厘米所以π（R
2
-r
2
）=12.56，R2
-r
2
=12.56÷3.14=4（平方厘米），
所以阴影部分的面 积是4平方厘米。
答：阴影部分的面积是4平方厘米。
【例11】小方桌面的边长是1米， 把它的四边撑开，就成了一张圆桌面（如图）。求圆桌面的
面积。

解析：本题考查 的知识点是利用整体思想解答圆的面积问题。解答时，连接正方形的对角线，
11
如图所示，正 方形由四个等腰直角三角形构成，一个直角三角形的面积为1×1×=r
2
×，
42< br>要点提示

解答时，把
r看做一整体
2
是解答的关键。

11
所以r
2
=，圆桌面的面积S=πr
2
=3.14×=1.57（平方米）。
22

111
=r
2
×，所以r
2
=
422
1
圆桌面的面积S=πr
2
=3.14×=1.57（平方米）
2
答：这个圆桌面的面积是1.57平方米．
【例12】从一张三角形铁皮上剪下三 个半径都是3厘米的扇形。这3个扇形的面积和是多少平
方厘米。
解答： 1×1×

解析：本题考查的知识点是利用转化法解答扇形的面积，解答时，根据这3个扇形的面积和是
半 径为3厘米的半圆的面积利用圆的面积公式解答。
解答：把这3个扇形拼在一起，能得到半径为3厘米的半圆。
3.14×3
2
÷2=3.14×9÷2=14.13（平方厘米）
答：这3个扇形的面积和是14.13平方厘米。
【例13】淘气和笑笑在环形跑道上进行跑 步比赛。淘气跑外圈，笑笑跑内圈．外圈之间的间隔
距离是2米。当淘气和笑笑都跑完一圈时，淘气比笑 笑一共多跑多少米？

解析：本题考查的知识点是“确定起跑线”。解答时要明确淘气比笑笑 一共多跑的长度即外圆周
长和内圆周长的差。设内圈圆的半径为r米，则外圈圆的半泾是（r+2）米， 根据圆的周长计算
方法分别求出外圈周长和内圈周长，然后用外圈周长减去内圈周长。
解答：解：设内圈圆的半径为r米，则外圈圆的半径是（r+2）米，
2π（r+2）-2πr=2πr+4π-2πr=4π（米）
答：当淘气和笑笑都跑完一圈时，淘气比笑笑一共多跑4π米。
【例14】已知扇形的半径是2厘米，求扇形的周长大约是多少厘米？

解析：本题考查的知识点是扇形的周长，解答时要明确的是扇形的周长=扇形的弧线的长+半径

的2倍。已知扇形的半径是2厘米，所以扇形的弧线长是2×3.14×2×
要加上扇形的2条半径的长，列式计算为2×3.14×2×
（厘米）。
1204
+2×2=×3.14+4≈4.19+4=8.19（厘米）
360
3
答：扇形的周长大约是8.19厘米。
【例15】求下面阴影部分的面积。（单位：厘米）
（1） （2）
120
，求扇形的周长还
360
1204
+2×2=×3. 14+4≈4.19+4=8.19
360
3
解答：2×3.14×2×

解析：
（1）本题考查的知识点是用“割补平移法”将不规则图形转化为规则图形求出阴影部 分的面积。
解答时，只要将左边阴影平移到右边空白部分或者将右边阴影平移到左边空白部分，阴影就转
化为一个边长是5厘米的正方形。这样求出正方形的面积就是阴影部分的面积。
（2）本题考 查的知识点是外圆内方的阴影部分的面积。解答时，要明确的是阴影部分的面积等
于圆的面积减去正方形 的面积，正方形的面积等于以圆的直径为底边，圆的半径为高的两个等
大的三角形的面积之和，据此解答 即可。
解答：
（1）5×5=25（平方厘米）
答：阴影部分的面积是25平方厘米。
（2）3.14×（10÷2）
2
-10×（10÷2）÷2×2
=3.14×25-10×5=78.5-50
=28.5（平方厘米）
答：阴影部分的面积是28.5平方厘米。

第六单元 百分数（一）
12
【例1】把22%、、0.202和按从小到大的顺序排列是： （ ）<（ ）
5
9
<（ ）<（ ）
解析： 本题考查的知识点 是通过转化法统一分数、小数或百分数，然后再比较出它们的大小。
解答时，一般把百分数和分数转化为 小数，然后通过比较小数的大小来比较这些数的大小。
121
22%=0.22、 =0.2、0.202=0.202、≈0.222，因为0.2＜0.202＜0.22＜0.222，所以，
55
9
2
＜0.202＜22%＜。
9
12
解答：＜0.202＜22%＜
5
9
【例2】下面 4块菜地，阴影部分种西红柿，西红柿面积占的百分比最大的菜地是（ ）。

解析：本题考查的知识点是分数、百分数之间的相互转化。解答时 ，根据分数化成百分数的方
法，先把各个选项中的西红柿的面积依据分数的意义用分数表示出来，再化为 百分数，然后再
55
比较大小，找出百分比最大的。A： 5÷7= ≈0.71=71%、B：5÷8==0.625=62.5%、C ：3÷
8
7
38
4==0.75=75% D： 8÷12= ≈0.67=67%，因为62.5%＜67%＜71%＜75%，所以选C。
412
解答：C
【例3】分别用百分数、分数和小数表示直线上的各点

解析：本题考查的知识点是利用“数形结合”思想根据直线上给出的已知数填出百分数、分数
1
和小数。解答时，先找到给出的已知数，看图中的一个大格表示0.05、即，也就是5%，然
20
后再数出要填的每个格子上表示的分数、小时和百分数。
解答：
1139
5% 0.05 20% 0.2 75% 0.75 90% 0.9
205
410
【例4】看图列式，并计算。
< br>解析：本题考查的知识点是结合线段图用“数形结合思想”分析百分数意义，解决简单的实际
问题 。解答时，根据线段图直观呈现数量之间的关系，对百分数的意义有一个形象的理解。本
题呈现的是两个 相对独立量之间的关系，根据“求比一个数多（少）百分之几的数是多少”的
方法进行解答。
（1）已知柳树有230棵，杨树比柳树少30%，求杨树多少棵就是求比230少30%的数是多少，
解答时，根据求比一个数少百分之几的数用这个数×（1-百分之几）来解答，列式计算为230
×（1 -30%）=161（棵）。
（2）已知公鸡有35只，母鸡的只数比公鸡多10%，求母鸡有多少只 就是求比350多10%的数是
多少，解答时根据求比一个数多百分之几的数是多少用这个数×（1+百 分之几）来解答，列式

计算为350×（1+10%）=385（只）。
解答：
（1）230×（1-30%）=161（棵） 答：杨树有161棵。
（2）350×（1+10%）=385（只） 答：母鸡有385只。
1
，求今天六（2）班的出勤率。
19
解析：本题考查的知识点是利用转化 法求出勤率。解答时，先把今天没有到校的人数是到校人
1
数的转化为今天没到校的人数和到校 的人数比是1:19，也就是说把总人数看成1+19，然后
19
【例5】德惠小学六（2）班 今天没有到校的人数是到校人数的
再根据出勤率=
解答：
到校人数
×100% 列式计算解答。
总人数
19
×100%=0.95×100%=95%
119
答：今天六（2）班的出勤率是95%。
【例6】一辆旅游车到第一个景点 游客减少30%，到第二个景点时游客又增加30%，现在车上人
数与原来相比是增加还是减少？增加或 减少了多少？
解析：本题考查的知识点是利用假设解决百分数问题，解答时要注意前后两个单位“1” 是不同
的。围绕“到底是增加还是减少”这个问题，可以通
过假设不同的数据，对计算结果进行 比较。
要点提示
解答：假设总的人数为单位“1”
利用假设法解答时，假设人数为1比较
1×（1-30%）×（1＋30%）
简单。
＝0.91，（1-0.91）÷1
=9%
答：现在车上人数与原来相比减少了9%。
【例7】哥哥比弟弟高20%，弟弟比哥哥矮百分之几？
解析：本题考查的知识点是利用转化 法求一个数比另一个数少百分之几。解答时，先明确的是
哥哥比弟弟高20%是以弟弟的身高为单位“1 ”，哥哥的身高就是1+20%=1.2，求弟弟比哥哥矮百
分之几就是求1比1.2少百分之几，根据 求比一个数少百分之几的数是多少，列式为（1.2-1）
÷1.2=0.2÷1.2≈17%。
解答：1+20%=1.2 （1.2-1）÷1.2=0.2÷1.2≈17%
答：弟弟比哥哥矮17%。
【例8】超市将某种商品按进价的50%加价后定价，然后按80 %出售，结果每件商品依然获利20
元，这种商品的进价是多少元？
解析：本题考查的知识点 是用方程的方法解答进价、利润率、售价之间的关系问题。解答时，
设进价是x元，则加价50%后的价 格是（1+50%）x元，按定价的80%出售，则此时价格是（1+50%）
×80%x元，又结果每 件商品仍获利20元，由此可得方程：（1+50%）×80%x-x=20，解此方程得
x=100。
解答：解：设这种商品的进价是x元。
（1+50%）×80%x-x=20
150%×80%x-x=20
120%x-x=20
20%x=20
x=100
答：进价是100元。 < br>【例9】一杯纯牛奶，喝去30%，加满水搅匀，再喝去50%，这时杯中牛奶占杯子容量的百分之

几？
解析：本题考查的知识点是求一个数是另一个数的百分之 几。解答时，把杯子的容积看作单位
“1”，喝去30%就剩余牛奶的1-30%=70%，再把此看作 单位“1”，搅匀后喝去50%，就剩余
1-50%=50%，依据分数乘法意义，求出剩余牛奶体积， 最后除以杯子容量即可。
解答：（1-30%）×（1-50%）÷1=70%×50%÷1=35%÷1=35%
答：这时杯中的纯牛奶占杯子容量的35%。
【例10】某超市对某种商品实行“买四送一”活动，这相当于是按原价的百分之几销售？
解 析：本题考查的知识点是对“买四送一”的理解与运用。解答时要明确的是“买四送一”就
是花4个的钱 买到5个商品，所以相当于按原价的4÷（4+1）=80%出售。
解答：4÷（4+1）=80%
答：相当于按原价的80%出售。

第七单元 扇形统计图
【例1】六 （1）班有40名学生，选举班长的得票数为：小何20票；小赵10票；小邓6票；
小李4票。下列四 幅图中，（ ）图准确地表示了这一结果。
A. B. C. D.
解析：本题考查的知识点是扇形统计图的制作与应用。解答时，把总人数看作单位“1”，则小< br>何得票占总票数的50%，小赵得票占总票数的25%，其余两个的得票分别占15%和10%。结合扇< br>形统计图的知识，表示50%的圆是半圆，25%的圆的圆心角是90°，这样只有C满足条件，其余备选答案排除，所以选C。
解答：C
【例2】读图，解答问题。

（1）这是什么统计图？（2）图中A B C三部分的比是多少？
（3）图中A表示食宿，B表示路费，C表示购物，已知食宿费用是2000元，路费是多少元？ 解析:本题考查的知识点是扇形统计图。解答时，要根据扇形统计图找出单位“1”，以及各部分
所 占的百分率，再根据数量关系求解。
（1）这是一幅扇形统计图、
（2）把总费用看作单位 “1”，根据食宿费用占的圆心角是90°，可知食宿费用（A）占25%，
购物费用（C）占30%， 求出以上两种共占的百分率；剩下的是路费（B）占的分率，用减法求
出即可；进而把A、B、C三部分 占的分率相比，再化简成最简比。
（3）根据食宿费用是2000元，占总费用的25%，用2000 除以对应分率25%即可求出总费用，
再用总费用乘路费占的分率即可求出路费。
解答：
（1）这是扇形统计图。
（2）食宿费用占的圆心角是90°，可知食宿费用（A）占25% ，路费（B）占的分率：1-（25%+30%）
=45%；A、B、C三部分的比：25%：45%： 30%=5：9：6。
（3）总费用：2000÷25%=8000（元）路费：8000×45%=3600（元）
答：路费是3600元。

【例3】张老师把六一班期中 数学测试的成绩绘制成了统计表和统计图。由于不小心把统计表
和统计图弄脏了，有些数据已经完全看不 清楚。请你把统计表和统计图补充完整。
成绩 优秀 良好 及不合
格 及计
格
12 10 40 人数
（人）

解析：本题 考查的知识点是根据统计表和统计图之间的关系解答问题，解答时，据统计表可知
总人数是40人，已知 扇形统计图知优秀的占40%，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法可
求出优秀的有40×40%= 16（人）；同理用总人数乘5%可求出不及格的人数40×5%=2（人）； 再
根据求一个数是另一 个数的百分之几是多少用除法计算，分别用良好的人数和及格的人数除以
总人数，可求出它们的百分率分 别是12÷40=30%和10÷40=25%。
解答：
成绩 优秀 良好 及不合
格 及计
格
12 10 2 40 人数16
（人）
【例4】某商场对今年端午节这天销售A、B、C三种品牌粽子的情况进行了统计， 绘制如图1
和图2所示的统计图，根据图中信息解答下列问题：

（1）哪一种品牌粽子的销售量最大？（2）补全左图中的条形统计图。
（3）根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A、B、C三种品牌的粽子如何进货？ 请你
提一条合理化的建议。
解析：本题考查的知识点是把条形统计图和扇形统计图结合起来解 决问题。解答时，要把两种
统计图合并起来分析和思考。
（1）根据两个统计图可以看出C品牌占销售量的50%，A和B共占50%，所以C品牌销量最大。
（2）C品牌占50%，所以A和B占50%，A销量400个，用1200-400=800（个）。
（3）分别求出各种粽子销量所占的比例，按比例进货，适当把C品牌多进一些。
解答：
（1）C品牌占50%，是1200个，A和B共1200个，所以C品牌粽子的销售量最大。
（2）1200-400=800（个）

（3）1200×2=2400（个）400÷2400= 、 800÷2400= 、：：=1：2：3
所以进货总数大约在2400左右，比例按照1：2：3的标准进A，B，C三种品牌．

第八单元 数学广角
【例1】观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（ ）个点。

解析：本题考查的知识点是数与形结合的规律，考查的方法是通过特例分析归纳出 一般结论的
方法。对于找规律的题目，首先应找出哪部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析
找到各部分的变化规律后，再利用规律求解。
第（1）个图有1+2+3=6个点，第（2） 个图有2+3+4=9个点，第（3）个图有3+4+5=12个
点……第个图就有个点，所以第（9） 个图中应有9+10+11=30（个）点。
解答：30。
【例2】先画出第五个图形并填空。再想一想：后面的第10个方框里有（ ）个点，第51
个方框里有（ ）个点。

解析：本题考查的知识点是数与形结 合的规律，解答时，应找出哪些部分发生了变化，是按照
什么规律变化的。按照给出的规律，以此类推， 第五个图形有1+4×4个点，如下图。因为第n
个图中共有1+4（n-1）个点，所以第10个图中 有1+4×（10-1）=37个点，则第51个图共有
1+4×（51-1）=201个点。

解答：37 201
【例3】按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要（ ）根小棒；摆10个正六边
形需要（ ）根小棒；摆个正六边形需要（ ）根小棒。

解析：本题考查的知识点是是数形结合规 律。解答时，根据已知图形的排列特点及数量关系，
推理得出一般的结论进行解答。
摆1个六 边形需要6根小棒，可以写作5×1+1；摆2个六边形需要11根小棒，可以写作5
×2+1；摆3个 六边形需要16根小棒，可以写作5×3+1……由此可以推理得出一般规律，即摆
个六边形需要根小棒 。
解答：21 51 5n+1
【例4】观察下列由五角星组成的等边三角形图案：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有多少个★？
解析：本题 考查的知识点是利用数学结合思想解答五角星组成的图案问题。解答时，设每个图
形的每边的五角星个数 是n，每个图案的总点数即五角星总数用S表示。
当n=2时，S=3×（2-1）=3 当n=3时，S=3×（3-1）=6
当n=4时，S=3×（4-1）=9 …
所 以，S=3×（n-1）=3n-3，当第20个图形，n=21，所以S=3×21-3=60（个）
解答：60
【例5】现在有若干圆环，它的外直径5厘米，环宽5毫米，将它们扣在一起，拉 紧后测其长
度，请你完成下列各题。


（1）根据表中规律，则8个环拉紧后的长度是多少厘米？
（2）设环的个数为a，拉紧后总长为S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗？
解析：本 题考查的知识点是数学结合规律解答问题。解答时，根据题干可知：1个圆环的长度
是5厘米，以后每增 加一个圆环，就增加5-0.5×2=4厘米，由此可以完成表格。
（1）当有n个环时，拉紧后的总 长度就是：1+4n厘米；据此求出n=11时的长度。（2）设环的
个数为a，拉紧后总长为S，则可 得圆环与拉紧后的总长度的关系式是：S=0.5×2+（5-0.5×2）
a，即：S=1+4a。
解答：5毫米=0.5厘米，1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5-0.5×2= 4
厘米，由此可以完成表格，

（1）当有n 个环时，拉紧后的总长度就是1+4n厘米，当n=8时，总长度是1+8×4=33（厘米）
答：8个圆环拉紧后的长度是33厘米．
（2）设环的个数为a，拉紧后总长为S， S=0.5×2+（5-0.5×2）a，即：S=1+4a
答：这个关系式是：S=1+4a。
【例6】用长2厘米、宽1厘米的长方形纸按下图的顺序摆出山字形。

（1）排成5层时，这个图形的周长是多少厘米？
（2）写出层数和周长的关系式．
解析：本题考查的知识点是数形结合思想解答图形排列问题。解答时，先看一层时，周长是（2+1）
×2；两层时，周长是（2×2+1×2）×2；三层时周长是（2×3+1×3）×2…，所以n层时，周长是（2n+n）×2=6n，据此解答即可。
解答：
（1）当n=5时，6×5=30（厘米）
（2）n层时，周长是（2n+n）×2=6n