经济学专业大学排名-行政执法工作总结

2010年六年级奥数题：容斥原理（B）


一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）某校有500名学生报名 参加学科竞赛，数学竞赛参加者共312名，作文竞赛参加者共353名，其中这两
科都参加的有292 名，那么这两科都没有参加的人数为 _________ 人．

2．（3分）某门诊部 统计某一天挂号的病人，内科150人，外科92人，其中内、外两科都求诊的18人，这一天共
来了 _________ 个病人．

3．（3分）两个正方形的纸片盖在桌面上，位置与尺寸如图所示，则它们盖住 _________ （平方厘
米）．

4．（3分）不超过30的正整数中，是3的倍数或4的倍数的数有 _________ 个．

5．（3分）在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，参加田赛 又参加径赛的有7人，没有
参加比赛的有21人．那么甲班共有 _________ 人．

6．（3分）在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图），它们的面积都是100（cm）并知A、 B两圆重叠的面
222
积是20（cm），A、C两圆重叠的面积为45（cm），B、C两圆 重叠面积为31（cm），三个圆共同重叠的面积为
2
15（cm），求盖住桌子的总面积是 _________ 平方厘米．
2


7．（3分）在一次考试中，某 班数学得100分的有17人，语文得100分的有13人，两科都得100分的有7人，那
么两科中至 少有一科得100分的共有 _________ 人．全班45人中两科都不得100分的有 _________ 人．

8．（3分）在1，2，3，…，1000这1000个自然 数中，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数共有 _________ 个．

9．（3分）小于1000的自然数中，是完全平方数而不是完全立方数的数有 _________ 个．

10．（3分）某校有学生960人，其中有510人订阅“作文报”，有330人 订阅“数学报”，有120人订阅“科学爱好者”，
全校学生中有270人订阅两种报刊，有58人三种 报刊都订，那么这学校中没有订阅任何报刊的有 _________ 人．

二、解答题（共4小题，满分0分）
11．70名学生参加体育比赛，短跑得奖的31人，投 掷得奖的36人，弹跳得奖的29人，短跑与投掷二项均得奖的
12人，跑、跳、投三项均得奖的有5人 ，只得弹跳奖的有7人，只得投掷奖的有15人．求：
（1）只得短跑奖的人数；
（2）得二项奖的总人数；
（3）一项奖均未得的人数．

12．64人订A、B、C三种杂志．订A种杂志的28人，订 B种杂志的有41人，订C种杂志的有20人，订A、B
两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有1 2人，订A、C两种杂志的有12人，问三种杂志都订的有多少人？

13．求从1到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然数的个数．

14．夏日的一天，有十个同学去吃冷饮．向服务员交出需要冷饮的统计，数字如下，有6个人要可可，有5个 人要
咖啡，有5个人要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有一个人既要可可、咖啡又要了果汁．求证： 中一定有一个
人什么冷饮也没有要．

2010年六年级奥数题：容斥原理（B）

参考答案与试题解析


一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）某校有500名学生报名 参加学科竞赛，数学竞赛参加者共312名，作文竞赛参加者共353名，其中这两
科都参加的有292 名，那么这两科都没有参加的人数为 127 人．

考点： 容斥原理．
分析： 根据题意先作图，从图中可以看出：先求参加数学、作文竞赛的总人数，再用报名的人数减去即可．参加
数学、作文竞赛的总人数为312+353﹣292=373（人）．根据容斥原理一：可知这两科都没有参加的 人数为
500﹣373=127（人）．

解答： 解：从图中可以看出：参加数学、作文竞赛的总人数为312+353﹣292=373（人）．
从而可知这两科都没有参加的人数为500﹣373=127（人）．
故答案为127人．

点评： 此题运用了容斥原理进行解答，先求参加数学、作文竞赛的总人数，再用报名的人数减去即可．
< br>2．（3分）某门诊部统计某一天挂号的病人，内科150人，外科92人，其中内、外两科都求诊的18 人，这一天共
来了 224 个病人．

考点： 重叠问题．
分析： 先 画出示意图，再找出重复部分（内、外两科都求诊的人数），重复了两次，来诊病人总数等于来诊内科的
人数和来诊外科的人数和减去一个内、外两科都求诊的人数．

解答： 解：这一天共来的病人：
150+92﹣18，
=242﹣18，
=224（人）；
故答案为：224．
点评： 解答的关键是画出示意图，认真分 析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部
分？借助示意图进行思考，找到正 确的解答方法．

3．（3分）两个正方形的纸片盖在桌面上，位置与尺寸如图所示，则它们盖住 10.75 （平方厘米）．

考点： 重叠问题；长方形、正方形的面积．
分析：
把 两个正方形面积加起来得2
2
+3
2
=13（平方厘米），但其中多算了一块 阴影部分的面积，这部分面积为

1.5=2.25（平方厘米），故两个正方形盖住的总面积 是2+3﹣1.5=13﹣2.25=10.75（cm）．
解答：
解：2
2
+3
2
﹣1.5
2
=13﹣2.25
2
=10.75（cm）
故答案为：10.75．
点评： 解答此题的关键在于找出重叠部分的面积，但只能减去阴影部分的面积．

4．（3分）不超过30的正整数中，是3的倍数或4的倍数的数有 15 个．

考点： 重叠问题；找一个数的倍数的方法．
分析： 3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，（10个）；
4的倍数：4、8、12、16、20、24、28，（7个）；
既是3的倍数又是4的倍数，即12的倍数的有12、24，（2个）；
所以共有10+7﹣2=15（个）．
解答：
解：不超过30的3的倍数有（个） ，不超过30的4的倍数有
22222
=7（个）；不超过30的3×4=12
的倍数 有（个），因此不超过30的正整数中是3的倍数，或是4的倍数的数共有10+7﹣2=15（个）．
故答案为：15．
点评： 此题考查了倍数的知识，在本题中主要考查找一个数的倍数的方法．

5．（3分）在一次 运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，参加田赛又参加径赛的有7人，没有
参加比 赛的有21人．那么甲班共有 41 人．

考点： 重叠问题．
分析： 这道题 我们可根据题里的条件画一个示意图，如下图，从图里面很清楚地看出，参加比赛共有的人数=参加
田赛 的人数+参加径赛的人数﹣7．

解答： 解：（1）参加比赛的一共有：
15+12﹣7=27﹣7=20（人）；
（2）甲班共有：20+21=41（人）；
答：甲班共有41人．
点评： 解答此问题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出 哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又
是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法．

6．（3分）在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图），它们的面积都是100（c m）并知A、B两圆重叠的面
222
积是20（cm），A、C两圆重叠的面积为45（cm） ，B、C两圆重叠面积为31（cm），三个圆共同重叠的面积为
2
15（cm），求盖住桌子 的总面积是 219 平方厘米．
2

考点： 容斥原理．
分析： 根据题意和容斥原理，知道用三个圆的总面积减去两圆重叠的面 积再加上三个圆共同重叠的面积，就是要
求的面积
解答： 解：100+100+100﹣（20+45+31）+15，
=300﹣96+15，
=204+15，
=219（平方厘米）；
故答案为：219．
点评： 解答此题的关键是，在理解题意的基础上，找准对应量，正确运用容斥原理，列式解答即可．
7．（3分）在一次考试中，某班数学得100分的有17人，语文得100分的有13人，两科都得100 分的有7人，那
么两科中至少有一科得100分的共有 23 人．全班45人中两科都不得100分的有 22 人．

考点： 容斥原理．
分析： 根据题意和容斥原理，知道把数学得100分的人数加上语文得100分的人数，再减去两科都 得100分的人
数，就是两科中至少有一科得100分的人数；从总人数中减去两科中至少有一科得10 0分的人数就是两科
都不得100分的人数．
解答： 解：（1）至少一科得100分的有：17+13﹣7=23（人），
（2）两科都不得100分的有：45﹣23=22（人）．
故答案为：23，22．
点评： 解答此题的关键是，在理解题意的基础上，找准对应量，正确运用容斥原理，列式解答即可．

8．（3分）在1，2，3，…，1000这1000个自然数中，既不是2的倍数，又不 是3的倍数的数共有 333 个．

考点： 容斥原理；找一个数的倍数的方法．
分析： 先求出在1，2，3，…，1000这1000个自然数中2的倍数的个数，再求出3的倍数的 个数，以及2和3的
公倍数的个数，根据容斥原理解答即可．
解答： 解：在1～1000的自然数中，2的倍数有：1000÷2=500（个），
3的倍数有：1000÷3=333（个），
2×3=6的倍数共有：1000÷（2×3）=166（个），
故是2或是3的倍数共有：500+333﹣166=667（个），
从而既不是2的倍数，又不是3的倍数的数共有：1000﹣667=333（个）；
故答案为：333．
点评： 解答此题的关键是，根据题意找准对应量，再根据容斥原理解答即可．

9．（3分）小于1000的自然数中，是完全平方数而不是完全立方数的数有 28 个．

考点： 容斥原理；完全平方数性质．
分析： 先求出小于1000的自然数中，是完全平方数的数的个数，再求出是完全立方数的 的个数，根据容斥原理，
列式解答即可．
解答：
解：因为31
2
=961，所以小于1000的自然数中，是完全平方数的有共31个，
232323
其中1=1，8=4，27=9．又是完全立方数，

故符合条件的数有31﹣3=28（个）．
故答案为：28．
点评： 解答此题的关键是，弄清题意，根据要求的数的特点，利用容斥原理，解答即可．

10．（3分）某校有学生960人，其中有510人订阅“作文报”，有330人订阅“数学报”，有 120人订阅“科学爱好者”，
全校学生中有270人订阅两种报刊，有58人三种报刊都订，那么这学 校中没有订阅任何报刊的有 212 人．

考点： 容斥原理．
分析： 根据题 意和容斥原理，先求出或订“作文报”或订“数学报”或订“科学爱好者”的总人数，再用全校的总人数减
去或订“作文报”或订“数学报”或订“科学爱好者”的总人数就是要求的答案．
解答： 解：960﹣（510+330+120﹣270+58），
=960﹣748，
=212（人）；
答：这学校中没有订阅任何报刊的有212人．
故答案为：212．
点评： 解答此题的关键是，弄清题意，找出对应量，利用容斥原理，列式解答即可．

二、解答题（共4小题，满分0分）
11．70名学生参加体育比赛，短跑得奖的31人，投 掷得奖的36人，弹跳得奖的29人，短跑与投掷二项均得奖的
12人，跑、跳、投三项均得奖的有5人 ，只得弹跳奖的有7人，只得投掷奖的有15人．求：
（1）只得短跑奖的人数；
（2）得二项奖的总人数；
（3）一项奖均未得的人数．

考点： 容斥原理．
分析： 此题的数量关系比较复杂，可以借助图帮助我们分析，根据容斥原理，找出数量关系等式，列式解答即可．
解答： 解：设x为只得短跑奖的人数，y为只在短跑和弹跳两项得奖的人数，z为只在弹跑与投掷两项 得奖的人数，
u为只在投掷和短跑两项得奖的人数．则有u=12﹣5=7（人），z=36﹣15﹣1 2=9（人），y=29﹣5﹣7=8（人），
x=31﹣12﹣8=11（人）．即只得短跑奖的有1 1人．（2）得二次奖的人数为y+z+u=8+9+7=24（人）．
（3）因至少得一次奖的人数为x+y+z+u+5+7+15=62（人），
故一项奖均未得的人数为70﹣62=8（人）．
A
答：只得短跑奖的人数是16人，得二项奖的总人数是24人，一项奖均未得的人数是8人．

点评： 解答此题的关键是，弄清题意，找出对应量，根据容斥原理，列式解答即可．
< br>12．64人订A、B、C三种杂志．订A种杂志的28人，订B种杂志的有41人，订C种杂志的有20 人，订A、B
两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人，问三 种杂志都订的有多少人？

考点： 容斥原理．
分析： 此题的数量关系比较复杂 ，可以借助图帮助我们分析，根据容斥原理，找出数量关系等式，列方程解答即
可．
解答： 解：设三种杂志均订的人数为x．
28+41+20﹣10﹣12﹣12+x=64，
55+x=64

x=9；
答：三种杂志都订的有9人．

点评： 解答此题的关键是，要根据题意，化难为易，即用图表示各个数量间的关系，用方程解答．

13．求从1到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然数的个数．

考点： 容斥原理；找一个数的倍数的方法．
分析： 先求出在1～1994中，能被5整除 的个数；能被6整除的个数；能被7整除的个数；能被5×6=30整除的个
数；能被5×7=35整除 的数；能被6×7=42整除的个数为；能被5×6×7=210整除的个数，根据容斥原理，列
式解答 即可．
解答： 解：在1～1994中，能被5整除的个数为：1994÷5=398，
能被6整除的个数为：1994÷6=332，
能被7整除的个数为：1994÷7=284，
能被5×6=30整除的个数为：1994÷30=66，
能被5×7=35整除的数为：1994÷35=56，
能被6×7=42整除的个数为：1994÷42=47，
能被5×6×7=210整除的个数为：1994÷210=9，
1～1994中或能被5， 或能被6，或能被7整除的数的个数为：（398+332+284）﹣（66+54+47）+9=854，
从而不能被5整除，也不能被6或7整除的自然数的个数为1994﹣854=1140（个）．
点评： 解答此题的关键是，弄清题意，确定运算顺序，根据容斥原理，列式解答即可．

14．夏日的一天，有十个同学去吃冷饮．向服务员交出需要冷饮的统计，数字如下，有6个人要可可， 有5个人要
咖啡，有5个人要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有一个人既要可可、咖啡又要了果汁． 求证：中一定有一个
人什么冷饮也没有要．

考点： 容斥原理．
分析： 根据题意，先求出吃冷饮的总人数，再根据容斥原理，即可求出没有吃冷饮的人数．
解答： 解：吃冷饮的总人数：（6+5+5）﹣（3+2+3﹣1），
=16﹣7，
=9（人），
没有吃冷饮的人数：10﹣9=1（人）；
答：1人没有吃冷饮．
所以一定有一个人什么冷饮也没有要．
点评： 解答此题的关键是，弄清题意，确定运算顺序，找出对应量，根据容斥原理，列式解答即可．