郑志恒-以拒绝为话题的作文

人教版六年级上册同步奥数 第五单元 圆 能力提升 思维突破 挑战极限
第五单元 圆
板块一 圆的认识
【例题1】有一个圆形铁版，没有标明圆心，你能找出它的直径吗？




【练习1】
1.为什么下水井盖是圆形的？


2.如果没有圆规，你能画出一个圆吗？你能想出几种方法？


【例题2】数学中的图形是变化无穷的，如果把下面的两个图形各截一次，能拼成正方形吗？




【练习2】请你试着用圆规和直尺画一画下面的图形。











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板块二 圆的周长
【例题1】已知AB=120米，BC=60米，如图，从点 A到点C有2条不同的路线①和②，请你
判断哪条路线最短。 ①
A B C
②
【练习1】
1.有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请 问它飞了多少米？
如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么 这次它
飞了多少米？（

取3.14）



2 .半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（

取3.14）


【例题2】直径均为1分米的4根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如图，试求 金属带的
长度。（接头处忽略不计）


【练习2】有7根半径是5厘米的钢 管，用一根绳子把它们紧紧地捆成一捆，如图所示，求
绳子的长度。（接头忽略不计）



板块三 圆的面积
【例题1】已知阴影部分的面积是20平方厘米，圆的面积是多少？





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【练习1】右图中正方形的面积是2平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？



【例题2】如图，在一块面积为28.26平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆 铝
板。问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（

取3.14）

O

【练习2】如图，在一块面积为12.56平方厘米的圆形纸板中，裁出了2个同样大小 的圆纸
板。问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（

取3.14）

O


【例题3】如图，图中的三角形都是等腰直角三角形，求各图中阴影部分的面积。



4 4 4



【练习3】
1.图中的4个圆的圆心恰好是正方形的4 个顶点，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影
部分的总面积是多少平方厘米?




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2.求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

4

4


【例题4】图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米。当圆形绕正方 形滚动一周又
回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）





【练习4】如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米。当圆形绕正方形 滚动一周
又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）




板块四 圆环的面积
【例题1】图中阴影部分的面积是100平方厘米，求圆形的面积。




【练习1】如图，已知阴影部分的面积是5平方厘米，求圆形的面积。





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板块五 扇形的面积
【例题1】 如图（1）是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，
把整个半圆逆时针 转60°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘
米？（π取3.14） C


A B A 60° B
(1) (2)





【练习1】下图（1）是一个半径为3 厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，
把整个半圆逆时针转30°，此时B点移动到 C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘
米？（π取3.14）
C

A B 30°
(1) A B
(2)



【例题2】如图，求下面各图中阴影部分的面积。（π取3.14）


2 2



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【练习2】已知下图中正方形的面积是16，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）





【例题3】
（1）如图（1），一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空
地。绳长8米。小狗的活动范围是多少平方米？
（2）如图（2），小狗不是被拴在A处，而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少
平方米？
（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）


A B
（1） （2）


【练习3】如图，一头山羊被拴在一个边长为4米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四
周都 很空旷。绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外墙边的任一位置。请问：山羊的活动范围
有多少平方米？（ 建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，π取3.）









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板块六 方中圆 圆中方
关于正方形和圆，有以下的面积关系：
方中圆：正方形面积:内切圆面积=4:π
圆中方：圆面积:内接正方形面积=π:2



方中圆 圆中方 圆的外切正方形与内接正方形 正方形的外接圆与内切圆


【例题1】计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小。（π取3.14）


2 4

8




【练习1】如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）










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4

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挑战极限
1.图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点 是该正方形的中心。如果每个圆
的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？（π取3. 14）





2.如图是由一个圆与一个直角扇形重 叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4.图中阴影
部分的面积是多少？（π取3.14）
4



3.如图，求阴影部分的面积。（π取3.14）


2

4.如图所示，大圆的直径是4厘米，是外部阴影面积大，还是内部阴影面积大？是外部 阴影
周长大，还是内部阴影周长大？并求出各自的面积。





5.如图，半圆S
1
的面积是14.13平方厘米，圆S
2
的面积是19.625平方厘米，那么长方形（阴
影部分）的面积是多少平方厘米？

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S
1
S
2


作业
1.小明要从A地到B地，图中的两条路线，走哪条路最近？
①
②
A 4m 3m 5m B
2.如图，用一根铁丝将三根直径为1分米的管子紧紧捆住（接头 处不计），至少需要铁丝多少
分米？



3.求下图中两圆阴影部分的面积之差。


R=3cm r=2cm


4.一个石英钟的分针长10厘米，分针旋转过 的面积是157平方厘米，你能求出分针走了多少
分钟吗？


5.如图， 三角形ABC为等边三角形，边长为2，D为BC边中点，分别以B、C为圆心，1为半
径作两个扇形（ 即图中阴影部分）。那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14，结果保留两
位小数。） A


B D C
6.如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1,阴影部分的面积是多少？（π取3.14）

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B C


F A D E
7.图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（图中长度单位为厘米，π取3.14）


4


8.如图，图中小圆的面积是3.14，大圆的面积是多少？



9.如图，正方形的面积是8，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）



10.如图，长方形的长为6厘米，宽为2厘米，圆形的半径是1厘米 。当圆形绕长方形滚动一
周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）



11.如下图所示，正方形的边长是8厘米，求阴影部分的面积。



12.有一只狗被拴在一建筑物的墙角处，这个建筑物的底面是边长为8米的正方 形，拴狗的绳
子长20米。现在狗从P点出发（如下图），将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？
B C

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P A D



答案：
板块一 圆的认识
【例题1】方法一：把直尺的0刻度固定在圆周的任意一点上，移动直尺 的另一端，量出最
长的线段，就是直径。 B
C
A D 图中线段AD最长，线段AD就是这个圆形铁片的直径。

E
方法二：把圆形铁片放在平面上，先紧贴铁片边缘上一点画一条直线AB，然后在铁片的另一
侧边缘上找到一个合适的点，过这点画直线AB的平行线D，AB、CD与铁片的交点为E、F，
连接 EF，线段EF就是这个圆形铁片的直径。A C
E F
B D
方法三：紧贴铁片边缘在圆外画一个正方形，正方形和铁片的交点分别 为A、B、C、D，连接
AC、BD.线段AC、BD都是这个圆形铁片的直径。 A

B D

C
方法四：在圆形铁片上任意画一条线段CD，使线段CD两端都在圆形铁片的边缘上，然后过
CD的中点画它的垂线，这长垂线与圆形铁片相交于A、B两点，线段AB就是这个圆形铁片的
直径。 A
C D

B
【练习1】

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1.下水井盖做成圆形的，是因为圆有无数条直径，这 些直径的长度都相等，而且直径是圆内
两个端点都在圆上的所有线段中最长的一条，所以把下水井盖做成 圆形的，是因为无论把它
怎样放都不会从井口掉下去。


2.①借助实物画圆（三角尺中间的圆、茶杯盖等）。 ②系绳画圆法。用一根没有弹性的线线
和一支铅笔画圆，将细线的一端用图钉固定在一点，另一端系在铅笔上，用铅笔将细线拉直
并绕这个固 定点旋转一周，就画出了一个圆。
【例题2】
①② ③
④

④
② ①
③
【练习2】
第一步 第二步 第三步





板块二 圆的周长
【例题1】路线①的长度：3.14×（120+60）÷2=282.6（米）
路线②的长度：3.14×120÷2+3.14×60÷2=282.6（米）
答：两条路线一样长。
【练习1】
1. 3.14×20=62.8（米）
2.（1+2+3+4）×2=20（厘米） 3.14×20=62.8（厘米）
【例题2】3.14×1+1×4=7.14分米
【练习2】3.14×5×2+5×2×6=91.4（厘米）

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板块三 圆的面积
【例题1】3.14×20=62.8（cm
2
）

【练习1】3.14×2=6.28（cm
2
）
【例题2】28.26÷3.14=9（平方厘米） R=
9
=3(厘米） r=3÷3=1(厘米）
28.26-3.14×1
2
×7=6.28（平方厘米）
【练习2】12.56÷3.14=4（平方厘米） R=
4
=2(厘米） r=2÷2=1(厘米）
12.56-3.14×1
2
×2=6.28（平方厘米）
【例题3】（1）4×4÷2÷2=4
（2）3.14×4
2
×
1
-4×4÷2=4.56
4
（3）4×4÷2=8
【练习3】
1. 3.14×1
2
×2=6.28 1×2=2 2×2=4 6.28+4=10.28
2. 4×4÷2=8(平方厘米）
【例题4】4×2×4+π×2
2
=44.56（平方厘米）
【练习4】2×2×4+π×2
2
=28.56（平方厘米）
板块四 圆环的面积
【例题1】3.14×100=314（平方厘米）
【练习1】3.14×（5×2）=31.4（平方厘米）
板块五 扇形的面积
【例题1】
1


3
2
4.71（平方厘米）
6

【练习1】
1
2


（32）9.42（平方厘米 ）
12

【例题2】
1
（1）

2
2
2-222.28
4

解析：可利用重叠求出阴影部分面积。阴影面 积等于两个圆心角为90°、半径为2的扇形面
积减去边长为2的正方形面积。
1
（ 2）4

1
2
-222.28
2


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解析：将四个半径为1厘米的半圆叠加起来，恰好将每块阴影各算了两遍，每块空白各算了
一遍。所以 阴影部分面积等于4个半径为1厘米的半圆面积之和减去边长为2厘米的正方形
面积。
【练习2】
1


4
2
2169.12
4

【例题3】

1

3.148
2

3
3.144
2

1
2175.84（平方米）
44
244

2

1


8
2

6
2

1
2
1


2
2
252

163.28（平方米）


A B


【练习3】
30012098


< br>6
2
2

2
2
98（平方米）
3603603




板块六 方中圆 圆中方
【例题1】π:4=S
阴影
:(8×2) S
阴影
=4π=12.56
π:4=S
阴影
:(4×4) S
阴影
=4π=12.56
【练习1】π:4=S
阴影
:（12÷2） S
圆
=1.5π S
阴影
=12-1.5π×2=2.58
挑战极限
1.4×4÷2=8(平方厘米）
解析：如图，阴影部分总面积等于虚边正方形的面积。 该正方形的对角线长为圆直径的两
倍，等于4厘米，所以面积为4×4÷2=8(平方厘米）。



1
2.

4
2
-4 424.56
4

解析：如图，把两个阴影部分的小弓形补到空白部分之后，

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可以看出阴影部分的面积和等于大扇形的面积减去圆中正方形的
面积。


3. 圆的直径是正方形的对角线：设圆的面积为s。π:2=s:(2×2)
S=2π=2×3.14=6.28
S
阴影
=6.28-2×2=2.28
4.如图所示。
内部阴影面积：π×1
2
×2-2×2=2.28（平方厘米）
外部阴影面积：π×2
2
-π×1
2
×2-2×2=2.28（平方厘米）
答：面积一样大。
内部阴影周长：π×2×2=12.56（厘米）
外部阴影周长：π×4+π×2×2=25.12（厘米）
答：外部阴影周长大。
5.s< br>1
的半径的平方：14.13×2÷3.14=9，所以s
1
的半径为3厘米.
S
2
的半径的平方：14.19.625÷3.14=6.25，所以s
2< br>的半径为2.5厘米，
s
2
的直径径为2.5×2=5厘米.
阴影部分的面积：（3+5）×（3+3）-（3+3）×3-5×5=5（平方厘米）
作业
1.两条路线一样长.
2. 3.14×1+3×1=6.14（分米）
4. 3.14×(3
2
-2
2
)=15.7(cm
2
)
4. 3.14×10
2
=314（平方厘米）
1
60×=30（分钟）
2
1
5. 3.14×1
2
××2≈1.05
6
6.连接BD。将最左边的弓形补过来，阴影部分的面积 B D
就是平行四边形BDEC的面积减去扇形的面积。
1×1-3.14×1
2
×
45
=0.6075
360
7.4×4÷4×3=12(cm
2
) F A D E
8. 3.14×2=6.28

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解析：小圆面积:正方形面积=π:4，正方形面积:大圆面积=2:π=4:2π，
所以小圆面积:大圆面积=π:2π=1:2.
9.2π×2-8=12.56-8=4.56 解析：四个半圆的面积之和减去正方形的面积就是阴影部分的面积。四个半圆可以拼成两个
相同的圆 。而这个圆和正方形正好是方中圆的关系，由此可求出圆的面积为8÷4×π=2π.
那么阴影部分的面积就是2π×2-8=12.56-8=4.56。
10.π×2
2
+6×2×2+2×2×2=12.56+32=44.56（平方厘米）
11.空白部分 面积的一半：8×8-3.14×（8÷2）
2
=13.76（平方厘米）
阴影部分的面积：8×8-13.76×2=36.48（平方厘米）

111
12. 20×2×π×
4
+(20-8)×2×π×
4
+(20-8-8)×2×π×
4
=10π+6π+2π
=18π
=50.24(米）
答：将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑50.24米.






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