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数形结合
发现不同
知识框架


形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．
最初的数和最简的图相对应．
1 和·(点)
2 和
3 和
4 和
(线：两点连成一条直线)
(平面：三点确定一个平面)
(立体：不在同一平面上的四个点构成一个四面体)
这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．
例题精讲

【例1】 我国在春秋战国时代就有了
“
洛图
”(
见下图
)
．图中也是用
“
圆点
”
表示数，而且还区分了偶
数和奇数， 偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗
?






【例2】 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了
“形数
”
的奥秘．比如他把
l
，
3
，
6
，
10
，
15
，
…
叫做三角
形数．因为用圆点按这 些数可以堆垒成三角形，见下图．请写出第
100
个三角形数。




1 6

【例3】 三角形数的奇偶性是很有规律的 ，
1
，
3
，
6
，
10
，
15，
2l
，
28
，
36
，
…
奇、奇、偶 、偶、
奇、奇、偶、偶
……
想一想，这是为什么
?





【例4】 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角 形数可以堆垒成正方形，因
此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇．第
25
个四角形数是 多少？







【例5】 第8
个三角形数恰是第
6
个四角形数，因为
还能试着找到一个这样的例子吗
?





【例6】 类似地，还有四面体数见下图．第七个四面体数是多少？

你






【例7】 五面体数，见下图．第五个五面体数是多少？


2 6

【例8】 按不同的 方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重
要的公式．由此可以使人体 会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．


方法
l
：先算空心点， 再算实心点：
(22)(221)
．

方法2：把点图看作一个整体 来算
33
．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
222213 3

用上述同样的方法推导一下接下去的两个图
















课堂检测

【随练
1
】 请你试着画一画五 角形数和六角形数的图形．并试着把第，
n
个五
(
六
)
角形 数拆成以
1
为首页、有
n
项的等差数列之和的形式．














3 6

【随练
2
】 按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一系列等式，进而猜想 出一个公
式来，从中体会数与形之间的微妙关系．如：


方法l：先算空心点，再算实心点，得：
2(21)2(21)

方法2：把点图看成一个整体来算，得：
3(31)2

因为点数不会 因计数方法不同而变，所以得出：
2(21)2(21)3(31)2

请你照此继续做下去．











【随练
3
】 模仿，用不同的方法分别对 下两图中的点进行数数与计数，先得出一系列等式，进
而猜想出一个重要的公式．















4 6

家庭作业

【作业
1
】 第
25
个三角形数是几
?




【作业
2
】 第
50
个三角形数是几
?




【作业
3
】 第
1000
个三角形数是几
?




【作业
4
】 观察下列图形，你能发现什么
?









【作业
5
】 第
99
个与第
100
个三角形数的和等于多少
?





【作业
6
】 每一个四角形数
(
或叫正方形数
)(
除
1
外
)
都能拆成两个三角形数 吗
?
比如，
100
是哪两个
三角形数的和
?





5 6

【作业
7
】 写出前
10
个四面体数．







【作业
8
】 写出前
10
个五面体数．






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