二年级奥数知识点：数数与计数
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二年级奥数知识点：数数与计数
从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律.
例1
数一数，下面图形中有多少个点?
解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图.
点的总数是：
5+5+5+5=5 4.
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方法2：从左至右一列一列地数，见下图.
点的总数是：4+4+4+4+4=4 5.
因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为数数的
方法不同而变化.所以应有下列
等式成立：
5 4=4 5
从这个等式中，我们不难发现这样的事实：
两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变.
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这就是乘法交换律.
正因为这样，在两个数相乘时，以后我
们也可以不再区分哪个是
乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做 因数
，因此，乘法交换律也
可以换个说法：
两个数相乘，交换因数的位置，积不变.
如果用字母a、b表示两个因数，那么乘法交换律可以表示成下
面的形式：a b=b a.
方法3：分成两块数，见右图.
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前一块4行，每行3个点，共3 4个点.
后一块4行，每行2个点，共2 4个点.
两块的总点数=3 4+2 4.
因为不论人们怎样数，原图中总的点
数的多少都是一定的，不会
因为数数的方法不同而变化.所以应有下列等式成立：
3 4+2 4=5 4.
仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：
3+2=5
4
所以上面的等式可以写成：
3 4+2 4=(3+2) 4
也可以把这个等式调过头来写成：
(3+2) 4=3 4+2 4.
这就是乘法对加法的分配律.
如果用字母a、b、c代表三个数，那么乘法对加法的分配律可
以表示成下面的形式：
(a+b) c=a c+b c
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分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一
个数
与第三个数的积加上第二个数与第三个数的积之和.
进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢?
请看下面的例子：
计算(3-2) 4和3 4-2 4.
解：(3-2)
4=1 4=4
3 4-2 4=12-8=4.
两式的计算结果都是4，从而可知：
(3-2) 4=3 4-2 4
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这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与第三个
数相乘的情况.
如果用字母a、b、c(假设a
b)表示三个数，那么上述事实可以
表示如下：(a-b) c=a c-b c.
正因为这个分配律对括号中的 + 和 -
号都成立，于是，通常
人们就简称它为乘法分配律.
例2
数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组成的?
解：方法1：从上至下一层一层地数，见上右图.
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第一层 4 2个
第二层 4 2个
第三层 4 2个
三层小长方体的总个数(4
2) 3个.
方法2：从左至右一排一排地数，见下图.
第一排 2 3个
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第二排 2 3个
第三排 2 3个
第四排 2 3个
四排小长方体的总个数为(2 3)
4.
若把括号中的2
3看成是一个因数，就可以运用乘法交换律，写
成下面的形式：4 (2 3).
因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定的，不会
因为数数的方法不同而变化.把
两种方法连起来看，应有下列等式成
立：(4 2) 3=4 (2 3).
这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得的积相
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同.
或是说，三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第
三个数，或者
先把后两个数相乘，再去乘第一个数，积不变，这就是乘法结合律.
如果用字母a、b、c表示三个数，那么乘法结合律可以表示如
下：(a b) c=a (b
c).
巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变得简洁、
迅速.
从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式.
例3 数一数，下图中有多少个点?
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解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图.
总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
方法2：补上一个同样的三角形点群(但要上下颠倒放置)和原有
的那个三角形点群共同拼成一
个长方形点群，则显然有下式成立(见
下图)：
三角形点数=长方形点数 2
因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9
而长方形点数=10 9=(1+9) 9
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代入上面的文字公式可得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9) 9 2=45.
进一步把两种方法联系起来看：
方法1是老老实实地直接数数.
方法2可以叫做 拼补法
.经拼补后，三角形点群变成了长方形
点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了.
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即1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9) 9 2.
这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变
成了一个
较简单的乘除算式了.这种方法在700多年前的中国的古算
书上就出现了.
再进一步，若脱离开图形(点群)的背景，纯粹从数的方面找规律，
不难发现下述事实：
这个等式的左边就是从1开始的连续自然数相加
之和，第一个数
1又叫首项，最后一个数9叫末项，共有9个数又可以说成共有9
项，这样，等
式的含义就可以用下面的语言来表述：
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从1开始的连续自然数前几项的和等于首项加末项之和乘以项
数的积的一半.或是写成下面的文字式：
和=(首项+末项) 项数 2
这个文字式通常又叫做等差数列求和公式.
例4
数一数，下图中有多少个点?
解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图：
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总点数=2+3+4+5+6=20.
方法2：补上一个同样的梯形点群，但要上下颠倒放置，和原图
一起拼成一个长方形
点群如下图所示：
由图可见，有下列等式成立：
梯形点数=长方形点数 2.
因为梯形点数=2+3+4+5+6
而长方形点数=8
5=(2+6) 5
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代入上面的文字式，可得：
2+3+4+5+6=(2+6) 5 2
与例1类似，我们用拼补法得到了一个计算梯形点群总点数的较
为简单的公式.
再进一步，若脱离开图形(点群)的背景纯粹从数的方面找找规
律，不难发现下述事实：
这个等式的左边就是一个等差数列的求和式，它
的首项是2，末
项是6，公差是1，项数是5.这样这个等式的含义就可以用下面的语
言来表述
：
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等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半.
写成下面较简化的文字式：
和=(首项+末项) 项数 2
这就是等差数列的求和公式.
例5
数一数，下图中有多少个小三角形?
解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图.
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小三角形总数=1+3+5+7=16个.
方法2：补上一个同样的图形，但要上下颠倒放置、和原来的一
起拼成一
个大平行四边形如下图所示.
显然平行四边形
包含的小三角形个数等于原图中的大三角形所
包含的小三角形个数的两倍，即下式成立.
大三角形中所含=平行四边形所含 2
平行四边形所含=8
4=(1+7) 4(个)
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大三角形中所含=1+3+5+7=16
代入上述文字式：
1+3+5+7=(1+7) 4 2
这样，我们就得到了一个公式：
小三角形个数=(第一层的数+最末层的数) 层数 2
脱离开图形的背景，纯粹从数的方面进行考察，找找规律，不难
发现下述事实：
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等式左边就表示
一个等差数列的前几项的和，它的首项是1，末
项是7，公差是2，项数是4.这样这个等式的含义也就
可以用下面的
语言来表述：
等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数之积的一半.
写成较简单的文字式：
和=(首项+末项) 项数 2.
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