毕业生就业推荐表-流行风

染色问题(1)
年级 班 姓名 得分

(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题)
1.某影院 有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一
个观众.如果要求每个观众在看 第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某
一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?
2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房
间相通.问能否 从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?

1 2 3
4 5 6
7 8 9

3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间 小屋,整齐地排
列成八行八列(见图 (
a
)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不 重复也不遗漏(不许
斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图 (
b
))呢?







(
a
) (
b
)

4.一个88国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个21的“骨
牌” (形如 )把象棋盘上的62个小格完全盖住?
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5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.











6 .空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是
否必有两个同色三角形?
7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一
只甲虫,甲虫 能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一
个中去.如果要求甲虫能走到每个小正 方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体
吗?



8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答
下面的问题:















































































































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A
























B




一只马从起点出发,跳了
n
步又回到起点.证明:
n
一定是偶数.

9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答
下面的问题:





A
























B




一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?

10.中国象 棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答
下面的问题:





A
























B




证明:一只马不可能从位置
B
出发,跳遍 半张棋盘而每个点都只经过一次(不要
求最后一步跳回起点).

11.中国象棋的 马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答
下面的问题:



A


















B



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一只马能否从位置
B
出发,用6步跳到位置
A
?为什么?

12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答
下面的问题 :





A
























B




一只车从位置
A
出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置
B
.证明:至少有一个格点没被 走过或被走了不止一次.

13.88的国际象棋棋盘能不能被剪成7个22的正方形和9个 41的长
方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.
14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)中任选 、 、

三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,
试问(表2)中的
A
格上的数字是多少?并说明理由.

1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1
表 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
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1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 A 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
表 2




———————————————答 案——————————————————————

1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(29
定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.
31),共有899个小方格.不妨假
要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某 一观众交换位置,即要求每一
黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.
2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间
出发,只能按黑 白 黑 白 ……的次序,当走遍九个房间时应在黑
色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故 不能不重复地走遍所有房间又回到1号
房间.
3. 图(a)行,走法如图所示.







图(a)
图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色编辑版word

的,40个白色的.从小屋出发,按黑 白 黑 白 ……的次序,当走遍80
棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.
4. 不能.原因是每一个21的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白
格,31个这样的 骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.
但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后 剩下的是30个
白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.
5. 中 国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有
33=9个交叉点,由抽屉原则知, 至少有一个小部分内含有6只马.
将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同 颜色交
叉点上,故一定有两只马“互吃”.






6. 设这六个点为A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形: 考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成
了相同的颜色,不 妨设AB、AC、AD三条同为红色.再考虑三角形BCD的三边:
若其中有一条为红色,则存在一个红 色三角形;若这三条都不是红色,则三角形
BCD为蓝色三角形.





B
C
D
A
下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC的三边同为红色.
(1)若三角形DEF也是红色三角形,则存在两个同色三角形.
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