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时钟问题
“时间就是生命”。自从人类发明了计时工具——钟表，人们的生活就 离不开它
了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学„„全都依靠钟表，如果没有
钟表， 生活就乱套了。
时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周
分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度

垂直、两针 成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并
且都沿顺时针方向转动，所以经常将 时钟问题转化为追及问题来解。
例1 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
分析：如右图所示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面








例2 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？
分析与解：7点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后 面5
×7＝35（格）。时针 与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，
有下图所示的两种情况：

（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多
走35-15 =20（格），需

（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要 比时针多
走35＋15＝50（格），需

例3 在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？
分析与解：3点时分针指向12，时针指向3（见右图），分针在时针后 面5
×3＝15（格）。时针 与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分
针成180°角两种情况（见下图）：

（1）时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，需15÷

（2）时针与分针成180°角。从3点开始，分针要比时针多走15＋30


例4 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好
成一条直线，结 束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？
分析与解：这道题可以利用例3的方法，先求出 开始的时刻和结束的时刻，
再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180° ，结
束时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走30格，所以播出时间为

例1～例4都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程差是多
少格，再除以它们的速度差求 出准确时间。但是，有些时钟问题不太容易求出路
程差，因此不能用追及问题的方法求解。如果将追及问 题变为相遇问题，那么有
时反而更容易。
例5 3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？
分析与解：假设3点以 后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻
就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所 行距离和是15个格。



例6 小明做作业的时间不足1时 ，他发现结束时手表上时针、分针的位置
正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多 少时间？

分析与解：从左上图我们可以看出，时针从A走到B，分针从 B走到A，两
针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从B出发，反向
而 行，它们在A点相遇。两针所行的
时间是：你

练习24
1.时针与分针在9点多少分时第一次重合？
2.王师傅2点多钟开始工作时，时针与分针正好重 合在一起。5点多钟完工
时，时针与分针正好又重合在一起。王师傅工作了多长时间？
3.8点50分以后，经过多长时间，时针与分针第一次在一条直线上？
4.小红8点钟开始画一幅画，正好在时针与分针第三次垂直时完成，此时是
几点几分？
5.3点36分时，时针与分针形成的夹角是多少度？
6.3点过多少分时，时针和分针离“2”的距离相等，并且在“2”的两边？
7.早晨小亮从镜 子中看到表的指针指在6点20分，他赶快起床出去跑步，
可跑步回来妈妈告诉他刚到6点20分。问： 小亮跑步用了多长时间？
答案与提示 练习24




解：分针比时针多转5-2=3（圈），所以王师傅工作了


解：从9点开始，分针还要比时针多走15格，所求时间为


解 ：8点分针在时针后面40格，第一次垂直分针要比时针多走40-15=25（格），
第三次垂直要多 走25＋30×2=85（格），


5.108°。

解：分针走36格，时针走36÷12=3（格）。3点36分时，分针在时针前面
36-（5×3＋3）=18（格），它们形成的夹角是
360°×（18÷60）＝108°。

解：与例5类似，假设2点以后， 时针以相反的方向走，时针与分针第2
次相遇的时刻就是所求的时刻。第一次相遇，两针共走5×2＝1 0（格），第二
次相遇，两针还要共走一圈，即60格。所以需要


7.40分。
提示：镜子中的影像左右位置互换了，所以镜子中看到的6点20分（左下
图），实际上是5点40分（右下图）。





时间问题（二）

同学们都知道，任何一块手表或快或慢都会有些误差，所以手 表指示的时刻
并不一定是准确时刻。这一讲的内容是与不准确时钟有关的时间问题。这类题目
的 变化很多，无论怎样变，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段
内含多少个单位时间，就可 求出这一时间段内的误差。
例1 肖健家有一个闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上8 点整
时，肖健对准了闹钟，他想第二天早晨5点55分起床，于是他就将闹钟的铃定
在了5点5 5分。这个闹钟将在标准时间的什么时刻响铃？
分析与解：因为这个闹钟走得慢，所以响铃时间肯定在5点55分后面。

，闹钟走595分相当于标准时间的

响铃时是标准时间的6点整。
例2 爷爷的老式时钟的时针与分针每隔66分重合一次。如果早晨8点将钟
对准，到第二天早晨时针再 次指示8点时，实际上是几点几分？
分析与解：由上一讲知道，时针与分针两次重合的时间间隔为

所以老式时钟每重合一次就比标准时间慢

时钟24时重合多少次呢？我们观察从12点开始的24时。分针转24圈，时
针转2圈，分针比时针多 转22圈，即22次追上时针，也就是说 24时正好

例3 小明家有两个旧挂钟，一 个每天快20分，一个每天慢30分。现在将
这两个旧挂钟同时调到标准时间，它们至少要经过多少天才 能再次同时显示标准
时间？
分析与解：由时钟的特点知道，每隔12时，时针与分针的位 置重复出现。
所以快钟和慢钟分别快或慢12时的整数倍时，将重新显示标准时间。
快钟快12时，需经过
（60×12）÷20＝36（天），
即快钟每经过36天显示一次标准时间。慢钟慢12时需要
（60×12）÷30＝24（天），
即慢钟每经过24天显示一次标准时间。
因为［36，24］=72，所以两个钟同时再次显示标准时间，至少要经过72
天。
例4 一个快钟每时比标准时间快1分，一个慢钟每时比标准时间慢2分。
若将两个钟同时调到标准时间 ，结果在24时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好
显示8点整。此时的标准时间是多少？何时将两个钟同 时调准的？
分析与解：因为两个钟是同时调准的，所以当两个钟相差60分时，快钟20
÷1＝20（时），所以是20时前（12点40分）将两个钟同时调准的。
当然，本题也可以由慢钟求出结果。同学们不妨试试。
例5 某科学家设计了一只怪钟，这只怪钟 每昼夜10时，每小时100分钟（见
右图）。当这只钟显示5点整时，实际上是中午12点整。当这只 钟显示3点75
分时，实际上是什么时间？实际时间下午5点24分时，这只钟显示什么时间？

分析与解：怪钟每天100×10＝1000（分），而实际即正常的钟是每天60×24＝1440（分），所以怪钟的1分等于实际的
1440÷1000＝1.44（分），实际的1分等于怪钟的

怪钟的10点整相当于正常钟的12点整。怪钟从10点到3点75分经过了
375分，等于实际的

1.44×375＝540（分）＝9（时）。所以怪钟的3点75分就是实际的上午9
点整。
从0点（即半夜12点）到下午5点24分，正常钟走了
60×（12＋5）＋24＝1044（分），
等于怪钟的

所以实际时间下午5点24分时，怪钟显示7点25分。
例6 李叔叔下午要到工厂上3点的班， 他估计快到上班的时间了，就到屋
里去看钟，可是钟停在了12点10分。他赶快给钟上足发条，匆忙中 忘了对表就
上班去了，到工厂一看离上班时间还有10分钟。夜里11点下班，李叔叔回到家
一 看，钟才9点钟。如果李叔叔上、下班路上用的时间相同，那么他家的钟停了
多长时间？
分析与解：这道题看起来很“乱”，但我们透过钟面显示的时刻，计算出实
际经过的时间，问题就清楚了 。
钟从12点10分到9点共经过8时50分，这期间李叔叔上了8时的班，再
减去早到 的10分钟，李叔叔上、下班路上共用8时50分－8时－10分＝40（分）。
李叔叔到工厂时是2点 50分，上班路上用了20分钟，所以出发时间是2点30
分。
因为出发时钟停在12点10分，所以钟停了2时20分。
练习25
1.钟敏家有一 个闹钟，每小时比标准时间快2分钟。星期天早晨7点整时，
钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在 11点30分闹铃，提醒她帮助妈妈做
饭。钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？
2.小明晚上8点将手表对准，到第二天下午4点发现手表慢了3分钟。小明
的手表一天慢几分几秒？
3.有一个钟每小时快15秒，它在7月1日中午12点时准确，下一次准确的
时间是什么时候？
4.一辆汽车的速度是72千米时，现有一块每小时慢20秒的表，用这块表
计时，测得这 辆汽车的速度是多少？（保留一位小数）
5.高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走得不正

挂钟最早在什么时间恰好快3分？
6.某人有一块手表和一个闹钟，手表比闹钟每小时慢 30秒，而闹钟比标准
时间每小时快30秒。问：这块手表一昼夜比标准时间差多少秒？
7.小明上午8点要到学校上课，可是家里的闹钟早晨5点50分就停了，他
上足发条但忘了对表就急急 忙忙上学去了，到学校一看还提前了20分钟。中午
12点放学，小明回到家一看钟才11点整。假定小 明上学、下学在路上用的时间
相同，那么，他家的闹钟停了多少分钟？
答案与提示
练习25
1.11点39分。
提示：每小时快2分，4.5时快9分。

2.3分36秒。
解：3÷20×24=3.6（分）=3分36秒。
3.10月29日中午12点。
解 ：每天快15×24=360（秒）=6（分），快12时需60×12÷6=120（天），7，
8， 9月共31＋31＋30=92（天），120-92=28（天），所以下次准确的时间是10
月29 日中午12点。
4.72.4千米时。
解：这块表的3580秒等于实际的3600秒，所以这块表的1时等于实际的

5.10月16日傍晚。

6.慢6秒。


7.1时25分。
解：小明早晨离家到中午回到家共经过5时10分，减去在学校的4时和提前到校的20分，路上共用50分，上、下学各25分。8点减去提前到校的20分，再
减去上学路上用 的25分，小明离家时是7点15分，所以闹钟停了1时25分。





牛吃草问题

“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几 天？”这道题太简单
了，同学们一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“ 一
片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在
不断变化。这 类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。
例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速 生长。这片牧草可供10头牛吃20
天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？
分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办
法从变化当中找 到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草
两部分。牧场上原有的草是不变的，新长 出的草虽然在变化，因为是匀速生长，

所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天 新长出的草是不变的。下面，
就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。
设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛
10天吃150份 ，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，
前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。
200－150＝50（份），20—10＝10（天），
说明牧场10天长草50份，1天长草 5份。也就是说，5头牛专吃新长出来
的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此 得出，牧场上
原有草
（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
现在已经知道原有草100份，每天 新长出草5份。当有25头牛时，其中的
5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需10 0÷20＝5（天）。
所以，这片草地可供25头牛吃5天。
在例1的解法中要注意三点：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃
的天数的差计算出来的。
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，
由剩下的牛吃原 有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草 ，其余的牛吃原有的草，
根据原有的草量可以计算出能吃几天。
例2 一个水池装一个进 水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池
存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水 管，那么8分钟后水池空；
如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多 少
分钟？
分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”，进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，
所以也是牛吃草问题 ，解法自然也与例1相似。
出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水 量，
另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变
的，所以可 以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。
设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2 个出水管8分钟所排的水是2×
8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），这 两次排出的水
量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在
8- 5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是


有的水，可以求出原有水的水量为

解：设出水管每分钟排出的水为1份。每分钟进水量

答：出水管比进水管晚开40分钟。
例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以 固定的速度在
减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计
算，可供多少头牛吃10天？
分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还 在减少。
但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。
设1 头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，
100-90=10（份） ，说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于
10头牛在吃草。由“草地上的草可供2 0头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的
10头牛同时在吃草，所以牧场原有草
（20＋10）×5＝150（份）。
由 150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去10头牛，
所以，可供5头牛吃10天。
例4 自动扶梯以均匀速度由 下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。
已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级 ，结果男孩用了5分钟到
达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
分 析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成
了“梯级”，“牛”变成了“速 度”，也可以看成牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一 部分是自
动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），女孩6分钟走了15×6＝
90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说
明电梯1分 钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与
扶梯的速度之和，所以扶梯共有
（20＋10）×5＝150（级）。
解：自动扶梯每分钟走
（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级），
自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。
答：扶梯共有150级。
例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。
从开始检票到等候检票的队伍消失， 同时开4个检票口需30分钟，同时开5个
检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分 钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”
相当于 “牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队 的原有旅客，另一
部分是开始检票后新来的旅客。
设1个检票口1分钟检票的人数为1份 。因为4个检票口30分钟通过（4
×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（3 0-20）分钟内新来
旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来
的旅客，可以求出原有旅客为
（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。

同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口
通过原来的旅客，需要
60÷（7-2）=12（分）。
例6 有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。 草地上的草一样厚，而且长
得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃1 4天。
问：第三块草地可供19头牛吃多少天？
分析与解：例1是在同一块草地上，现在 是三块面积不同的草地。为了解决
这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。
［5，6，8］＝120。
因为 5公顷草地可供11头牛吃10天， 120÷5＝24，所以120公顷草地可
供11×24＝264（头）牛吃10天。
因 为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供
12×20＝240 （头）牛吃14天。
120÷8＝15，问题变为： 120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：
“一块匀速生长的草地，可供264头 牛吃10天，或供240头牛吃14天，那
么可供285头牛吃几天？”
这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有
（240×14－264×1 0）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）
×10＝840（份）。可供2 85头牛吃
840÷（285—180）＝8（天）。
所以，第三块草地可供19头牛吃8天。
练习26
1.一牧场上的青草每天都匀速生长 。这片青草可供27头牛吃6周或供23
头牛吃9周。那么，可供21头牛吃几周？
2.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供
19头牛吃 24天。现有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草
吃完，这群牛原来有多少头？
3.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300
年。 假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地
球最多能养活多少亿人？
4.有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水抽干；用
15部同样 的抽水机，10时可以把水抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时
可以把水抽干？
5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果
同时开放3个检票口，那么 40分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放4
个检票口，那么25分钟队伍恰好消失。如果同时开 放8个检票口，那么队伍多
少分钟恰好消失？
6.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井 顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗
牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15 分米。黑夜
里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达
井底 ，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？

7.两位顽皮的孩子 逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27
级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2 分钟到达另一端，女孩走了3分
钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？
答案与提示练习26
1.12周。
解：设1头牛1周吃的草为1份。牧场每周新长草
（23×9-27×6）÷（9-6）=15（份）。
草地原有草（27-15）×6=72（份），可供21头牛吃72÷（21-15）=12（周）。
2.40头。
解：设1头牛1天吃的草为1份。牧场每天新长草（17×30－19×24）÷< br>（30-24）=9（份）。
草地原有草（17－9）×30=240（份）。
这群牛8天应吃掉草240＋9×8＋4×2＝320（份），
所以这群牛有320÷8=40（头）。
3.70亿。
解：设1亿人生活1年的资源为1份。地球每年新生成资源
（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）。
当新生成的资源不少于每年消耗掉的资源时，地球上的资源才不致减少。所
以地球最多能养活70亿人。
4.5时。
解：设1部抽水机1时抽出的水为1份。水池中每小时涌出泉水（10× 20
－15×10）÷（20-10）＝5（份）。
水池中原有水（10-5）×20= 100（份）。25部抽水机抽干需100÷（25-5）
＝5（时）。
5.10分。
解：设1个检票口1分钟通过的旅客人数为1份。每分钟新来旅客


6.15米。
解：每夜下滑（20×5-15×5）÷（6-5）=10（分米）， 井深（20＋10）×
5=150（分米）＝15米。
7.54级。
解：自动扶梯每分钟走
[24×（180÷20）-27×（120÷20）]÷（3-2）=5 4（级）。自动扶梯共有
27×（120÷20）-54×2=54（级）。