科学名言-新鲜事物

奥数周周练——构造与论证
板块一、最佳安排和选择方案
【例 1】 一个 盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：
每次拿出 2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的
棋子回去．这样的操 作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩
下的棋子是 颜色(填“黑”或者“白”)．












【巩固】 在黑板上写上
1
、
2
、
3
、
4
、……、
2008
，按下列规 定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个
数
a
和
b
，然后写上它们 的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是
奇数还是偶数？为什么？




‘




【例 2】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5 卷
到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?






【巩固】 在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯 和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和
同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由 不亮变为亮．如果原来每盏灯都
是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?



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奥数周周练——构造与论证
【例 3】 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某 一
石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有
989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：、
(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?









【巩固】 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、 2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝
上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2 009．然后将每一张卡片正反两个面上的数
字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇 数还是偶数？









【例 4】 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛 采用单循环方式
进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手 各有
10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜
几场， 才能确保他的得分比某位专业选手高?





【例 5】 n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，
平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：
（1）n=4是否可能？
（2）n=5是否可能？







2

奥数周周练——构造与论证
【例 6】 如图35-1，将1，2，3，4， 5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任
意连续相邻的5个圆圈内的各 数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.



【例 7】 （2009年清华附中入学测试题）如图，在时钟的表盘上任意作
9
个< br>120°
的扇形，使得每一个扇
形都恰好覆盖
4
个数，且每两个扇形覆 盖的数不全相同，求证：一定可以找到
3
个扇形，恰好覆
盖整个表盘上的数．并举一个 反例说明，作
8
个扇形将不能保证上述结论成立．
11
10
98
7
6
5
12
1
2
3
4




【巩固】 （2008年台湾小学数学竞赛选拔赛）将1、2、3、4 、5、6写在一个圆周上，然后把圆周上连续
三个数之和写下来，则可以得到六个数
a
1
、
a
2
、
a
3
、
a
4
、
a
5
、
a
6
，将这六个数中最大的记为
A
．请
问在所有填写方式中，
A
的最小值是什么？
6
1
4
3
2
5



【例 8】 1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加 仪仗队，
使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动< br>员最少有多少人?





3

奥数周周练——构造与论证
【例 9】 一组互不相同的自然数，其中最小的 数是l，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数
或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于 这组数中某两个数之和.问：这组数之和的最小值
是多少?当取到最小值时，这组数是怎样构成的?












【例 10】 2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的获胜。 甲、乙轮流取，如果甲先取，如何
才能保证赢？


























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奥数周周练——构造与论证
【巩固】 桌 子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如
果双方都 采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？












【巩固】 有3堆小石子，每次允许 进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一
石子数是偶数的堆中的一半石子移入 另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989
块石子，第三堆有89块石子．问，能 否做到：⑴某2堆石子全部取光？⑵3堆中的所有石子都
被取走？







【例 11】 在10×19方格表的每个方格内，写上0 或1，然后算出每行及每列的各数之和．问最多能得到
多少个不同的和数?












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奥数周周练——构造与论证
【例 12】 在8×8 的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶
数枚棋子?






【例 13】 在下图中有16个黑 点，它们排成了一个4×4的方阵．用线段连接其中4点，就可以画出各种
不同的正方形．现在要去掉某 些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多
少个点?







【例 14】 三个边长为1的正方形并排放在一起，成为1×3的长方形.求证：
12390
.











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奥数周周练——构造与论证
板块二、染色与赋值问题
【例 15】 某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所 有图书，又知道图书馆内任何两本书都至
少被一个同学都读过．问：能否找到两个学生甲、乙和三本书4 、B、C，使得甲读过A、B，没
读过C，乙读过B、C，没读过A?说明判断过程．







【例 16】 4个人聚会，每人各 带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：至少有2对人，每对
人是互赠过礼品的．







【例 17】 有9位数学家，每人 至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言.求证：在这些
数学家中至少有3人能用同一 种语言交谈。







【例 18】 在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成< br>一个直角三角形的顶点．求n的最小值．








【例 19】 甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按l，2，3，4，…依次编
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奥数周周练——构造与论证
号．当两个班比赛时，具有相同编号的 同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有15台是男、
女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、 女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生
对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下，正好是 24 ？







【例 20】 将5×9的长方形分成10个边长为整数的长方形．证明：无论怎样分法．分得的长方形中必有
两个是完 全相同的．







【例 21】 将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：至少可以找到两行，这两行
中某一种颜色的格数相同．







【例 22】 在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上．如果在这7个点之字连结18条线段，
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