福建教育考试院-吉林警察学院网站

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奥数
1、
(1)
2002
的值(B)
A.2000B.1C.-1D.-2000
2、a为有理数，则
11
的值不能是（C）
a2000
A.1B.-1C.0D.-2000
3、
2007

2006

2007

20062007


的值等于（B）
A.-2007B.2009C.-2009D.2007
4、
(1)(1)(1)(1)(1)
的结果是（A）
A.-1B.1C.0D.2
5、
(1)
2006
(1)< br>2007
1
A.0B.1C.-1D.2
2008
的结果是（A）
1
6、计算
2()
2
(2)
的结果是（D）
2
A.2B.1C.-1D.0
7、计算：
3.825
111.8250.253.8253.825.

42
1111118、计算：
200220012000199921.

2223 23
9、计算：

7238
2.5(0.75)(1)() .

1151113
11、计算：
3
2000
5319999
63
1998
.

练习：
22
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
2
10
.
2
n1
2
n
2
n
(21)2
n
.
6
12、计算：
1131351397
()()()

244666989898
结果为：
111
22612.5< br>
2249
1111
d111
(
)

 

.
应用：
n(n1)dnn1
12233420 062007
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13、计算:

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练习：
1111


.

599131 317101105
123246714212
.结果为
13 52610721355
13、计算:
14、求
x1x2的最小值及取最小值时
x
的取值范围.
练习:已知实数
a,b,c满足
1c0ab,
且
bca,
求
c1ac ab
的值.
练习：
1、计算
(1)
1998
( 1)
1999
(1)
2006
(1)
2007
的值为（C）
A.1B.-1C.0D.10
2、若
m
为正整数，那么
1
m
1

1

(m
2
1)
的值（B）
4

A.一定是零B.一定是偶数
C.是整数但不一定是偶数D.不能确定
3、若
n
是大于1的整数，则pn(n1)
2
1(n)
2
的值是(B）
A.一定是偶数B.一定是奇数
C.是偶数但不是2D.可以是奇数或偶数
4、观察以下数表，第10行的各数之和为(C）
1
43
678
13121110
1516171819
262524232221
…
A.980B.1190C.595D.490
5、已知
a20022001 200220012002
2
20012002
2001
,b2002
2002
，则a与b满足的关
系是（C）
A.
a b2001
B.
ab2002
C.
ab
D.
a b2002

6、计算:
1232464812714212
.

135261041220721355
1111113
7、 计算：
1234567.28

6
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8、计算：
1
111


.

1 2123123

100
9、计算:
999999999 999999999999.

10、计算
20001999198019 70

2010
.
10
6

111111< br>(1)(1)(1)

(1)(1)(1)
2349989991 000
99
9
11
9
11、已知
p
99
,Q
90
,
比较
P,Q
的大小.
99
12、设
n
为正整数，计算：
1



22233333444
13、2007加上它的
111
得到一个数,再加上所得的数 的又得到一个数,再加上这次得到的又得到
234
1
,最后得到的数是多少?
2007
1至13之间的自然数，将这四
一个数,…,依次类推,一直加到上一次得数的14
、有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个
个（每个数用且只用一 次）进行加减四则运算与
4(123)
应视作相同方法的运算，现有四个有
理数 3，4，-6，10.运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于24，运算式：
（1）_______________________;
(2)________________________;
(3)________________________;
15.黑板上写有1，2，3 ，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作，每次操作规则如下：
擦掉写在黑板上 的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998
后，添加上6；若 再擦掉6，6，38，添上0，等等。如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个
数，一个是25， 求另一个数.
一、选择题（每题1分，共5分）
以下每个题目里给出的A，B，C，D四个 结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论
的英文字母代号．
1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是 (A)
A．a%． B．(1+a)%．C.
a1a
D.
100a100a
2．甲杯中盛 有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里,
0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时 (A)
A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．
B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．
C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．
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D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．
3.已知数x=100,则(A)
A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．
C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．
111
,,
的大小关系是(C)
abbac
1

;B.A.<<;C.<<;D.<<.
ab bacbaabccbaabcabba
4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点 A，B，C对应的数,则
5．x=9，y=－4是二元二次方程2x+5xy+3y=30的一组整数解 ，这个方程的不同的整数解共有
A．2组． B．6组．C．12组．
二、填空题（每题1分，共5分）
1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．
2．对于任意有理数x ，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的< br>加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______．
3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但 不知道每把钥
匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______ 次．
4．当m=______时，二元二次六项式6x+mxy－4y－x+17y－15可以分解为 两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．
5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．
三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）
1．两辆汽车从同一 地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每
桶油可使 一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车 一共行
驶了多少公里？
2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D ，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个
圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5 (S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S
1
，S
2
，S
3
满足关系式S
3
=
22
22
()
D．16组．
11
S
1
=S
2
,求S．
33
3.求方程
1115

的正整数解.
xyz6
初中数学竞赛辅导
2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜ =ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜
＋｜a-c｜的值．
3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n，求x的取值范围．
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4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+ …+a1x1＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值．
6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．
8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．
10．x，y，z均是非负实数，且满足： x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4，求u=3x-2y＋4z的最大值与
最小值．
11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．
13．如图1－8 9所示．AOB是一条直线，OC，OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠COD=55°．求
∠ DOE的补角．
14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，∠ED F=70°．求证：BC‖AE．
15．如图1－91所示．在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB ，∠CDG=∠BEF．求证：∠AGD=∠ACB．
17．如图1－93所示．在△ABC中，E为 AC的中点，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，AD与BE
交于F．求△BDF与四边形FDCE的 面积之比．
18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，对角线AC‖KL ，BD延长线交
KL于F．求证：KF=FL．
19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由．
20．设有 一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下
面对涂了色 的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问
能否最终得到恰 有一个黑色方格的方格纸？
23．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿， 当它们全被人坐上后，
共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人？
24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解．
25．男、女各8人跳集体舞．
(1)如果男女分站两列；
(2)如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴．问各有多少种不同情况？
26．由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？
27．甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒(s)两车错过，若同向而 行
相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．
28．甲乙两生产小队共同种菜，种了4天 后，由甲队单独完成剩下的，又用2天完成．若甲单独
完成比乙单独完成全部任务快3天．求甲乙单独完 成各用多少天？
29．一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小时减少 10海里，到达
后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度． 16
30．某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利750万元，结果甲车间超额15％完成计划，乙 车间
超额10％完成计划，两车间共同完成税利845万元，求去年这两个车间分别完成税利多少万元？
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31．已知甲乙两种商品的原价之和为150元 ．因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价20％，
调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降 低了1％，求甲乙两种商品原单价各是多少？
32．小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏 ，正好把带去的钱用完．已知每支牙膏比
每把牙刷多1元，今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙 刷和牙膏，因为今年的牙刷每把
涨到1.68元，牙膏每支涨价30％，小红只好买2把牙刷和2支牙膏 ，结果找回4角钱．试问去年
暑假每把牙刷多少钱？每支牙膏多少钱？
33．某商场如果将进 货单价为8元的商品，按每件12元卖出，每天可售出400件，据经验，若每
件少卖1元，则每天可多 卖出200件，问每件应减价多少元才可获得最好的效益？
34．从A镇到B镇的距离是28千米，今 有甲骑自行车用0．4千米分钟的速度，从A镇出发驶
向B镇，25分钟以后，乙骑自行车，用0．6千 米分钟的速度追甲，试问多少分钟后追上甲？
35．现有三种合金：第一种含铜60％，含锰40％； 第二种含锰10％，含镍90％；第三种含铜20％，
含锰50％，含镍30％．现各取适当重量的这三 种合金，组成一块含镍45％的新合金，重量为1
千克．
(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；
(2)求新合金中含第二种合金的重量范围；
(3)求新合金中含锰的重量范围．
｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0， c-b≥0，
a-c≤0．所以
原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．
3．因为m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当 x+m≥0
时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，
｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．
4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得
a0+a2＋a4＋a6=-8128．
10．由已知可解出y和z
因为y，z为非负实数，所以有
u=3x-2y+4z
11.所以商式为x2-3x+3，余式为2x-4
12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．
我们用“对称”的办法将 小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)．设甲村关于
北山坡(将山坡看成一 条直线)的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′，连接甲′乙′，设甲′乙′
所连得的线段分 别与北山坡和南山坡的交点是A，B，则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的选
择(即路线最短）
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显然，路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段 甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利
用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙 ′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以，
从甲→A→B→乙的路程最短．
13 ．如图1－98所示．因为OC，OE分别是∠AOD，∠DOB的角平分线，又∠AOD+∠DOB=∠
AOB=180°，所以∠COE=90°．
因为∠COD=55°，所以∠DOE=90°-55°=35°．
因此，∠DOE的补角为180°-35°＝145°．
14．如图1－99所示．因为BE平分∠ABC，所以
∠CBF=∠ABF，
又因为∠CBF=∠CFB，所以∠ABF=∠CFB．
从而AB‖CD(内错角相等，两直线平行)．
由∠CBF=55°及BE平分∠ABC，所以∠ABC=2×55°=110°．①
由上证知AB‖CD，所以∠EDF=∠A=70°，②
由①，②知BC‖AE(同侧内角互补，两直线平行)．
15．如图1-100所示．EF⊥AB，CD⊥AB，所以∠EFB=∠CDB=90°，
所以EF‖CD(同位角相等，两直线平行)．所以∠BEF=∠BCD(两直线平行，同位角相等)．
①又由已知∠CDG=∠BEF．②由①，②∠BCD=∠CDG．
所以BC‖DG(内错角相等，两直线平行)．
所以∠AGD=∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
16．在△BCD中，
∠DBC＋∠C=90°(因为∠BDC=90°)，①又在△ABC中，∠B=∠C，所以
∠A＋∠B＋∠C=∠A＋2∠C=180°，
所以由①，②
17．如图1－10 1，设DC的中点为G，连接GE．在△ADC中，G，E分别是CD，CA的中点．所
以，GE‖AD ，即在△BEG中，DF‖GE．从而F是BE中点．连结FG．所以
又S△EFD＝S△BFG- SEFDG=4S△BFD-SEFDG，
所以S△EFGD=3S△BFD．
设S△BF D=x，则SEFDG=3x．又在△BCE中，G是BC边上的三等分点，所以S△CEG=S△BCEE，
从而所以SEFDC=3x＋2x＝5x，
所以S△BFD∶SEFDC=1∶5．
18．如图1－102所示．
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由已知AC‖KL，所以S△ACK=S△ACL，所以
即KF=FL．＋b1=9，a+a 1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，矛盾！
20 ．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方
格 的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加
了”(8 -k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不
变 ．所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰
有一个 黑色方格的方格纸．
21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1(k ≥1)，则p+2=3(2k＋1)不是质
数，所以，p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋ 6，所以，6｜(p＋1)．
22．由题设条件知n=75k=3×52×k．欲使n尽可能地小，可 设n=2α3β5γ(β≥1，γ≥2)，且有(α+1)(β+1)(γ
＋1)=75．
于 是α＋1，β+1，γ＋1都是奇数，α，β，γ均为偶数．故取γ=2．这时(α+1)(β+1)=25．
所以故(α，β)=(0，24)，或(α，β)=(4，4)，即n=20?324?52
23．设凳子有x只，椅子有y只，由题意得3x＋4y+2(x+y)＝43，
即5x+6y＝43．
所以x=5，y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．
24．原方程可化为
7x-8y+2z＝5．
令7x-8y=t，t＋2z=5． 易见x=7t，y=6t是7x-8y=t的一组整数解．所以它的全部整数解是
而t=1，z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是
把t的表达式代到x，y的表达式中，得到原方程的全部整数解是
25．(1)第一个位置有 8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，…，由乘法原理，男、女各
有8×7×6×5×4×3× 2×1＝40320
种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有2×403202种不同情况．
(2)逐个考虑结对问题．
与男甲结对有8种可能情况，与男乙结对有7种不同情况，…，且 两列可对换，所以共有
2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640种不同情况．
26．万位是5的有4×3×2×1=24(个)．
万位是4的有4×3×2×1=24(个)．
万位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6个，千位是4的有如下4个：
34215，34251，34512，34521．
所以，总共有24+24＋6+4＝58
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个数大于34152．
27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即92＋84=176(米)．
设甲火车速度 为x米秒，乙火车速度为y米秒．两车相向而行时的速度为x+y；两车同向而行时
的速度为x-y，依 题意有
解之得
解之得x=9(天)，x＋3=12(天)．
解之得x=16(海里小时)．
经检验，x=16海里小时为所求之原速．
30．设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元．依题意得
解之得
故甲车间超额完成税利
乙车间超额完成税利
所以甲共完成税利400+60=460(万元)，乙共完成税利350+35=385(万元)．
31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得
由②有
0.9x+1.2y=148.5，③
由①得x=150-y，代入③有
0.9(150-y)＋1.2y＝148.5，
解之得y=45(元)，因而，x=105(元)．
32．设去年每把牙刷x元，依题意得
2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4，
即2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6，
即2.4x=2×1.68，
所以x=1.4(元)．
若y为去年每支牙膏价格，则y=1.4＋1=2.4(元)． < br>33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元，则每件仍可获利(4-x)元，其中0＜ x＜4．由
于减价后，每天可卖出(400+200x)件，若设每天获利y元，则
y＝(4-x)(400+200x)
＝200(4-x)(2+x)
=200(8＋2x-x2)
=-200(x2-2x+1)＋200+1600
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=-200(x-1)2+1800．
所以当x=1时，y最大=1800(元)．即每件减价1元时，获利最大，为1800元，此时比原来多卖< br>出200件，因此多获利200元．
34．设乙用x分钟追上甲，则甲到被追上的地点应走了( 25+x)分钟，所以甲乙两人走的路程分别是
0．4(25+x)千米和0．6x千米．因为两人走的 路程相等，所以
0.4(25+x)=0.6x，
解之得x=50分钟．于是
左边=0.4(25＋50)=30(千米)，
右边=0.6×50=30(千米)， 即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但A，B两镇之间只有28千米．因此，到B镇为止，乙
追不上甲．
35．(1)设新合金中，含第一种合金x克(g)，第二种合金y克，第三种合金z克，则依题意有
(2)当x=0时，大500克．
(3)新合金中，含锰重量为：
x?40％＋y?10％+z?50％=400-0.3x，
y=250，此时，y为最小； 当z=0时，y=500为最大，即250≤y≤500，所以在新合金中第二种合金
重量y的范围是： 最小250克，最
而0≤x≤500，所以新合金中锰的重量范围是：最小250克，最大400克．

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