奥数知识点 间隔问题

绝世美人儿
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2020年08月05日 06:34
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网站规划书-中共上海市委党校


间隔问题
 植树问题:
植树问题是最典型的间隔问题。植树问题,要牢记四要素:
① 路线长 ② 间距(棵距)长 ③ 棵数 ④ 间隔数
关于植树的路线,有封闭与不封闭两种路线。
1.不封闭路线
① 若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数多1。如上图把总 长平均分成5段,
但植树棵数是6棵。
全长、棵数、间距三者之间的关系是:
棵数=间隔数+1 间隔数=棵数-1
全长=间距×(棵数-1)
间距=全长÷(棵数-1)

② 如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在 两端植树时的棵数少1,即棵数与段数相
等。全长、棵数、株距之间的关系就为:
全长=间距×棵数;
棵数=间隔数=全长÷间距;
间距=全长÷棵数。

③ 如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1棵。
棵数=间隔数-1=全长÷间距-1
间距=全长÷(棵数+1)
例1、小明在马路的一边种树,每隔3米种一棵树,共种了11棵,问这段马路有多长?
分析:两端种树:全长=间距×(棵数-1)= 3×(11-1)=30(米)

例2、马路的一边挂了16盏红灯笼,每隔一盏红灯笼就有一盏菠萝灯笼,请问共多少菠萝灯笼?
分析:两端种树:菠萝灯笼的数量=红灯笼的间距数= 16-1=15(个)


2.封闭的植树路线
例如:在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因 为头尾两端重合在一起,所以种
树的棵数等于分成的段数。如右图所示。
棵数=间隔数=周长÷间距
周长=株距×数棵(段数)
株距=周长÷棵数(段数)
例3、在一个圆形小花园内的四周植树8棵,每两棵树之间的间隔 是3米,请问:这个小花园的
周长一共有多长?
分析:封闭的植树路线:周长=株距×数棵(段数)= 3×8 = 24(米)

 间隔问题在实际中的应用
(一) 锯木头问题

锯木头问题是“两端无点”的植树问题,锯点相当于棵数。
锯木头的时间是花在次数上的,所以知道了次数,也就可以计算出锯木头需要花的时间。
例4、一根木头被锯成5段,需要锯几次?
分析:两端无点:棵数=间隔数-1=5-1=4(次)
例5、有一根木头,要锯成5段需要8分钟,如果要锯成19段,需要多少分钟?
分析:两端无点:棵数=间隔数-1=5-1=4(次)
每锯一次的时间=8÷4=2(分钟)
锯19段:锯的次数=19-1=18次,时间:18×2=36(分钟)
例6、一段木料,每3米锯一段,一共锯了7次,这段木料一共有多长?
分析:两端无点:间隔数=棵数+1=7+1=8(段);长度:8×3=24(米)
(二) 爬楼问题
爬楼问题是“两端有点”的植树问题,楼层数当于棵数,间隔(段)数相当于爬了几层。
间隔(段)数=大楼层数-小楼层数
爬楼梯问题,时间是花在段(爬了几层)上的,知道段数,也就能计算出爬楼花的时间。
例7、小巧家住在8楼,她每天回家要爬几层楼呢?
分析:两端有点:(间隔数=棵数-1)爬了几层=楼层楼-1=8-1=7(段)

< br>例8、小林家住在四楼,他每上一层楼要走14级台阶,小林从一楼走到三楼要走多少级台阶?
分析:两端有点:爬了几层=楼层楼-1=4-1=3(段); 台阶总数=3×14=42(级)

例9、优优从1楼走到5楼需要4分钟,那么用同样的速度,他从1楼走到8楼需要几分钟?
分析:两端有点:(间隔数=棵数-1)爬了几层=楼层楼-1=5-1=4(段)
速度(每分钟走几层楼):4÷4=1(层)
走到8楼的段数=8-1=7(段),时间:7×1=7(分钟)
(三) 敲钟问题
敲钟问题也是植树问题中“两端有点”的情况。时间是从第1下敲响之后开始算起。
敲钟问题的时间也是花在段上的,知道了间隔也就可以计算出敲钟所需要的时间。
例10、闹闹家的钟敲2下需要2秒,那么敲7下需要几秒?
分析:两端有点:(间隔数=棵数-1)间隔数=敲钟数-1=2-1=1(段)
敲7下需要的时间:(7-1)×(2÷1)=12(秒钟)

例11、一座大钟,1点敲1 下,几点就敲几下,2点时要敲2下,两下之间的间隔要用2秒,
共用4秒敲完。问10点钟要敲10下 ,多少秒才能敲完?

(四) 排队长度问题
排队问题也是植树问题中“两端有点”的情况。队伍长度是从第1个人到最后1个人。
例12 、同学们上体育课,有10个男生排成一排,相临两个男生相隔1米。问这排男生排列的
长度有多少米?
分析:10个男生排成一排,有几个间隔?和前面一样,应有9个间隔,也就是9个1米。
解:1×(10-1)=9(米) 答:这排男生排列的长度排有9米。

< br>例13、小明用15张纸订成一个本子,每隔3页夹进一片树叶,问这个本子内共夹进几片树叶?

分析:把15张纸按3张纸一组可以分成5组,因为,3+3+3+3+3=15。
那么相邻的两个组之间的间隔就:5-1=4(个)。
例14、学校有一块正方形的草坪,为 了让这块草坪更漂亮,绿化小组的成员决定沿正方形草
坪一周种上树,要求每边植7棵,并且四个角上都 要植,一共要几棵?怎么计算?
分析:如图,如果要求每个角上种一棵,那么现在每条边上已经有了2 棵树,
要保证每条边上有7棵树,那么每条边上还需要种7-2=5(棵),则4条
除去4个角 外还需要在种5+5+5+5=20(棵),再加之角上的4棵树,
所以一共需要种20+4=24(棵)

例15、有一本儿童故事书,共有40页,如果从头数起每隔3张纸,夹一个书签,请问:
这本书应该夹几支书签?
解:一张纸有2页,所以40页书共有20张纸,从第1张数起,每过三张夹一支书签。
共要夹6支书签,

例16、有A、B二人比赛爬楼梯,A跑到4层时,B恰好跑到3层,按照此速度,A跑到19
层时,B跑到多少层?
解:当A到4层时,B到3层,因此A上3段楼梯,B上2段楼梯,
当A到19层时共上了18层,相当于6个三层,
因此B上了2+2+2+2+2+2=12层楼梯,到12+1=13层

例17、从下午2点到晚上9点,时钟共敲了几下?(每个半点敲一个,整点时几点就敲几下)
解:从下午2点到晚上9点,共有9-2+1=8个整点,他们之间有7个间隔(用于敲半点钟), < br>2233445566778899
点点点点点点点点点点点点点点点点
整半整半整半整 半整半整半整半整半
28191

共敲了:(2+3+4+5+6+7+8+9)+7=(2+9)×8÷2+7=44+7=51(下)


例18、一座楼房每上一层要走9级台阶,到小丁当家要走36级台阶,请问 小丁当家住几楼?
解:到小丁当家要走36级台阶,含有4个9,说明楼梯层数为4层,小丁当家住4+1=5(楼)

例19、一个公园有个三角形的水池,园艺工人要在水池边上种植柳树,要求每条边上种5株
树,那么请问公园为了节约支出需要购买多少株柳树来美化池塘呢?
解:那么就应该在每个角上种植一株柳树,所以公园需要购买4+4+4=12(棵)


间隔问题
 植树问题:
植树问题是最典型的间隔问题。植树问题,要牢记四要素:
① 路线长 ② 间距(棵距)长 ③ 棵数 ④ 间隔数
关于植树的路线,有封闭与不封闭两种路线。
1.不封闭路线
① 若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数多1。如上图把总 长平均分成5段,
但植树棵数是6棵。
全长、棵数、间距三者之间的关系是:
棵数=间隔数+1 间隔数=棵数-1
全长=间距×(棵数-1)
间距=全长÷(棵数-1)

② 如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在 两端植树时的棵数少1,即棵数与段数相
等。全长、棵数、株距之间的关系就为:
全长=间距×棵数;
棵数=间隔数=全长÷间距;
间距=全长÷棵数。

③ 如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1棵。
棵数=间隔数-1=全长÷间距-1
间距=全长÷(棵数+1)
例1、小明在马路的一边种树,每隔3米种一棵树,共种了11棵,问这段马路有多长?
分析:两端种树:全长=间距×(棵数-1)= 3×(11-1)=30(米)

例2、马路的一边挂了16盏红灯笼,每隔一盏红灯笼就有一盏菠萝灯笼,请问共多少菠萝灯笼?
分析:两端种树:菠萝灯笼的数量=红灯笼的间距数= 16-1=15(个)


2.封闭的植树路线
例如:在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因 为头尾两端重合在一起,所以种
树的棵数等于分成的段数。如右图所示。
棵数=间隔数=周长÷间距
周长=株距×数棵(段数)
株距=周长÷棵数(段数)
例3、在一个圆形小花园内的四周植树8棵,每两棵树之间的间隔 是3米,请问:这个小花园的
周长一共有多长?
分析:封闭的植树路线:周长=株距×数棵(段数)= 3×8 = 24(米)

 间隔问题在实际中的应用
(一) 锯木头问题

锯木头问题是“两端无点”的植树问题,锯点相当于棵数。
锯木头的时间是花在次数上的,所以知道了次数,也就可以计算出锯木头需要花的时间。
例4、一根木头被锯成5段,需要锯几次?
分析:两端无点:棵数=间隔数-1=5-1=4(次)
例5、有一根木头,要锯成5段需要8分钟,如果要锯成19段,需要多少分钟?
分析:两端无点:棵数=间隔数-1=5-1=4(次)
每锯一次的时间=8÷4=2(分钟)
锯19段:锯的次数=19-1=18次,时间:18×2=36(分钟)
例6、一段木料,每3米锯一段,一共锯了7次,这段木料一共有多长?
分析:两端无点:间隔数=棵数+1=7+1=8(段);长度:8×3=24(米)
(二) 爬楼问题
爬楼问题是“两端有点”的植树问题,楼层数当于棵数,间隔(段)数相当于爬了几层。
间隔(段)数=大楼层数-小楼层数
爬楼梯问题,时间是花在段(爬了几层)上的,知道段数,也就能计算出爬楼花的时间。
例7、小巧家住在8楼,她每天回家要爬几层楼呢?
分析:两端有点:(间隔数=棵数-1)爬了几层=楼层楼-1=8-1=7(段)

< br>例8、小林家住在四楼,他每上一层楼要走14级台阶,小林从一楼走到三楼要走多少级台阶?
分析:两端有点:爬了几层=楼层楼-1=4-1=3(段); 台阶总数=3×14=42(级)

例9、优优从1楼走到5楼需要4分钟,那么用同样的速度,他从1楼走到8楼需要几分钟?
分析:两端有点:(间隔数=棵数-1)爬了几层=楼层楼-1=5-1=4(段)
速度(每分钟走几层楼):4÷4=1(层)
走到8楼的段数=8-1=7(段),时间:7×1=7(分钟)
(三) 敲钟问题
敲钟问题也是植树问题中“两端有点”的情况。时间是从第1下敲响之后开始算起。
敲钟问题的时间也是花在段上的,知道了间隔也就可以计算出敲钟所需要的时间。
例10、闹闹家的钟敲2下需要2秒,那么敲7下需要几秒?
分析:两端有点:(间隔数=棵数-1)间隔数=敲钟数-1=2-1=1(段)
敲7下需要的时间:(7-1)×(2÷1)=12(秒钟)

例11、一座大钟,1点敲1 下,几点就敲几下,2点时要敲2下,两下之间的间隔要用2秒,
共用4秒敲完。问10点钟要敲10下 ,多少秒才能敲完?

(四) 排队长度问题
排队问题也是植树问题中“两端有点”的情况。队伍长度是从第1个人到最后1个人。
例12 、同学们上体育课,有10个男生排成一排,相临两个男生相隔1米。问这排男生排列的
长度有多少米?
分析:10个男生排成一排,有几个间隔?和前面一样,应有9个间隔,也就是9个1米。
解:1×(10-1)=9(米) 答:这排男生排列的长度排有9米。

< br>例13、小明用15张纸订成一个本子,每隔3页夹进一片树叶,问这个本子内共夹进几片树叶?

分析:把15张纸按3张纸一组可以分成5组,因为,3+3+3+3+3=15。
那么相邻的两个组之间的间隔就:5-1=4(个)。
例14、学校有一块正方形的草坪,为 了让这块草坪更漂亮,绿化小组的成员决定沿正方形草
坪一周种上树,要求每边植7棵,并且四个角上都 要植,一共要几棵?怎么计算?
分析:如图,如果要求每个角上种一棵,那么现在每条边上已经有了2 棵树,
要保证每条边上有7棵树,那么每条边上还需要种7-2=5(棵),则4条
除去4个角 外还需要在种5+5+5+5=20(棵),再加之角上的4棵树,
所以一共需要种20+4=24(棵)

例15、有一本儿童故事书,共有40页,如果从头数起每隔3张纸,夹一个书签,请问:
这本书应该夹几支书签?
解:一张纸有2页,所以40页书共有20张纸,从第1张数起,每过三张夹一支书签。
共要夹6支书签,

例16、有A、B二人比赛爬楼梯,A跑到4层时,B恰好跑到3层,按照此速度,A跑到19
层时,B跑到多少层?
解:当A到4层时,B到3层,因此A上3段楼梯,B上2段楼梯,
当A到19层时共上了18层,相当于6个三层,
因此B上了2+2+2+2+2+2=12层楼梯,到12+1=13层

例17、从下午2点到晚上9点,时钟共敲了几下?(每个半点敲一个,整点时几点就敲几下)
解:从下午2点到晚上9点,共有9-2+1=8个整点,他们之间有7个间隔(用于敲半点钟), < br>2233445566778899
点点点点点点点点点点点点点点点点
整半整半整半整 半整半整半整半整半
28191

共敲了:(2+3+4+5+6+7+8+9)+7=(2+9)×8÷2+7=44+7=51(下)


例18、一座楼房每上一层要走9级台阶,到小丁当家要走36级台阶,请问 小丁当家住几楼?
解:到小丁当家要走36级台阶,含有4个9,说明楼梯层数为4层,小丁当家住4+1=5(楼)

例19、一个公园有个三角形的水池,园艺工人要在水池边上种植柳树,要求每条边上种5株
树,那么请问公园为了节约支出需要购买多少株柳树来美化池塘呢?
解:那么就应该在每个角上种植一株柳树,所以公园需要购买4+4+4=12(棵)

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