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六年级奥数图形题2


2、



3、

4、





5、




6、
如果一个正方形的周长和一个圆的周长相等，那么正方形的面积是圆面积的（）%．
解析：设正方形边长为1，则正方形的周长为4，圆形周长也是4，那么圆形的半径=4÷（2π）=2π 正方
形的面积=1x1=1 圆形的面积=πx（2π）²=4π 正方形的面积是圆面积的：1÷（4π）=π4≈÷4=% 答：
正方形的面积大约是圆面积的%。
7、
一、相加法：
这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计 算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.
例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面 半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就
可以了（如图）。




二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图 形的面积之差.例如，右图，若
求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可（如 图）。

三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积. 如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了（如 图）。


四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上 的需要，重新组合成一个新的图形，设法
求出这个新图形面积即可.
例如，欲求右图中阴影部 分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可
求出其面积了（如图） 。



五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若 干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规
则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求 两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，
但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便 （如图）。

六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分 使之成为基本规则图形，从而使问
题得到解决
.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把 右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面
积的一半（如图）.

七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组 合成一个新的基本规则图
形，便于求出面积.
例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可 先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形
内，这样整个阴影部分恰是一个正方形（如 图）。



八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后 ，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的
一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便 于求出面积.
例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180° ，使A与C重合，从而构成
如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直 角三角形的面积（如图）.



九、对称添补法：这种方法是作出原 图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这
个新图形面积的一半.例如，欲 求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓
形CBD的面积 的一半就是所求阴影部分的面积（如图）。



十、重叠法：这种 方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪
B＝SA＋ SB-SA∩B）解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为< br>阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分（如图）.

1、如图，ABCG是 的长方形，DEFG是 的长方形。那么，三角形BCM的面积与三角形
DCM面积之差是多少

解答：长方形ABCG的面积是28，长方形DEFG的面积是20，
梯形ABEF的面积是51，从图中可以看出，三角形BCM的面积
与三角形DCM面积之差就等于梯形ABEF的面积减去长方形
ABCG的面积再减去长方形DEFG的面积，得到结果。

2、如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB= 8， AD=15四边形
BFGO的面积为________．



解答：四边形EFGO的面积=三角形AFC+ 三角形BDF- 白色部分的面积三角形AFC+三角形BDF =长方形面积的一半
即60，白色部分的面积等于长方形 面积减去阴影部分的面积，即120-70=50所以四边形的面积:60-50=10
3、4. 利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的
面积)
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的%。


4、 在三角形ABC中，点E是BC边上的 中点，点F是中线AE上的点，其中AE＝3AF，并且延长BF
与AC相交于D，如下图所示。若三角 形ABC的面积为48，请问三角形AFD的面积为多少

六年级奥数下册：第五讲 巧求面积 习题

简单的面积计 算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、
平行四 边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容
易计算.



上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 4×4＝ 16（格）；右图是 3×5的长方形，它的面积是 3×5＝ 15
（格）.


上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 5×4÷2＝ 10（格 ）；右图是一个钝角三角形，底
是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特别说明，这 两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有
可能在三角形的外面.


上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5× 3＝ 15（格）；右图是一个梯形，上底是 4，
下底是7，高是4，它的面积是
（4+7）×4÷2＝22（格）.
上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果 小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如
果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说 我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积
单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度 或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.

一、三角形的面积
用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：
三角形面积= 底×高÷2.
这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.
例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢



解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.
三角形ABD面积=4×高÷2.
三角形 ADC面积=2×高÷2.
因此三角形 ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就
是 三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.
例2 右图中，BD，DE， EC的长分别是2，4，是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.


解： BC＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8.
三角形 ABC面积= 8× 4÷2＝16.
我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE 长是4，也是BC的一半，因此三
角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的 一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.

三角形 DFE面积= 16÷4＝4.

例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.


解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.
而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是
FE×BE÷2，
它恰好是长方形ABEF面积的一半.
同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.
因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是
20×12÷2＝120.
通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此 所有这些
直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.
例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少


解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.
对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此
面积=4×10÷2＝ 20.
对三角形 ADC来说， DC是底边，高是 8，因此
面积=7×8÷2＝28.
四边形 ABCD面积= 20＋ 28＝ 48.

这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.
例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面积.


解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积
三角形 ABE面积=3×6×2＝ 9.
三角形 BCF面积= 6×（6-2）÷2＝ 12.
三角形 DEF面积=2×（6-3）÷2＝ 3.
我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：
三角形 BEF面积=6×6-9-12-3＝12.
例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长 度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）
的面积.


解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角 形MBE的面积，
然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.
把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2＝7.
因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2＝.
因为 BE＝ 8是 CE＝ 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是

×4＝14.
长方形 ABCD面积=7×（8＋2）=70.
四边形 ABMD面积=70-7- 14＝ 49.
二、有关正方形的问题
先从等腰直角三角形讲起.
一个直角三角 形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度），
还 有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.
两个一样的等腰直角三 角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个
正方形，如图（ b）.
一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是
直角边长的平方÷2.
当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是



斜边的平方÷4
例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形 两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前
一个斜边长的一半，求这个图形的面积.


解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形 ，等于后一个等腰直角三角形四个
拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第 一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.

这一个图形的面积是
32＋16＋ 8＋ 4 ＋ 2＋1＝ 63.
例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形 的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰
直角三角形，那么图中阴影部分的总面 积是多少


解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.
三角形ABC的面积=2×2÷2＝2.
三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.
三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积×2＝4.
三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2＝1.
阴影部分的总面积是 4＋1＝5.
例9 如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7，BC＝3，三个角的度数：角 B和D是直角，角A
是45°.求这个四边形的面积.


解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.
因为
A是45°，角D是90°，角E是
180°-45°-90°＝ 45°，

所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.
四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即
7×7÷2-3×3÷2＝20.
这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容 易想到把图形
补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图 形分成两个直角三角形，
并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45 °，这一条件还用得上吗图形上线段相等，
两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找 出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图
形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的 线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.
现在我们转向正方形的问题.
例10 在右图 11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方 形，
那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少


解：长方形 的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正
方形的 边长之和.
长-宽 =15-11＝4
是“三”正方形的边长.
宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此
中间小正方形边长=11-4×2＝3.
中间小正方形面积=3×3＝ 9.
如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.
例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1 米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是平方米.求
划出的长方形土地的面积.

解：剩下的长方形土地，我们已知道
长-宽=1（米）.
还知道它的面积是平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢
如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.
我们把长和宽拼在一起，如右图.


从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图 就拼成一个大正方形，这个正方形
的边长，恰好是长方形的长与宽之和.


可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长， 恰好是长
方形的长与宽之差，等于1米.
现在，我们就可以算出大正方形面积：
×4+1×1＝ 64（平方米）.
64是8×8，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的
长+宽=8（米）.

因此
长=（8＋1）÷2＝ （米）.
宽=＝（米）.
那么划出的长方形面积是
×1＝4. 5（平方米）.
例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并 放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG（阴影部
分）的面积.


解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此
四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2
三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边长），因此
三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2.
四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面 积相
等，都加上三角形EHG面积后，就有
阴影部分面积=三角形ECG面积
=小正方形面积的一半
= 6×6÷2＝18.
十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.
三、其他的面积
这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可 以给你启发的内容不少，请读者仔细
体会.
例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.

解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.
周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为的三角形有1个，因此围成面积是
4×＝.
例6与本题在解题思路上是完全类同的.
例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.


解：三 角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三
角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面 积是长方形
面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算 出它的面积.因此
三角形AEF面积＝（三角形 AEB面积）-（三角形 AFB面积）
＝8×6÷2-4×8÷2
＝ 8.
这一例题告诉我们，有时我们 把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地
解决了问题.前面例9的解 法，也是这种思路.
例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两 条道路，一条是长方形，一条是平行
四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大

解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是 底×高.从图上可以看出，底是2，高恰
好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.
可以设想，把这个平行四边形换成 10×2的长方形，再把横竖两 条都移至边上（如前页右图），草地部分面
积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此
草地面积=（16-2）×（10-2）＝ 112.
例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.


解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.
阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合 在一
起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底B C，是直角边AD的长减
去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于
梯形 ABCD面积=（8＋8-3）×5÷2＝ .
上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积 ，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”
的本领，首先要提高对图形的观察能力.
例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF，FE，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求这个
图形的面积.
解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.

三角形ABC面积=（3＋3＋3）×4÷2＝18.
三角形CDE面积=（4＋4）× 3÷2＝12.
这两个直角三角形有一个重叠部分-- 四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.
因为 AF＝ FE＝ EC＝3，所以 AGF， FGE， EGC是三个面积相等的三角形.
因为CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.
2×三角形DEC面积
= 2×2×（三角形 GBC面积）＋2×（三角形 GCE面积）.
三角形ABC面积
= （三角形 GBC面积）＋3×（三角形GCE面积）.
四边形BCEG面积
=（三角形GBC面积）＋（三角形GCE面积）
=（2×12＋18）÷5
＝.
所求图形面积=12＋ 18- ＝.
例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.
解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.
（三角形BCM面积）-（三角形DEM面积）
=（梯形ABEF面积）-（两个长方形面积之和
=（7＋10）×（4＋2）÷2-（4×7 ＋ 2×10）
=3.

例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少
解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13， 49，35这三块是长方形中没有
被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此
（三角形 ABC面积）+（三角形CDE面积）＋（13＋49＋35）
＝（长方形面积）＋（阴影部分面积）.
三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽；三角 形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角
形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长 方形面积的一半，就有阴影部分面积=13 ＋ 49＋ 35＝ 97.
一、四种常见几何体的平面展开图
1.正方体
沿正方体的某些棱将正方体 剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，
见图6―1。


图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
2.长方体
沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一 展开图是六个两两彼此全等的长方形
组成的，见图6―2。图6―2只是长方体平面展开图的一种画法， 还有别的画法（从略）。

3.（直）圆柱体沿圆柱的一条 母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。
它由一个长方形和两个全 等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆
柱的侧面展开图 。图6―3就是圆柱的平面展开图。


4.（直）圆锥体
沿 圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径
为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具 体
图形见图6―4。


二、四种常见几何体表面积与体积公式
1.长方体
长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）
长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。

2.正方体
正方体的表面积=6×a
2
正方体的体积=a（这里a为正方体的棱长）。
3
3.圆柱体
圆柱体的侧面积=2πRh
圆柱体的全面积=2πRh+2πR=2πR（h+R）
2
圆柱体的体积=πRh（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
2
4.圆锥体
圆锥体的侧面积=πRl
圆锥体的全面积=πRl+πR
2

母线长与高）。
三、例题选讲

例1 图6―5中的几何体是一个正方体，图6―6是这个正方体的一个平面展开图，图6― 7（a）、（b）、（c）
也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来 ，请你给补上。
分析与解：从图6―5和图6―6中可知：
在图6―7
与；与；与互相处于相对面的位置上。只要

（a）、（b ）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案
便可以 补上。
先看图6―7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与处在互为对面的位置上。
再看图6―7中的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。
最后再看图6―7中的（c），同上，1与，2与4处在互为对面的位置上。
图6―7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6―8中的（a）、（b）、（c）。


例2 图6―9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面 （即过长方体上四点A、P、Q、C的平面
与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A
1
B
1
、B
1
C
1
的中点，请在此长方体的平面展图 上，标出线段AC、CQ、
QP、PA来。

分析与解 ：只要能正确画出图6―9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图6―10中的粗实线，就是题目
中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。


例3 在图6―11中，M、 N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，
沿怎么样的路 线路程最短


分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱 的侧面展开图，见图6―12，从M点绕圆柱体的侧
面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个 顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最
短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形 的一条对角线，见图6―12和图6―13。

例4 图6―1 4中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，
深为 1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π=）


分析与解：因 为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的
表面 积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。
正方体的表面积为4
2
×6=96（平方厘米）
一个圆柱的侧面积为2π×1×1=（平方厘米）
几何体的表面积为96+×6=（平方厘米）
答：（略）
例5 图6―15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少
分析与解： 从图6―15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所
以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是 分别相同
的。因为小正方体的棱长是1厘米，所以

上面的表面积为1
2
×9=9（平方厘米） 前面的表面积为1
2
×8=8（平方厘米）
左面的表面积为1
2
×7=7（平方厘米） 几何体的表面积为9×2+8×2+7×2= 答：（略）

例6 图6―1 6中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为
6 厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米（π=）


分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这 个圆柱的底面与玻璃杯
的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这 个小圆柱的高就是水面下降的高
度。
因为圆锥形铅锤的体积为

2
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）×x=100πx（立方厘米）
所以有下列方程：
60π=100πx，解此方程得：
x=（厘米）
答：铅锤取出后，杯中水面下降了厘米。
例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面 积的和为平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少（π
=）
分析与解：根据圆柱体的体积公式 ，体积=底面积×高。假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，
等于圆钢的侧面积加 上四个底面圆的面积，所以有下面式子：
2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）
2
=2πx+4π
根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：
2πx+4π=
解方程：

2

圆钢的体积为π×（2÷2）×10≈（立方分米）
答：（略）。
例8 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216°的扇形，求此圆锥的体积是多少（π=） 分析与解：要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。按题意画图6―17。在图6―17中 ，字母R、
h分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长公式：弧长=2лR×n÷360（这里R 是圆的半径，n为弧所对圆心
角的度数），便可求出弧长来。这个弧长就是底面圆的周长，再利用周长公 式，就可求出底面圆的半径R。另外从
图6―17中可以看出：圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构成 一个直角三角形，利用勾股定理便可求出圆锥的高
h。



所以 2πR=12π，得R=6（厘米）
在直角三角形中，根据勾股定理有：
10=h+R，即h=10-R
222222

=100-36=64，h=8（厘米）

答：（略）

例9 图 6―18中的图形是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA
1
的中点。现在沿三角 形GFH所在平面锯掉正
方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几

分析与解：因为锯掉的是立方体的一个角，所以HA与AG、A F都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方体的上
底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a，
则正方体的体积为a。
3
三棱锥的底面是直角三角形AGF，而角FAG为90°，G、F又分别为AD、

而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为



答：（略）

例10 图6―19是一个里面装有水的三棱柱封闭 容器，图6―20是这个三棱柱的平面展开图。当以A面作为底面放
在桌面上时，水高2厘米，如果以B 面与C面分别作为底面放在桌面上时，水面高各为多少厘米
分析与解：我们先求以A面作为底面放在桌 面上时容器内的水的体积。此时水的体积，与以梯形FJQP为底面、JI
为高的棱柱的体积相等。棱柱 的体积等于底面积乘以高，从图6―20可以看出，此棱柱的高JI为12厘米，梯形FJQP
的下底F J为3厘米，高QJ为2厘米。因为PTJQ是个长方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q点是GJ的中点，PQ 平行于
FJ，这样可以推算出QP为FJ的一半，为厘米，这一来梯形FJQP的面积为

以C面为底面时，水的体积与以C（即三解形EHI）为底面，高为某数值

此时水面的高度为：
54÷6=9（厘米）
以B面作为底面时，原来以A 面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原来装水的某一部分现在应空出来，
下面来讨论这两份之间 的数量关系。
为方便起见，我们把C面适当放大成图6―21，在图6―21中，因为PQ平行于 FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT
是一长方图6ZI形，故JQ、PT、QG的长都是2厘米，TJ 、PQ的长为厘米，因为FJ长为3厘米，所以FT的长也为
厘米，这一来三角形FPT与PQG的形状 一样，面积相等。这便说明原来以三角形PFT为底面，JI为高的装水的棱柱
的体积，与现在以三角形 PQG为底面，JI为高装水的棱柱的体积是相等的。所以以B面为底面时，水面的高度等于
PQ的长度 ，即水面高为厘米。
答：（略）