教师节手工-索溪峪的野教案

小学奥数行程问题(分类)(教师
版)

行程问题


知识点拨
发车问题

（1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答；
汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时
间间隔
汽车间距=（汽车速度- 行人速度）×追及事件时
间间隔
汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔
（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的
辆数。
标准方法是：画图——尽可 能多的列3个好使公
式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。
（3） 当出现多次相遇和追及问题——柳卡

火车过桥
火车过桥问题常用方法
1

⑴ 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥
所用的时间，因 此火车的路程是桥长与车身长度
之和.
⑵ 火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者
路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两
者路程和则为两车身长度之和.
⑶ 火车与 火车上的人错身时，只要认为人具备
所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所
看到的错车 的相应路程仍只是对面火车的长度.
对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、
以及火车和 火车之间的相遇、追及等等这几种类
型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来
进行.

接送问题
根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同
班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：
（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）
（2）车速不变-班速不变-班数多个
（3）车速不变-班速变-班数2个
2

（4）车速变-班速不变-班数2个
标准解法：画图＋列3个式子
1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行
的时间；
2、班车走的总路程；
3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接
它的时间。

多人多次相遇和追击问题
1.多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或
3个以上 的对象之间的相遇追及问题。

所有行程问题都是围绕“
路程速度时间
” 这一
条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型
行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三 个
量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关
系式：
路程和速度和相遇时间
；

路程差速度差追及时间
；
多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓
住 这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，
3

问题即可迎刃而解．
2、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键 几个全程
多人相遇追及的解题关键 路程差

时钟问题：
时钟问题可 以看做是一个特殊的圆形轨
道上2人追及问题，不过这里的两个“人”
分别是时钟的分针和时针 。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度
和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者
千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”
或者“每分钟走多少小格”。

流水行船问题中的相遇与追及
①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲
在上游、乙在下游）在江河里相向开出：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）
＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速
②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追
4

上另一只船所用的时间，与水速无关.
甲船顺水速度- 乙船顺水速度=（甲船速+水速）-
（乙船速+水速）=甲船速-乙船速
也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-
水速）-（乙船速-水速）=甲船速- 乙船速.
说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的
及两车在陆地上的相遇与追及问题一 样，与水速
没有关系.




例题精讲

模块一 发车问题

【例 1】
某停车场有10辆出租汽车，第一辆出 租汽
车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车
开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有
一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆
出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的
5

10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出
一辆，问：从第一辆出租 汽车开出后，经
过多少时间，停车场就没有出租汽车了？
【解析】
这个题可以简单的找规律求解
时间 车辆
4分钟 9辆
6分钟 10辆
8分钟 9辆
12分钟 9辆
16分钟 8辆
18分钟 9辆
20分钟 8辆
24分钟 8辆
由此可 以看出：每12分钟就减少一辆车，
但该题需要注意的是：到了剩下一辆的时候
是不符合这种规 律的到了12*9=108分钟的
时候，剩下一辆车，这时再经过4分钟车厂
恰好没有车了，所 以第112分钟时就没有车
辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出
后，所以应该为108分钟 。

【例 2】

某人沿着电车道旁的便道以每小时
4.5
千米
6

的速度步行，每
7.2
分钟有一辆电车迎面开
过，每12分钟有一辆电车从后 面追过，如
果电车按相等的时间间隔以同一速度不停
地往返运行．问：电车的速度是多少？电< br>车之间的时间间隔是多少？
【解析】
设电车的速度为每分钟
x
米． 人的速度为每
小时
4.5
千米，相当于每分钟75米．根据题
意可列方程如下 ：解得
x300
，

x75

7.2
< br>x75

12
，
即电车的速度为每分钟300米，相当于每小时18千米．相同方向的两辆电车之间的距
离为：

30075
122700
(米)，所以电车之间的时
间间隔为：
27003009< br>(分钟)．

【巩固】 某人以匀速行走在一条公路上,公路
的前后两端每隔 相同的时间发一辆公共汽
车.他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追
上他；每隔10分钟有一辆 公共汽车迎面驶
来擦身而过.问公共汽车每隔多少分钟发
车一辆?
【解析】
这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车
间距离、电车的速度。是人与电车的相遇与
追及问 题，他们的路程和（差）即为相邻两
7

车间距离，设两车之间相距
S
，
根据公式得
S(V
6x (6t)y3x(3t)y
人
V
车
)10min
x5 0x
，
12.5
7
，那么
5
，解得
x(3 
2
所以发车间隔
t)y
，
3
T
=
2.5x2.5y3x(3t)y


【巩固】 某人沿电车线路 行走，每12分钟有一
辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车
迎面开来．假设两个起点站的发 车间隔是
相同的，求这个发车间隔．
【解析】
设电车的速度为a，行人的速度为b ，因为
每辆电车之间的距离为定值，设为l．由电
车能在12分钟追上行人l的距离知， x(2t1)y
；
由电车能在4分钟能与行人共同走过l的距
1
离知 ， ,所以有l=12(a-b)=4(a+b)，有a=2b，
12
即电车的速度是行人步行 速度的2倍。那么
16
l=4(a+b)=6a，则发车间隔上：即
50(1) 54
．
1211
发车间隔为6分钟．

【例 3】
一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，
骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6
8

分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10
分钟有一辆公共汽车超过 骑车人，如果公
共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，
那么间隔几分钟发一辆公共汽车？
【解析】
要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的
速度和相邻两汽车之间的距离就 可以了，但
题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求
出这两个量呢？
由题可知：相 邻两汽车之间的距离（以下简
称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超
过步行人时，紧接着下 一辆公共汽车与步行
人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就
有一辆汽车超过步行人， 这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一
辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与
行人 的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。
对于骑车人可作同样的分析.
因此，如果我们把汽车的 速度记作
V
汽，骑
车人的速度为
V
自，步行人的速度为
V< br>人（单
位都是米分钟），则：间隔距离=（
V
汽-
V
人）×6 （米），间隔距离=（
V
汽-
V
自）×
10（米），
V自=3
V
人。综合上面的三个式子，
9

可 得：
V
汽=6
V
人，即
V
人=16
V
汽，
则：间隔距离=（
V
汽-16
V
汽）×6=5
V
汽
（米）
所以，汽车的发车时间间隔就等于：间隔距
离÷
V
汽=5< br>V
汽（米）÷
V
汽（米分钟）=5
（分钟）。

【巩固】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电
车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向
步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟
遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行
60米， 每隔10分15秒遇上迎面开来的一
辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出
一辆电车？
【解析】
这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车
间距离、电车的速度。甲与电车 属于相遇问
题，他们的路程和即为相邻两车间距离，根
6
65
据公式得
54
11
，类似可得
(1210)6054
11
65，那
11
5
1
么
65
11
，即
12< br>，解得
54
米分，因此发车间隔为
9020÷820=11分钟。

10

【例 4】
甲城的车站总是以20分钟的时间间 隔向乙
城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡
和下坡，车辆（包括自行车）上坡和下坡
的速度分别是平路上的80%和120%，有一
名学生从乙城骑车去甲城，已知该学生平
路上 的骑车速度是汽车在平路上速度的四
分之一，那么这位学生骑车的学生在平路、
上坡、下坡时每 隔多少分钟遇到一辆汽
车？
【解析】
先看平路上的情况，汽车每分钟行驶汽车平< br>路上汽车间隔的120，那么每分钟自行车
在平路上行驶汽车平路上间隔的180，所
以 在平路上自行车与汽车每分钟合走汽车
平路上间隔的120+180=116，所以该学
生每隔 16分钟遇到一辆汽车，对于上坡、
下坡的情况同样用这种方法考虑，三种情况
中该学生都是每 隔16分钟遇到一辆汽车.

【例 5】
甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间
两地同时各发出一辆电车，小张和小王分
别骑车从甲、乙两地出发，相向而行．每
辆电 车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电
11

车；小张每隔5分钟遇 到迎面开来的一辆
电车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一
辆电车．已知电车行驶全程是56分 钟，那
么小张与小王在途中相遇时他们已行走了
分钟．
【解析】
由题意可知，两辆电车之间的距离
电车行8分钟的路程（每辆电车都隔
4分钟遇到迎面开来的一辆电车）
10
电车行5分钟的路程
1
小张行5分钟的
路程
10
电车行6分钟的路程
72
小王行6分钟
的路程
24< br>由此可得，小张速度是电车速度的
10
，
小王速度是电车速度的
12< br>，小张与小王
的速度和是电车速度的
10
，所以他们合
走完全程所用的 时间为电车行驶全程
所用时间的
12
，即
53
分钟，所以小张与小< br>王在途中相遇时他们已行走了60分钟．

【例 6】
小峰骑自行车去小宝家聚会，一路上小峰
注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后
12

方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，
小峰只好打的去小宝家，这 时小峰又发现
出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，
已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍 ，
那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速
度固定的话，公交车的发车时间间隔为多
少 分钟？
【解析】
间隔距离=（公交速度- 骑车速度）×9分钟；
间隔距离=（出租车速度-公交速度）×9分
钟所以，公交速度-骑车速 度=出租车速度-
公交速度；公交速度=（骑车速度+出租车速
度）2=3×骑车速度.由此可 知，间隔距离=
（公交速度- 骑车速度）×9分钟=2×骑车
速度×9分钟=3×骑车速度×6分钟=公交
速度×6分钟. 所以公交车站每隔6分钟发
一辆公交车.

【例 7】
某人乘坐观光游船 沿顺流方向从A港到B
港。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面
追上游船，每隔20分钟就会 有一艘货船迎
面开过，已知A、B两港间货船的发船间
隔时间相同，且船在净水中的速度相同，
13

均是水速的7倍，那么货船发出的时间间
隔是__________分钟。
【解析】
由于间隔时间相同，设顺水两货船之间的距
离为“1”，逆水两货船之间的距离为（7
－1）÷（7＋1）＝34。所以，货船顺水速
度－游船顺水速度＝140，即货船静水速度
－ 游船静水速度＝14，货船逆水速度＋游
船顺水速度＝34×120＝380，即货船静
水速度 ＋游船静水速度＝380，可以求得货
船静水速度是（140＋380）÷2＝132，
货船顺 水速度是132×（1＋17）＝128），
所以货船的发出间隔时间是1÷128＝28
分钟 。

模块二 火车过桥
【例 8】
小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散
步，他散步的速度是1.5 米秒，这时
迎面开来一列火车，从车头到车尾经过
他身旁共用了 20秒．已知火车全长 390
米，求火车的速度．
【答案】18米秒

14

小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度
和车身长,他们拿了两块跑 表.小英用一块
表记下了火车从她面前通过所花的时间是
15秒;小敏用另一块表记下了从车头 过第
一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的
时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是
100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全
长和时速吗?
【解析】
火车的时速 是:100÷(20-15)×60×
60=72000(米小时)，车身长是:20×
15= 300(米)

【例 9】
【例 10】
列车通过 250 米的隧道用 25秒，通过
210 米长的隧道用 23秒．又知列车的
前方有一辆与它同向行驶的货车，货车
车身长 320米，速度为每秒17米．列
车与货车从相遇到相离需要多少秒？

【解析】
列车的速度是 (250 －210) ÷(25 －23)
=20 (米／秒)，列车的车身长： 20 ×25
－ 250 =250 (米)．列车与货车从相遇到相
离的路程差为两车车长，根据路程差  速
度差追击时间，可得列车与货车从相遇到
相离所用时间为： (250 ＋320)÷ (20 －
17)= 190 (秒)．

15

【例 11】
某列车通过250米长的隧道用25秒，通
过210米长的隧道用23 秒，若该列车与
另一列长150米.时速为72千米的列车
相遇，错车而过需要几秒钟？

【解析】
根据另一个列车每小时走72千米，所以，
它的速度为：72000÷ 3600＝20（米秒），
某列车的速度为：（25
O
－210）÷（25－23）
＝40÷2＝20（米秒）
某列车的车长为：20×25-250＝500-250＝
250（米），
两列车的错车时间为：（250＋150）÷（20
＋20）＝400÷40＝10（秒）。

【例 12】
李云靠窗坐在一列时速 60千米的火车
里，看到一辆有 30节车厢的货车迎面
驶来，当货车车头经过窗口时，他开始
计时，直到最后一节车厢驶过窗口 时，
所计的时间是18秒．已知货车车厢长
15.8米，车厢间距1.2 米，货车车头长
10米．问货车行驶的速度是多少？

16

【解析】
本题中从货车车头经过窗口开始计算到货
车最后 一节车厢驶过窗口，相当于一个相遇
问题，总路程为货车的车长．货车总长为：
(15.8× 30＋ 1.2× 30 ＋10) ÷1000
=0.52 (千米)，
火车行进的距离为：60×183600=0.3 (千
米)，
货车行进的距离为： 0.52－ 0.3 =0.22(千
米)，
货车的速度为：0.22÷183600=44 (千米／
时)．


【例 13】
铁路旁的一条与铁路平行的小路 上，有一
行人与骑车人同时向南行进，行人速度为
3.6千米时，骑车人速度为10.8千米时 ，
这时有一列火车从他们背后开过来，火车
通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，
这列火车的车身总长是多少？
【解析】
行人的速度为3.6千米时=1米秒，骑车
人的速度为10.8千米时=3米秒。火车的
车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，
也等于 火车车尾与骑车人的路程差。如果设
17

火车的速度为
x
米秒，那么火车的车身长
度可表示为（
x
-1）×22或（
x-3）×26，
由此不难列出方程。
法一：设这列火车的速度是
x
米秒 ，
依题意列方程，得（
x
-1）×22=（
x
-3）×26。
解得
x
=14。所以火车的车身长为：
（14-1）×22=286（米）。
法二：直接设火车的车长是
x
, 那么等
量关系就在于火车的速度上。可得：
x
26＋3＝
x
22＋1
这样直接也可以
x
=286米
法三：既然是路程相同我们同样可以利
用速度和时间成反比来解决。
两次的追及时间 比是：22：26＝11：
13，所以可得：（
V
车－1）：（
V
车 －3）＝13：11，
可得
V
车＝14米秒，所以火车的车
长是（14-1）×22=286（米）

【例 14】
一列长110米的火车以每小时30千米的
速度向北缓缓驶 去，铁路旁一条小路上，
18

一位工人也正向北步行。14时1 0分时
火车追上这位工人，15秒后离开。14时
16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒< br>后离开这个学生。问：工人与学生将在
何时相遇？

【解析】
工人速度是每小时30-0.11（153600）
=3.6千米
学生速度是每小时（0.11123600）
-30=3千米
14时16分到两人相 遇需要时间（30-3.6）
*660（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟
14时16分+24分=14时40分

【例 15】
同方向行驶的火车 ，快车每秒行30米，慢
车每秒行22米。如果从辆车头对齐开始算，
则行24秒后快车超过慢 车，如果从辆车尾
对齐开始算，则行28秒后快车超过慢车。
快车长多少米，满车长多少米？
【解析】
快车每秒行30米，慢车每秒行22米。如果
从辆车头对齐开始算，则行2 4秒后快车超
过慢车，每秒快8米，24秒快出来的就是
快车的车长192
m
，如果从辆车尾对齐开始
算，则行28秒后快车超过慢车那么看来这
个慢车比快车车长，长多少 呢？长得就是快
19

车这4秒内比慢车多跑的路程啊 4×8＝
32，所以慢车224．

【例 16】
两列火车相向而行，甲 车每小时行36千米，
乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车
上一乘客发现：从乙车车头经 过他的车窗
时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14
秒，求乙车的车长.
【解析】
首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟
36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒
钟54000÷3600＝15（米）.此题中甲车上
的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相
遇。更具体的说是和乙车的车尾相遇。路程
和就是乙车的车长。这样理解后其实就是一
个简单的相遇问题。（10＋15）×14＝350
（米），所以乙车的车长为350米.


【例 17】
在双轨铁道上，速度为
54
千米小时的货车
10
时到达铁桥，
10
时
1
分
24
秒完全通过铁 桥，后
来一列速度为
72
千米小时的列车，
10
时
12分
到达铁桥，
10
时
12
分
53
秒完全通过铁 桥，
10
时
48
分
56
秒列车完全超过在前面行使的货20

车．求货车、列车和铁桥的长度各是多少
米？
【解析】
先统一单位：
54
千米小时
15
米秒，
72
千米
小时
20
米秒，
秒．
度之和，为：
度之和，为：


1
分
24
秒
84
秒，
48
分
56
秒
12
分36
分
56
秒
2216
货车的过桥路程等于货车与铁桥的长
15841260
(米)；
列车的过桥路程等于列车与铁桥的长
20531060
(米)．
考虑列 车与货车的追及问题，货车
10
时
到达铁桥，列车
10
时
1 2
分到达铁桥，在列
车到达铁桥时，货车已向前行进了12
分钟(720秒)，从这一 刻开始列车开始
追赶货车，经过2216秒的时间完全超
过货车，这一过程中追及的路程为货车
12分钟走的路程加上列车的车长，所以
列车的长度为

2015

221615720280
(米)，那
么铁桥的长度为
1060 280780
(米)，货车的
长度为
1260780480
(米)．
21

【例 18】
一条单线铁路上有A,B,C,D,E 5个车站,
它们之间的路程如图所示(单位:千米). 两
列火车同时从A,E两站相对开出,从A站
开出的每小时行60千米,从E站开出的每
小时行50千米.由于单线铁路上只有车站
才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车
通过,必 须在车站停车,才能让开行车轨道.
因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候
的时间最短.先 到这一站的那一列火车至
少需要停车多少分钟?
【解析】



225千米
2
15千米
230千米
5千米

A B C
D
E
两列火车同时从
A
,
E两站相对开出,假设
途中都不停
而知道应在哪一个车站停车等待时间最
.可求出两 车相遇的地点,从
短.
从图中可知,
AE
的距离
是:225+25+15+230=495(千米)
两车相遇所用的时间是:495÷
(60+50)=4.5(小时)
相遇处距
A
站的距离是:60×4.5=270(千
米)
22

而
A
,
D
两站的距离为:225+25+ 15=265(千
米)
由于270千米>265千米,从
A
站 开出的
火车应安排在
D
站相遇,才能使停车等待的时
间最短.
因为 相遇处离
D
站距离为270-265=5(千
米),那么,先到达
D
站的火车至少需要等
待:
2:1
(小时) ，
x
小时=11分钟

模块三 流水行船

【例 19】
乙船顺水航行2小时，行 了120千米，返
回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水
路，用了3小时.甲船返回原地比 去时多用
了几小时?
【解析】
乙船顺水速度：120÷2=60（千米小时）.< br>乙船逆水速度：120÷4=30（千米小时）。
水流速度：（60-30）÷2＝15（千米小 时）.
甲船顺水速度：12
O
÷3＝4
O
（千米小时）。
甲 船逆水速度：40-2×15=10（千米小时）.
甲船逆水航行时间：120÷10=12（小时）。
甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小
时）．
23

【例 20】
船往返于相距180千米的两 港之间，顺水
而下需用10小时，逆水而上需用15小时。
由于暴雨后水速增加，该船顺水而行 只需9
小时，那么逆水而行需要几小时?
【解析】
本题中船在顺水、逆水、静水中 的速度以及
水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影
响，水速发生变化，要求船逆水而行要几 小
时，必须要先求出水速增加后的逆水速度.
船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）
÷2=15（千米小时）.
暴雨前水流的速度是：（180÷10-180÷15）
÷2=3（千米小时）.
暴雨后水流的速度是：180÷9-15=5（千米
小时）.
暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷
（15-5）=18（小时）．

【例 21】
(2009年“学而思杯”六年级)甲、乙两艘
24

1
游艇，静水中甲艇每小时行
12
千米，乙艇每< br>小时行
54
千米．现在甲、乙两游艇于同一时
刻相向出发，甲艇从下游上行，乙 艇从相
距27千米的上游下行，两艇于途中相遇后，
又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地．水
流速度是每小时 千米．
【解析】
两游艇相向而行时，速度和等于它 们在静水
中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的
时间为
10
小时． 相遇后又经过4小时，甲艇到达乙艇的
出发地，说明甲艇逆水行驶27千米需
要
1 0
小时，那么甲艇的逆水速度为
1
(千
米小时)，则水流速度为
24
(千米小
时)．
【例 22】
一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行
80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米，
逆流航行 120 千米也用 16 时。求水流的
速度。
【解析】
两次航行都用 16 时，而第一次比第二次顺
流多行 60 千米，逆流少行 40 千米，这表
明顺流行60 千米与逆流行 40 千米所用
的时间相等，即顺流速度是逆流速度的 1.5
25

倍。将第一次航行看成是 16 时顺流航行了
120＋80×1.5＝240（千米），由此得到顺流
速度为 240÷16＝15（千米／ 时），逆流速
度为15÷1.5=10（千米／时），最后求出水
流速度为（15－10）÷2 ＝2.5（千米／时）。

【例 23】
一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上
游 50 千米处。客船和货船分别从甲、乙
两码头出发向上游行驶，两船的静水速度
相同且始终保持不变。客船出发时有一物
品从船上落入 水中，10 分钟后此物距客船
5 千米。客船在行驶 20 千米后折向下游
追赶此物，追上时恰好和货船相遇。求水
流的速度。
【解析】
5÷16=30(千米小时)，所以两处的静水速
度均为每小时 30 千米。 50÷30=53(小
时)，所以货船与物品相遇需要53小时，
即两船经过53小时候相遇。 由于两船静
水速度相同，所以客船行驶 20 千米后两船
仍相距 50 千米。 50÷(30+30)=56(小
时)，所以客船调头后经过56小时两船相
遇。 30-20÷(53-56)=6(千米小时)，所
26

以水流的速度是每小时 6 千米。

【例 24】
江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲
码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游
船同时从甲码头和乙码头出发向下游行
驶，5 小时后货船追上游船。又行驶了 1
小时，货船上有一物品落入江中（该物品
可以浮在水面上），6 分钟后货船上的人发
现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和
游船相遇。则游船在静水中的速度为每小
时多少千米？
【解析】
此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段
是一个追及问题。在货舱追上游 船的过程
中，两者的追及距离是 15 千米，共用了 5
小时，故两者的速度差是 15÷5=3 千米。
由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的
速度差也是 3 千米。在紧接着的 1 个小时
中，货船开始领先游船，两者最后相距 3
×1=3千米。这时货船上的东西落入水中，
6 分钟后货船上的人才发现。此时货船离落
在水中的东西的距离已经是货船的静水速
度×110 千米，从此时算起，到货船和落
27

入水中的物体相遇，又是一 个相遇问题，两
者的速度之和刚好等于货船的静水速度，所
以这段时间是货船的静水速度*11 0÷货船
的静水速度=110小时。按题意，此时也刚
好遇上追上来的游船。货船开始回追物体
时，货船和游船刚好相距3+3*110=3310
千米，两者到相遇共用了 110 小时，帮两
者的速度和是每小时 3310÷110=33 千
米，这与它们两在静水中的速度 和相等。（解
释一下）又已知在静水中货船比游船每小时
快 3 千米，故游船的速度为每小时（33-3）
÷2=15 千米。

【例 25】
一条小河流过A，B, C三镇.A,B两镇之
间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每
小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木
船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知
A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每
小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到
B镇 ,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺
流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇
间的距离是 多少千米?
28

【解析】
如下画出示意图

有
A

B
段顺水的速度为11+1.5=12.5千米< br>小时,有
B

C
段顺水的速度为3.5+1.5=5千
米小时 ．而从
A

C
全程的行驶时间为
x50x
8-1=7小时 ．设
AB
长
x
千米,有
12.5
7
,解
5
得
x
=25．所以
A
,
B
两镇间的距离是25 千米.

【例 26】
河水是流动的，在 B 点处流入静止的湖
中，一游泳者在河中顺流从 A点到 B 点，
然后穿过湖到C点，共用 3 小时；若他由
C 到 B 再到 A，共需 6 小时．如果湖水
也是流动的，速度等于河水速度，从 B 流
向 C ，那么，这名游泳者从 A到 B 再到
C 只需 2.5小时；问在这样的条件下，他
由C 到 B再到 A，共需多少小时？
【解析】
设人在静水中的速度为
x
，水速为
y
，人
在静水中从
B
点游到
C
点需要
t
小时．
根据题意，有
6x(6t)y3x(3t)y
，即
x(3
2
t)y
，
3
29

同样，有
2.5x2.5y3x(3t)y
，即
x(2t1)y
；所以，
116
6
65
，即 所以
50(1)54
，
(1210)605465

54
；
1212111111
11
(小时)，所以在这样的条件下，他由
C
到
B

再到
A
共需 7.5 小时．

模块四 多人多次相遇和追击问题

【例 27】
甲、乙两车 分别同时从A、B两地相对开出，
第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继
续前进到达目的地 后又立刻返回，第二次
在离B地25千米处相遇．求A、B两地间
的距离是多少千米？
【解析】
画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，
虚线表示乙车行进的路线)：





可以发现第一次相遇意味着两车行了一个
30

A、B两 地间距离，第二次相遇意味着两车
共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙
两车共行了一个A 、B两地间的距离时，甲
车行了95千米，当它们共行三个A、B两地
间的距离时，甲车就行了 3个95千米，即
95×3=285（千米），而这285千米比一个
A、B两地间的距离多2 5千米，可得：95×
3-25=285-25=260(千米)．


【例 28】
如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直
径两端点同时开始以匀速按相 反的方向绕
此圆形路线运动，当乙走了100米以后，
他们第一次相遇，在甲走完一周前60米 处
又第二次相遇.求此圆形场地的周长．
【解析】
注意观察图形，当甲、乙第一次 相遇时，
甲乙共走完
1
圈的路程，当甲、乙第二次
2
3
相遇 时，甲乙共走完1+
1
＝圈的路程．所
22
以从开始到第一、二次相遇所需的 时间比
为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路
程为第一次相遇时行走的总路程的3倍， 31

即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，
共 行走(1圈－60)+300，为
3
圈，所以此圆
2
形场地的周长为480米 ．

【巩固】 如图，A、B是圆的直径的两端，小张
在A点，小王在B点同时出发 反向行走，
他们在C点第一次相遇，C离A点80米；
在D点第二次相遇，D点离B点6O米. 求这
个圆的周长.

【解析】
360




【例 29】
有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，
乙每分钟走80 米，丙每分钟走75米．现
在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发
相向而行，在途中甲与乙相 遇6分钟后，
甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距
离是多少米?
32

【解析】
甲、丙6分钟相遇的路程：

100 75

61050
(米)；
甲、乙相遇的时间为：
1050

8075

210
(分钟)；
东、西两村之间的距 离为：

10080

21037800
(米).

【巩固】 甲、乙、丙三人每分分别行60米、50
米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时
出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇
到丙．求A，B两地的距离．
【解析】
甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇
到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋
40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开这么
大的距离一共要1500÷（50-40）=1 50（分），
即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分
钟，所以A、B之间的距离为：（60 +50）×150
＝16500（米）．

【例 30】
甲、乙两车的速度分别为 52 千米／时和
40 千米／时，它们同时从 A 地出发到 B
地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开
来的卡车，1 时后乙车也遇到了这辆卡车。
33

求这辆卡车的速度。
【解析】
甲乙两车最初的过程类似追及，速度差×追
及时间＝路程差；路程差为 72 千米；72 千
米就是1 小时的甲车和卡车的路程和，速
度和×相遇时间＝路程和，得到速度和为 72
千米／时，所以卡车速度为 72-40=32 千米
／时。

【例 31】
张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6
时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8
时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时达
到乙地 ．那么赵追上李的时间是几时?
【解析】
甲、乙之间的距离：张早上6时出发，晚上
6时到，用了12小时，每小时5千米，所
以甲、乙两地距离
51260
千米。 赵的速度：
早上8时出发，晚上6时到，用了10小时，
走了60千米，每小时走
60 106
千米。所以，
赵追上李时用了：
42

64

4
小时，即中午
12时。
34

【例 32】
甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开
往B地，途中有个骑摩托车的 人也在同方
向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、
14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分 钟
行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速
车的速度是多少？
【解析】 甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000－
800）×7＝1400（米），也就是说当甲追上骑
摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有
1400米，丙用了14-7=7（分）钟追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差
为：1400÷（14－7）＝200（米／分），骑 摩
托车人的速度为：800－200＝600（米／分），
三辆车与骑摩托车人的初始距离为： （1000
－600）×7＝2800（米），乙车追上这2800
米一共用了8分钟，所以乙 车的速度为：
2800÷8＋600＝950（米／分）。


【巩固】 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，
沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这3
35

辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上
骑车人．现在知道快车 每小时走24千米，
中车每小时走20千米，那么，慢车每小时
走多少千米?
【解析】
快车追上骑车人时，快车（骑车人）与中车
的路程差为

24602060

60.4
(千米)，中车追上
这段路用了1064
(分钟)，所以骑车人与中车
的速度差为
1064
(千 米小时).则骑车人的速
度为
1064
(千米小时)，所以三车出发时与
骑车人的路程差为
1064
(千米).慢车与骑车
人的速度差为
106 4
（千米小时），所以慢车
速度为
14519
（千米小时）.









模块五 时钟问题
【例 33】
现在是10点，再过多长时间，时针与分
36

针将第一次在一条直线上？

【解析】
时针的速度是 360÷12÷60=0.5(度分)，
分针的速度是 360÷60=6(度分)
即 分针与时针的速度差是 6-0.5=5.5(度
分)，10点时，分针与时针的夹角是60度，
第一次在一条直线时，分针与时针的夹角是
180度，
即 分针与时针从60度到180度经过的时间
为所求。所以 答案为
12
(分)

【例 34】
有一座时钟现在显示10时整．那么，经过
多少分钟，分针 与时针第一次重合；再经
过多少分钟，分针与时针第二次重合?
【解析】


在
lO
点时，时针所在位置为刻度10，分针
所在位置为刻度12 ；当两针重合时，分针
37

必须追上50个小刻度，设分针速度 为“
l
”，
1
有时针速度为“
12
”，于是需要时间：50(1
16
)54
1211
．
6
所以，再过
54
11
分钟，时针与分针将第一次
重合．第二次重合时显然为12点整，所 以再
65
经过
(1210)605465
分钟，时针与分针第二次
1111
重合．
5
标准的时钟，每隔
65
11
分钟，时针与分针重
合一次． 我们来熟悉一下常见钟表(机械)
的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，
即为小时数；小刻 度有60个，即为分钟数．
所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要
60分钟(1小时)， 时针的速度为分针速度的
1
．如果设分针的速度为单位“
l
”，那么时
12
针的速度为“
54
”．
【例 35】
某科学家设计了只怪 钟，这只怪钟每昼
夜10时，每时100分（如右图所示）。
当这只钟显示5点时，实际上是中 午12
点；当这只钟显示6点75分时，实际上
是什么时间？
38

【解析】
标准钟一昼夜是24×60=1440（分），怪钟
一昼夜是100×10=1000（分）
怪钟从5点到6点75分，经过175分，根
据十字交叉法，1440×175÷1000=2 52（分）
即4点12分。

【例 36】
手表比闹钟每时快60秒，闹 钟比标准时间
每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整
手表显示的时间是几点几分几秒？
【解析】
按题意，闹钟走3600秒手表走3660秒，而
在标准时间的一小时中， 闹钟走了3540秒。
所以在标准时间的一小时中手表走3660÷
3600×3599 = 3599（秒），即手表每小时慢
1秒，所以12点时手表显示的时间是11点
59分56秒。
【巩固】某人有一块手表和一个闹钟，手表比闹
39

钟每时慢30秒，而闹钟比标准时间每时快30秒。
问：这块
手表一昼夜比标准时间差多少秒？
【解析】
根据题意可知，标准时间经过60分，闹钟
走了60.5分，
根据十字交叉法，可求 闹钟走60分，标准
时间走了60×60÷60.5分，而手表走了59.5
分，
再 根据十字交叉法，可求一昼夜手表走了
59.5×24×60÷（60×60÷60.5）分，
所以答案为24×60-59.5×24×60÷（60×
60÷60.5）=0.1（分），0.1 分=6秒

【例 37】
一个快钟每时比标准时间快1分，一个慢
钟每时 比标准时间慢3分。将两个钟同时
调到标准时间，结果在24时内，快钟显示
9点整时，慢钟恰 好显示8点整。此时的标
准时间是多少？
【解析】
根据题意可知，标准时间过60分钟，快
40

钟走了6 1分钟，慢钟走了57分钟，即
标准时间每60分钟，快钟比慢钟多走4
分钟，60÷4=15 （小时）经过15小时快
钟比标准时间快15分钟，所以现在的标
准时间是8点45分。

课后练习：

练习1. 一条街上，一个骑车人与一个步行人同向
而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，
每隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每
隔20 分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如
果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间
发一辆车，那么间 隔多少分钟发一辆公共汽
车？
【解析】
紧邻两辆车间的距离不变，当一辆公共汽车
超过步行人时，紧接着下一辆公汽与步行人
间的距离，就是汽车间隔距离．当一辆汽车
超过行人时，下一辆汽车要用10分才能追
上步行人．即追及距离=（汽车速度-步行速
度）× 10．对汽车超过骑车人的情形作同样
分析，再由倍速关系可得汽车间隔时间等于
41

汽车间隔距离除以5倍的步行速度．即： 10
×4×步行速度÷（5×步行速度）=8（分）

练习2. 甲、乙两地是电车 始发站，每隔一定时间
两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别
骑车从甲、乙两地出发，相向 而行．每辆电
车都隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车；小
张每隔8分钟遇到迎面开来的一辆电车 ；小
王每隔9分钟遇到迎面开来的一辆电车．已
知电车行驶全程是45分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了 分
钟．
【解析】
由题意可知，两辆电车之间的距离
10
电车行12分钟的路程
电车行8分钟的路程
56
小张行8分钟
的路程
48
电车行9分钟的路程
15
小王行9分钟
的路程
54
由此可得，小张速度是电车速度的
72
，
小王速度是电车速度的
2 0
，小张与小王
的速度和是电车速度的
1
，所以他们合走
42

完全程所用的时间为电车行驶全程所
用时间的
24
，即
84
分钟，所以小张与小
王在途中相遇时他们已行走了54分钟．

练习3. 慢车的车身长是142米，车速是每秒
17米，快车车身长是173米，车速是每< br>秒22，慢车在前面行驶，快车从后面追
上到完全超过慢车需要多少时间?
【解析】
根据题目的条件可知，本题属于两列火车的
追及情况，（142＋173）÷（22－17）＝ 63
（秒）


练习4. 高山气象站上白天和夜间的气温相差
很 大，挂钟受气温的影响走的不正常，
每个白天快30秒，每个夜晚慢20秒。
如果在10月一日 清晨将挂钟对准，那么
挂钟最早在什么时间恰好快3分？
【解析】
根据题意可知， 一昼夜快10秒，（3×
60-30）÷10=15（天），所以挂钟最早在
43

第15+1=16（天）傍晚恰好快3分钟，即
10月16日傍晚。

练习5. 某河有相距 45 千米的上下两港，每
天定时有甲乙两船速相同的客轮 分别从
两港同时出发相向而行，这天甲船从上
港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂
下 ，4 分钟后与甲船相距 1 千米，预计
乙船出发后几小时可与此物相遇。
【解析】 < br>物体漂流的速度与水流速度相同，所以甲船
与物体的速度差即为甲船本身的船速（水速
作 用抵消），甲的船速为 1÷115=15 千米
小时；乙船与物体是个相遇问题，速度和正
好 为乙本身的船速，所以相遇时间为：45
÷15=3 小时

练习6. 甲、乙二人 以均匀的速度分别从A、B
两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点
离A地4千米，相遇 后二人继续前进，走到对方
出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相
遇，求两次相遇地点 之间的距离.
44

【解析】
4×3=1 2千米，通过画图，我们发现甲走了
一个全程多了回来那一段，就是距B地的3
千米，所以全程 是12-3=9千米，所以两次
相遇点相距9-（3+4）=2千米。

练习7. 2点钟以后，什么时刻分针与时针第一
次成直角？
【解析】
根据题意可知，2点时 ，时针与分针成60
度，第一次垂直需要90度，即分针追了
90+60=150（度），
10
（分）

45