企业管理制度大全-临沂财会信息

比例线段、相似三角形的性质
及判定


中考要求

内容 基本要求
了解比例的基本性质，了解线段
的比 、成比例线段，会判断四条
会用比例的基本性质解决有关问
线段是否成比例，会利用线段的题；会用相似多边形的性质解决
相似 比例关系求未知线段；了解黄金
简单的问题；能利用位似变换将

分割；知道相似多边形及其性质；
一个图形放大或缩小

认识现实生活中物体的相似；了

解图形的位似关系
会利用相似三角形的性质与判定
相似三角形 了解两个三角形相似的概念

进行简单的推理和计算；会利用
三角形的相似解决实际问题

相似多边形

略高要求 较高要求

知道相似多边形及其性质；认识会用相似多边形的性质解决简单
现实生活中物体的相似

问题


重难点

1．相似定义，性质，判定，应用和位似
2．相似的判定和证明
3．相似比的转化

课前预习


相似三角形的由来及发展

两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了 的大金字塔的实际高度，于是，命令祭
司们去丈量．可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问题面 前，祭司们个个束手无策．既然，
人是不可能爬到那么高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜 的，又怎样来量呢？一时，金
字塔的高度成了一个难题．国王一气之下，杀死了几个祭司，同时悬赏求解 答．
有一个叫法涅斯的学者，看到国王的招字后，决心解決这个难题．他想了好几个解题的方案，但< br>都行不通．失败并没使他灰心．法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解決的辦法，以致撞到
树上．于是，他转了个圈，又走下去．太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里．这
时 ，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？在古埃及人的眼里，太阳是万能
的，太 阳能给人温暖，能帮助人们确定方向，法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都
拖著一个长 长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那么，是不是有一个时刻，物体的影子就等于
物体的高度怩？ ﹁他自言自语起来．
想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起來 ．经过几天的观察、测
量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度．于 是，他去测量好金
字塔底边的长度，并把数据记下来．然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的招字．国王得到 “有人揭下招
字”的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待，一切准备停当后，国王选择 了一个风
和日丽的日子，举行测塔仪式．测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一起来到金字塔旁 ．看
热闹的人黑压压一片，喧闹着，拥挤著，他们等待着壮观的一刻到来，法涅斯站在测塔指挥台上，俨
然像个天使，一动也不动地注视着自己的影子．看看时间快到了，太阳光给每一个在旁的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子．当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。
这时，助手们立即测出了金字塔的阴影CD的长．接着，法涅斯十分准确地算出了金字塔的高度，最后，
他还把测量金字塔高度的秘密告訴大家．场上，发出一阵热烈的观呼声．当然，法涅斯利用了相似三
角形 的原理测得了塔高．在法捏斯以前，还沒有人知道这个原理呢！法捏斯第一次发现、利用这个原
理．在那 个时代，这是一个伟大的创举！
在这个基础上，法涅斯进一步研究，得出一个法则：在任意两個对应角 相等的三角形中，对应边
的比率也相等．从而，找到了在任何季节里，在任何时候都能测塔高的方法．
发现相似的前人一度让我们惊叹，而后人把相似的充分利用更会让你目瞪口呆，最为典型的例子
就是“雪花曲线”和“希尔宾斯基三角形”，这两个图形被称为“数学怪物”，下面给出了“希尔宾斯
基 三角形”的画法，让我们来一同感受一下相似的奥妙。

作法：作 出一个正三角形，找到三条边的中点，连接成一个黑色的小正三角形，黑色表示要把它挖去．按
照这个规 律，在图2中的白色小三角形中继续挖，得到图3……这样就可以得到一个希尔宾斯基三角形．
（1）
（2）
（3）
（4）


看到这样的图案， 你能想到什么呢？能跟我们平时做的题型产生什么联想？能想到如果这个图形
出现在中考题型中，会以什 么方式出现吗？

例题精讲


一、比例的性质
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．

ac
adbc,
这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;
bd
acbd

(反比定理);
bdac
acabdc

(或

)(更比定理);
bdcdba
acabcd
(合比定理);

bdbd
acabcd
(分比定理);

bdbd
acabcd
(合分比定理);

bdabcd
acmacma
(bdn0) 
(等比定理).
bdnbdnb
二、成比例线段
1．比例线段
对于四条线段
a，b，c，d
，如果其中两条线段的比（即它 们的长度比）与另两条线段的比相等，
如
ac
，那么这四条线段
a，b，c， d
叫做成比例线段，简称比例线段．

（即
a:bc:d
）
bd

2．比例的项
在比例式
ac
d
称为比例外项，
b，c称为比例内项，
d
叫做
a，b，c
的

（
a: bc:d
）中，
a，
bd
第四比例项．
三条线段
ab< br>
（
a:bb:c
）中，
b
叫做
a
和c
的比例中项．
bc
3．黄金分割
A
CB

如图，若线段
AB
上一点
C
把线段
AB
分成两条线段AC
和
BC
（
ACBC
），且使
AC
是AB
和
BC
的比例中项（即
AC
2
ABBC
）则称线段
AB
被点
C
黄金分割，点
C
叫线段
A B
的黄金分割点，其中
AC
5135
AB0.618AB
，
BCAB0.382AB
，
AC
与
AB
的比叫做黄金比 ．
22

三、平行线分线段成比例定理
1．定理
三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例．
2．推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
3．推论的逆定理
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于
三角形的第三边．
4．三角形一边的平行线性质
平行于三角形 的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对
应成比例．
如图，
AB∥CD∥EF
，则
ACBDCE
，
CEDFAC
DF

BD
ACBDCEDF
，，
AEBFAEBF
．若将
AC
称为上，
CE
称
为下，
AE
称为全，上 述比例式可以形象地表示为
上上下下上上下下
．
，，，
下下上上全 全全全
A
C
E
B
D
C
E
A
BD
FF

当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“
A
”字型 ，“
X
”字型．则有

BC∥EF
AEAFAEAFEF
．
，
EBFCABAC BC
A
E
B
F
C
B
F
A
E
C


四、相似的有关概念
1．相似形
具有相同形状的图形叫 做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互
相变换称为相似变换．
2．相似图形的特性
两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．
3．相似比
两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．

五、相似三角形的概念
1．相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．
如图 ，
△ABC
与
△A

B

C

相 似，记作
△ABC∽△A

B

C

，符号
∽
读作“相似于”．
A
A
'
BC
B
'
C
'

2．相似比
相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一 定是“相似形”，
“相似形”不一定是“全等形”．

六、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等

如图，
△ABC
与
△A

B

C

相似，则有
AA< br>
，BB

，CC

．
A
A
'

BC
B
'
C
'

2．相似三角形的对应边成比例
如图，
△ABC
与
△A

B

C

相似，则有
ABBCAC
．
 k
（
k
为相似比）
A

B

B

C

A

C

A
A
'
BC
B
'
C
'

3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．

如图1，
△ABC
与
△A

B

C
< br>相似，
AM
是
△ABC
中
BC
边上的中线，
A

M

是
△A

B

C

中
B

C

边上
的中线，则有
ABB CACAM
（
k
为相似比）．
k
A

B

B

C

A

C

A

M

A
A
'
B
M
C
B
'
M
'
C
'

图1
如图2，
△ ABC
与
△A

B

C

相似，
AH
是
△ABC
中
BC
边上的高线，
A

H

是
△A

B

C

中
B

C

边上
的高线，则有
ABBCACAH
（
k
为相似比）．
k
A

B

B

C

A

C

A

H

A
A
'
B
H
C
B
'
H
'
C
'

图2

如图3，
△ABC
与
△A

B

C

相似，AD
是
△ABC
中
BAC
的角平分线，
A

D

是
△A

B

C

中
B

A

C

的角平分线，则有

ABBCACAD
（
k
为相似比）．
k
A

B

B

C

A

C

A

D

A
A
'
B
D
C
B
'
D
'
C
'

图3
4．相似三角形周长的比等于相似比．
如图4，
△ABC
与
△A< br>
B

C

相似，则有
质有
ABBCAC< br>．应用比例的等比性
k
（
k
为相似比）
A
< br>B

B

C

A

C
< br>ABBCACABBCAC
k
．
A

B

B

C

A

C

A

B

B

C

A

C< br>
A
A
'
BC
B
'
C
'
图 4

5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图5，
△ABC
与
△A

B

C

相似，
AH
是
△ABC
中
BC
边上的高线，
A

H

是
△A

B

C

中
B

C

边上
的高线，则有
ABBCACAH
（
k< br>为相似比）．进而可得
k
A

B

B

C

A

C

A

H

S
△ABC
S
△A

B

C

1
BCAH
BCAH
2
k
2
． < br>1

B

C

A

H< br>
BCAH
2
A
A
'
B
H
C
B
'
H
'
C
'

图5

七、相似三角形的判定

1．平行于三角形一边 的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相
似．
2．如果一个 三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单
说成：两角对应相等 ，两个三角形相似．
3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形
相似．
4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这 两个三角形相似．可简单地
说成：三边对应成比例，两个三角形相似．
5．如果一个直角三角 形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比
例，那么这两个直角三角形相似 ．
6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
7．如果一个 等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形
相似；如果它们的腰 和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．

八、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式
证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．
1．横向定型法
欲证
ABBC
，横向观察，比例式中的分子的两条线段是
AB
和
BC
，三 个字母
A，B，C
恰为

BEBF
△ABC
的顶点；分母的 两条线段是
BE
和
BF
，三个字母
B，E，F
恰为
△BEF
的三个顶点．因此
只需证
△ABC∽△EBF
．
2．纵向定型法
欲证
ABDE
，纵向观察，比例式左边的比
AB< br>和
BC
中的三个字母
A，B，C
恰为
△ABC
的顶点 ；

BCEF
右边的比两条线段是
DE
和
EF
中的 三个字母
D，E，F
恰为
△DEF
的三个顶点．因此只需证
△ABC ∽△DEF
．
3．中间比法
由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有 相同点的情况，此时可考虑运用等线，等
比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形． 这种方法就是等量代换法．在证
明比例式时，常用到中间比．

< br>比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，
模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．
倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1 ，另一边化为几个比值和的形式，然后
对比值进行等量代换，进而证明之．
复合式的证明比较 复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，
将复合式转化为基本的比 例式或等积式，然后进行证明．

☞比例线段
【例1】 设
ace1ace

，则

_______
bdf4bdf
【考点】比例的性质，分式的化简与求值
【难度】3星
【解析】由
【答案】


【巩固】已知
abbcca
，求
a∶b∶c
．

101115
ace1ace1
1

及比例的性质可知：< br>
．也可用“过渡量”来求．
bdf4bdf4
4
1

4
【难度】
3
星
【解析】设原式等于
k
，根据比 例的基本性质分别用
k
表示出
a,b,c
的值，然后再求比值．
【答案】
7∶3∶8

设比值为
k
，则

ab10k

a7k

b∶c7k∶3k∶8k7∶3∶8< br>．

bc11k
，解得

b3k
，故
a∶

ca15k

c8k



【巩固】已知：
【难度】
4
星
【解析】当
abc0
时容易求得；当
abc0
时，依据等比性质即可求解．
当
a bc0
时，
a

bc

，因而
k< br>

bc

a
1
；
bcbc
abc
k
，求
k
值．
bcacab

当
abc0
时，
k
故k的值是
1
或
【答案】
1
或


【拓展】若
1

2
abc1

．

bc


ca



ab

2
1
．
2

ab

ac

bc

的值．
abcabcabc
，求

abccba
【难度】
4
星
【解析】解法一：根据比例的等比性质解决分式问 题．注意分两种情况：
abc0
；
abc0
进
行讨论．
解法二：设参数法解答．
本题给出第一种解法答案．
【答案】
1
或
8
或
1

（1）若
abc0
，由等比定理有：
abcabcabc


cba
abca bcabc
1
，所以有：
abcc,abcb,abc a

abc
于是有：

ab

ac< br>
bc


2c2b2a
8

a bcabc
（2）若
abc0
，则
abc,bca,c ab
，
于是有

☞相似的性质及判定

【例2】 如图，
M
、
N
为
△ABC
边
BC
上的两点 ，且满足
BMMNNC
，一条平行于
AC
的直线分
别交
AB
、
AM
和
AN
的延长线于点
D
、
E< br>和
F
.
求证：
EF3DE
.

ab

ac

bc



c

a

b

1

abcabc

A
H
D
E
BM
F
N
C
B
G
M
F
D
EK
A
N
C

【难度】5星
【解析】略
【答 案】过
M
，
N
分别作
AC
的平行线交
AB
于
H
，
G
两点，
NH
交
AM
于
K
，
∵
BMMNNC
，
∴
BGGHHA
，
11
易知
HKGM
，
GMHN
，
22
∴
HK
1HK1
HN
，即

，
4KN3
又∵
DF∥HN
，
∴


【例3】 如图，在四边形
ABCD
中，
AC
与
BD
相交于点
O
，直线
l
平行于
BD
，且与
AB、
DC
、
BC
、
DEHK1

，即
EF3DE
.
EFKN3
AD

及
AC
的延长 线分别相交于点
M
、
N
、
R
、
S
和
P
.求证：
PMPNPRPS

A
B
D
l
R
S
O
C
N
P
M

【难度】5星
【解析】略
【答案】∵
BD∥MS
∴
BOOCOD


PRCPPN
PNOD


PRBO
BOAOOD


PMAPPS

∵
BD∥MS

∴
∴
PSOD


PMBO
PNPS
PMPNPRPS

PRP M
点评：本题通过证明原结论的变形式——两个分式（比例）等于一个相同（或相等）的分式
（ 比例）来证明他们


【巩固】已知，如图，四边形
ABCD
，两 组对边延长后交于
E
、
F
，对角线
BD∥EF
，
A C
的延长线
交
EF
于
G
．求证：
EGGF
．
A
B
C
E
D
G
F

【难度】5星
【解析】略
【答案】证法一：
过
C
作
MN∥EF
交
AE
、
AF
于
M，N
，
A
B
M
E
D
C
N
G
F

则有
MCEMFNCN
，

BDEBFDBD
∴
MCCN
，
又∵
MN∥EF
，
∴
MCACCN
，

EGAGGF
∴
EGGF
．

证法二：由 塞瓦定理的充分性可得：
EGFDABABAD
，代入上式得
1
．又因 为

GFDABEBEDF

EGFDADEG< br>1
，即
1
．所以
EGGF
．
GFDADFGF


【巩固】已知：
P
为
AB C
的中位线
MN
上任意一点，
BP
、
CP
的延长线 分别交对边
AC
、
AB
于
D
、
E
，求证：
ADAE
1

DCEB
A
E
M
PB
D
N
C

【难度】5星
【解析】略
【答 案】延长
BD
、
CE
分别交过
A
的平行
BC
的直线于
R
、
Q
两点，
A
E
M
PB
D
N
R
Q
C

∵
QR∥MN∥BC
，且
AMBM
，
∴
PQPC
，
PRPB

又∵
QPRCPB

∴
PQR≌PCB
，可得
QRBC
，
又∵
∴


ADARAEAQ
，，

DCBCEBBC
ADAEARAQARAQRQBC
1

CDEBBCBCBCBCBC

☞与相似有关的旋转问题
【例4】 如图 ，直角梯形
ABCD
中，
BCD90
，
AD∥BC
，
BCCD
，
E
为梯形内一点，且
将
BEC
绕< br>C
点旋转
90
使
BC
与
DC
重合，得到< br>DCF
，连
EF
交
CD
于
M
．已
BEC90
，
知
BC5，CF3
，则
DM:MC
的值为（ ）

A．
5:3
B．
3:5
C．
4:3
D．
3:4

A
E
D
M
F
BC

【难度】3星
【解析】略
【答案】∵
DFMCFDCFE4 5
，
CEF45

∴
CEMDFM
，
又∵
CME∽DMF
，
∴
DMDF
，

MCCE
由题意可知：
BCE≌DCF
，
∴
DFBE
，
在
RtBCE
中，
BEBC
2
CE
2
4
，
∴


【巩 固】如图，四边形
ABCD
和
BEFG
均为正方形，求
AG:DF: CE
_________.
A
D
AD
DM4

．故选C．
MC3
G
F
B
E
C
B
G
F
C
E

【难度】4星
【解析】略
【答案】连接
BD，BF
。
∵
ABBC,BGBEABGCBE

ABBC,BGBE

∴
ABG≌CBE

∴
AGCE

∵
EFBE,EFBE

∴
EBF45,BF2BE

∵
BCCD,BCCD

∴
CBD45,BD2BC

∴
FBDCBE,
BDBF
2

BCBE
∴
FBD∽EBC

∴
DFBD
2

ECBF
∴
AG:DF:CE1:2:1



【巩固】（1）如图1，等边
△ABC
中，
D
为
AB
边上的 动点，以
CD
为一边，向上作等边
△EDC
，连
接
AE，求证：
AE∥BC
．
（2）如图2，将（1）中的等边
△ABC改为以
BC
为底边的等腰三角形，所作的
△EDC
改成相
似于< br>△ABC
，请问：是否有
AE∥BC
？证明你的结论．
A
D
E
A
D
B
E
B
C
C

【难度】3星
【解析】略
【答案】（1）由
△ACE∽△BCD
，得
EACACB
，故
AE∥BC
．
（2）由
△A CE∽△BCD
，得
EACBACB
，故
AE∥BC
．




☞与相似有关的动点问题
AC3
【例5】 如图，
ABC
中，
C90，BC8，
，点
P
从
B
出发，沿
BC
方向以
2s的速度移
AB5
动，点
Q
从
C
出发，沿
CA< br>方向也以
1s
的速度移动，若
P，Q
分别从
B，C
出 发，经过多少

时间
CPQ
与
CBA
相似？
A
Q
B
P
C

【难度】4星
【解析】略
AC3
【答案】∵
C90，BC8，
，设
AC3k，A B5k
，
AB5
∴
AC
2
BC
2
 AB
2
，
即
(3k)
2
8
2
(5k )
2
，解得
k2
（负值已舍去）
∴
AC6

设经过
ts
后
CPQ
与
CBA
相似．此时BP2t，PC82t，CQt

本题需分两种情况：
⑴ 当
CAB∽CQP
时，
CQCPt82t
，即

，解得
t2.4


CACB68
⑵ 当
CAB∽CPQ
时，
CQCPt82t32
，即

，解得
t
．

CBCA8611
综上，当
t2.4
秒或


【巩固】如图，在矩形
ABCD
中，
AB12，BC6
，点P
沿
AB
边从点
A
开始向点
B
以
2< br>秒的速度移
动，点
Q
沿
DA
边以
1
秒的速度 从点
D
开始移动，如果
P，Q
同时出发，用
t
（秒）表示移 动
的时间
(0≤t≤6)
．
⑴ 当
t
为何值时，
QAP
为等腰直角三角形？
⑵ 求四边形
QAPC
面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．
⑶ 当
t< br>为何值时，以点
Q，A，P
为顶点的三角形与
ABC
相似．
32
秒时，
CPQ
与
CBA
相似
11

D
Q
C
AP
B

【难度】4星
【解析】略
【答案】⑴ 当
QAP
为等腰直角三角形时，
APAQ
，
∴
2t6t
，
t2

11
⑵
S四边形QAPC
S
QAC
S
APC
(6t)12 2t636
，即四边形
QAPC
的面积为定值．
22
⑶分2种情况
①当
APQ∽BAC
时，
APBA
2t
2
，即
2
，解得
t3
．
A QBC
6t
AQBA6t
6
2
，即
2
， 解得
t
．
APBC2t
5
② 当
AQP∽BAC
时，
综上当
t3
或


6
时，以点
Q，A，P
为顶点的三角形与
ABC
相似．
5
【巩固】如图，矩形
ABCD
中，
AD3
厘米，
ABa
厘米（
a3
）．动点
M，N
同时从
B
点出发，分
别沿
BA
，
BC
运动，速度是
1
厘 米／秒．过
M
作直线垂直于
AB
，分别交
AN
，
C D
于
P，Q
．当点
N
到达终点
C
时，点
M
也随之停止运动．设运动时间为
t
秒．
⑴若
a4
厘米，
t1
秒，则
PM
______厘米；
⑵若
a5厘米，求时间
t
，使
△PNB∽△PAD
，并求出它们的相似比； ⑶若在运动过程中，存在某时刻使梯形
PMBN
与梯形
PQDA
的面积相 等，求
a
的取值范围；
⑷是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形< br>PMBN
，梯形
PQDA
，梯形
PQCN

的面积都相等？若存在，求
a
的值；若不存在，请说明理由．
D
Q
C
D
Q
C
N
P
A
M
N
B
A
P
M
B

【难度】4星
【解析】略

3
【答案】⑴
PM
，
4
⑵
t2
，使
△PNB∽△PAD
，相似比为
3:2

⑶ ∵
PM⊥AB，CB⊥AB，AMPABC
，
△AMP∽△AB C
，∴
∵
QM3
PMAMPMatt(at)
即，∵
PM
，

BNABtaa
t(a1)

a
(QPAD)DQ(MPBN)BM


22
当梯形
PMBN
与梯形
PQDA
的面积相等，即
t(at)
 
t

3

(a1)

(at)t

t

3
aa

化简得
t
6a< br>，




6a
22
∵
t≤3
，∴
6a
≤3
，则
a≤6
，∴
3a≤6
，
6a
⑷ ∵
3a≤6
时，梯形
PMBN
与梯形
PQDA
的面积相等
∴梯形
PQCN
的面积与梯形
PMBN
的面积相等即可，则
CNPM

t6a
∴
(at)3t
，把
t
代入，解之得
a23
，所以
a23
．
a6a
所 以，存在
a
，当
a23
时梯形
PMBN
与梯形
P QDA
的面积、梯形
PQCN
的面积相等．


【拓展】
ABC
中，
C90
，
A60
，
AC 2cm
．长为
1cm
的线段
MN
在
ABC
的边
AB
上沿
AB
方向以
1cms
的速度向点
B
运动（运动前点
M
与点
A
重合）．过
M，N
分别作
AB
的垂线交直
角边于
P
，
Q
两点，线段
MN< br>运动的时间为
ts
．
（1）若
AMP
的面积为
y
，写出
y
与
t
的函数关系式（写出自变量
t
的取值 范围）；
（2）线段
MN
运动过程中，四边形
MNQP
有可能成为 矩形吗？若有可能，求出此时
t
的值；
若不可能，说明理由；
（3）
t
为何值时，以
C
，
P
，
Q
为顶点的三角形与< br>ABC
相似？
C
P
Q
AMNB

【难度】4星
【解析】⑴当点
P
在
AC
上时，∵
AMt
，∴
PMAMtg603t
．

13
2
∴
yt3tt

0≤t≤1

．
22
当点
P
在
BC
上时，
PMBMta n30
3

4t

．
3
13323
ytt

1≤t≤3

． 
4t

t
2

2363
⑵∵
A C2
，∴
AB4
．∴
BNABAMMN4t13t．
∴
QNBNtan30
3

3t

．
3
3

3t

，
3
由条件知，若四边 形
MNQP
为矩形，需
PMQN
，即
3t
∴
t 
3
．
4
3
s
时，四边形
MNQP
为矩形．
4
3
s
时，四边形
MNQP
为矩形，此时
PQ∥AB
，
4
∴
当
t
⑶ 由⑵知，当
t
∴
PQC∽ABC
．
除此之外，当
 CPQB30
时，
QPC∽ABC
，此时
∵
∵
CQ3
．
tan30
CP3
AM1
cos60
，∴
AP2AM2t
．∴
CP22t
．
AP2
BN3
BN23
cos30
，∴
BQ

3t< br>
．
BQ2
3
3
又∵
BC23
，∴CQ23
2323t
．

3t


3 3
23t
1
3
∵
3

t
．
2
22t3

∴当
t
13
Q
为顶点的三角形与
ABC
相似．
s
或
s
时，以
C，P，
24
13323
【 答案】（1）
ytt

1≤t≤3



4 t

t
2

2363
（2）当
t
（3 ）当
t


3
s
时，四边形
MNQP
为矩形
4
13
Q
为顶点的三角形与
ABC
相似

s
或
s
时，以
C，P，
24

课堂检测


1. 如图所示，在
A BC
中，
B60
，
A100
，
E
为< br>AC
的中点，
DEC80
，
D
是
BC
边上的
点，
BC1
，求
ABC
的面积与
CDE
的面积的两倍的和．
A
E
B
D
C

【难度】5星
【解析】将
ABC
补成一个等边三角形，并作
A BC
的对称三角形，
F
G
H
A
E
B
D
C

可 以发现等边三角形的面积等于
2S
ABC
4S
CDE
． 作
BCF60
，其中点
F
在
BA
的延长线上，则< br>BFC
为等边三角形.作
CHBF
于点
H
，
并取 点
A
关于点
H
的对称点
G
，
则有
CGHCAH180BAC80
．
而
D EC80
，
EDC180DECACB80
，
故
CGA∽CED
，且相似比为
2
．
则
S
CAG
4S
CDE
．
而
S< br>ABC
S
GFC
(
ABC≌GFC
)，
3
1
故
S
ABC
2S
CDE
S
 FBC

．
8
2
3
1
【答案】
S
ABC
2S
CDE
S
FBC


8
2


2. 已知边长为
4
的正方形截去一个角 后成为五边形
ABCDE
，其中
AF2，BF1
，试在
AB上求一点
P
，使得矩形
PNDM
有最大面积，那么最大面积为多少．

E
M
A
P
F
B
D
N
C

【难度】4星
【解析】设矩形
PNDM
的边
DNx
，< br>NPy
，于是矩形
PNDM
的面积
Sxy
，
2≤ x≤4
．
易知
CN4x
，
EM4y
，且有
即
NPBCBF
，

CNAF
y31

，
4x2
1
所以
yx5
，
2
1
S xyx
2
5x
，
2≤x≤4
．
2
二次函 数
Sf

x

的图象开口向下，对称轴为
x5
，故当
x≤5
时，函数值是随
x
的增加而
1
增加，所以，对 满足
2≤x≤4
的
S
来说，当
x4
时有最大值．
S
max
4
2
5412
．
2
【答案】
12



总结复习


1．通过本堂课你学会了 ．
2．掌握的不太好的部分 ．
3．老师点评：① ．
② ．
③ ．

课后作业

1. 如图，点
E
在正方形
ABCD
的边
CD
上运动，
A C
与
BE
交于点
F
．
（1）如图①，当点
E运动到
DC
的中点时，求
△ABF
与四边形
ADEF
的 面积之比；
1
时，求
△ABF
与四边形
ADEF
的面积之比； （2） 如图②，当点
E
运动到
CE∶ED2∶
1
时，写出
△AB F
与四边形
ADEF
的面积之比；（3）当点
E
运动到
CE ∶ED3∶
）当点
E
运动到
CE∶EDn∶1
（
n是正整数）时，猜想
△ABF
与四边形
ADEF
的面积之比（只写结果， 不要
求写出计算过程）．
D
E
F
C
D
E
C
F
B
A
图2
A
图1
B

【难度】4星
【解析】（1）根据题意可证：
△FEC∽△FBA
，所以
所以
S
△ABF
S
△ABF
4

；
SADEF
S
△ADF
S
△DEF
5
S
△CE F
1

，因为
S
△DEF
S
△CEF
, S
△ABF
S
△ADF
，
S
△ABF
4
（2）如题图，连结
DF
，与（1）同理可知
S
△ABF
S
△ABF
9

；
SADEFS
△DEF
S
△ ADF
11
S
△CEF
41
,S
△DEF
S< br>△CEF
,S
△ADF
S
△ABF
，所以
S
△ABF
92
2
n
2
2n1

S
△ABF
S
△ABF
16

n1

CE3CEn

（3）当．

，当

时，

时，< br>S
ADEF

n1

2
n

n
2
3n1

S
ADEF
9
ED1ED1
n
2
2n1

49
【答案】；；
2
．
511

n3n1



2. 如图，在梯形
ABCD
中，
AD∥BC，AD=3,DC5,AB42,B45
． 动点
M
从
B
点出发沿线段
动点
N
同时从
C
点出发沿线段
CD
以每秒1个单位
BC
以每秒2个单位长度的速度 向终点
C
运动；
长度的速度向终点
D
运动，设运动的时间为
t
秒．
（1）求
BC
的长；
（2）当
MN∥AB
时，求
t
的值；
（3）试探究：
t
为何值时，
△MNC
为等腰三角形．
o

A
D
N
B
M
C

【难度】4星
【解析】（1）过
A,D
两点向
BC
边做垂线，根据勾股定理可求得：
BC10
．
（2）过
D
点作
DG∥AB
交
A B
于
G
点，如图1，则
BGAD3,GC7,MN∥DG
< br>当
M,N
运动
t
秒时，
CNt,CM102t
由
△MNC∽△GDC
得
CNCM
，即

CDCG
t102t50
，解得：
t
．

5717
(3)当
NCMC
时，如图2，则
t102t
，解得：
t< br>10
．
3
当
MNNC
时，如图3，过点
N
作
NEMC
于
E
，过点
D
作
DHBC,于
H
，由
△NEC∽△DHC
，得
NCCEt5t25
，即

，解得：
t
．

DCHC538
11
NCt
，由
22
当
MNMC
时，如图4，过点
M
作
MFCN
于
F
，则
FC
1
t102t
FCMC60
3

，即，解得：
t
． < br>△MFC∽△DHC
，得

35
HCDC7
A
DN
C
AD
N
BMC
B
G
M
A
D
N
N
F
B
H
M
C
D
A
B
G
M
HE
C
图
1
图
2
图
3
图
4

【答案】
10
；


3. 把两块全等的直角三角板
ABC
和
DEF
叠放在一起，是三角 板
DEF
的锐角顶点
D
与三角板
ABC
的
斜边中点
O
重合，其中
ABCDEF90
，
CF45< br>，
ABDE4
，把三角板
ABC
固定
不动，让三角板DEF
绕点
O
旋转，设射线
DE
与射线
AB
相 交于点
P
，射线
DF
与线段
BC
相交于
点
Q
．
50102560
；或或
173817

（1）如图1，当射线
DF
经过点
B
，即 点
Q
与点
B
重合时，易证
△APD∽△CDQ
．此时，APCQ
．
（2）将三角板
DEF
由图1的所示 的位置绕点
O
沿逆时针方向旋转，设旋转角为

，其中
0

90
，问
APCQ
的值是否改变？说明你的理由．
（3 ）在（2）的条件下，设
CQx
，两块三角板重叠的部分面积为
y
，求y
于
x
的函数关系式．
A
A
E
P
D (O)
C
F
图1
图2
P
图3
P
E
B
Q
C
E
F
D(O)
BM
Q
A
D (O)
C
B(Q)
F

【难度】4星
【解析】（1）8
（2）由
AC45
，
APDCDQ90
< br>，得
△APD∽△CDQ
，故

1

APCQA DCD

AC

8
，值不会改变．

2< br>
2
（3）当
0

45
时，
2C Q4
，即
2x4
，此时两三角板重叠部分的面积为四边形
DPBQ，
y8x
8
（
2x4
）；当
45≤

≤90
时，即
0x≤2
，此时两三角板重叠部
x
A P
8
x
，分为
△DM
，
PB
8
4< br>x
，由
△PB∽△M
，
D
得
BM
84x 84x84x
．
MQ4BMCQ4x
，
y4x
．
4x4x4x
【答案】（1）8；（2）由
AC45
，
APDCDQ90

，得
△APD∽△CDQ
，故< br>84x8

1

APCQADCD

AC

8
，值不会改变．（3）
y4x
（
0x≤2< br>），
y8x
4xx

2

（
2x 4
）；



2

1、一知
多识广有本领的人，一定谦虚。——谢觉哉
2、人若勇敢就是自己最好的朋友。
半解的人，多不谦虚；见
3、尺有所短；寸有所长。物有所不足；智有所不明。——屈原
4、功有所不全，力有所不任，才有所不足。——宋濂
5、“不可能”只存在于蠢人的字典里。
6、游手好闲会使人心智生锈。