柠檬水的作用-担保书范本

计数问题 （18年2月3日）
有3个自然数，它们的最大公约数是40，最小公倍数是1200。请问这样的自然数有多少组？

答案：40组。
讲解思路：
这种计数问题，
难度并不高，但很容易出错，
因为计算个数需要有序思维。
重在理清这3个数之间的关系。
在已知最大公约数为40的情况下，
不妨假设这3个数是40a,40b和40c，
其中a,b,c是自然数。
则原问题等价于求满足条件的a,b,c的组数。

步骤1：
先思考第一个问题，
a,b,c的最大公约数是多少？
这个问题比较显然，
a,b,c的最大公约数肯定是1，
否则3个数的最大公约数就比40大。

步骤2：
再思考第二个问题，
a,b,c的最小公倍数是多少？
由于1200=40*30，
故a,b,c的最大公倍数肯定是30。

步骤3：
再思考第三个问题，
满足条件的a,b,c有多少组？
从步骤2知道，
a,b,c都是30的约数，
由于30的约数有8个：

即1，2，3，5，6，10，15，30。
为使得a,b,c的最大公倍数是30。
结合a,b,c的最大公约数是1，
不妨设a >= b >=c,
在这8个数中讨论a,b,c的取值：
(1)如果a=30，
则只要其余2个数互素即可，
接着看最小的数c，
c=1时，b取所有数都可以，有8种可能；
c=2时，b要大于2且不是2的倍数，有3种；
c=3时，b要大于3且不是3的倍数，有2种；
c=5时，b要大于5且不是5的倍数，有1种；
c不能大于5。
故a=30时,有14=8+3+2+1组；
(2)如果a=15，
接着看最小的数c，
c=1时，b是1-15间的偶数，有3种可能；
c=2时，b是2-15间的数均可，有6种可能；
c=3时，b是3-15间的偶数且不是3的倍数，有1种可能；
c=5时，b是5-15间的偶数且不是5的倍数，有1种可能；
c=6时，b只能等于10，有1种可能；
c不能等于10。
故a=15时，有12=3+6+1+1+1组。
(3）如果a=10,
接着看最小的数c，
c=1时，b是1-10间3的倍数，有2种可能；
c=2时，b只能是3，有1种可能；
c=3时，b是3-10间的数均可，有4种可能；
c=5时，b只能是6，有1种可能；
c不能等于6。
故a=10时，有8=2+1+4+1组。
(4)如果a=6,
b,c中间一定有1个5，
另一个从1-6中任选1个即可，有5种可能；
故a=6时，有5组。
(5)如果a=5,

b,c只能取2和3，
故a=5时，有1组。
注意到a不能小于5。
所以，可能的取法共14+12+8+5+1=40组。

思考题：
有2个自然数，它们的最大公约数是40，最小公倍数是1200。请问这样的自然数有多少组？

计数问题（17年2月18日）
题目一（简单）
一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车每车坐 15
人，二小用的汽车每车坐 13 人。结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个人参
加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。问最初的时候一小的汽车坐满没有？

题目二（中等难度）
一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐
15 人，二小用的汽车，每车坐 13 人。结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，
二小又 要比一小多派一辆汽车。问第一次增加1个人后，二小的汽车坐满没有？

题目三（进阶思考，华杯赛真题）
一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送往考场，一小 用的汽车，每车
坐 15 人，二小用的汽车，每车坐 13 人。结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加
一个人 参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，
二小又要比一小 多派一辆汽车。问最后两校各有多少人参加竞赛？
间隔计数问题（17年2月8日）
题目一：（简单）
在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子。一个同学进行这 样的操作：从黑子开
始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚。当他取完1圈后，白子剩余多少枚？此时 ，最后取
的1枚白子是在什么位置？

题目二：（中等难度）
在一个圆 周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子。一个同学进行这样的操作：从黑子开
始，按顺时针方向 ，每隔一枚，取走一枚。当他取完2圈后，白子剩余多少枚？此时，最后取
的1枚白子是在什么位置？

题目三：（进阶思考，华杯赛真题）

在一个圆周上放了1枚黑色 的和1990枚白色的围棋子。一个同学进行这样的操作：从黑子开
始，按顺时针方向，每隔一枚，取走 一枚。当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？

计数问题2月3日
有一种特 殊的数，首位数字等于其它所有数字的和，称为“领头数”。比如532就是一个“领
头数”。请问三位 数中，有多少个“领头数”？

答案：54个。
讲解思路：
由于三位数中“领头数”其实是由后两位数字确定的，
只需要考虑后两位数字即可。

步骤1：
先思考第一个问题，
后两位数字应当满足什么关系？
由于百位数字=十位数字+个位数字，
只需要后两位数字的和大于0且小于等于9，
就可以生成一个“领头数”了。

步骤2：
再思考第二个问题，
十位数字可能是什么？
这个问题很显然，
从0-9的任意一个数字都可以。

步骤3：
再思考第三个问题，
“领头数”共有多少个？
要满足十位数字与个位数字的和不大于9，
对十位上的数字进行讨论:
当十位数字是0时，
个位数字有1-9共9种可能；
当十位数字是1时，
个位数字有0-8共9种可能；
……
当十位数字是8时，
个位数字有0-1共2种可能；
当十位数字是9时，
个位数字只有有0这1种可能。
所以三位数中“领头数”个数为：
1+2+3+…+9+9=54。

思考题：
有一种特 殊的数，末位数字等于其它所有数字的和，称为“收尾数”。比如123就是一个“收
尾数”。请问三位 数中，有多少个“收尾数”？