浙江省计算机二级考试-高中生怎样出国留学

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8-8最短路线



教学目标


1. 准确运用“标数法”解决题目.
2. 培养学生的实际操作能力．
知识精讲
知识点说明

从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法， 如果你能从中选择一条最近的
路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了， 那么如何能选上最短的路线呢？
亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头 路和重复路，这样的话，你就做
到了省时省力．
例题精讲

【例 1】 一只蚂蚁在长方形格纸上的
A
点，它想去
B
点玩，但是不知走哪条路最近．小 朋友们，你能给
它找到几条这样的最短路线呢？
A
A
E
1
C
1
F
2
3
1
D

3
G
6
B
B

H
1
I

【解析】 （方法一）从
A
点走到
B
点，不论怎样走，最短也要走长方形
AHBD
的一个长与一个宽，因此，
在水平方向上，所有线段的长度和应等于
AD
；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于
DB
．这
样我们走的这条路线才是最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”， 只能向右和
向下走．所有最短路线：

ACDGB
、
ACFGB
、
AEFGB


ACFIB
、
AEFIB
、
AEHIB< br>
这种方法不能保证“不漏”．如果图形再复杂些，做到“不重”也是很困难的．
（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规律可循． ①看
C
点：只
有从
A
到
C
的这一条路线．同样道理：从
A
到
D
、从
A
到
E
、从
A
到
H< br>也都只有一条路线．我
们把数字“
1
”分别标在
C、D、E、H
这四个点上．②看
F
点：从
A
点出发到
F
，可以是
也可以是
AEF
，共有两种走法．那么我们在
F
点标上数字“
2
”（
11
．③
ACF
，
=2
）
看
G
点：从
AG
有三种走法，即：
ACDG
、 ACFG
、
AEFG
．在
“
3
”（
1
．④看
I
点：共有三种走法，即：
ACFI
、
A EFI
、
G
点标上数字
=32
）
AEHI< br>，在
I
点标上“
3
” （
3=12
）．⑤看
B
点：从上向下走是
GB
，从左向右
走是
IB
，那么 从出发点
AB
有六种走法，即：
ACDGB
、
ACF GB
、
AEFGB
、
ACFIB
、
A EFIB
、
AEHIB
，
在
B
点标上“< br>6
”（
633
），观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上 角与
1

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左下角的数的和，这个和就是从出发点
A
到这点的所有最短 路线的条数．此法能够保证“不重”
也“不漏”，这种方法叫“对角线法”或“标号法”．

【巩固】 如图所示，从
A
点沿线段走最短路线到
B
点，每次走一步 或两步，共有多少种不同走法？
B

【解析】 这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．
从
A
到
B
的各种不同走法中先选择一条路线来分析：
如果 按路线
A
→
C
→
D
→
E
→
F→
B
来走，这条路线共有
5
条线段，每次走一步或两步，要求从
A
走到
B
，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗．根据“上楼梯”问题的解法可得 在
A
→
C
→
D
→
E
→
F
→
B
这条路线中有8种符合条件的走法．而对于从
A
到
B
的 其他每条最短路线而
言，每一条路线都有5条线段，所以每条路线都有8种走法．
进一步：从
A
到
B
共有多少条最短路线？这正是“最短路线”问题！用“标数法”来解决 ，有10
条．综上所述，满足条件的走法有
81080
种．
F
D
A
C
E
A
B
D
C
F
E
B
1
1
A
1
3
2
1
6
10
B
3
1
4
1
A

【巩固】 从
A
到
B
的最短路线有几条呢？
B

A

【解析】 图中从
A
到
B
的最短路线都为6条．

【巩固】 有一只蜗牛从
A
点出发,要沿长方形的边或对角线爬到
C
点,中间不许爬回
A
点,也不能走重复的
路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短 的是哪条呢？
A
O
B
C
D

【解析】 共有
9
种，即：
AOC
、
AODC、 AOBC
、
ABC

ABOC
、
ABODC
、
ADC
、
ADOC

ADOBC
,最短的路是:
AOC
．

【例 2】 阿呆和阿瓜到少年宫参加
2008
北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不
同的最短路线？
学校
学校
E
1
F
1
少年 宫
G
1
A
1
2
J
3
I
4
H
B
1
3
C
6
10
少年宫
D

【解析】 从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走．我们可以先看
A
点：从学 校到
A
点最短路线只
有
1
种走法，我们在
A
点标上
1
．
B
、
E
、
F
、再看
J
点：最短路线可以是
AJ
、
EJG
点同理．
1

奥数视频和讲义（竞赛班+年级版+名师版）全部400G，需要的加微信：tsat1691 共
2
条，我们在
J
点标上
2
．我们发现
21 1
正好是对角线
A
点和
E
点上的数字和．所有的最短
路线 都符合这个规律，最终从学校到少年宫共有
10
种走法．

【巩固】 方格 纸上取一点
A
作为起点，再在
A
的右上方任取一点
B
作为终 点，画一条由
A
到
B
的最短路
线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总 共能画出几条呢？
B
A

【解析】 根据“标号法”可知共有
10
种，如图．

【巩固】 如图，从
F
点出发到
G
点，走最短的路程，有多少种不同的走法？
G

F

【分析】 共有
115
种．

【巩固】 小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！
北村
南村

【分析】 根据“对角线法”知共有
126
种，如图．
北村
1
1
1< br>1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
15
1
4
10
20
35
1
5
15
35
70
1
6
21
56
126
南村


【例 3】 “五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找 看从北京到黄山的
最短路线共有几条呢？
1

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北京
北京
1
1
1
2
2
1
黄山
1
2
2
4
7
1
3
10
黄山
3

【解析】 采用对 角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是
由哪两点的数之 和来确定另一点的．从北京到黄山最近的道路共有
10
条．

【巩固】 从甲到乙的最短路线有几条？
乙
甲

【解析】 有
11
条．

【例 4】 古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精 通数学、物理，聪慧过人．人一天一位将军向
他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发，要到河边 让马饮水，然后再回到乙地的马棚，
为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？
甲地
乙地

【解析】 本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况
甲地
河流
乙地

逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题．

【例 5】 学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图 ）．爱
动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？
学校
学 校
河流
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
10
25
46
10
35
81
李家村
1
1
1
1
1
李家村

【解析】 我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有
81
种不同的最短路线．

［拓展］ 亲爱的小朋友们，你们觉得从
A
到
B
共有几条最短路线呢？
1

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B

【解析】 此题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法（如图）可 知：可以选择的最短路线共有
41
条．

【例 6】 阿花和阿红到少年宫 参加
2008
北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发到少年宫最多有多少种
不同的行 走路线？
少年宫少年宫
90
42
48
20
6
学校
1
28
14
5
1
14
14
9
4< br>1
5
5
3
1
2
2
1
1
学校
A

【解析】 采用对角线法（如图）．可得从学校到少年宫共有
90
种走法．

［铺垫］ 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游
乐场共有 几条最短路线呢？
游乐场
游乐场
14
5
9
4
小猪 家
5
3
1
2
2
1
1
小猪家

1
【解析】 “对角线”法（如图），共
14
条．

【例 7】 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园 看
大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强
和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？
学校
公园
图书馆

【解析】 仍然用对角线法求解．第一天（无限制 条件）共有
16
条；第二天（必须经过公园）共有
8
条；第
三天（必 须不经过公园）共有
8
条．

【巩固】 大熊和美子准备去看望养老院的李 奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到
养老院最短路线共有几条呢？聪明的小 朋友，请你们快想想吧！
1

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养老院
市中心
学校

【解析】 （方法一）用“对角线法”求出：从学校到养老院共
126
条．必经过市中心的
60
条，所以可行的
路有：
1266066
（条）．
1
1
1
1
学校
养老院
养老院
10
10
3020
60
30
10
5
4
3
2
1
15
10
6
3
1
35
20
70
35126
56
21
6
1
10
市中心
15
4
1
5
1
1
1
学校
3
2
1
6
3
1
10
市中心
10
4
1

（方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有
66
条．
1
1
1
1
学校
养老院
25
10
5
4
3
2
1
15
10
40
15
66
26
11
6
3
1
4
1
5
5
1
6
1


【例 8】 如图，从
X
到
Y
最短路线总共有几种走法？
【分析】 如图，共有
716
种．
1
1
1
1
1
1< br>1
X
8
7
6
5
4
3
2
1< br>36
28
21
15
10
6
3
1
85
49
21
170
85
36
15
15
342
172
87
51
36
21
6
1
1
716
374
202
115
64
28
7
1
Y
10
4
1
15
5


【例 9】 如图 ，从
A
到
B
沿网格线不经过线段
CD
和
EF
的最短路径的条数是多少条？
F
E
CD
A
B
1

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【解析】 由于不能经过线段
CD
和
EF
，所以 我们必须先在网络图中拆除
CD
和
EF
，然后再在拆除了
CD
和
EF
以后的网络图中进行标数(如下图所示)．运用标数法可求出满足条件的最短路径有7 8条．

【巩固】 下图为某城市的街道示意图，
C
处正在挖下水道，不能 通车，从
A
到
B
处的最短路线共有多少
条？
【解析】 从
A
到
B
的最短路线有
431
条.
431
B
B

174
110
55
555530
18
12
12
257
174
83
C< br>64
19
10
A
9
9
1
C
258
1
7
4
3
3
1
7
1
61
5
1
2
1
1
1
1
A


【例 10】 按图中箭头所指的方向行走，从
A
到
I
共有多少条不同的路线？
E
B
A
C
D
H
G
I
F

【解析】 本题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析每一点的入口情况．

1

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通过标数法我们可以得出从
A
到
I
共有
29
条不同的路径．

【例 11】 按图中箭头方向所指行走，从
A
到
G
有多少种不同的路线？
E
F
G
D
C
B
A

【解析】 运用标数法原理进行标数，整个标数流程如下图
E
F
G
D
5
1
D
C
B
A
E
F
G
D
C
2
B
1
A
E
F
G

D
3
C
D
5
C
E
F
G
3
2
B
1
A
2
B
1
A
E
F
G
83C
E
8
D
5
3
C
E
8
D5
3
C
2
B
1
A
F
13
G< br>2
B
1
A
F
13
G
21
2
B
1
A

从
A
到
G
共有
21
条不同的路线．


【巩固】 ⑴按下图左箭头方向所指，从
X
到
Y
有多少种不同的路线？
⑵如下 图右所示，这个问题有一个规则：只能沿着箭头指的方向走，你能否根据规则算出所有从
1