小学生作文清明节-瑞典留学

乘积问题 （18年2月19日）
1*3*5*…*2015*2017的结果中，最后两位数字是多少？

答案：25。
讲解思路：
这种求乘积最后几位的问题，
我们前面多次讲过类似题目，
核心思想就是积的最后2位数只与参与乘法的数的最后2位数有关。
由于从1-2017的奇数相乘个数太多，
自然想到在其中寻找一个特殊的数与其它数相乘。

步骤1：
先思考第一个问题，
这个特殊的数选多少？
如果是只求乘积的最后一位数，
特殊的数肯定选5，
因为5个所有奇数相乘末尾一位都是5。
如果是求乘积的最后两位数，
特殊的数就选25，
因为25乘以任何奇数，
最末两位数不是25就是75。
所以，原题转化为25和1-2017的剩余奇数相乘的问题。

步骤2：
再思考第二个问题，
25和哪些奇数相乘末两位是25?
由于25*4=100，
如果某数n=4k+1,
则25*n=100k+25,
故如果奇数除以4的余数是1，
则其与25的乘积末两位是25。

步骤3：

再思考第三个问题，
25和哪些奇数相乘末两位是75?
由于25*4=100，
如果某数n=4k+3,
则25*n=100k+75,
故如果奇数除以4的余数是3，
则其与25的乘积末两位是75。

步骤4：
再思考第四个问题，
1*3*…*23*27*29*…*2015*2017除以4的余数是多少？
任何一个奇数，
除以4的余数不是1就是3，
奇数从小到大除以4的余数是1和3不断重复。
在1-2017中扣除25后的其余1008个奇数中，
除以4的余数是1的数有504个，
除以4的余数是3的数也有504个。
故1*3*…*23*27*29*…*2015*2 017除以4的余数就等于3^504除以4的余数，
由于3^2=9，除以4的余数是1，
故3^504=9^252,除以4的余数也是1，
所以1*3*…*23*27*29*…*2015*2017除以4的余数是1。

步骤5：
综合上述几个问题。
由于1*3*5*…*2015*2017
=25*(1*3*…*23*27*29*…*2015*2017),
括号里的数除以4的余数是1，
从步骤2的结论知道，
1*3*5*…*2015*2017的末两位是25。

思考题：
1*3*5*…*2015*2017*2019的结果中，最后两位数字是多少？
乘法问题 （18年4月22日）

小明在计算两个两位数相乘时，不小心把其中较小一个数的个位 弄错了，得到的结果是1416。
请问这两个数中，较大的一个是多少？

答案：59。
讲解思路：
这道题目中条件较少，
乘积是1416应当是突破口，
方法是将1416写成两位数的乘积。

步骤1：
先思考第一个问题，
1416能写成几种两位数的乘积?
这个问题比较简单，
因为1416=3*8*59，
所以只能写成1种，
即1416=24*59。

步骤2：
再思考第二个问题，
较大的数是多少？
因为较大的数没有错，
所以较大的数就是59。

思考题：
小明在计算两个两位数相乘时，不小心把其中较小一个数的个位弄错了，得到的结果 是1416。
请问这两个数中，请问原来正确答案可能比1800大么？
乘法问题（18年5月9日）
1*2*3*…*2017*2018的末尾有多少个连续的0？

答案：502个。
讲解思路：
末尾连续的0来自5和2的乘积，

有一组5*2就有1个0，
将1-2018分解因数后，
2的个数明显多于5的个数，
因此原问题等价于求分解因数后5的个数。
由于4个5相乘是625，
而5个5相乘是3125，
故只需要考虑5、25、125、625的倍数即可，
注意中间要剔除重复的数字。

步骤1：
先思考第一个问题，
1-2018的所有数中，
是625的整数倍的有多少个？
由于2018625=3.2，
因此625的整数倍数有3个。

步骤2：
再思考第二个问题，
1-2018的所有数中，
是125的整数倍但不是625的整数倍的有多少个？
由于2018125=16.1，
因此125的整数倍数有16个，
减去625的整数倍数3个，
共有13个。

步骤3：
再思考第三个问题，
1-2018的所有数中，
是25的整数倍但不是125的整数倍的有多少个？
由于201825=80.7，
因此25的整数倍数有80个，
减去125的整数倍数16个，
共有64个。

步骤4：
再思考第四个问题，
1-2018的所有数中，
是5的整数倍但不是25的整数倍的有多少个？
由于20185=403.6，
因此5的整数倍数有403个，
减去25的整数倍数80个，
共有323个。

步骤5：
综合上述几个问题，
在前面4个步骤的结果中，
每个625的整数倍可以乘出4个0，
每个125的整数倍可以乘出3个0，
每个25的整数倍可以乘出2个0，
每个5的整数倍可以乘出1个0，
所以乘积中0的个数是
1*323+2*64+3*13+4*3=502。

思考题：
2*4*6*…*2016*2018的末尾有多少个连续的0？
乘法问题
（18年5月15日）
1*3*5*…*2015*2017的结果中，最后三位数字是多少？

答案：625。
讲解思路：
先复习两个知识点：
(1)设m,n,p,q,a,b都是正整数,
p除以n的余数是a,
q除以n的余数是b,
若m=p*q,
则m除以n的余数等于a*b除以n的余数。
(2)乘积的末3位只与参加乘法的数末3位有关。

由于从1-2017的奇数相乘个数太多，
在其中寻找一个特殊的数与其它数相乘，
这道题中选择125作为特殊的数。

步骤1：
先思考第一个问题，
125与奇数相乘末三位数分别是多少？
由于125*8=1000，
任何一个奇数除以8的余数只有4种，
分别是1、3、5、7，
乘以125后的末三位数也只有4种，
分别是125、375、625、875。
问题就转化为求原式去掉125后除以8的余数。

步骤2：
再思考第二个问题，
1-2017的奇数除以8的余数有什么规律？
所有奇数都可以写成8n+k的形式，
其中n是自然数，
k=1、3、5、7，
因此规律就是1、3、5、7不断重复，
最后2017除以8的余数是1。

步骤3：
再思考第3个问题，
去掉125后，
1-2017的其它奇数相乘除以8余数是几?
由于1*3*5*7=105，
除以8的余数是1。
结合上面的第一个知识点，
自然想到将奇数进行分组。
1-2017的奇数共有1009个，
每相邻4个数分为1组，
共有252组还剩1个。
应用第一个知识点，

去掉125所在的组后，
其余的数相乘除以8的余数是1。
125所在的组是121、123、125、127，
该组其余3个数乘积除以8的余数是5。
所以去掉125后，
1-2017的其它奇数相乘除以8余数是5。

步骤4：
综合上述几个问题，
结合步骤1和步骤3的结论，
原式的末三位数就是625。

思考题：
1*5*9*…*2013*2017的结果中，最后两位数字是多少？
乘法问题
（18年6月21日）
自然数n=111…111(共2016个1)，请问n*n的所有数字和是多少？
讲解思路：
这道题属于很一般的乘法，
看起来没有任何简便运算的可能，
自然想到要寻找乘积的规律，
为此从最基础的乘法过程进行思考。

步骤1：
先思考第一个问题，
把n*n的乘法基础过程写出。
直接按照多位数乘法写出过程如下图：




步骤2：

再思考第二个问题，
n*n的结果共有多少位？
这个问题比较简单，
从上面的图形可以很直观的看出，
共有2016+2016-1=4031位。

步骤3：
再思考第三个问题，
乘积结果中最后的9位是多少？
这个问题也很显然，
就是987654321。

步骤4：
再思考第四个问题，
结果中最后2016位是多少？
最后9位在步骤3中已经知道，
从后往前不断计算，
结合上面的图形可得，
从第2016位开始到第4022位，
规律是每9位重复1次，
都是987654320不断重复。
由于(4023-2016)9=223，
因此最后2016位是
987654320…98765432,
其中987654320重复223次。

步骤5：
再思考第五个问题，
结果的第2008位到第2015位是多少？
先思考第2015位数，
在步骤4中的计算可以得到，
第2016位相加后进位223。
第2015位是由2015个1相加得到，
加上后面进位的223，
由于2015+223=2238，

故第2015位是8，且向前进位223。
类似可以得到第2008位到2015位的数，
是12345678。

步骤6：
再思考第六个问题，
结果的前2007位是多少？
先考虑第2007位，
在步骤5中的计算可以得到，
第2008位相加后进位223。
第2007位是由2007个1相加得到，
加上进位的223，
由于2007+223=2230，
故第2007位是0，且向前进位223，
类似的第2006位是9，且向前进位222，
类似可以得到第1999位到2007位的数，
是123456790。
由于20079=223，
相同的计算可知，
前2007位是123456790不断重复223次。

步骤7：
综合上述几个问题，
乘积的结果可以分为四段，
第一段是前2007位，
123456790不断重复223次，
每节的和是1+2+…+7+9=37；
第二段是第2008位到2015位12345678,
数字和是1+2+…+8=36；
第三段是第2016位到第4022位，
987654320不断重复223次，
每节的和是2+3+…+9=44；
第四段是最后9位数987654321，
数字和是1+2+…+9=45。
所以所有数字和是

223*37+36+223*44+45=18144。

思考题：
自然数n=111…111(共99个1)，请问n*n的所有数字和是多少？

乘法末位数(17年1月15日）
题目一（容易）
任意抽取了几个连续的自然数，它们的乘积末位数只有

题目二（进阶思考）
任意抽取了几个连续的自然数，它们的乘积末位数只有

题目三（进阶思考）
任意抽取了几个连续的自然数，它们的乘积末位数只有



1种可能，至少需抽取几个数？
2种可能，请问抽取了几个数？
3种可能，请问抽取了几个 数?