冬至习俗-美句摘抄

小学奥数行程问题分类讨论
行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一。 具体题型变化多样，
形成10多种题型，都有各自相对独特的解题方法。现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。
一、一般相遇追及问 题。包括一人或者二人时(同时、异时)、地(同地、异
地)、向(同向、相向)的时间和距离等条件混 合出现的行程问题。在杯赛中大量
出现，约占80%左右。建议熟练应用标准解法，即s=v×t结合标 准画图(基本功)
解答。由于只用到相遇追及的基本公式即可解决，并且要就题论题，所以无法展
开，但这是考试中最常碰到的，希望高手做更为细致的分类。
二、复杂相遇追及问题。
(1)多人相遇追及问题。比一般相遇追及问题多了一个运动对象，即一般我
们能碰到的是 三人相遇追及问题。解题思路完全一样，只是相对复杂点，关键是
标准画图的能力能否清楚表明三者的运 动状态。
(2)多次相遇追及问题。即两个人在一段路程中同时同地或者同时异地反复
相 遇和追及，俗称反复折腾型问题。分为标准型(如已知两地距离和两者速度，
求n次相遇或者追及点距特 定地点的距离或者在规定时间内的相遇或追及次数)
和纯周期问题(少见，如已知两者速度，求一个周期 后，即两者都回到初始点时
相遇、追及的次数)。
标准型解法固定，不能从路程入手，将 会很繁，最好一开始就用求单位相遇、
追及时间的方法，再求距离和次数就容易得多。如果用折线示意图 只能大概有个
感性认识，无法具体得出答案，除非是非考试时间仔细画标准尺寸图。
一般 用到的时间公式是(只列举甲、乙从两端同时出发的情况，从同一端出
发的情况少见，所以不赘述)：
单程相遇时间：t单程相遇=s(v甲+v乙)
单程追及时间：t单程追及=s(v甲-v乙)
第n次相遇时间：Tn= t单程相遇×(2n-1)
第m次追及时间：Tm= t单程追及×(2m-1)
限定时间内的相遇次数：N相遇次数=[ (Tn+ t单程相遇)2 t单程相遇]
限定时间内的追及次数：M追及次数=[ (Tm+ t单程追及)2 t单程追及]

注：[]是取整符号
之后再选取甲或者乙来研究有关路程的关系，其中涉及到周期问题需要注
意，不要把运动方向搞错了。
简单例题：甲、乙两车同时从A地出发，在相距300千米的A、B两地之间
不断往返行驶 ，已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米，
问(1)第二次迎面相遇后又经过 多长时间甲、乙追及相遇?(2)相遇时距离中点多
少千米?(3)50小时内，甲乙两车共迎面相遇多 少次?
三、火车问题。特点无非是涉及到车长，相对容易。小题型分为：
(1)火车vs点(静止的，如电线杆和运动的，如人)s火车=(v火车 ±v人)
×t经过
(2)火车vs线段(静止的，如桥和运动的，如火车)s火车+s桥=v火车×t
经过和 s火车1+s火车2=(v火车1
±v火车2)×t经过
合并(1)和(2)来理 解即s和=v相对×t经过把电线杆、人的水平长度想象为
0即可。火车问题足见基本公式的应用广度， 只要略记公式，火车问题一般不是
问题。
(3)坐在火车里。本身所在火车的车长就形同 虚设了，注意的是相对速度的
计算。电线杆、桥、隧道的速度为0(弱智结论)。
四、流 水行船问题。理解了相对速度，流水行船问题也就不难了。理解记住
1个公式(顺水船速=静水船速+水 流速度)就可以顺势理解和推导出其他公式(逆
水船速=静水船速- 水流速度，静水船速=(顺水船速+逆水船速)÷2，水流速度=(顺
水船速- 逆水船速)÷2)，对于流水问题也就够了。技巧性结论如下：
(1)相遇追及。水流速度对于相 遇追及的时间没有影响，即对无论是同向还
是相向的两船的速度差不构成“威胁”，大胆使用为善。
(2)流水落物。漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：从落物到发现的时间段，
t2：从发现到拾到的时间段)与船速、水速、顺行逆行无关。此结论所带来的时
间等式常常非常容易的 解决流水落物问题，其本身也非常容易记忆。
例题：一条河上有甲、乙两个码头，甲码头在乙码头 的上游50千米处。一
艘客船和一艘货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相< /p>

同。客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物品距客船5千米。客
船 在行驶20千米后掉头追赶此物品，追上时恰好和货船相遇。求水流速度。
五、间隔发车问题。空 间理解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。一
旦掌握了3个基本公式，一般问题都可以迎刃而解。
(1)在班车里。即柳卡问题。不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-
距离图，再 画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，
单凭想象似乎对于像我这样的一般人 儿来说不容易。
例题：A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午8
点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B
站单程需要105分 钟，从B站到A站单程需要80分钟。问8：30、9：00从A
站发车的司机分别能看到几辆从B站开 来的汽车?
(2)在班车外。联立3个基本公式好使。
汽车间距=(汽车速度+行人速度)×相遇事件时间间隔------1
汽车间距=(汽车速度- 行人速度)×追及事件时间间隔------2
汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 ------3
1、2合并理解，即
汽车间距=相对速度×时间间隔
分为2个小题型：1、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答;2、求到达
目的地后相遇和追及的公共 汽车的辆数。标准方法是：画图-尽可能多的列3个
好使公式- 结合s全程=v×t-结合植树问题数数。
例题：小峰在骑自行车去小宝家聚会的路上注意到，每 隔9分钟就有一辆公
交车从后方超越小峰。小峰骑车到半路车坏了，于是只好坐出租车去小宝家。这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰
骑车速度的5倍，如 果这3种车辆在行驶过程中都保持匀速，那么公交车站每隔
多少分钟发一辆车?
六、平均 速度问题。相对容易的题型。大公式要牢牢记住：总路程=平均速
度×总时间。用s=v×t写出相应的 比要比直接写比例式好理解并且规范，形成
行程问题的统一解决方案。

七 、环形问题。是一类有挑战性和难度的题型，分为“同一路径”、“不同
路径”、“真实相遇”、“能否 看到”等小题型。其中涉及到周期问题、几何位
置问题(审题不仔细容易漏掉多种位置可能)、不等式问 题(针对“能否看到”问
题，即问甲能否在线段的拐角处看到乙)。仍旧属于就题论题范畴，不展开了。
八、钟表问题。是环形问题的特定引申。基本关系式：v分针= 12v时针
(1) 总结记忆：时针每分钟走112格，0.5°;分针每分钟走1格，6°。时
针和分针“半”天共重合1 1次，成直线共11次，成直角共22次(都在什么位置
需要自己拿表画图总结)。
(2)基本解题思路：路程差思路。即
格或角(分针)=格或角(时针)+格或角(差)
格：x=x12+(开始时落后时针的格+终止时超过时针的格)
角：6x=x2+(开始时落后时针的角度+终止时超过时针的角度)
可以解决大部分时针问题的 题型，包括重合、成直角、成直线、成任意角度、
在哪两个格中间，和哪一个时刻形成多少角度。
例题：在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度?从这一时刻开始，经过
多少分钟，时 针和分针第一次垂直?
(3)坏钟问题。所用到的解决方法已经不是行程问题了，变成比例问题了 ，
有相应的比例公式。这里不做讨论了，我也讨论不好，都是考公务员的题型，有
难度。
九、自动扶梯问题。仍然用基本关系式s扶梯级数=(v人速度±v扶梯速度)
×t上或下 解决最漂亮。这里的路程单位全部是“级”，唯一要注意的是t上或
下要表示成实际走的级数人的速度。 可以PK掉绝大部分自动扶梯问题。
例题：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶 的扶梯上上下
走动，女孩由下向上走，男孩由上向下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩
走 了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该
扶梯静止时，可看到的扶梯 梯级有多少级?
十、十字路口问题。即在不同方向上的行程问题。没有特殊的解题技巧，只
要老老实实把图画对，再通过几何分析就可以解决。

十一、校车问题。就是这样 一类题：队伍多，校车少，校车来回接送，队伍
不断步行和坐车，最终同时到达目的地(即到达目的地的 最短时间，不要求证明)
分4种小题型：根据校车速度(来回不同)、班级速度(不同班不同速)、班数 是否
变化分类。
(1)车速不变-班速不变-班数2个(最常见)
(2)车速不变-班速不变-班数多个
(3)车速不变-班速变-班数2个
(4)车速变-班速不变-班数2个
标准解法：画图-列3个式子：1、总时间=一个队伍坐车的 时间+这个队伍步
行的时间;2、班车走的总路程;3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接< br>它的时间。最后会得到几个路程段的比值，再根据所求代数即可。此类问题可以
得到几个公式，但 实话说公式无法记忆，因为相对复杂，只能临考时抱佛脚还管
点儿用。孩子有兴趣推导一下倒可以，不要 死记硬背。
简单例题：甲班与乙班学生同时从学校出发去15千米外的公园游玩，甲、
乙 两班的步行速度都是每小时4千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48
千米，这辆汽车恰好能坐一 个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，
那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千 米?
十二、保证往返类。简单例题：A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙
漠深处走 20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水。如果不准将
部分食物存放于途中，其中一个 人最远可深入沙漠多少千米(要求两人返回出发
点)?这类问题其实属于智能应用题类。建议推导后记忆 结论，以便考试快速作答。
每人可以带够t天的食物，最远可以走的时间T
(1)返回类。(保证一个人走的最远，所有人都要活着回来)
1、两人：如果中途不放食物：T=23t;如果中途放食物：T=34t。
2、多人：没搞明白，建议高手补充。
(2)穿沙漠类(保证一个人穿过沙漠不回来了，其他人都 要活着回来)共有n
人(包括穿沙漠者)即多人助1人穿沙漠类。
1、中途不放食物：T≤[2n(n+1)]×t。T是穿沙漠需要的天数。
2、中途放食物：T=(1+13+15+17+„+1(2n-1))×t

还有 几类不甚常见的杂题，没有典型性和代表性，在此不赘述。希望大家完
善以上的题型分类，因为奥数好玩 。