北京公安局-书记述职述廉报告

1小时的时间，分针旋转360度角，时针旋转30度角；1分钟的时间，分针旋转6度角，时针
旋转0.5度角。（反之，时针旋转1度角，时间就过2分钟）
分析：(如图1)要解决这个问题首先须观察钟表的表盘，知道：（1）表盘被1--- 12个刻度均
匀分成12等份，每相邻刻度之间又被小格均匀分成5 等份；（2）表针（时针、分针、 秒针）每
转过1个刻度，就绕中心旋转30度角，每转过1个小格，就绕中心旋转6度角。

所以：1小时的时间，分针旋转360度角，时针旋转30度角；1分钟的时间，分针旋转6度
角，时针旋转0.5度角。（反之，时针旋转1度角，时间就过2分钟）
问题1：8时30分时，分针与时针成多少度角？8时32分时呢？
分析：（如图2-3）要 求某时刻分针与时针成的角度，可先观察这个角接近（或等于）哪两
个刻度所成的角，然后再加上（或减 去）时针、分针转过的相应角度。如9：00时两针夹“9-12”
间的3大格，成90度；而9：01 、8：58时两针夹角接近“9-12”间的3大格。 因此：
8：30时 分针与时针间的夹角为 30×2+15=75（度）
8：32时 该夹角为30×2+15+0.5×2-6×2=64（度）
问题2：从12：00开始,在12小时 内，分针与时针有多少次互相垂直的机会？最后一次垂直
时是几时几分？
分析：通过做实验的 办法我们能得到第1个问题的答案。如何用数学思想、方法准确解决这
一问题呢？在前面的分析中我们知 道：在相同的时间内，时针与分针转过的角度之比为1：12。
从12：：00开始，两针第一次成直角 ，就是分针与时针转过的角度之差为90度，两针第一次在
一条直线上，就是分针与时针转过的角度之差 为90×2度，两针第二次成直角，就是分针与时针

转过的角度之差为90×3度--- 由此可列得一元一次方程，再借助一元一次不等式的整数解使问题
得到解决。
解：（1）从1 2：00开始，当分针与时针互相垂直时，设时针转过x度，则分针转过12x度。
因为分针与时针互相 垂直，所以
它们第一次垂直时：12x-x=90
它们第二次垂直时：12x- x=90×3
它们第三次垂直时：12x- x=90×5
它们第K次垂直时：12x- x=90×（2K-1）
即： 11x=90×（2K-1）
∵0＜x＜360 ∴0＜11x＜360×11
即0＜90×（2K-1）＜360×11 解得 0＜k＜22.5
又k是整数，故k取1，2，3，-------，22。
所以在12小时内，分针与时针有22 次互相垂直的机会。
(2)两针最后一次垂直时，k=22

问题3：从12：00时起，你能迅 速得出12小时内分针与时针有多少次重合的机会？有多少
次方向相反且在一条直线上的机会吗？你是否 会求某一次重合或成一条直线时的时刻吗？
分析：问题3完全可以用问题2的方法来解决，也可直接利 用我们熟悉的追及问题来解决：
（1）分针与时针第m次重合，就是在相同的时间内分针比时针多转m圈 ---360m度！（2）分

针与时针第n次在一条直线上，就是在相同时间内分针比时 针多转180n度！而某次重合或成一
条直线时的时刻，就是时针转过x度所用的时间2x分钟。 创新应用：你能否用以上方法求某时间段内，分针与时针成任意角度时的时刻？如从2时12
分到4 时36分这段时间内，分针与时针成30度角的时刻分别是几时几分？相信你结合下面的图
形不难迅速得 到答案。

1. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？
解析：分针：1格分 时针：(112) 格分
3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，
用追及问题的处理方法解：15格(1-112)格分=16+411分钟
所以下午3点16又411分时，时针和分针第一次重合
PS:这类题目也可以用度数方法解

2. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？
解析：分针：6度分 时针0.5度分
当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。
所以两针再次重合需要的时间为：360(6-0.5)=72011分，一昼夜有：24*60=1440分
所以两针在一昼夜重合的次数：1440分(72011)分次=22次

3. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？
解析：分针：6度分 时针0.5度分
5点零8分，时针成角：5*30+8*0.5=154度
分针成角：8*6=48度
所以夹角是154-48=106度

4. 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？
解析：整4点时，分针指向12，时针指向4。此时，时针领先分针20格。时，分两针成直角，
必须使 时针领先分针15格，或分针领先时针15格。因此，在相同时间内，分针将比
时针多走 (20-15)格或(20+15)格。
(20-15)(1-112)=6011,即4点5又511分
(20+15)(1-112)=38又211分,即4点38又211分

5. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？
解析：设经过X分，0.5*X=270-6*X ,解得X=54013分
所以答案是9点过41又713分。

↑ ↓

研究钟面上时针和分针关 系的问题。钟面的一周分为60格。当分针走60格时，时针正好走
5格，所以时针的速度是分针的5÷ 60=1／12，分针每走60÷（1－5／60）=65+5／11（分），
于时针重合一次，时钟问 题变化多端，也存在着不少学问。这里列出一个基本的公式：在初
始时刻需追赶的格数÷（1－1／12 ）=追及时间（分钟），其中，1－1／12为每分钟分针比
时针多走的格数。一分钟分针可以走6度， 时针可以走0.5度。 常见的时钟问题：求
某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。
解题思路
在初始状态时针总是再分针前面，再钟面上，时针12小时走一圈即360°。每分 钟走6°就
是说，分针每分钟比时针多走6-0.5=5.5（两针速度差）当已知原来两针的间隔度数 及要形
成夹角的度数时，有公式 两针达到要形成夹角度数的分针数=（原来两针的间隔度数±要形成夹角的度数）÷（6°-0.5°）。

在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角?

解：当时针分针重合，即分针追上时针时，需要时间30(1112)=6011，

此后，当路程差为

当

因此，共需要


6011+18011=24011分钟，或6011+54011=60011分钟。
路程差为270
90
度
度时，构成直角，90(1112)=18011；
时，构成直角，270(1121)=54011.

2.现在是10点整，请问再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？

解：分针一分钟走6度，时针一分钟走12度，则分针时针的速度差为112，10点时分针 时
针路程差为60度，当分针时针第一次在一条直线上时分针时针的路程差为180度。

即在运动过程中，时针分针的路程差又增加120度，因此，用时120(112)=24011

3.在钟面上，如果知道X时Y分，输入一个公式就能得出此时时针与分针夹角的度数。请问
这个公式怎么得来？

钟面上分12大格60小格。每1大格均为360除以12等 于30度。每过一分钟分针走6度，
时针走0.5度，能追5.5度。公式可这样得来：X时时，夹角为 30X度。Y分，也就是分针
追了时针5.5Y度。可用：整点时的度数30X减去追了的度数5.5Y 。如果减得的差是负数，
则取绝对值，也就是直接把负号去掉，因为度数为非负数。因为时针与分针一般 有两个夹角，
一个小于180度，一个大于180度，(180度时只有一个夹角)因此公式可表示为： |30X-5.5Y|
或360-|30X-5.5Y|度。||为绝对值符号。如1：40分，可代入 得：30×1-5.5×40=-190则为
190度，另一个小于180度的夹角为：170度。如： 2：10，可代入得：60-55=5度。大于180
度的角为：355度。如：11：20，330- 110=220度，小于180的角：360-220=140度。

4.时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是（ ）点钟？

解；分针走一圈，时针走一小时=分针走24圈，时针走24小时，即此时时间还是18点
=19902 4=82余22=时间为18点再过22小时，即16点。

若选b的话，则可把16点理解为下午4点。

5.一个快钟每小时比标准时间快1 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟
同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显 示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此时
的标准时间是几点？

快钟和慢种之间 除了一个是快1分钟小时,一个是慢3分钟小时.可以得到这样关系:快钟和
慢种差比为1:3其他的条 件就是他们都一起走没有别的不同步了,所以到了快种10点,慢钟9
点时候,他们已经差了一个小时, 其中按1:3来算快种快了15分,慢种慢了45分钟,由上面分析
可以得到现在标准时间为:9:45 。
奥数时钟问题—钟面追及
基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1 分格。分针每小时走60分格，即一
周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／ 12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转3606 0度，即6°，时针每分钟转

360(12*60)度，即12度。四、时钟问题解法与 算法公式解题关键：时钟问题属于行程问题
中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为 60小格。每小时，时针走1
大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速 度差是分针的速度
的，分针每小时可追及。
1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？
分析：两点钟的时候，分针指向12，时 针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分针
每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分 针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10
÷
解
答
：
：（
2
）
5×2）
点10
分
÷（
分
1－
时
）
，
＝
钟
10÷＝
两针
10
重
（
合
分
。
）
。
2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？
分析：分针与时针成一 条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，
时针指向4，分针在时针后5×4 ＝20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须
追上时针（20小格）并超过时针（30小 格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20＋30）
小
解：
格。
（5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）
答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。
3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？
分析：分针与时针成直角，相差15 小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5
小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才 能构成直角。所以分针需追及（5×1＋15）
小格或追及（5×1＋45）小格。
解： （5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）
或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）
答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。
4、星期天，小明在室内阳光下看书，看 书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好
处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又 恰好在同一条直线上。看书期间，小
明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下） 请你算一算小明从几点
开始看书？看到几点结束的？
分析：连半点敲声在内，一共敲了三下， 说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以
后时针与分针：
第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）
即12点32分。
第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）
即 1点38分。
第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－ ）＝40÷＝43（分）
即 2点43分。
如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）
如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2
点43分 时结束的。
5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标 准
时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？
分析：1、这钟 每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），
即速度是标准钟速 度的＝
2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17 －

12）＝27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分。

3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际
走完这2 7分所要时间应是27÷。
解： 5×（17－12） ＝27 （分） 27÷＝30（分）
答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。
公务员考试行测辅导：时钟问题经典例题详解
时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。
关于时钟的 问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线
等类型。要解答时钟问题就要 了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。
一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位 。1分钟时间，分针走1个小格，
时针指走了160*5=112个小格，所以每分钟分针比时针多走1 112个小格，以此作为后续计
算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非 常方便、快捷。
例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?
5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格(表面上
每个数字之间为 5个小格)，如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段
内，分针一共比时针多走了 55个小格。由每分钟分针比时针都走1112个小格可知，此段
时间为55(1112)=60分钟， 也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。
例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?
6时整时，分针指向正上方，时 针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第
一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针 要比时针多走30个小格，此段时间为
30(1112)=36011分钟。
例3：在8时多少分，时针与分针垂直?
8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间 间隔为40个小格。如果要两
者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格(分 针落后时针)，也
就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25(1112)=30011分钟; 另一次是第二次垂直，
此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针)，也就是分针比时针多走了55 个小格，此段
时间为55(1112)=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以 在8时30011
分时，分针与时针垂直。
由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经 过多少时间，分针与时间成多少夹角)时，
采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂 ，结果正确率高，是一种非常
好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小 格，而不论两者
分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。
例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?
9时整时，分针指向正 上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第
一次成直线，也就是两者之间间隔变为3 0个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段
时间为15(1112)=18011分钟。
例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?
9时整时，分针指向正 上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分
针追上时针，也就是两者之间间隔变为0 个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段
时间为45(1112)=54011分钟。
例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?
时针和 分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变
为30个小格，那么分针 要比时针多走30个小格，此段时间为30(1112)=36011分钟。

【针对性练习】








1. 十点与11点之间，两针在什么时刻成直线(不包括重合情况)？( )
A. 10时21 分 B. 10时22 分 C.10时21 D.10时21 分
2 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？
3。分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？
4。钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？
5。在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？
6.9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？
【参考答案详解】
1. 答案A满足. 分针：6度分 时针0.5度分，十点时，两针夹角为60度，设需要
时间为x分，则如图有60-0.5x=180-6x，x= 分，即10时分两针成直线。答案A满足。
2. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？
解析：分针：6度分 时针0.5度分
3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，即90
度， 用追及问题的处理方法解：90(6-0.5)度分=16 分钟，所以下午3点16 分钟，时针和
分针第一次重合。
3. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？
解析：分针：6度分 时针0.5度分
当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。所以两针再次重合需 要的时
间为：360(6-0.5)=72011分，一昼夜有：24×60=1440分，所以两针在 一昼夜重合的次数：
1440分(72011)分次=22次
4. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？
解析：分针：6度分 时针0.5度分
5点零8分，时针成角：5×30+8×0.5=154度，分针成角：8×6=48度，所以夹角 是
154-48=106度。
5 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？
解析：整4点时，分针指向12，时针指向4。 此时，时针领先分针20格。时，分两针
成直角，必须使时针领先分针15格，或分针领先时针15格。 因此，在相同时间内，分针将
比时针多走 (20-15)格或(20+15)格。(20-15)(1-112)=6011,即4点5 分， (20+15)(1-112)=38
分，即4点38 分。
6. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？
解析：设经过X分，0.5×X=270-6×X ,解得X=54013分，所以答案是9点过41 分。
行测数学运算：时钟问题作者:公务员考试网 时间:2010-01-08 | 公务员考试论坛 | 来源:中
国公务员考试信息网
行测数学运算：时钟问题
基本知识点：
1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。
2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。
3.钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。
4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。
【例1】（山西2009-108）清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）
A. 30度 B. 60度 C. 90度D. 150度
［答案］D
［解析］清晨5点时，时针和分针相差5格，则5×30°＝150°。

【例 2】（广东2002-98）中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12点时，
时针 与分针还要重合了多少次？（）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
［答案］B
［解一］从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多 走了11圈。
因此，时针与分针重合了11次。选择B。
［解二］根据基本知识点：由于时针 和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11
次。
【例3】（江西2008-38 ）小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看
了手表，发现时针和分针恰好互换了 位置。问这次会议大约开了1小时多少分？（） #中国
公务员考试信息网
A. 51 B. 47
C. 45 D. 43
［答案］A
［解析］根据题意，会议开了1 个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1
格多不到2格。由于“时针和分针恰好互换了 位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是
整整两圈。假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一 圈，那么T小时应该转了T12圈；
分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T12＝2，得 到T＝2413小时，约合1小
时51分。
【例4】（国家2000-30）某时刻钟表时针 在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和
此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上 ，则此时刻为几点几分？（）
A. 10点15分 B. 10点19分
C. 10点20分 D. 10点25分
［答案］A
［解析］代入B、C、D，很明显，这三个 时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟
面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟 之后已经至少是25分了，即分针已经在
钟面上的“5”上或者之后了。我们知道，钟面上的“10”与 “11”之间反过来对应的是“4”
与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A 。
核心提示
钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式T＝T0+111T0，其中：T 为追及时间，即分针
和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和 时针“达
到条件要求”的时间。

【例5】（四川2008-12）从钟表的12 点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中
间相隔的时间是（）。
A. 43分钟B. 45分钟C. 49分钟D. 61分钟
［答案］C
［解析］从12点整 往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T0＝45（分钟），
根据公式，其间隔时间T＝ T0+T011≈49（分钟）。
【例6】（国家2006一类-45、国家2006二类-45）从 12时到13时，钟的时针与分针可成直
角的机会有多少次?（）
A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次
［答案］B
［解一］从12时到13时，时针旋转了30°；分 针旋转了360°。分针与时针所成的角度

从0°变化到330°（其中包括90°和2 70°），因此有2次成直角的机会。选择B。
［解二］根据公式：从12点开始算，时针与分针成直 角的“静态时间”为15分钟或45分
钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511= 49111分钟，所以垂直两次。
【例7】（广东2008年）时针与分针在5点多少分第一次垂直？（）
A. 5点10分 B. 5点101011分 C. 5点11分 D. 5点12分
［答案］B
［解析］ 根据公式：时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟，追及时间
为10+1011=1 01011分钟，所以选择B。 强华公务员
【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？（）
A. 32 B. 32811分 C. 33分 D. 34分
［答案］B
［解一］根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30分钟，代入公式算得追
及时间为 30+3011=32811分钟，所以选择B。
［解二］根据基本知识点：时针与分针24小时内垂 直44次，所以垂直间隔为：24×
6044=32811分钟。
核心提示
当时钟 问题涉及“坏表”时，其本质是“比例问题”。解题的关键是抓住“标准比”，按比例
计算。
【例9】（国家2005二类-46）有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对
准了 标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少?（）
A. 11点整 B. 11点5分 C. 11点10分 D. 11点15分
［答案］C
［解析］标准比： 标准时间走60分钟时，慢钟走57分钟。此时，慢钟从4点30分走到10
点50分，一共走了6小时 20分，合380分钟，假设标准时间走了x分钟，那么：x∶380=60∶
57，可得：x＝400 （分钟）。说明标准时间比慢钟快400-380＝20分钟，慢钟走到了10点
50分，实际上应该是 11点10分了。
【例10】（国家2005一类-46）一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个 慢钟每小时比标
准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整 时，
慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是多少？（）
公务员论坛


A. 9点15分 B. 9点30分 C. 9点35分 D. 9点45分
［答案］D
［解析］快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为1∶3。假设现在是9点x分（快 钟显示10
点整，慢钟显示9点整），那么（60-x）∶（x-0）＝1∶3，解得：x＝45。所以 标准时间是9
点45分。
时钟问题的关键点：
时针每小时走30度
分针每分钟走6度
分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。
请看例题：
【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次

【解析】
时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，
还要验证：
根据角度差速度差 =分钟数，可得 905．5= 16又411＜60，表示经过16又411分钟，
时针与分针第一次垂直；同理，2705．5 = 49又111＜60，表示经过49又111分钟，时针
与分针第二次垂直。经验证，选B可以。
【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和
此 时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为
A．10点15分
B．10点19分
C．10点20分
D．10点25分
【解法1】
时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一
条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以
答案为A 。
【解法2】常规方法
设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度 ，则此时刻3分钟前的时针转
的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5 （Ｘ—3）+10×30
度。所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ +6）=180度，解得
Ｘ=15分钟
分针
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由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许 多有趣的数学问题，下面介绍几例，并研究它们
的解法。
例1 在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？
解：钟表上把一个 圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要
走过12x个刻度，即分针走 了12x分钟。两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度
时，出现第一次分针和时针重合；当 分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时
针重合；„„直至回到12点两针又重合后，又开 始重复出现以上情况。用数学式子来表示，
即为：
12x－x=60m，其中m=1，2，„．

度为1小时，
对分针来说1个刻度就是1分钟。所以，12点以后出现第

出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出，它们

如 果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时
刻，可见 ，以上共有11次出现两针重合的时间。
例2 已知：挂钟比标准时间每小时慢2分钟；台钟比挂钟每 小时快2分钟，闹钟比台钟每
小时慢2分钟，手表比闹钟每小时要快2分钟。试问：手表走时是否标准， 若不标准时，判
断是快还是慢，快多少或慢多少？为什么？
解：(1)标准时间走60分钟时，挂钟时间走58分。
(2)因为台钟比挂钟每小时快2分 钟，所以挂钟走60分钟时，台钟走62分钟。设当标准时
间走60分时，即挂钟走58分，台钟走x1 分钟，则

(3)因为闹钟比台钟每小时慢2分钟，所以台钟走60分钟时，闹钟走58分钟 。设当标准时
间走60分，台钟走x1分时，闹钟走x2分，则

(4)因为手表比 闹钟每小时快2分钟，所以闹钟走60分钟时，手表走62分钟。设当标准时
间走60分时，闹钟走x2 分，手表走x3分，则

答：手表走时不准，走慢了，每小时慢0.133分，即大约慢8秒。
例3 一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需多少分钟？
解：设在钟盘面上时针转过x格后，它与分针重叠 ，这时分针转动了(45＋x)分，由于分针转
动的速度是时针的12倍，所以有方程


例4 时钟的分针和时针在24小时中，形成过多少次直角？
解：因为时针1小时转动30°，所以1分钟转动0.5°，分针每分钟转动6°．
设x分钟后，时针与分针成直角，则有方程
x(6°－0.5°)=90°．

针24小时会有
多少次差90°的倍数呢？设有n次，则

由此解得n=88．
在这88次中，时针与分针所成角度分别为90°，180°，270° ，360°，其中180°，360°
不合要求，因此总共有44次直角。
(注：我们用两针重合的方法也可算出同样的结果。)
例5 时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟后，可以成为一条直线？
直线上。
也可这样解：
设经x分钟后两针在一直线上，这时分针转动了x分的刻度，而时


例6 在早上不到6点时，某人看了一下手表，发现分针与时针很接近，还差3分钟就重合< br>了，问此时是什么时间？
解：设此时是5时x分，在手表面上，因为分针1分钟转动6°，时针 1小时转动30°，则
1分钟转动0.5°，时针从0点到5点x分转动了(150＋0.5x)度，分 针从0分到x分转动了
6x度。因为此时分针还差3分钟与时针重合，即还差3×6°=18°，所以有 方程150＋0.5x
－6x=18．
解之，得x=24．
所以，此时为5时24分。
下面是关于时钟的一个更精彩的算题。
我们知道爱因斯 坦是一位伟大的物理学家，他是相对论的奠基人，他的科学成就使人类跨越
了一个时空。有一次爱因斯坦 卧病在床，他的一位朋友来探望他，为解除他的烦闷，他的朋
友出了一个问题让他思考。
设想 钟表的位置在12点整，这时把长短针对调一下，它们的位置还是合理的。但是，在6
点整时，如果把长 短针对调，就成了一个笑话，因为这时短针正指在12，而长针正指在6，
这种情况不可能发生。那么， 钟表的长短针在什么位置，它们对调后能使得在新的位置上所
指的仍是实际上可能的时间？
爱 因斯坦悠然地对他朋友说，这个问题对病床上的人确是一个很好的消遣，只可惜它消磨不
了我太多时间。 说着他坐起身来，在纸上画了一个草图，然后写出了问题的解答，所花的时
间比你们听这个故事的时间还 短。
问题是怎样解决的呢？
第一类情况，当时针与分针重合时，它们可以对调。这种情况在 例1中已经解决，总共在钟
面上有11个位置。
除此以外还有没有其他可能呢？
设时钟走了x个刻度，分针走了y个刻度，仿照例1有方程

当两针对调后，就变成 时针走了y个刻度，分针走了x个刻度。如果设分针已在此之前走了
n圈，又可得方程

把m，n看成已知数解这个方程组，得

由0≤x，y≤ 60，m，n为正整数，可知m，n只能取从0到11，总共有144组解。其中当
m=0，n=0与m =11，n=11时，两针都是在12这个位置, 当m=n时，就是第一类情况中的
11个重合的位置 。当m≠n时，可求出其余的两针不重合时的另外的132个位置。
对一个卧病之人，爱因斯坦的思维仍这样敏捷，不禁使后人为这位巨匠的天赋而惊叹。
行测试题精选解答：时钟问题常见种类与解法
来源：青年人() 2009-4-16 10:38:22 【青年人：中国教育考试第一门户】 资料下
载 教材购买
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时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。
关于时钟的问题有：
求时间差：
例：从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？
A.8小时 B.8小时30分 C.9小时30分 D.9小时50分
解析：这种属于最简单的时钟问题。答案是14.45-5.15=9.30 C
求慢（快）表在几小时后显示什么时间？
例：有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分 的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到
当天上午10点50分的时候，标准时间是( )。
A．11点整 B．11点5分 c．1l点1O分 D．11点15分
解析：慢表显示经 过的时间是：10：50-4：30=6小时20分钟=380分钟，实际经过的时间应
该是：380÷ [（60-3）60]=400分钟=6小时40分钟，答案为C：4：30+6：40=11：10。 例：一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个
钟同时调 到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此
时的标准时间是( )。
A．9点15分 B 9点30分 c．9点35分 D 9点45分
解析：这是2个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。
我们可以看到，在一个小时 内，快钟与慢钟有4分钟的差距，而4分钟里面，1分钟时快走
造成的，3分钟时慢走造成的。所以当它 们（快慢钟）的差距有60分钟时，那么一样，14
的时间=15分钟时快走造成的，34的时间（45 分钟）时慢走造成的。所以标准时间为9点
45分，答案为D。
戴晓东总结：其实这种类型 题是较为简单的，关键把握一点，就是不准确的时钟与标准时间
的比例关系，也就是常说的一小时慢（快 ）多少，然后再推广到几个小时后，而这种比例是
不变的。
延伸：通过第二道例题，大家可 以多少感觉到，有点像路程问题，其实这正是解决时钟问题
中较困难问题的一个核心思想。下面，我们继 续往下看，来看看时钟问题中较为困难的类型。
求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。
例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合多少次？

万学金路戴晓东强调要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。
一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1小时时间，分针走60个小格，时
针 只走了5个小格，所以每小时分针比时针多走55个小格。
解析：就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题：
时针: v1=5格小时 分针：v2=60格小时
n*60=（v2-v1）*12 即：重合一次，多走60个格，假设重 合了N次，所以多走了n*60；再
有，一小时多走（60-5）个格，总共走了12小时，所以多走了 （60-5）*12个格。
解出：n=11
例：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？
解析：6时整时，分针指向 正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要
第一次重合，也就是两者之间间隔变为0 ，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为
3055=611小时=36011分钟。
例：一个指在九点钟的时钟，多少分钟后时针与分针第一次重合？
解析：9时整时，分针指 向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要
分针与时针重合，也就是两者之间间隔 变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，
此段时间为4555小时=54011分钟。 < br>总结：这类题型其本质就是追击问题。我们知道在追击问题中，关键是要知道路程差，速度
差。而 在时针与分针重合问题中，路程差就是时针分针之间有多少个小格，速度差就是一小
时差55格（前面已 经分析过）。所以本着这两点，这类问题可以迎刃而解。
大家可以看看下面这两个问题：供大家思考，也是对这类问题的延伸。
例：爷爷家的老式钟的时针与分针每隔66分钟重合一次,这只钟每昼夜慢多少分钟?
解析：正常的钟每隔(1211)小时=(72011)分钟重合一次，
爷爷家的老式钟是72611分钟重合一次，慢了611分钟。
每小时这个钟就会慢【(611)(72011)】*60=12分钟。
一昼夜共慢了12*24=12分钟。
时针分针讨论了不少，我们稍微换一换，看看分针和秒针的问题。
例：1个小时内分针和秒针共重叠（ ）次。
A.60 B.59 C.61 D.55
这个题目很多人认为是61次，我们来讨论一下：
首先，从一个理想状态来研究，因为理想状态也是其中的符合条件的情况，比如正点时刻
分针和秒针都是在12上
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，。。。。。。。58，59，60
我们来仔细分析
当0分钟时刻，分针秒针都是在一起，算1次重叠。但是在0～1之间却是 没有重合的，因
为当秒针从12转一圈之后回到12，此时的分针已经偏离12，1格子的角度了。从1 ～2分
钟时刻开始，秒针和分针就开始在其每分钟的间隙之间重叠了。当到了59～60分钟之间，最后是分针和秒针同时到达12上，形成了最后一次重复。在59～60间隙里面也是没有重合
的。
这样我们就可以把开始0位置上的重合看作是0～1上的重合，60上的重合看作是59～60
之间的重合，整个过程就发现就是60次。
其次：如果不是理想状态。这个题目就出现了2个结果。 就是看间隔。59个间隔至少有59
次相遇。第一次的间隔没有。
这里有一个问题，很多人认为 当出现整点到整点时刻是不是不包含两端的端点时刻。如果
题目 没有交代的情况下是包涵的，跟植树问题是样的。如果交代了，自然按照题目交代的情

况 来做。
时钟问题经典例题详解
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相关信息：时钟问题 经典 例题 详解


例：现在是2 点，什么时候时针与分针第一次重合？
析：2 点时候，时针处在第10 格位置，分针处于第0 格，相差10 格，则需经过10 1112
分钟的时间。
例：中午12 点，时针与分针完全重合，那么到下次12 点时，时针与分针重合多少次？
析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60 格，则分针追赶时针一次，耗时60

1112 ＝72011 分钟，而12 小时能追随及12*60 分钟 72011 分钟次=11 次，第11 次
时，
时针与分针又完全重合在12 点。如果不算中午12 点第一次重合的次数，应为11 次。如
果
题目是到下次12 点之前，重合几次，应为11-1 次，因为不算最后一次重合的次数。
2.分针与秒针
秒针每秒钟走一格，分针每60 秒钟走一格，则分针每秒钟走160 格，每秒钟秒针比分针
多
走5960 格
例：中午12 点，秒针与分针完全重合，那么到下午1 点时，两针重合多少次？
析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60 格，则秒针
追分针一次耗时，60 格 5960 格秒= 360059 秒。而到1 点时，总共有时间3600 秒，则
能
追赶，3600 秒 360059 秒次=59 次。第59 次时，共追赶了，59 次*360059 秒次=3600
秒，
分针走了60 格，即经过1 小时后，两针又重合在12 点。则重合了59 次。
3.时针与秒针
秒针每秒走一格，时针3600 秒走5格，则时针每秒走1720 格，每秒钟秒针比时针多走
719720
格。
例：中午12 点，秒针与时针完全重合，那么到下次12 点时，时针与秒针重合了多少次?
析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60 格，每秒钟追719720 格，则要一次要追
60
719720=43200719 秒。而12 个小时有12*3600 秒时间，则可以追12*36＝
710
次。此时重合在
4.成
12 点位置上，即重合了
角度问
719 次。
题
例：在时钟盘面上，1 点45 分时的时针与分针之间的夹角是多少？
析：一点时，时针分针差5 格，到45 分时，分针比时针多走了1112*45＝41.25 格，则分
针
此时在时针的右边36.25 格，一格是36060＝6 度，则成夹角是,36.25*6=217.5 度。
5.相遇问题

例：3 点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3a”的两边？
析：作图，此题转化为时针以每分112 速度的速度，分针以每分1 格的速度相向而行，当
时针和分针离3 距离相等，两针相遇，行程15 格，则耗时15 1+ 112 =18013 分。
例：小明做作业的时间不足1 时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时
针、
分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？
析：
只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针和分
针共走了60 格，而时针每分钟112 格，分针1 格，则总共走了60 (112+1)=72013 分钟，
即花了72013 分钟。