奥数试题 扑克牌中的数学游戏
红种人-摘抄好句
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三年级奥数题及答案:扑克牌中的数学游戏
有一种叫“24点”的游戏曾经风靡美国、日本等许多国家,深受青少年朋友的喜爱。这种游戏
将两张王牌去掉,把A、J、Q、K分别看作1点,11点、12点、13点,或者将它们均看1点,
其
余牌面是几点,就是几点。
玩的规则不尽相同,其中有一种方法是:
(1)四个人每人抓到13张牌,每人每次从手中任意抽取一张牌。
(2)参加游戏者对这四张牌所代表的数值进行+、-、×、÷、()运算,使结果为24。
(3)谁先列出,谁就得1分,牌入底;若四人均无法列出,则无人得分,牌也入底。
(4)再次每人任意抽取一张牌,再次按(2)(3)规则进行。
(5)重复(2)、(3)、(4),直至每人手中13张牌全部用完为一局,得分多者为胜。
例如,抽出的四张牌为3、4、7、11,可以这样计算:
(7-4)×(11-3)=3×8=24,或(7+11)÷3×4=18÷3×4=6×4=24
这是一种非常有趣的游戏,下面我们一起来试一试:
例1
抽出下面四组牌:(A,J,Q,K分别为1点,11点,12点,13点)
(1)2,3,4,5 (2)3,4,5,10
(3)K,7,9,5
(4)J,6,Q,5
你能算出24点吗?
分别:要想比赛获胜,必须有
一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎样的两个数求得,
如2×12=24,4×6=24,3×8
=24,18+6=24,30-6=24„„这样就可以把问题转化成怎
样使用4个数,凑出两个数的
问题,其中有一点值得大家注意,就是四个数的顺序可以依据需
要任意安排。
解:(1)依据2×12=24,可得2×(3+4+5)=24,
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(2)依据3×8=12,可得3×(10÷5×4)=24,
(3)依据4×6=24,可得(13-7)×(9-5)=24,
(4)依据18+6=24,可得(11-5)+(6+12)=24
说明:上面各题的解法
并不一定是唯一的,如依据4×6=24,也可得第(2)组为4×(1
0×3÷5)=24,可是,就
因为这样,才非常激烈、刺激。
例2 如果恰巧四个人抽出的扑克牌是“1~9”中的同一
数字的牌,请你帮忙想一想哪种
情况可以算出“24”?怎样算?
分析:四人抽出同
一数字的牌有9种情况,4个1,4个3,4个4„„4个8,4个9,现在
的问题转化为如何使四个相
同的数字(1~9中的一个)填加运算符号,得“24”的问题。由于4
个数字相同,用乘法关系最后求
得“24”就不太容易,应考虑+、-关系,27-3=24,25-1
=24,20+4=24,12
+12=24„„经过尝试,我们发现,4个1,4个2,由于数太小,无法算
出“24”,而4个7,
4个8,4个9由于太大,也无法算出。其余可以实现。
解:依据27-3=24
,可得3×3×3-3=24,
依据20+4=24 ,可得4×4+4+4=24,
依据25-1=24 ,可得5×5-5÷5=24,
依据12+12=24 ,可得(6+6)+(6+6)=24,
说明:有些不能算出24,
可能是由于我们知识水平的限制,而并非真的不能,如请同学们
想一想4个10,4个11,4个12,
4个13你能求解吗?
由上面的例子,我们可以很自然地想到这种游戏可以发展成一类专门的数学的问题,下面
我们就来研究。
例3 填上适当的运算符号,使算式成立
(1)4 4 4 4=5
(2)4 4 4 4=6
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(3)4 4 4
4=7
(4)4 4 4 4=8
(5)4 4 4 4=9
(6)4 4 4 4=10
分析:(1)4 4 4
4=5,最后一个4前面是三个4,如可凑出1,1+4=5,如可凑出20,
20÷4=5,4×4
+4=20,因此可求解。
(2)4 4 4
4=6,最后一个4前面是三个4,如可凑出2,2+4=6;即(4+4)÷4=2,
因此可求解。
(3)4 4 4
4=7,前面两个4+4=8,后面两个4得1即可求解,4÷4=1刚刚好。
(4)和(6)可利用(3)的思路稍加变化就可以求解。
(5)4 4 4 4=10,最
后一个4,前面如是6,6+4=10可求解,但不易做到。如前面是4
0,40÷4=10也可以求解
,44-4=40,数字连用在这类题目中是常用的一种技巧。(题目中
没有限制,当然是可以这样做的
)。
解:
(1)(4×4+4)÷ 4=5
(2)(4+4)÷4+4=6
(3)(4+4)-4÷4=7
(4)(4+4)×4÷4=8
(5)(4+4)+4÷4=9
(6)(44-4)÷4=10
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说明:(1),(2),(6)中的解题思路是一种倒推的方法,这是一种常用的,行之有效
的方法同学
们加以掌握。(4),(5)中解题思路是依据数字的特点,这种方法,依赖于良好
的数感,需要大家经
过一段时间的训练才能获得。
例4
不用(),且运算符号不超过三次,添在适当位置,使下面的算式成立。
9 9 9 9 9
9 9 9 9=1000
分析:不使用(),运算顺序只能从左往右,先×、÷后+、-;
运算符号不超过三次,
就会得到一些多位数。首先选一个多位数尽可能接近1000,可选999,10
00-999=1,后面6
个 9要得到“1”,就很简单了999÷999,问题可求解;还可以用另
一种方法接近1000,9999
÷9=1111,1111-1000=111,后面9999想办法
等于111,999÷9=111,问题也可解出。
解:999+999÷999=1000
9999÷9-999÷9=1000
说明:先靠近所求数,再进行适当调
整,这是一种非常行之有效的方法,在数字比较多时
常常用到。当然此题还有其它方法,同学们
可以用上面的思路再试一试。
例5 填入适当运算符号,使下式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1=1000
分析:此题中9~1九个
数字各不相同,位置固定,初看与前面的例题有很大不同,但是经
仔细读题,认真分析,我们可以发现,
做此题时,+、-、×、÷()均可使用,运算符号用
多少次没有限制,数字可以连用,也可以分开,条
件很宽松。由于1000数比较大,我们也采用
例4中靠近结果,再凑较小数的方法解决。可以用987
+6=993,再用5 4 3 2
1凑成7即可,
这个方法就很多了。还可以取前边987和后边的21相加得1008,中间的6 5
4 3 凑成8就行
了。
解:987+6+5-4+3×2×1=1000
987+6+5+4-3+2-1=1000
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987+6+(5-4)×(3×2+1)=1000
987+6+5+(4-3)×2×1=1000
987-(6-5+4+3)+21=1000
说明:此题还有许多解决,但不论哪种方法,
都遵循先靠近结果,再凑较少数的原则,大
家可以再想想,你还能想到什么方法?
例6 在下列算式中合适的地方,填上括号,使算式成立。
(1)4+5×6+8÷4-2=30
(2)4+5×6+8÷4-2=39
(3)4+5×6+8÷4-2=21
(4)4+5×6+8÷4-2=140
分析:(1)从最后一步逆推,减2前面的式子得32,还从后面入手,这就需要4+5×6
+8,填上
适当的括号得128,尝试发现括号的填法有两种(4+5)×6+8,4+5×(6+8),
分别得1
28,74,因此括号的填法为[(4+5)×6+8] ÷4-2=30
(2)从最后一步
逆推,减号前面的式子要得41,还从后面入手要求4+5×6+8=41×4
这是无法实现的。从前面
入手考虑,就应设法使5×6+8÷4-2=35,还从前面想这就需要6
+8÷4-2=7,可从这样
实现(6+8)÷(4-2)。因此括号的填法为4+5×(6+8)÷(4
-2)=39
(3)从后面减2前面的式子得23才能有解,可4+5×6+8÷4无论如何填加括号,都不
可能现实
。把4-2放在一个括号里等于2,i除号前面的式子就要得42,通过观察容易发现,
4+5×6+8
按顺序计算就可得42,所以此题括号的填法是(4+5×6+8)÷(4-2)=21
(4
)140比较大,应充分发挥“×”的作用,使“×”左右两侧的因数尽可能大,即(4
×5)×(6+
8)=280,再缩小2倍,就是所求结果,正好“÷”后面4-2=2,所以此题括
号的填法是(4×
5)×(6+8)÷(4-2)=140
解:
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(1)[(4+5)×6+8]÷4-2=30
(2)4+5×(6+8)÷(4-2)=39
(3)(4+5×6+8)÷(4-2)=21
(4)(4×5)×(6+8)÷(4-2)=140
说明:填括号时既可以用“()”,也
可以根据需要用“[]”,从一端想起经过尝试,淘
汰,最终可以找到解题方法。
阅读材料
数学符号的起源
数学除了记数以外,还需要一套数学符
号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的
发明和使用比数字晚,但数量多得多。现在常用的20
0多个,初中数学书里就不下20多种。他
们都有一段有趣的经历。例如:(1)加号曾经有好几种,现
在通用“+”号。“+”号是由拉丁
文“et”(“和”的意思)演变而来的。也有人说,卖酒的商人用
“-”表示酒桶里的酒卖了多
少。以后,当把新酒灌入大桶的时候,就在“-”上加一竖,意思是把原线
条勾销。这样就成了
个“+”号。到了十五世纪,德国数学家魏德美正式确定:“+”用作加号,“-”
号用作减号。
(2)乘号曾经用过十几种,现在通用两种。一个是“×”,最早是英国数学家奥屈特16
31年
提出的;一个是“•”,最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认
为:
“×”向拉丁字母“X”,加以反对,而赞成用“• ”号。到了十八世纪,美国数学
家欧
德莱确定,把“×”作为乘号,他认为“×”是“+”斜起来写,是另一种表示增加的符号。(3)
“÷”最初作为减号,在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“:”表示除或
比,另外有人用“-”(除线)表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里,才根
据群众创
造,正式将“÷”作为除号。(4)十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的
差别。可是英国牛
津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得:用两条平行而又相等的直线来表示
两数量相等是最合适不过的了
,于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来。1591年,法国
数学家韦达大量使用这个符号,
才逐渐为人们接受。
练习题
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1.在“24”点游戏中提出了下面几组牌,你能很快求出“24”吗?
(1)1,3,5,7 (2)2,5,7,9
(3)1,3,9,10
(4)10,4,10,4
(5)K,Q,J,J (6)Q,10,Q,1
分析:(4)10×10=100是4的25倍,100-4=96,正好是4的24倍,所以
可以这样做
(10×10-4)÷4=24
(5)K,Q,J,J即13,12,11,11,依据25-1=24可得13+12-11÷11=24
(6)Q,10,Q,1即12,10,12,1,依据12×2=24可得12×(12-10)×1=24
解:
(1)(5+7)×(3-1)=24
(2)5×7-9-2=24
(3)(1+10)×3-9=24
(4)(10×10-4)÷4=24
(5)13+12-11÷11=24
(6)12×(12-10)×1=24
2.在“24”点游戏中,抽出了下面两组牌,你能求出“24”吗?
(1)3,3,7,7
(2)1,5,5,5
分析:(1)用常用的方法无论怎么求都不能得出“24”,是否就没
有办法了呢?当然不是,
用乘法分配律的方法就可以求解
(3+3÷7)×7
=3×7+3÷7×7
=24
(2)用同样的方法求解
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(5-1÷5)×5
=5×5-1÷5×5
=24
解:(1)(3+3÷7)×7=24
(2)(5-1÷5)×5=24
说明:熟练地掌握运算定律可以把题目化难为易,这里安排这两个题是为了开阔同学们的
眼界,拓宽同学
们的思路。
3.抽的四张牌恰好是“1~9”中从大到小连续排列的四张,这样的牌能算出“24”吗?
分析:符合要求的组合有六组:即9,8,7,6;8,7,6,5;6,5,4;6,5,4,3;5,
4,3,2;4,3,2,1不难发现它们均可求出24点。
解:
(1)依据4×6=24得8÷(9-7)×6=24
(2)依据2×12=24得(7+5)×(8-6)=24
(3)依据2×12=24得(5+7)×(6-4)=24
(4)依据4×6=24得2×(3+4+5)=24
(5)依据4×6=24得1×2×3×4=24
说明:这个例子告诉我们不论从大到小,还
是从小到大,连续取“1~9”中任意四个数均可
凑成“24”。
4.添上适当的运算符号,使算式成立。
(1)6 6 6 6=1 (2)6 6 6
6=2
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(3)6 6
6 6=3 (4)6 6 6 6=4
(5)6 6 6 6=5 (6)6 6 6
6=6
分析:(1)根据A÷A=1,可得许多种解,如(6+6)÷(6+6)=1或(6
×6)÷(6
×6)=1„„
(2)根据1+1=2,可得6÷6+6÷6=2
(3)根据18÷6=3,可得(6+6+6)÷6=3
(4)根据6-2=4,可得6-[(6+6)÷6]=4
(5)根据30÷6=5,可得(6×6-6)=5
(6)根据0+6=6,可得6×(6-6)+6=6或(6-6)×6+6=0„„
解:
(1)(6+6)÷(6+6)=1 (2)(6÷6)+(6÷6)=2
(3)(6+6+6)÷6=3 (4)6-[(6+6)÷6]=4
(5)(6×6-6)÷6=5 (6)(6-6)×6+6=0
5.用7个7组成4个数,并使运算结果为100
7,7,7,7,7,7,7=100
分析:首先要使一部分接近100,777÷7=111,111-100=11,后面的77
7凑成11就可
以了77÷7=11,所以可以这样解:
777÷7-77÷7=100
6.在9个9之间填适当的运算符号,使下面算式成立。
9 9 9 9 9 9 9 9 9=2008
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分析:先要想办法使一部
分靠近“2000”,999+999=1998,2008-1998=10,后面的三
个9凑成10
即可。
解:999+999+9÷9+9=2008
说明:前六个数也可
以用其他方法求得1998,如999×[(9+9)÷9]=1998这种题目往
往不只一种解法。
7.填上适当的运算符号,使算式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2
1=2007
分析:结果较大,先用一部分凑出与2007相接近的数,即654×3=19
62而2007-1962=
45,现在我们要办法使9,8,7,2,1凑成45,而45-21=2
4,9+8+7=24。
解:9+8+7+654×3+21=2007
8.在11~15之间,选择恰当位置,填上适合的运算符号,使算式结果为100。
11
12 13 14 15=100
分析:原题的意思是使下式成立:
1
1 1 2 13 14 15 =100
取121靠近100,11+121-31=10
1,415凑成“1”即可有解,(4+1)÷5=1。还可以
取111靠近100,111-21=9
0,3 1 4 1 5
凑成10即可有解,3-1+4-1+5=10此题还有
许多方法,请同学们自己试一试。
解:11+121-31-(4+1)÷5=100或111-21+3-1+4-1 +5=100
9.现有的牌为1~10,请从中选牌,每张牌只用一次,使下列“24”点游戏成立。
(1)□+□×6+11=24
(2)(□+5)×2+□=24
(3)(□×10-□)÷4+11=24
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(4)□×3-□÷2=24
(5)□×5-4÷4=24
(6)13+□×3-10=24
分析:观察这六个算式,我们发现(5),(6)很好确定
所选牌是5和7。再观察余下的
四个算式,(4)□×3-□÷2=24,□×3>24,□可取9,1
0,取10时,□÷2的方块在1~1
0中无值可取,所以□×3只能取9,另一个□中可以取6。
再来观察(3)(□×10-□)÷4=24 24×4=96,所以□×10-□=96,
□×10≥100,
1~10中,只能取10,另一个方□中就只能取4。
接下来看
(1)□+□×6+11=24,24-11=13,□+□×6=13,□×6<13的方格中可取1
和2;取1时有7+1×6=13,7在(6)中已经用过,所以□×6的方格中只能取2,另一个□
中
取1。
最后观察(2)式,现在只剩下3、8,(□+5)×2为偶数,24为偶数,所以第
二个□只
能取8,第一个方面中取3。
解:
(1)
×6+11=24 (2)( +5)×2+ =24
(3)( ×10-
)÷4=24 (4) ×3- ÷2=24
(5) ×5-4÷4=24
(6)13+□×3-10=24
10.在适当的位置中,填上括号,使下列算式成立。
(1)9+60÷3+2×4-1=30
(2)9+60÷3+2×4-1=56
(3)9+60÷3+2×4-1=15
(4)9+60÷3+2×4-1=45
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分析:(1)题中只有÷3,-1两处可以使数值变小,特别值得注意的是“-”后面只有1,
所以要想办法使算式中数靠近30,又要小于30,(9+60)÷3=23,再使后面得7即可,2×
4
-1正好得7。
(2)56是个较大的数,我们还要先靠近56,再凑小数,在中
间的÷、×之间想办法,60
÷(3+2)×4=48,再加8就得结果了,9-1=8。
(3)从前端想15-9=6,想办法使后面部分得6,60÷10=6,3+2×4-1正好得10。
(4)从前端想45-9=36,36=12×3=9×4,60÷(3+2)=12,4-1=3,可求解。
解:(1)(9+60)÷3+2×4-1=30
(2)9+60÷(3+2)×4-1=56
(3)9+60÷(3+2×4-1)=15
(4)9+60÷(3+2)×(4-1)=45