奥数试题教学内容

温柔似野鬼°
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2020年08月05日 07:30
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安东尼罗宾-乡镇卫生院工作总结



数 图 形A

专题简析:
小朋友,你想学会数图 形的方法吗?要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形……
那就必须要有次序、有条理地数,从中发 现规律,以便得到正确的结果。要正确数出图形的
个数,关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包 含的基本图形是什么,有多少个,然
后再数出由基本图形组成的新的图形,并求出它们的和。

例题1 数出下面图中有多少条线段?
ABC

思路导航:我们可以采用以线段左端点分数数的方法。
以A点为左端点的线段有:AB、AC、AD共3条;
以B点为左端点的线段有:BC、BD共2条;
以C点为左端点的线段有:CD共1条。
所以,图中共有线段3+2+1=6条。
我们还可以这样想:把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数,那么:
由1条基本线段构成的线段:AB、BC、CD共3条;
由2条基本线段构成的线段:AC、BD共2条;
由3条基本线段构成的线段:AD只1条。
所以,图中共有3+2+1=6条线段。

例题2 数出下图中有几个角。
D
A
B
C

思路导航:数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
以AO为一边的角有:∠AOB、∠AOC、∠AOD三个;
以BO为一边的角有:∠BOC、∠BOD两个;
以CO为一边的角有:∠COD一个。
所以图中共有3+2+1=6个角。
小朋友,如果把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看作基本角,那应该怎样数呢?动动脑筋。

例题3 数出下面图中共有多少个三角形。
O
D


A
B

CDE

思路导航:数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。
以AB为边的三角形有:△ABC、△ABD、△ABE三个;
以AC为边的三角形有:△ACD、△ACE二个;
以AD为边的三角形有:△ADE一个。
所以图中共有三角形3+2+1=6个。
我们还发现,要数出图中三角形的个数,只需数出△ ABE的底边中包含几条线段就可
以了,即3+2+1=6条。所以图中共有6个三角形。

例题4 数出下图中有多少个长方形。
A
C
B
D

思路导航:数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样,长方形是由长宽两对线
段围成,线 段CD上有3+2+1=6条线段,其中每一条与AC中一条线段对应,分别作为长方
形的长和宽,这里 共有6×1=6个长方形;而AC上共2+1=3条线段也就有6×3=18个长方
形。它的计算公式为 :
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数

例题5 有10个小朋友,每2个人照一张合影,一共要照多少张照片?
思路导航:这道题可以用数线段的方法来解答。
根据题意,画出线段图,每一个点代表一个小朋友:
1
2
34
56
78

从图上可以看出,第1个小朋 友要与其余9个小朋友合影,要照9张照片;第2个小
朋友还要与其余8个小朋友合影,再照8张照片… …以此类推,第9个小朋友只要再与1
个小朋友合影,再照1张照片。所以,一共要照9+8+7+6+ 5+4+3+2+1=45张照片。




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数数图形B

专题简析: < br>在解决数图形问题时,首先要认真分析图形的组成规律,根据图形特点选择适当的方法,
既可以逐 个计数,也可以把图形分成若干个部分,先对每部分按照各自构成的规律数出图形
的个数,再把他们的个 数合起来。
例1:数一数下图中有多少个长方形?
A
D
B
C

分析与解答:图中的AB边上有线 段1+2+3=6条,把AB边上的每一条线段作为长,AD边上
的每一条线段作为宽,每一个长配一个 宽,就组成一个长方形,所以,图中共有6×3=18
个长方形。
数长方形可以用下面的公式:
长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数

例2:数一数,下图中有多少个正方形?(每个小方格是边长为1的正方形)

分析与解答:图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个,边长为2个长度单位的正方
形 有2×2=4个,边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为:
1+4+9 =14个。
经进一步分析可以发现,由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含
的正方形总数为:1×1+2×2+…+n×n。
例3:数一数下图中有多少个正方形?(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的
正方形)

分析与解答:边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个,边长是2个长度单位的正方形有
2 ×1=2个。所以,图中正方形的总数为:6+2=8个。


经进一步分析可以发现,一 般情况下,如果一个长方形的长被分成m等份,宽被分成
n等份(长和宽的每一份都是相等的)那么正方 形的总数为:mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n
-2)+…+(m-n+1)n

例4:从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站,铁路局要为这次快车准备多少种不同
车的 车票?这些车票中有多少种不同的票价?
分析与解答:这道题是数线段的方法在实际生活中的应用,连 同广州、北京在内,这条铁路
上共有10个站,共有1+2+3+…+9=45条线段,因此要准备45 种不同的车票。由于这些车站
之间的距离各不相等,因此,有多少种不同的车票,就有多少种不同的票价 ,所以共有45
种不同的票价。

例5:求下列图中线段长度的总和。(单位:厘米)
1
AB
4
C
2
D
3
E

分析与解答:要求图中的线段长度总和,可以这样计算:
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+(1+4)+(1+4+2 )+(1+4+2+3)+4+(4+2)+(4+2+3)+2+(2+3)=352厘米
从上面的 计算中可以发现这样一个规律,算式中长1厘米的基本线段(我们把不能再
划分的线段称为基本线段)出 现了4次,长4厘米的线段出现了(3×2)次,长2厘米的线
段出现了(2×3)次,长3厘米的线段 出现了(1×4)次,所以,各线段长度的总和还可以
这样算:1×4+4×(3×2)+2×(2×3 )+3×(1×4)
=1×(5-1)+4×(5-2)×2+2×(5-3)×3+3×(5-4)×4=52厘米 上式中的5是线段上的5个点,如果设线段上的点数为n,基本线段分别为a
1
、a
2
、…
a
(n-1)
。以上各线段长度的总和为L,那么L= a
1
×(n-1)×1+ a
2
×(n-2)×2+ a
3
×(n-3)
×3+…+ a
(n-1)
×1×(n-1)。


分类数图形

专题简析:
我们在数数的时候,遵循 不重复、不遗漏的原则,不能使数出的结果准确。但是在数
图形的个数的时候,往往就不容易了。分类数 图形的方法能够帮助我们找到图形的规律,从
而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。
例题1 下面图形中有多少个正方形?

分析:图中的正方形的个数可以分类数, 如由一个小正方形组成的有6×3=18个,2


×2的正方形有5×2=10个,3×3 的正方形有4×1=4个。因此图中共有18+10+4=32个正
方形。
例题2 下图中共有多少个三角形?

分析 为了保证不漏数又不重复,我们可以分类来数三角形,然后再把数出的各类三
角形的个数相加。
(1)图中共有6个小三角形;
(2)由两个小三角形组合的三角形有3个;
(3)由三个小三角形组合的三角形有4个;
(4)由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6+3+4+1=14个三角形。
例题3 数出下图中所有三角形的个数。

分析 和三角形AFG一样形状的三角形有5个;和三角形ABF一样形状的三角形有10
个;和三角形ABG一样形状的三角形有5个;和三角形ABE一样形的三角形有5个;和三角
形AMD一样形状的三角形有5个,共35个三角形。

例题4 如下图,平面上有12个点,可任意取其中四个点围成一个正方形,这样的正
方形有多少个?

分析 把相邻的两点连接起来可以得到下面图形,从图中可以看出:



(1)最小的正方形有6个;
(2)由4个小正方形组合而成的正方形有2个;
(3)中间还可围成2个正方形。
所以共有6+2+2=10个。
例题5 数一数,下图中共有多少个三角形?

分析 我们可以分类来数:
1,单一的小三角形有16个;
2,两个小三角形组合的有10个;
3,四个小三角形组合的有8个;
4,八个小三角形组合的有2个。
所以,图中一共有16+10+8+2=36个三角形。











错中求解A

专题简析:
在进行加、减、乘、除运算时, 要认真审题,不能抄错题目,不能漏掉数字。计算时
要仔细小心,不能丝毫马虎,否则就会造成错误。
解答这类题,往往要采用倒推的方法,从错误的结果入手分析错误的原因,最后利用
和差的变化 求出加数或被减数、减数,利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。
例题1 小马虎在做一道加 法题时,把一个加数十位的5错看成2,另一个加数个位
上的4错看成1,结果计算的和为241。正确 的和是多少?
分析:把一个加数十位上的5看成2,少了3个10,这样和就减少了30;把另一个加
数个位上的4看作1,少了3个1,这样和就少了3。小马虎算出的和比原来的和少了30+
3 =33,所以正确的和是241+33=274。
例题2 小马虎在做一道减法时,把减数十位上的2看作了5,结果得到的差是342,
正确的差是多少? 分析:十位上的2表示2个十,十位上的5表示5个十,把十位上的2看作5,就是
把20看作50 ,减数从20变为50,增加了30,所得的差减少了30,应在342中增加30,
才是正确的差。
340+30=372
例题3 小马虎在计算一道题目时,把某数乘3加20,误看成某数 除以3减20,得数
是72。某数是多少?正确的得数是多少?
分析:小马虎计算得到72, 是先除再减得到的,我们可以根据逆运算的顺序把72先
加后乘,求出某数为(72+20)×3=27 6,然后再按题目要求,按运算顺序求出正确的数276
×3+20=848。
例题4 小 马虎在做两位数乘两位数的题时,把乘数的个位上的5看作2,乘得的结
果是550,实际应为625。 这两个两位数各是多少?
分析:我们可以用竖式来帮助分析:
×
5
624
×
2
5
5
0

乘数个位上的5看作2,结果比原来少了5-2=3个被乘数,实际的结果与错误的结果
相差625- 550=75;75正好是被乘数的3倍,被乘数是75÷3=25,乘数是625÷25=25。
例题5 小林在计算有余数除法时,把被除数137当作173,结果商比正确结果大了4,
但余数恰好相同。正确的除法算式应是什么?
分析:把被除数137当作173,被除数就多了173 -137=36,因此商比正确结果大4,
但余数相同,说明除数的4倍就是36。所以除数为36÷4 =9,正确的除法算式为137÷
9=15……2。




错中求解B
专题简析:
在加、减、乘、除式的计算中,如果粗心大 意将算式中的一些运算数或符号抄错,就
会导致计算结果发生错误。这一周,我们就来讨论怎样利用错误 的答案求出正确的结论。

例1:小玲在计算除法时,把除数65写成56,结果得到的商是 13,还余52。正确的商是多
少?
分析与解答:要求出正确的商,必须先求出被除数是多少 。我们可以先抓住错误的得数,求
出被除数:13×56+52=780。所以,正确的商是:780÷ 65=12。

例2:小芳在计算除法时,把除数32错写成320,结果得到商是48。正确的商应该是多少? 分析与解答:根据题意,把除数32改成320扩大到原来的10倍,又因为被除数不变,根据
商的 变化规律,正确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是48×10=480。

例 3:小冬在计算有余数的除法时,把被除数137错写成173,这样商比原来多了3,而余
数正好相同 。正确的商和余数是多少?
分析与解答:因为被除数137被错写成了173,被除数比原来多了17 3-137=36,又因为商
比原来多了3,而且余数相同,所以除数是36÷3=12。又由137÷ 12=11……5,所以余数是
5。

例4:小龙在做两位数乘两位数的题时,把一 个因数的个位数字4错当作1,乘得的结果是
525,实际应为600。这两个两位数各是多少? 分析与解答:一个因数的个位4错当作1,所得的结果比原来少了(4-1)个另一个因数;
实际的 结果与错误的结果相差600-525=75,75÷3=25,600÷25=24。所以一个因数是24,< br>另一个因数是25。

例5:方方和圆圆做一道乘法式题,方方误将一个因数增加14 ,计算的积增加了84,圆圆
误将另一个因数增加14,积增加了168。那么,正确的积应是多少?
分析与解答:由“方方将一个因数增加14,计算结果增加了84”可知另一个因数是84÷14=6;
又由“圆圆误将另一个因数增加14,积增加了168”可知,这个因数是168÷14=12。所以< br>正确的积应是12×6=72。


长方体和正方体A

专题简析
在长方体、正方体问题中,我们还会常常遇到这样一些情况:把一个物体变形为另一
种形状的物体;把两个物体熔化后铸成一个物体;把一个物体浸入水中,物体在水中会占领
一部 分的体积。
解答上述问题,必须掌握这样几点:
1,将一个物体变形为另一种形状的物体(不计损耗),体积不变;


2,两个物体熔化成一个物体后,新物体的体积是原来物体体积的和;
3,物体浸入水中,排开的水的体积等于物体的体积。

例题1 有两个无盖的长 方体水箱,甲水箱里有水,乙水箱空着。从里面量,甲水箱
长40厘米,宽32厘米,水面高20厘米; 乙水箱长30厘米,宽24厘米,深25厘米。将甲
水箱中部分水倒入乙水箱,使两箱水面高度一样,现 在水面高多少厘米?
分析 由于后来两个水箱里的水面的高度一样,我们可以这样思考:把两个水箱 并靠
在一起,水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)×水面的高度。这样,我们只要
先求出原来甲水箱中的体积:40×32×20=25600(立方厘米),再除以两只水箱的底面积和:
40×32+30×24=2000(平方厘米),就能得到后来水面的高度。

例2 将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体
熔成一个大正方体(不 计损耗),求这个大正方体的体积。
分析 因为正方体的六个面都相等,而54=6×9=6×(3 ×3),所以这个正方体的棱是
3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长:96=6×(4×4) ,棱长是4厘米;150=6×
(5×5),棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积,这 个大正方体的体积就
等于它们的体积和。

例题3 有一个长方体容器,从里面量 长5分米、宽4分米、高6分米,里面注有水,
水深3分米。如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水 中,水面上升多少分米?
分析 铁块的体积是2×2×2=8(立方分米),把它浸入水中后,它就 占了8立方分米
的空间,因此,水上升的体积也就是8立方分米,用这个体积除以底面积(5×4)就能 得到
水上升的高度了。

例题4 有一个长方体容器(如下图),长30厘米、宽 20厘米、高10厘米,里面的
水深6厘米。如果把这个容器盖紧,再朝左竖起来,里面的水深应该是多 少厘米?

分析 首先求出水的体积:30×20×6=3600(立方厘米)。当容器竖 起来以后,水流
动了,但体积没有变,这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方 体。只要
用体积除以底面积就知道现在水的深度了。

例题5 长方体不同的三个 面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。
这个长方体的体积是多少立方厘米?
分析 长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高得来的。因此,15
×10 ×6=(长×宽×高)×(长×宽×高),而15×10×6=900=30×30。所以,这个长方体
的体积是30立方厘米。



长方体和正方体B

专题简析
在数学竞赛中,有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注
意几点:
1,必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;
2,依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;
3,求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。

例题1 一个零件形状大小如下图:算一算,它的体积是多少立方厘米?表面积是多
少平方厘米?(单位:厘米)

分析 (1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是10×4< br>×2=80(立方厘米),右边的长方体的体积是10×(6-2)×2=80(立方厘米),整个零件< br>的体积是80×2=160(立方厘米);
(2)求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实 ,朝上的两个面的面积和正好与
朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的 面积相等。因此,
此零件的表面积就是(10×6+10×4+2×2)×2=232(平方厘米)。
想一想:你还能用别的方法来计算它的体积吗?
例题2 有一个长方体形状的零件,中间挖 去一个正方体的孔(如图),你能算出它的
体积和表面积吗?(单位:厘米)

分析 (1)先求出长方体的体积,8×5×6=240(立方厘米),由于挖去了一个孔,
所以体积减少了2 ×2×2=8(立方厘米),这个零件的体积是240-8=232(立方厘米);
(2)长方体完整 的表面积是(8×5+8×6+6×5)×2=236(平方厘米),但由于挖


去了一个 孔,它的表面积减少了一个(2×2)平方厘米的面,同时又增加了凹进去的5个(2
×2)平方厘米的 面,因此,这个零件的表面积是236+2×2×4=252(平方厘米)。
例题3 一个正方体和 一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比
原来的长方体的表面积增加了50平方厘米 。原正方体的表面积是多少平方厘米?

分析 一个正方体和一个长方体拼成新的长方体, 其表面积比原来的长方体增加了4
块正方形的面积,每块正方形的面积是50÷4=12.5(平方厘米 )。正方体有6个这样的面,
所以,原来正方体的表面积是12.5×6=75(平方厘米)。

例题4 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘< br>米,求大长方体的表面积。

分析 要求大长方体的表面积,必须知道它的长、宽和 高。我们用a、b、h分别表示
小长方体的长、宽、高,显然,a=4h,即h=14a,2a=3b即 b=23a,砖的体积是
33
a*23a*14a=16a。由16a=288可知,a=12 ,b=23*12=8,h=14*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米,宽12厘米,高是8+3=11厘米,表面积就不难求了。

例题5 一个长方体,前面和上面的面积之和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、< br>高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少?
分析 长方体的前面和 上面的面积是长×宽+长×高=长×(宽+高),由于此长方体
的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数 ,所以有209=11×19=11×(17+2),即长、宽、
高分别为11、17、2厘米。知道了 长、宽、高求体积和表面积就容易了。






长方体和正方体C

专题简析:
解答有关长方体和正方体 的拼、切问题,除了要切实掌握长方体、正方体的特征,熟
悉计算方法,仔细分析每一步操作后表面几何 体积的等比情况外,还必须知道:把一个长方
体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分,新增加的 表面积等于切面面积的两倍。

例题1 一个棱长为6厘米的正方体木块,如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干
块,表面积增加多少厘米?
分析 把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体,可以按下图中的线共锯
6次,每 锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面,锯6次共增加36×2×6=432平方厘米
的面积。因 此,锯好后表面积增加432平方厘米。

例题2 有一个正方体木块,把它分成两个长方 体后,表面积增加了24平方厘米,这
个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米?
分析 把正方体分成两个长方体后,增加了两个面,每个面的面积是24÷2=12平方
厘米,而正方体有6个 这样的面。所以原正方体的表面积是12×6=72平方厘米。

例题3 有一个正方体, 棱长是3分米。如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方
体,这些小正方体的表面积的和是多少?

想一想:在切的过程中,每切一切,就会增加两个3×3平方分米的面,你能用这种
思路来计算所求问题吗?

例题4 一个正方体的表面涂满了红色,然后如下图切开,切开的小正方体中:
(1)三个面涂有红色的有几个?
(2)二个面涂有红色的有几个?
(3)一个面涂有红色的有几个?
(4)六个面都没有涂色的有几个?



分析 按题中的要求切,切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
(1)三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处,共有8个;
(2)二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上,共有1×12=12个;
(3)一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上,共有1×6=6个;
(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间,有27-(8+12+6)=1个。
例题5 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米,若把它切割成三
个体积相等的小长方体,这三 个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米?
分析 这个长方体原来的表面积是(6×5+6×4+ 5×4)×2=148平方厘米,每切割
一刀,增加2个面。切成三个体积相等的小长方体要切2刀,一 共增加2×2=4个面。要求
表面积和最大,应该增加4个6×5=30平方厘米的面。所以,三个小长 方体表面积和最大是
148+6×5×4=268平方厘米。


























图形问题A
专题简析:
解答有关“图形面积”问题时,应注意以下几点:
1,细心观察,把握图形特点,合理地进行切拼,从而使问题得以顺利地解决;
2,从整体上 观察图形特征,掌握图形本质,结合必要的分析推理和计算,使隐蔽的数
量关系明朗化。
< br>例1:人民路小学操场长90米,宽45米。改造后,长增加10米,宽增加5米。现在
操场面积 比原来增加了多少平方米?
分析与解答:用操场现在的面积减去操场原来的面积,就得到增加的面积。 操场现在的面积
是(90+10)×(45+5)=5000平方米,操场原来的面积是90×45=4 050平方米。所以,现
在的面积比原来增加5000-4050=950平方米。

例2:一个长方形,如果宽不变,长增加6米,那么它的面积增加54平方米;如果长不变,
宽减少3 米,那么它的面积减少36平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米?
分析与解答:由“宽不变, 长增加6米,面积增加54平方米”可知,它的宽为54÷6=9米;
由“长不变,宽减少3米,面积减 少36平方米”可知,它的长为36÷3=12米。所以,这个
长方形原来的面积是12×9=108平 方米。

例3:下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求它的占地面
积。

4米

分析与解答:根据题意,因为一面利用着墙,所以两条长加 一条宽等于16米。而宽是4米,
那么长是(16-4)÷2=6米,占地面积是6×4=24平方米。 例4:街心花园中一个正方形的
花坛四周有1米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是12平方米,中间花 坛的面积是多少平
方米?
分析与解答:把水泥路分成四个同样大小的长方形(如下图)。因此 ,一个长方形的面积是
12÷4=3平方米。因为水泥路宽1米,所以小长方形的长是3÷1=3米。从 图中可以看出正
方形花坛的边长是小长方形长与宽的差,所以小正方形的边长是3-1=2米。中间花坛 的面
积是2×2=4平方米。


例5:一块正方形的钢板,先截去宽5分米的长方形,又截去宽8分米的长方形(如图) ,
面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方形的边长是多少?

分 析与解答:把阴影部分剪下来,并把剪下的两个小长方形拼起来(如图),再被上长、宽
分别是8分米、 5分米的小长方形,这个拼合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米,
长是原来正方形的 边长,宽是8+5=13分米。所以,原来正方形的边长是221÷13=17分米。



























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