说课的基本步骤-后羿射日读后感

典型应用题--行程问题
1
比较复杂的行程问题
多人行程例题
多人行程这类问题主要涉及的人数为3人，主要考察的问题就是求前两个人相遇或追及的时刻，< br>第三个人的位置，解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。
例1.甲 乙丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12公里，比丙快15公里，甲行
3.5小时到达 西村后立刻返回。在距西村30公里处和乙相聚，问：丙行了多长时间和甲相遇？








例2.甲、乙、丙三辆车同时从A地 出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和
48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他 们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相
遇。求丙车的速度。









例3、李华步行以每 小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，
营地老师闻讯前来迎接， 每小时比李华多走1.2千米，又经过了1.5小时，张明从学校骑车去营地
报到。结果3人同时在途中 某地相遇。问：张明每小时行驶多少千米？










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典型应用题--行程问题
2
例4：有甲、乙、丙三人同时同地出发 ，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙
相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38 米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟
和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？











例5、AB两地相距30千米，甲乙丙三人同时从A到B，而且要求同时到达 。现在有两辆自行车，
但不许带人，但可以将自行车放在中途某处，后来的人可以接着骑。已知骑自行车 的平均速度为每
小时20千米，甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙每小时4千米，那么三人需要多少 小时可以同
时到达？












例6、有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个 花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙
相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每 分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟
和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？












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典型应用题--行程问题
3
二次相遇行程问题
答题思路点拨：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇， 相遇后甲继续走到B
地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。一般知道AC和AD的距离 ，主要抓住第二次
相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
例1.甲乙两车同时 从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后
立即返回，在距A地42千 米处相遇。请问A、B两地相距多少千米？
A.120 B.100 C.90 D.80





例2. 两汽车同时从A、B两地相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原
速沿原路返回， 在离A城44千米处相遇。两城市相距（ ）千米
A.200 B.150 C.120 D.100






环形问题：
例3.在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后 两人相遇，再过6
分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要（ ）？
A．24分钟 B．26分钟 C．28分钟 D．30分钟





追及问题的要点及解题技巧
一、多人相遇追及问题的概念及公式
多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题 都是围绕追及距离＝速度差×追及时间这一条基本关系式展开的，由此还可以得
到如下两条关系式：
追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间
多人 相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题
即可迎刃而解 ．比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系
转化．
二、多次相遇追及问题的解题思路
所有行程问题都是围绕路程＝速度×时间这一条基本关系式展开 的，多人相遇与追及问题虽然
较复杂，但只要抓住这个公式，逐步分析题目中所涉及的数量，问题即可迎 刃而解．
多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键几个全程
多人相遇追及的解题关键路程差



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典型应用题-- 行程问题
4
复 杂 追 及 问 题
例1.一条街上，一个骑车人和一个步行人 相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10
分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟 有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发
站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公 交车？
A.10 B.8 C.6 D.4











例2.小明在商场的一楼要乘扶梯到二楼。扶梯方向向上，小芳则从二楼到一楼。已知小明的速度是小芳的2倍。小明用了2分钟到达二楼，小芳用了8分钟到达一楼。如果我们把一个箱子放在
一 楼的第一个阶梯上问多长时间可以到达二楼？














总结：在多个行程问题模型存在的时候。我们利用其速度差，速度和的关系将未知的变量抵消。
可以很轻 松的一步求得结果！



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典型应用题--行程问题
5
例1. 上午8点8分，小明骑自行车 从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4
千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家 后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离
家恰好是8千米。问这时是几点几分？









例2. A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往
返于A、B两地 之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：
当甲到达B地时 ，乙追上甲几次？



















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典型应用题--行程问题
6
环形跑道较复杂的行程问题
环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般 至少两人）多次相遇或追及的过程，解决
多人、多次相遇与追击问题的关键是：看我们是否能够准确的对 题目中所描述的每一个行程状态作出
正确合理的线段图进行分析。
例1. 甲 、乙两人同时从400米的环形路跑道的一点A背向出发，8分钟后两人第三次相遇。
已知甲每秒钟比乙 每秒钟多行0.1米，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是多少米？
A.166米 B.176米 C.224米 D.234米









练习：
甲、乙 两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比
乙多走0 .1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米？



















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典型应用题--行程问题
7
例2.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时
同地同 向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击
掌时，甲走 多长时间乙走多少路程？














例3.乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶。甲车每小时行驶
65千米 ，乙车每小时行驶55千米。一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，
则甲车立 刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看
作一次相遇)


















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典型应用题--行程问题
8
钟面行程问题的要点及解题技巧
一、什么是钟面行程问题？
钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针 关系的问题，常见的有两种：⑴研究时针、
分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成 一定角度；⑵研究有关时间误差的问题．
在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度 不同总是分针追赶时针，或是分针超越时
针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解．
二、钟面问题有哪几种类型？
第一类是追及问题（注意时针分针关系的时候往往有两种情况）；
第二类是相遇问题（时针分针永远不 会是相遇的关系，但是当时针分针与某一刻度夹角相等时，
可以求出路程和）；
第三种就是走不准问题，这一类问题中最关键的一点：找到表与现实时间的比例关系。
三、钟面问题有哪些关键问题？
①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
四、解答钟面问题有哪些基本方法？
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小 时走60分格，
即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针 每分钟转36060度，即6°，时针每分钟
转36012*60度，即12度。
奥数行程：钟面行程问题的例题一

例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？







例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？







例3：在8时多少分，时针与分针垂直？









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典型应用题--行程问题
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奥数行程：钟面行程问题的例题二

例1：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线？






例2：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？







例3：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？





奥数行程：走走停停的要点及解题技巧
一、行程问题里走走停停的题目应该怎么做
1.画出速度和路程的图。
2.要学会读图。
3.每一个加速减速、匀速要分清楚，这有利于你的解题思路。
4.要注意每一个行程之间的联系。
二、学好行程问题的要诀
行程问题可以说是难度最大的奥数专题。
类型多：行程 分类细，变化多，工程抓住工作效率和比例关系，而行程每个类型重点
不一，因此没有一个关键点可以抓
题目难：理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学，动态分析需要较高的理解能力、< br>逻辑分析和概括能力
跨度大：从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度，需要不断的复习巩固来加深理解、
夯实基础
那么想要学好行程问题，需要掌握哪些要诀呢？
要诀一：大部分题目有规律可依，要诀是学透基本公式
要诀二：无规律的题目有攻略，一画（画图法）二抓（比例法、方程法）
竞赛考试中的行程 题涉及到很多中数学方法和思想（比如：假设法、比例、方程）等的熟练
运用，而这些方法和思想，都是 小学奥数中最为经典并能考察孩子思维的专项。

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典型应用题--行程问题
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奥数行程：走走停停的例题及答案（一）
例题1：甲乙两人同时从一条800环形跑道同向行 驶，甲100米分，乙80米分，两人每跑
200米休息1分钟，甲需多久第一次追上乙？












例题2：在400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分别从A、B 两点同
时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒．那么 ，
甲追上乙需要多少秒？












例3.在 400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分别从A、B两点同时
出发，按逆时 针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒．那么，甲
追上乙需要多少秒 ？








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典型应用题--行程问题
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奥数行程：接送问题的例题及答案（一）
例1：如果A、B两地相距10 千米，一个班有学生45人，由A地去B地，现在有一辆马车，
车速是人步行的3倍，马车每次可以 乘 坐9人，在A地先将第一批学生送到B地，其余的学生同时
向B地前进；车到B地后立即返回，在途中与 步行的学生相遇后，再接9名学生前往B地，余下的
学生继续向B地前进...多次往返后，当全体学生 到达B地时，马车共行了多少千米？









例2：某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班.有一天，专家为了 早些到厂，比平时提前一小时
出发，步行去工厂，走了一段时间后遇到来接他的汽车，他上车后汽车立即 调头继续前进，进入工
厂大门时，他发现只比平时早到10分钟，问专家在路上步行了多长时间才遇到汽 车？(设人和汽车
都作匀速运动，他上车及调头时间不记)








例3：甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发 ，相向而行，甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相
遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千 米？甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，
甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离 中点48千米，两城之间的路程是多少千米？












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典型应用题--行程问题
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小学数学行程：接送问题的例题及答案（二）
例1：有两个班的小学生要到少年宫参加活 动，但只有一辆车接送。第一班的学生做车从学校出
发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让 第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学
生上车并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时4公里， 载学生时车速每小时40公里，空车是50
公里小时，学生步行速度是4公里小时，要使两个班的学生同 时到达少年宫，第一班的学生步行
了全程的几分之几？（学生上下车时间不计）
A.17； B.16； C.34； D.25；







例2：某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班.有一天，专家为了早些到厂， 比平时提前一小时
出发，步行去工厂，走了一段时间后遇到来接他的汽车，他上车后汽车立即调头继续前 进，进入工
厂大门时，他发现只比平时早到10分钟，问专家在路上步行了多长时间才遇到汽车？(设人 和汽车
都作匀速运动，他上车及调头时间不记)








例3：甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行 ，甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相
遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？甲乙两 辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，
甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离中点48千 米，两城之间的路程是多少千米？









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典型应用题 --行程问题
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小学数学行程：发车问题的要点及解题技巧
一、发车问题的基本解题思路
空间理解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。一旦掌握了3个 基本公式，一般问题都可以
迎刃而解。
在班车里。即柳卡问题。不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻
麻的交叉 线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说
不容易。
二、对“发车问题”的化归与优化
“发车”是一个有趣的数学问题。解决“发车问题 ”需要一定的策略和技巧。本文重点解决这样
两个问题：一是在探索过程中，如何揭示“发车问题”的实 质？二是在建模的过程中，如何选择最简
明、最严谨和最易于学生理解并接受的方法或情景？
为便于叙述，现将“发车问题”进行一般化处理：某人以匀速行走在一条公交车线路上，线路的
起点站和 终点站均每隔相等的时间发一次车。他发现从背后每隔a分钟驶过一辆公交车，而从迎面每
隔b分钟就有 一辆公交车驶来。问：公交车站每隔多少时间发一辆车？（假如公交车的速度不变，而
且中间站停车的时 间也忽略不计。）
1、把“发车问题”化归为“和差问题”
因为车站每隔相等的时 间发一次车，所以同向的、前后的两辆公交车间的距离相等。这个相等的
距离也是公交车在发车间隔时间 内行驶的路程。我们把这个相等的距离假设为“1”。
根据“同向追及”，我们知道：公交车与行 人a分钟所走的路程差是1，即公交车比行人每分钟
多走1a，1a就是公交车与行人的速度差。
根据“相向相遇”，我们知道：公交车与行人b分钟所走的路程和是1，即公交车与行人每分钟一共走1b，1b就是公交车和行人的速度和。
这样，我们把“发车问题”化归成了“和差问 题”。根据“和差问题”的解法：大数=（和+差）
÷2，小数=（和-差）÷2，可以很容易地求出公 交车的速度是（1a+1b）÷2。又因为公交车在这个
“间隔相等的时间”内行驶的路程是1，所以再 用“路程÷速度=时间”，我们可以求出问题的答案，
即公交车站发车的间隔时间是1÷【（1a+1b ）÷2】=2÷（1a+1b）。

2、把“发车问题”优化为“往返问题”

如果这个行人在起点站停留m分钟，恰好发现车站发n辆车，那么我们就可以求出车站发车的间隔时间是m÷n分钟。但是，如果行人在这段时间内做个“往返运动”也未尝不可，那么他的“往返”
决不会影响答案的准确性。

因为从起点站走到终点站，行人用的时间不一定被a和b 都整除，所以他见到的公交车辆数也不
一定是整数。故此，我们不让他从起点站走到终点站再返回。那么 让他走到哪再立即返回呢？或者说
让他走多长时间再立即返回呢？

取a和b的 公倍数（如果是具体的数据，最好取最小公倍数），我们这里取ab。假如刚刚有一辆
公交车在起点站发 出，我们让行人从起点站开始行走，先走ab分钟，然后马上返回；这时恰好是从
行人背后驶过第b辆车 。当行人再用ab分钟回到起点站时，恰好又是从迎面驶来第a辆车。也就是
说行人返回起点站时第（a +b）辆公交车正好从车站开出，即起点站2ab分钟开出了（a+b）辆公交车。
这样，就相当 于在2ab分钟的时间内，行人在起点站原地不动看见车站发出了（a+b）辆车。于
是我们求出车站发 车的间隔时间也是2ab÷（a+b）=2÷（1a+1b）。
这样的往返假设也许更符合“发车 问题”的情景，更简明、更严谨，也更易于学生理解和接受。
如果用具体的时间代入，则会更加形象，更 便于说明问题。


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典型应用题--行程问题
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小学数学行程：发车问题的例题（一）
例1：如果A、B两地相距10千米，一个班有学生4 5人，由A地去B地，现在有一辆马车，车
速是人步行的3倍，马车每次可以 乘坐9人，在A地先将第 一批学生送到B地，其余的学生同时向
B地前进；车到B地后立即返回，在途中与步行的学生相遇后，再 接9名学生前往B地，余下的学生
继续向B地前进...多次往返后，当全体学生到达B地时，马车共行了多少千米？




例2：某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班.有一天，专家为了 早些到厂，比平时提前一
小时出发，步行去工厂，走了一段时间后遇到来接他的汽车，他上车后汽车 立 即调头继续前进，进
入工厂大门时，他发现只比平时早到10分钟，问专家在路上步行了多长时间才遇到 汽车？(设人和
汽车都作匀速运动，他上车及调头时间不记)




例3.甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，甲车和乙车的速度比是5：4，到 两车相
遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？甲乙两辆汽车 分别从A.B两成出发，相 向而
行，甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？








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典型应用题--行程问题
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小学数学行程：发车问题的例题（二）
例1.有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有 一辆车接送。第一班的学生做车从学校出
发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生 下车步行，车立刻返回接第二班学
生上车并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时4公里，载学生时车 速每小时40公里，空车是50
公里小时，学生步行速度是4公里小时，要使两个班的学生同时到达少年 宫，第一班的学生步行
了全程的几分之几？（学生上下车时间不计）
A.17； B.16； C.34； D.25





例2.某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班.有一天，专家为了早些到厂，比平时提前一小时
出发，步行去工厂，走了一段时间后遇到来接他的汽车，他上车后汽车立即调头继续前进，进入工
厂大 门时，他发现只比平时早到10分钟，问专家在路上步行了多长时间才遇到汽车？(设人和汽车
都作匀速 运动，他上车及调头时间不记)









例3.甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，甲车和乙车的速度比是 5：4，到两车相
遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？甲乙两辆汽车分别从A.B两成 出发，相向而行，
甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多 少千米？












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典型应用题 --行程问题
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小学数学行程：猎狗追兔问题的要点及解题技巧
猎狗追兔 问题是行程问题中比较典型的一类题，该类问题除考察追及问题的基本公式外，还
要综合运用比例、份数 等手段解决。解题思想是将两种动物单位化为统一，然后用路程差除以速度差
得到追及时间，或者由速度 比得出路程比，再引入份数思想，进而解决问题。以下题为例：

【例1】一猎狗正在追 赶前方20米远兔子,已知狗一跳前进3米,而兔子一跳前进2.1米,但
狗跳3次的时间兔子可以跳4 次,问猎狗跑多少米能追上兔子?









我们再看下一道题：
【例2】猎狗前面26步远有 一只野兔,猎狗追之,兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离
等于狗跑4步的距离,问:兔跑多少步 后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少米?










小学数学行程：猎狗追兔问题的例题（一）
例1.猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑的兔子，立刻追赶，猎犬步子大.它跑5步的
路程，兔子 跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步，猎犬至少跑多少米才能追上
兔子？












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典型应用题--行程问题
17
例2.猎狗发现离它110米处有一只奔跑的兔子，马上紧追上去，猎狗跑5步的距 离兔子要
跑9步，猎狗跑2步的时间兔子要跑3步，问猎狗跑多远才能追上兔子？









猎狗追兔问题二：
例1.猎狗前面26步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只 跑5步，但兔跑9步的
距离仅等于狗跑4步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？








例2.猎犬发现在离它10米的前方 有一只奔跑的兔，马上追.猎犬的步子大，它跑5步等于兔跑
9步，兔子动作快，猎犬2步时它能跑3步 ，猎犬至少跑多少米才能追上兔子？







例3.猎人带狗去打猎。发现兔子跑出去70米时，猎狗立即去追兔子。猎狗跑2步的时间 兔子
跑3步，猎狗跑7步的距离兔子跑13步。那么猎狗跑多少米才能追上兔子？







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典型应用题--行程问题
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平均速度问题的例题
例1.（2007年4月“希望”全国数学邀请赛四年级2试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步
行3小时， 他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回．假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上
山每小时行3千米 ，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？











例2.张师傅开汽车 从A到B为平地（见下图），车速是36千米／时；从B到C为上山路，
车速是28千米／时；从C到D 为下山路，车速是42千米／时.已知下山路是上山路的2倍，从A到
D全程为72千米，张师傅开车从 A到D共需要多少时间？





















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典型应用题--行程问题
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10个经典又复杂的行程问题
1、甲、乙两人分别从相距 100 米的 A 、B 两地出发，相向而行，其中甲的速度是 2 米每秒，
乙的速度是 3 米每秒。一只狗从 A 地出发，先以 6 米每秒的速度奔向乙，碰到 乙后再掉头冲向甲，
碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇。问在此过程中狗一共跑了多 少米？






2、甲从 A 地前往 B 地，乙从 B 地前往 A 地，两人同时出发，各自匀速地前进，每个人到
达目的地后都立即以原速度返回。两人首次在距离 A 地 700 米处相遇，后来又在距离 B 地 400
米处相遇。求 A 、 B 两地间的距离。





3、甲、乙、丙三人百米赛跑，每次都是甲胜乙 10 米，乙胜丙 10 米。则甲胜丙多少米？





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典型应用题--行程问题
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4、 哥哥弟弟百米赛跑，哥哥赢了弟弟 1 米。第二次，哥哥在起跑线处退后 1 米与弟弟比赛，那
么谁会获胜？



5、船在静水中往返 A 、 B 两地和在流水中往返 A 、 B 两地相比，哪种情况下更快？




6、船在流水中逆水前进，途中一个救生圈不小心掉入水中， 一小时后船员才发现并调头追赶。则
追上救生圈所需的时间会大于一个小时，还是小于一个小时，还是等 于一个小时？




下面这个问题也很类似：假 设人在传送带上的实际行走速度等于人在平地上的行走速度加上一个
传送带的速度。
7、你需要从机场的一号航站楼走到二号航站楼。路途分为两段，一段是平地，一段是自动传送带。
假设 你的步行速度是一定的，因而在传送带上步行的实际速度就是你在平地上的速度加上传送带的速
度。如果 在整个过程中，你必须花两秒钟的时间停下来做一件事情（比如蹲下来系鞋带），那么为了
更快到达目的 地，你应该把这两秒钟的时间花在哪里更好？




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典型应用题--行程问题
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8、 假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去。你看见一辆空车远远地从甲
地驶来，而 此时整条路上并没有别人与你争抢空车。我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定
不变的，并且车 速大于人速。为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还是顺着车的方向往前
走一点？





9、某工厂每天早晨都派小车按时接总工程师上班 。有一天，总工程师为了早些到工厂，比平日提
前一小时出发步行去工厂。走了一段时间后，遇到来接他 的小车才上车继续前进。进入工厂大门后，
他发现只比平时早到 10 分钟。总工程师在路上步行了多长时间才遇到来接他的汽车？设人和汽车
都做匀速直线运动。






10、 有一位隐居在深山老林的哲学家。一天 ，他忘记给家里唯一的时钟上发条了。由于他家里没
有电话、电视、网络、收音机等任何能获知时间的设 备，因此他彻底不知道现在的时间是多少了。
于是，他徒步来到了他朋友家里坐了一会儿，然后又徒步回 到自己家中。此时，他便知道了应该怎
样重新设定自己的时钟。他是怎么做的？






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典型应用题--行程问题
22
环形问题练习
人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.
1 小张和小王各以一定速度，在周长为 500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米分.（1）
小张和小王同时从同一地点出发，反向跑 步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米分？


（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？




2 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点 同时出发反向行走，他们在C点第
一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米. 求这个圆的周长.







3甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达< br>另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地< br>方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？





4 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马 上返回），他
们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相 遇的地点离乙
村多远（相遇指迎面相遇）？





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典型应用题--行程问题
23
5绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米小时速度每
走1小时后休息5分钟；小张以6千米小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间< br>第一次相遇？







6一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它
们同 时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米秒，B的速度是5厘米秒，C的速度
是3厘米 秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？





7 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米小时，在BC 上的速
度是120千米小时，在CD上的速度是60千米小时，在DA上的速度是80千米小时.从CD 上一点
P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同
时反向各 发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求












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典型应用题--行程问题
24
稍复杂的行程问题练习
在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：
（1）在行程中能设置一个解题需要的点； （2）灵活地运用比例.
1、 小王的步行速度是 4.8千米小时，小张的步行速度是5.4千米小时，他们两人从甲地到乙地
去.小李骑自行车的速度是 10.8千米小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后
5分钟，小王又与小李相 遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？








2、 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他 们的家要从公园门口沿马路往西.
小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从 公园门口步行向东去快”？姐
姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是4∶1，那么从公园门口到目 的地的距离超过2千米时，
回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？










3、 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到
A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇
到再相遇共需多少时间？








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典型应用题--行程问题
25
4、 一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每 小时多行驶8千
米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.









5、 从 甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段
上，汽车速度 是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好
是第三段的2倍 .现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的13
处（从甲方到 乙方向的13处）相遇，那么，甲、乙两市相距多少千米？









6、 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提 高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速
行驶120千米后，再将速度提高25％，则可 提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？














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典型应用题--行程问题
26
行程问题经典练习
1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分 钟行80米，后一半时
间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分钟？







2、小明从家到学校有两条一样 长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明
上学走两条路所用的时间一样多。已知下 坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？







3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比 去时的速度每小时多行驶8千
米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是 多少千米？







4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出
开往乙站，全 程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好
有一辆电车到达乙 站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从
甲站开出。问他从乙站 到甲站用了多少分钟？







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典型应用题--行程问题
27
5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点98米。问：甲现在离起点多少米？







6、甲、乙两辆 汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车
在离两地中点32千米 处相遇。问：东西两地的距离是多少千米？







7、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到 。0.5小时后，营地老
师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学 校骑车去营地报到。结果
3人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？







8、快车和慢车分别从甲、乙两地 同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地
用12.5小时，慢车到甲地停留0.5 小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相
遇到第二次相遇需要多少时间？








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典型应用题--行程问题
28
9、某校和 某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1
小时。这位劳模在下 午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在
下午2时40分到达。问 ：汽车速度是劳模步行速度的几倍？







10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。甲、乙两人分别由A，B两地同时出发。如 果相向而行，
0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？







11、猎狗发现在离它10米的 前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑9步的路程狗只需
跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑3 步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？







12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快 4千米，
张比李早到20分钟通过途中乙地。当李到达乙地时，张又前进了8千米。那么甲、乙两地之间 的距
离是多少千米？








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典型应用题--行程问题
29
13、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发；8分钟后，爸爸骑摩托车去追他， 在离家4千米
的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家 恰好是8
千米。问这时是几时几分？








14、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5 倍。当它们从起点一起出发后，乌龟
不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它 5000米；兔子奋起直追，但乌
龟到达终点时，兔子仍落后100米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多 少米？








15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍。已知大
轿车 比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途
没有停， 直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午10时从甲地
出发的，求小 轿车追上大轿车的时间。













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典型应用题--行程问题
1
比较复杂的行程问题
多人行程例题
多人行程这类问题主要涉及的人数为3人，主要考察的问题就是求前两个 人相遇或追及的时刻，
第三个人的位置，解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。
例1.甲乙丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12公里，比丙快15公里，甲 行
3.5小时到达西村后立刻返回。在距西村30公里处和乙相聚，问：丙行了多长时间和甲相遇？








例2.甲、乙 、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和
48千米／时。有一辆迎 面开来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相
遇。求丙车的速度。









例3、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，
营地老师闻讯前来迎接，每小时比李华多走1.2千米，又经过了1.5小时，张明从学校骑车去营地< br>报到。结果3人同时在途中某地相遇。问：张明每小时行驶多少千米？










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典型应用题--行程问题
2
例4：有甲、乙、丙三 人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙
相背而行。甲每分钟走40米， 乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟
和丙相遇。问：这个花圃的周长是 多少米？











例5、AB两地相距30千米，甲乙丙三人同时从A到B，而且要 求同时到达。现在有两辆自行车，
但不许带人，但可以将自行车放在中途某处，后来的人可以接着骑。已 知骑自行车的平均速度为每
小时20千米，甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙每小时4千米，那么三 人需要多少小时可以同
时到达？












例6、有甲、乙、丙三人同时同地出 发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙
相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走3 8米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟
和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？












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典型应用题--行程问题
3
二次相遇行程问题
答题思路点拨：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人 在C地相遇，相遇后甲继续走到B
地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。一般知道AC 和AD的距离，主要抓住第二次
相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
例1. 甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后
立即返回，在 距A地42千米处相遇。请问A、B两地相距多少千米？
A.120 B.100 C.90 D.80





例2. 两汽车同时从A、B两地相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即 以原
速沿原路返回，在离A城44千米处相遇。两城市相距（ ）千米
A.200 B.150 C.120 D.100






环形问题：
例3.在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从 B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6
分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环 行一周需要（ ）？
A．24分钟 B．26分钟 C．28分钟 D．30分钟





追及问题的要点及解题技巧
一、多人相遇追及问题的概念及公式
多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题 都是围绕追及距离＝速度差×追及时间这一条基本关系式展开的，由此还可以得
到如下两条关系式：
追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间
多人 相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题
即可迎刃而解 ．比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系
转化．
二、多次相遇追及问题的解题思路
所有行程问题都是围绕路程＝速度×时间这一条基本关系式展开 的，多人相遇与追及问题虽然
较复杂，但只要抓住这个公式，逐步分析题目中所涉及的数量，问题即可迎 刃而解．
多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键几个全程
多人相遇追及的解题关键路程差



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典型应用题-- 行程问题
4
复 杂 追 及 问 题
例1.一条街上，一个骑车人和一个步行人 相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10
分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟 有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发
站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公 交车？
A.10 B.8 C.6 D.4











例2.小明在商场的一楼要乘扶梯到二楼。扶梯方向向上，小芳则从二楼到一楼。已知小明的速度是小芳的2倍。小明用了2分钟到达二楼，小芳用了8分钟到达一楼。如果我们把一个箱子放在
一 楼的第一个阶梯上问多长时间可以到达二楼？














总结：在多个行程问题模型存在的时候。我们利用其速度差，速度和的关系将未知的变量抵消。
可以很轻 松的一步求得结果！



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典型应用题--行程问题
5
例1. 上午8点8分，小明骑自行车 从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4
千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家 后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离
家恰好是8千米。问这时是几点几分？









例2. A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往
返于A、B两地 之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：
当甲到达B地时 ，乙追上甲几次？



















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典型应用题--行程问题
6
环形跑道较复杂的行程问题
环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般 至少两人）多次相遇或追及的过程，解决
多人、多次相遇与追击问题的关键是：看我们是否能够准确的对 题目中所描述的每一个行程状态作出
正确合理的线段图进行分析。
例1. 甲 、乙两人同时从400米的环形路跑道的一点A背向出发，8分钟后两人第三次相遇。
已知甲每秒钟比乙 每秒钟多行0.1米，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是多少米？
A.166米 B.176米 C.224米 D.234米









练习：
甲、乙 两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比
乙多走0 .1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米？



















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典型应用题--行程问题
7
例2.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时
同地同 向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击
掌时，甲走 多长时间乙走多少路程？














例3.乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶。甲车每小时行驶
65千米 ，乙车每小时行驶55千米。一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，
则甲车立 刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看
作一次相遇)


















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典型应用题--行程问题
8
钟面行程问题的要点及解题技巧
一、什么是钟面行程问题？
钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针 关系的问题，常见的有两种：⑴研究时针、
分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成 一定角度；⑵研究有关时间误差的问题．
在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度 不同总是分针追赶时针，或是分针超越时
针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解．
二、钟面问题有哪几种类型？
第一类是追及问题（注意时针分针关系的时候往往有两种情况）；
第二类是相遇问题（时针分针永远不 会是相遇的关系，但是当时针分针与某一刻度夹角相等时，
可以求出路程和）；
第三种就是走不准问题，这一类问题中最关键的一点：找到表与现实时间的比例关系。
三、钟面问题有哪些关键问题？
①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
四、解答钟面问题有哪些基本方法？
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小 时走60分格，
即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针 每分钟转36060度，即6°，时针每分钟
转36012*60度，即12度。
奥数行程：钟面行程问题的例题一

例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？







例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？







例3：在8时多少分，时针与分针垂直？









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典型应用题--行程问题
9
奥数行程：钟面行程问题的例题二

例1：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线？






例2：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？







例3：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？





奥数行程：走走停停的要点及解题技巧
一、行程问题里走走停停的题目应该怎么做
1.画出速度和路程的图。
2.要学会读图。
3.每一个加速减速、匀速要分清楚，这有利于你的解题思路。
4.要注意每一个行程之间的联系。
二、学好行程问题的要诀
行程问题可以说是难度最大的奥数专题。
类型多：行程 分类细，变化多，工程抓住工作效率和比例关系，而行程每个类型重点
不一，因此没有一个关键点可以抓
题目难：理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学，动态分析需要较高的理解能力、< br>逻辑分析和概括能力
跨度大：从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度，需要不断的复习巩固来加深理解、
夯实基础
那么想要学好行程问题，需要掌握哪些要诀呢？
要诀一：大部分题目有规律可依，要诀是学透基本公式
要诀二：无规律的题目有攻略，一画（画图法）二抓（比例法、方程法）
竞赛考试中的行程 题涉及到很多中数学方法和思想（比如：假设法、比例、方程）等的熟练
运用，而这些方法和思想，都是 小学奥数中最为经典并能考察孩子思维的专项。

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典型应用题--行程问题
10
奥数行程：走走停停的例题及答案（一）
例题1：甲乙两人同时从一条800环形跑道同向行 驶，甲100米分，乙80米分，两人每跑
200米休息1分钟，甲需多久第一次追上乙？












例题2：在400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分别从A、B 两点同
时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒．那么 ，
甲追上乙需要多少秒？












例3.在 400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分别从A、B两点同时
出发，按逆时 针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒．那么，甲
追上乙需要多少秒 ？








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典型应用题--行程问题
11
奥数行程：接送问题的例题及答案（一）
例1：如果A、B两地相距10 千米，一个班有学生45人，由A地去B地，现在有一辆马车，
车速是人步行的3倍，马车每次可以 乘 坐9人，在A地先将第一批学生送到B地，其余的学生同时
向B地前进；车到B地后立即返回，在途中与 步行的学生相遇后，再接9名学生前往B地，余下的
学生继续向B地前进...多次往返后，当全体学生 到达B地时，马车共行了多少千米？









例2：某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班.有一天，专家为了 早些到厂，比平时提前一小时
出发，步行去工厂，走了一段时间后遇到来接他的汽车，他上车后汽车立即 调头继续前进，进入工
厂大门时，他发现只比平时早到10分钟，问专家在路上步行了多长时间才遇到汽 车？(设人和汽车
都作匀速运动，他上车及调头时间不记)








例3：甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发 ，相向而行，甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相
遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千 米？甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，
甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离 中点48千米，两城之间的路程是多少千米？












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典型应用题--行程问题
12
小学数学行程：接送问题的例题及答案（二）
例1：有两个班的小学生要到少年宫参加活 动，但只有一辆车接送。第一班的学生做车从学校出
发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让 第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学
生上车并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时4公里， 载学生时车速每小时40公里，空车是50
公里小时，学生步行速度是4公里小时，要使两个班的学生同 时到达少年宫，第一班的学生步行
了全程的几分之几？（学生上下车时间不计）
A.17； B.16； C.34； D.25；







例2：某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班.有一天，专家为了早些到厂， 比平时提前一小时
出发，步行去工厂，走了一段时间后遇到来接他的汽车，他上车后汽车立即调头继续前 进，进入工
厂大门时，他发现只比平时早到10分钟，问专家在路上步行了多长时间才遇到汽车？(设人 和汽车
都作匀速运动，他上车及调头时间不记)








例3：甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行 ，甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相
遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？甲乙两 辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，
甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离中点48千 米，两城之间的路程是多少千米？









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典型应用题 --行程问题
13
小学数学行程：发车问题的要点及解题技巧
一、发车问题的基本解题思路
空间理解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。一旦掌握了3个 基本公式，一般问题都可以
迎刃而解。
在班车里。即柳卡问题。不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻
麻的交叉 线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说
不容易。
二、对“发车问题”的化归与优化
“发车”是一个有趣的数学问题。解决“发车问题 ”需要一定的策略和技巧。本文重点解决这样
两个问题：一是在探索过程中，如何揭示“发车问题”的实 质？二是在建模的过程中，如何选择最简
明、最严谨和最易于学生理解并接受的方法或情景？
为便于叙述，现将“发车问题”进行一般化处理：某人以匀速行走在一条公交车线路上，线路的
起点站和 终点站均每隔相等的时间发一次车。他发现从背后每隔a分钟驶过一辆公交车，而从迎面每
隔b分钟就有 一辆公交车驶来。问：公交车站每隔多少时间发一辆车？（假如公交车的速度不变，而
且中间站停车的时 间也忽略不计。）
1、把“发车问题”化归为“和差问题”
因为车站每隔相等的时 间发一次车，所以同向的、前后的两辆公交车间的距离相等。这个相等的
距离也是公交车在发车间隔时间 内行驶的路程。我们把这个相等的距离假设为“1”。
根据“同向追及”，我们知道：公交车与行 人a分钟所走的路程差是1，即公交车比行人每分钟
多走1a，1a就是公交车与行人的速度差。
根据“相向相遇”，我们知道：公交车与行人b分钟所走的路程和是1，即公交车与行人每分钟一共走1b，1b就是公交车和行人的速度和。
这样，我们把“发车问题”化归成了“和差问 题”。根据“和差问题”的解法：大数=（和+差）
÷2，小数=（和-差）÷2，可以很容易地求出公 交车的速度是（1a+1b）÷2。又因为公交车在这个
“间隔相等的时间”内行驶的路程是1，所以再 用“路程÷速度=时间”，我们可以求出问题的答案，
即公交车站发车的间隔时间是1÷【（1a+1b ）÷2】=2÷（1a+1b）。

2、把“发车问题”优化为“往返问题”

如果这个行人在起点站停留m分钟，恰好发现车站发n辆车，那么我们就可以求出车站发车的间隔时间是m÷n分钟。但是，如果行人在这段时间内做个“往返运动”也未尝不可，那么他的“往返”
决不会影响答案的准确性。

因为从起点站走到终点站，行人用的时间不一定被a和b 都整除，所以他见到的公交车辆数也不
一定是整数。故此，我们不让他从起点站走到终点站再返回。那么 让他走到哪再立即返回呢？或者说
让他走多长时间再立即返回呢？

取a和b的 公倍数（如果是具体的数据，最好取最小公倍数），我们这里取ab。假如刚刚有一辆
公交车在起点站发 出，我们让行人从起点站开始行走，先走ab分钟，然后马上返回；这时恰好是从
行人背后驶过第b辆车 。当行人再用ab分钟回到起点站时，恰好又是从迎面驶来第a辆车。也就是
说行人返回起点站时第（a +b）辆公交车正好从车站开出，即起点站2ab分钟开出了（a+b）辆公交车。
这样，就相当 于在2ab分钟的时间内，行人在起点站原地不动看见车站发出了（a+b）辆车。于
是我们求出车站发 车的间隔时间也是2ab÷（a+b）=2÷（1a+1b）。
这样的往返假设也许更符合“发车 问题”的情景，更简明、更严谨，也更易于学生理解和接受。
如果用具体的时间代入，则会更加形象，更 便于说明问题。


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典型应用题--行程问题
14
小学数学行程：发车问题的例题（一）
例1：如果A、B两地相距10千米，一个班有学生4 5人，由A地去B地，现在有一辆马车，车
速是人步行的3倍，马车每次可以 乘坐9人，在A地先将第 一批学生送到B地，其余的学生同时向
B地前进；车到B地后立即返回，在途中与步行的学生相遇后，再 接9名学生前往B地，余下的学生
继续向B地前进...多次往返后，当全体学生到达B地时，马车共行了多少千米？




例2：某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班.有一天，专家为了 早些到厂，比平时提前一
小时出发，步行去工厂，走了一段时间后遇到来接他的汽车，他上车后汽车 立 即调头继续前进，进
入工厂大门时，他发现只比平时早到10分钟，问专家在路上步行了多长时间才遇到 汽车？(设人和
汽车都作匀速运动，他上车及调头时间不记)




例3.甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，甲车和乙车的速度比是5：4，到 两车相
遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？甲乙两辆汽车 分别从A.B两成出发，相 向而
行，甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？








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典型应用题--行程问题
15
小学数学行程：发车问题的例题（二）
例1.有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有 一辆车接送。第一班的学生做车从学校出
发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生 下车步行，车立刻返回接第二班学
生上车并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时4公里，载学生时车 速每小时40公里，空车是50
公里小时，学生步行速度是4公里小时，要使两个班的学生同时到达少年 宫，第一班的学生步行
了全程的几分之几？（学生上下车时间不计）
A.17； B.16； C.34； D.25





例2.某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班.有一天，专家为了早些到厂，比平时提前一小时
出发，步行去工厂，走了一段时间后遇到来接他的汽车，他上车后汽车立即调头继续前进，进入工
厂大 门时，他发现只比平时早到10分钟，问专家在路上步行了多长时间才遇到汽车？(设人和汽车
都作匀速 运动，他上车及调头时间不记)









例3.甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，甲车和乙车的速度比是 5：4，到两车相
遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？甲乙两辆汽车分别从A.B两成 出发，相向而行，
甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多 少千米？












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典型应用题 --行程问题
16
小学数学行程：猎狗追兔问题的要点及解题技巧
猎狗追兔 问题是行程问题中比较典型的一类题，该类问题除考察追及问题的基本公式外，还
要综合运用比例、份数 等手段解决。解题思想是将两种动物单位化为统一，然后用路程差除以速度差
得到追及时间，或者由速度 比得出路程比，再引入份数思想，进而解决问题。以下题为例：

【例1】一猎狗正在追 赶前方20米远兔子,已知狗一跳前进3米,而兔子一跳前进2.1米,但
狗跳3次的时间兔子可以跳4 次,问猎狗跑多少米能追上兔子?









我们再看下一道题：
【例2】猎狗前面26步远有 一只野兔,猎狗追之,兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离
等于狗跑4步的距离,问:兔跑多少步 后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少米?










小学数学行程：猎狗追兔问题的例题（一）
例1.猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑的兔子，立刻追赶，猎犬步子大.它跑5步的
路程，兔子 跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步，猎犬至少跑多少米才能追上
兔子？












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典型应用题--行程问题
17
例2.猎狗发现离它110米处有一只奔跑的兔子，马上紧追上去，猎狗跑5步的距 离兔子要
跑9步，猎狗跑2步的时间兔子要跑3步，问猎狗跑多远才能追上兔子？









猎狗追兔问题二：
例1.猎狗前面26步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只 跑5步，但兔跑9步的
距离仅等于狗跑4步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？








例2.猎犬发现在离它10米的前方 有一只奔跑的兔，马上追.猎犬的步子大，它跑5步等于兔跑
9步，兔子动作快，猎犬2步时它能跑3步 ，猎犬至少跑多少米才能追上兔子？







例3.猎人带狗去打猎。发现兔子跑出去70米时，猎狗立即去追兔子。猎狗跑2步的时间 兔子
跑3步，猎狗跑7步的距离兔子跑13步。那么猎狗跑多少米才能追上兔子？







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典型应用题--行程问题
18
平均速度问题的例题
例1.（2007年4月“希望”全国数学邀请赛四年级2试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步
行3小时， 他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回．假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上
山每小时行3千米 ，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？











例2.张师傅开汽车 从A到B为平地（见下图），车速是36千米／时；从B到C为上山路，
车速是28千米／时；从C到D 为下山路，车速是42千米／时.已知下山路是上山路的2倍，从A到
D全程为72千米，张师傅开车从 A到D共需要多少时间？





















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典型应用题--行程问题
19
10个经典又复杂的行程问题
1、甲、乙两人分别从相距 100 米的 A 、B 两地出发，相向而行，其中甲的速度是 2 米每秒，
乙的速度是 3 米每秒。一只狗从 A 地出发，先以 6 米每秒的速度奔向乙，碰到 乙后再掉头冲向甲，
碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇。问在此过程中狗一共跑了多 少米？






2、甲从 A 地前往 B 地，乙从 B 地前往 A 地，两人同时出发，各自匀速地前进，每个人到
达目的地后都立即以原速度返回。两人首次在距离 A 地 700 米处相遇，后来又在距离 B 地 400
米处相遇。求 A 、 B 两地间的距离。





3、甲、乙、丙三人百米赛跑，每次都是甲胜乙 10 米，乙胜丙 10 米。则甲胜丙多少米？





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典型应用题--行程问题
20
4、 哥哥弟弟百米赛跑，哥哥赢了弟弟 1 米。第二次，哥哥在起跑线处退后 1 米与弟弟比赛，那
么谁会获胜？



5、船在静水中往返 A 、 B 两地和在流水中往返 A 、 B 两地相比，哪种情况下更快？




6、船在流水中逆水前进，途中一个救生圈不小心掉入水中， 一小时后船员才发现并调头追赶。则
追上救生圈所需的时间会大于一个小时，还是小于一个小时，还是等 于一个小时？




下面这个问题也很类似：假 设人在传送带上的实际行走速度等于人在平地上的行走速度加上一个
传送带的速度。
7、你需要从机场的一号航站楼走到二号航站楼。路途分为两段，一段是平地，一段是自动传送带。
假设 你的步行速度是一定的，因而在传送带上步行的实际速度就是你在平地上的速度加上传送带的速
度。如果 在整个过程中，你必须花两秒钟的时间停下来做一件事情（比如蹲下来系鞋带），那么为了
更快到达目的 地，你应该把这两秒钟的时间花在哪里更好？




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典型应用题--行程问题
21
8、 假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去。你看见一辆空车远远地从甲
地驶来，而 此时整条路上并没有别人与你争抢空车。我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定
不变的，并且车 速大于人速。为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还是顺着车的方向往前
走一点？





9、某工厂每天早晨都派小车按时接总工程师上班 。有一天，总工程师为了早些到工厂，比平日提
前一小时出发步行去工厂。走了一段时间后，遇到来接他 的小车才上车继续前进。进入工厂大门后，
他发现只比平时早到 10 分钟。总工程师在路上步行了多长时间才遇到来接他的汽车？设人和汽车
都做匀速直线运动。






10、 有一位隐居在深山老林的哲学家。一天 ，他忘记给家里唯一的时钟上发条了。由于他家里没
有电话、电视、网络、收音机等任何能获知时间的设 备，因此他彻底不知道现在的时间是多少了。
于是，他徒步来到了他朋友家里坐了一会儿，然后又徒步回 到自己家中。此时，他便知道了应该怎
样重新设定自己的时钟。他是怎么做的？






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典型应用题--行程问题
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环形问题练习
人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.
1 小张和小王各以一定速度，在周长为 500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米分.（1）
小张和小王同时从同一地点出发，反向跑 步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米分？


（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？




2 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点 同时出发反向行走，他们在C点第
一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米. 求这个圆的周长.







3甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达< br>另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地< br>方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？





4 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马 上返回），他
们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相 遇的地点离乙
村多远（相遇指迎面相遇）？





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典型应用题--行程问题
23
5绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米小时速度每
走1小时后休息5分钟；小张以6千米小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间< br>第一次相遇？







6一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它
们同 时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米秒，B的速度是5厘米秒，C的速度
是3厘米 秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？





7 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米小时，在BC 上的速
度是120千米小时，在CD上的速度是60千米小时，在DA上的速度是80千米小时.从CD 上一点
P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同
时反向各 发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求












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典型应用题--行程问题
24
稍复杂的行程问题练习
在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：
（1）在行程中能设置一个解题需要的点； （2）灵活地运用比例.
1、 小王的步行速度是 4.8千米小时，小张的步行速度是5.4千米小时，他们两人从甲地到乙地
去.小李骑自行车的速度是 10.8千米小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后
5分钟，小王又与小李相 遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？








2、 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他 们的家要从公园门口沿马路往西.
小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从 公园门口步行向东去快”？姐
姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是4∶1，那么从公园门口到目 的地的距离超过2千米时，
回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？










3、 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到
A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇
到再相遇共需多少时间？








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典型应用题--行程问题
25
4、 一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每 小时多行驶8千
米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.









5、 从 甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段
上，汽车速度 是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好
是第三段的2倍 .现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的13
处（从甲方到 乙方向的13处）相遇，那么，甲、乙两市相距多少千米？









6、 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提 高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速
行驶120千米后，再将速度提高25％，则可 提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？














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典型应用题--行程问题
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行程问题经典练习
1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分 钟行80米，后一半时
间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分钟？







2、小明从家到学校有两条一样 长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明
上学走两条路所用的时间一样多。已知下 坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？







3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比 去时的速度每小时多行驶8千
米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是 多少千米？







4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出
开往乙站，全 程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好
有一辆电车到达乙 站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从
甲站开出。问他从乙站 到甲站用了多少分钟？







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典型应用题--行程问题
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5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点98米。问：甲现在离起点多少米？







6、甲、乙两辆 汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车
在离两地中点32千米 处相遇。问：东西两地的距离是多少千米？







7、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到 。0.5小时后，营地老
师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学 校骑车去营地报到。结果
3人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？







8、快车和慢车分别从甲、乙两地 同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地
用12.5小时，慢车到甲地停留0.5 小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相
遇到第二次相遇需要多少时间？








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典型应用题--行程问题
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9、某校和 某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1
小时。这位劳模在下 午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在
下午2时40分到达。问 ：汽车速度是劳模步行速度的几倍？







10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。甲、乙两人分别由A，B两地同时出发。如 果相向而行，
0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？







11、猎狗发现在离它10米的 前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑9步的路程狗只需
跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑3 步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？







12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快 4千米，
张比李早到20分钟通过途中乙地。当李到达乙地时，张又前进了8千米。那么甲、乙两地之间 的距
离是多少千米？








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典型应用题--行程问题
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13、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发；8分钟后，爸爸骑摩托车去追他， 在离家4千米
的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家 恰好是8
千米。问这时是几时几分？








14、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5 倍。当它们从起点一起出发后，乌龟
不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它 5000米；兔子奋起直追，但乌
龟到达终点时，兔子仍落后100米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多 少米？








15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍。已知大
轿车 比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途
没有停， 直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午10时从甲地
出发的，求小 轿车追上大轿车的时间。













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