对中国免签的国家-雷锋在我心中作文

许老师奥数
第三部分 行程问题



第一讲 行程基础


【专题知识点概述】
行程问题是一类常见的重要应用题， 在历次数学竞赛中经常出现。行程问
题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形 行程问题
等等。行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个
基本量之 间的关系，即：距离

速度

时间，时间

距离

速度，速度

距离

时
间。在这三个量中，已知两个量，即 可求出第三个量。掌握这三个数量关系式，
是解决行程问题的关键。在解答行程问题时，经常采取画图分 析的方法，根据
题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。

一、行程基本量

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称
为行程问题.我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时
间（t）、速度（v ）和路程（s）这三个基本量，它们之间的关系如下：
（1）速度×时间=路程 可简记为：s = vt
（2）路程÷速度=时间 可简记为：t = s÷v
（3）路程÷时间=速度 可简记为：v = s÷t
显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

二、平均速度
平均速度的基本关系式为：
平均速度

总路程

总时间；
总时间

总路程

平均速度；
总路程

平均速度

总时间。
【重点难点解析】

1. 行程三要素之间的关系
2．平均速度的概念
3．注意观察运动过程中的不变量
【竞赛考点挖掘】
1.注意观察运动过程中的不变量
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【习题精讲】

【例1】（难度等级 ※）
邮递员早晨7时出发送一份邮件 到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米
下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时 走5千米，到达目的地停留1小时
以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?
【分析与解】
法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。①邮递员到 达对面山里需
时间：12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12 ÷5+1+4.6
=2+2.4+1+4.6 = l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+ 10-12=5(时).邮递员是下午5
时回到邮局的。
法二：从整体上考虑，邮递员走了（ 12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，
所以共用时间为：（12+8）÷4+（1 2+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回
到邮局的。．

【例2】（难度等级 ※）
甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲 地出发前往乙地，每小时走10千米；
晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚 到达乙地，汽车每小时
最少要行驶多少千米？.
【分析与解】
马车从甲地到乙 地需要100÷10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依
题意，汽车必须 在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶100÷4=25(千米)．

【例3】（难度等级 ※※）

小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师 要求他明天提早6分钟到校。如果小明明
天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走2 5米才能按老师的要求准时到
校。问：小明家到学校多远？（第六届《小数报》数学竞赛初赛题第1题）
【分析与解】

原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分 钟。这时每分钟
必须多走25米，所以总共多走了24×25=600米，而这和30分钟时间里，后6 分钟走
的路程是一样的，所以原来每分钟走600÷6=100米。总路程就是=100×30=300 0米。

【例4】（难度等级 ※）
韩雪的家距离学校480米，原计划7点40 从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，
不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校 ？
【分析与解】
原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：480÷20=24（米分 ），现在每分钟比原来多
走16米，即现在的速度为24+16=40（米分），那么现在上学所用的时 间为：480÷40=12
（分钟），7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校．

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【例5】（难度等级 ※※）
王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时
返 回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按
时返回甲地 ,他应以多大的速度往回开?
【分析与解】
假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的 往返一次需时间300÷60×2=10（小时）,现在从
甲到乙花费了时间300÷50=6（小时） ,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4
（小时）.即如果他想按时返回甲地,他应以 300÷4=75（千米时）的速度往回开．

【例6】（难度等级 ※※）
刘老 师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米时的速度行进，下午1点到；以15千米
时的速度行进，上 午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
【分析与解】
这道题 没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎
无法求速度.这就需要 通过已知条件，求出时间和路程.
假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米， 下午1点到；B每小时行
15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千 米），这20千米是B
从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10= 5（千米），所以
B从学校到韩丁家所用的时间是
20÷（15-10）=4（时）.由此知 ，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60
（千米）.刘老师要想中午12点到 ，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为
60÷（12-7）=12（千米时）．
【例7】（难度等级 ※※※）
小红上山 时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速
度是上山速度的2倍 ，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？

【分析与解】
上山用了3时 50分，即60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=5……30，得到上山休息
了 5次，走了230-10×5=180（分）.因为下山的速度是上山的2倍，所以下山走了180÷
2 =90（分）.由90÷30=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用90+5×2=100（分）=1时40分.

【例8】（难度等级 ※※※）
老王开汽车从A到B为平地（见 右图），车速是30千米／时；从B
到C为上山路，车速是22.5千米／时；从C到D为下山路，车速 是
36千米／时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千
米，老王开车从A到D共需要多少时间？
【分析与解】
设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：（x+2x） ÷（x÷22.5+2x
÷36）=30（千米时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度 就是30千米时，
与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30＝2.4（时）．
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【例9】（难度等级 ※※※）
汽车以72 千米时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米时的速度返回甲地。求该车
的平均速度。
【分析与解】
想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程÷总时间 ，在这道题目中如果我们知道 汽车行驶的
全程，进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采用“特殊值”法，这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目中都有应用。①把甲、乙两地的距离视为1
千米，总 时间为：1÷72+1÷48，平均速度=2÷（1÷72+1÷48）=57.6千米时。 ②我们发
现①中的取值在计算过程中不太方便，我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？在此我
们可以把甲、乙 两地的距离视为[72，48]=144千米，这样计算时间时就好计算一些，平均
速度=144×2÷ （144÷72+144÷48）=57.6千米时。

【例10】（难度等级 ※※）

A
D
如图，从A到B是12千米下坡路，从B到C是8千米平
路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都
B
是6千米小时，平路速度都是4千 米小时，上坡速度
都是2千米小时.问小张从A到D的平均速度是多少?
【分析与解】
从A到B的时间为：12÷6=2（小时），从B到C的时间为：8÷4=2（小时），从C到D
的时间为：4÷2=2（小时），从A到D的总时间为：2+2+2=6（小时），总路程为：12+8+4= 24
（千米），那么从A到D 的平均速度为：24÷6=4（千米时）．

C
【例11】（难度等级 ※※）

有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平 路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。
某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分 别为
4
米秒、
6
米秒和
8
米秒，求他
过桥的平均速 度。
【分析与解】
假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米，那么总时间为：24÷ 4+24÷6+24÷8=13（秒），
过桥的平均速度为 ．
7
（米秒）
243135

13
【例12】（难度等级 ※※※）

汽车往返于A，B两地，去时速度为 40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回
来时的速度应为多少？
【分析与解】
假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米，那么总时间=480÷48=10（小时），回来 时的
速度=240÷（10-240÷40）=60（千米时）．

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【例13】（难度等级 ※※※）

有一座桥， 过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.
某人骑电动车过桥时， 上坡、走平路和下坡的速度分别为11米／秒、22米／秒和33米／
秒，求他过桥的平均速度..
【分析与解】
假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=66÷11+66÷2 2+66÷33=6+3+2=11
（秒），过桥的平均速度=66×3÷11=18（米秒）


【例14】（难度等级 ※※※）

一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它每
分钟分别爬行50cm ，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行
多少厘米？
【分析与解】 < br>假设每条边长为200厘米，则总时间=200÷50+200÷20+200÷
40=4+10 +5=19（分钟），爬行一周的平均速度=200×3÷19=
31
11
（厘米分钟 ）.
19

【例15】（难度等级 ※※※）

甲、乙两地相距6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半
时间平均每分钟行70米.问他 走后一半路程用了多少分钟？
【分析与解】
全程的平均速度是每分钟（80+70）÷2= 75米，走完全程的时间是600075=80分钟，走前
一半路程速度一定是80米，时间是3000 ÷80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5
分钟．











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第二讲 相遇与追及


【专题知识点概述】
在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是
通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题
的好习惯！
在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相
遇问题和追及问题.
一、相遇

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么
相遇路程=甲走的路程+乙走的路程
=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间
=速度和×相遇时间.
一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即
二、追及
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的
过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在
某一段时间内，比走得 慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追
及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同 的时间（追及时间）内：
追及路程=甲走的路程-乙走的路程
=甲的速度×追及时间- 乙的速度×追及时间
=（甲的速度-乙的速度）×追及时间
=速度差×追及时间.
一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即



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S
差
v
差
t

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【重点难点解析】

1．直线上的相遇与追及
2．环线上的相遇与追及
【竞赛考点挖掘】
1. 多人多次相遇与追及
【习题精讲】

【例1】（难度等级 ※）
一辆客车与一辆货车同时从甲、 乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每
小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两 个城市的路程是多少千米？
【分析与解】
（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．

【例2】（难度等级 ※）
两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？
【分析与解】
255÷（45+40）=255÷85=3（小时）。
45×3=135（千米）。
40×3=120（千米）。．

【例3】（难度等级 ※※）

两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，
已经行 了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？
【分析与解】

[3300-（82+83）×15]÷（82+83）
=[3300-165×15]÷165
=[3300-2475]÷165
=825÷165
=5（分钟）
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【例4】（难度等级 ※）
甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发， 甲每小时行驶15千米，乙
每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？
【分析与解】
出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-1 0＝5（千米），即两
人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.
10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时）．

【例5】（难度等级 ※※）
]南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法
驾车 同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米时，60千米时，那么北辙先生
出发5小时他们相 距多少千米?．
【分析与解】
两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．

【例6】（难度等级 ※※）
军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时， “敌”舰已在10分钟前逃离，
“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470 米，在距离“敌”舰600
米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?
【分析与解】
“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我 ”舰与“敌”舰的
距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米 处即可开炮射击，
即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击. 所以，在这个问题
中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.即（1000×10-60 0）÷（1470-1000）
=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟） ，所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰．
【例7】（难度等级 ※※※）
小红和小蓝练 习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让
小蓝先跑4秒钟，则小红跑 6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？

【分析与解】
小红让小蓝 先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5
秒就是追及时间，据此 可求出他们的速度差为20÷5=4（米秒）；若小红让小蓝先跑4秒，
则小红6秒可追上小蓝，在这个 过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和
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许老师奥数
追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差
就等于4×6= 24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小
红的速度.综合列式计 算如下：小蓝的速度为：20÷5×6÷4=6（米秒），小红的速度为：
6+4=10（米秒）

【例8】（难度等级 ※※※）
小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后 ，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带
着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明. 问爸爸出发几分钟后追上小明？
【分析与解】
爸爸要追及的路程：70×12=840（米 ）,爸爸与小明的速度差：280-70=210（米分）,爸爸
追及的时间：840÷210=4（分 钟）．

【例9】（难度等级 ※※※）
上午8点8分，小明骑自行车从家里出发 ，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米
的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回 头去追小明，再追上小明的时候，离
家恰好是8千米，这时是几点几分？
【分析与解】
画一张简单的示意图：


图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上 ，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距
离是 4＋ 8＝ 12（千米）.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计
算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行
了4＋1 2＝16（千米）.
少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米分），爸爸骑 行16千米需要16
分钟.
8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。

【例10】（难度等级 ※※）

甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两 车分别从A，B两地同时出发，相向而行，
相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。
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【分析与解】
相遇后甲行驶了 40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇
时间是120÷60=2小 时，则两地相距（40+60）×2=200
千米．

【例11】（难度等级 ※※）

小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二 人在途
中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A
处相遇。小红和小强的家相距多远?
【分析与解】
因为小红的速度不变，相 遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第
一次少走4分。由（70×4）÷（90 -70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走
了18分，两人的家相距（52+70） ×18=2196（米）．

【例12】（难度等级 ※※※）

甲乙两车 分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，
此时甲车距B地10千 米，乙车距A地80千米．问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时
间才能到达A地?
【分析与解】
由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程．相遇后又行3时， 剩下的路程之和
10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A，B两地的距 离是（10＋
80）÷（4－3）×4＝360（千米）。因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70 （千米），所以
甲车每时比乙车多行 70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行 50
千米，乙车行40千米 ．行一个单程，乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8
（时）＝1时48分 ．

【例13】（难度等级 ※※※）

甲、乙二人分别从A、B两地同时 出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相
向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行5 0米，求A、B两地的距离.
【分析与解】

若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及 乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.
而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的 路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。
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同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26
分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米分），由此可求出A、B间的距离。
50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米分）
（80+50）×6＝130×6=780（米）


【例14】（难度等级 ※※※）

小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两 人同时
出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离？
【分析与解】
画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？）


离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米
小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）＝2（小时）.
因此，甲、乙两地的距离是（5＋ 4）×2＝18（千米）.

【例15】（难度等级 ※※※）

甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一 次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前
进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇 ．求A、B两地间的距离？

【分析与解】
画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：





可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相 遇意味着两车共行了
三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行 了95千
米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（ 千米），
而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25 =260(千米)．
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改 系