奥数-得分问题
粉红色玫瑰花语-沈阳市人事局
循环赛得分（17年9月3日）
10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有
平局。比赛结果中，有2个队并列第一，
2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、9
、10且得分不同。请问各队得分
各是多少？
该题目属于循环赛得分问题，
解题思路可化为以下三道题目：
题目一（简单）
10个队进行循环赛
，胜队得2分，负队得1分，没有平局。比赛结果中，有2个队并列第一。
请问排第一的队可能得18分
么？
题目二（中等难度）
10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没
有平局。比赛结果中，有2个队并列第一，
2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、
9、10且得分不同。请问排名前6
的队得分可能是15、16、17么？
题目三（进阶思考,华杯赛真题）
10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局
。比赛结果中，有2个队并列第一，
2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、9、1
0且得分不同。请问各队得分
各是多少？
以下为答案：
题目一：
答:不可能。
10个队循环比赛，每个队比赛9场，得分最高为18，最低为8。
要得18分，必须9场全胜。
现在有2个队并列第一，这2个队之间必定有胜有败，
不可能都是9场全胜，
因此，第一名得分不可能是18分。
题目二：
答: 不可能。
从题目一知道，最高得分18分，最低9分，且没有队得到18。
因此，得分最低为9，最高17。
又总共比赛场数为45场，各队得分相加是45*3=135分，
如果第一名17，第三名16，第五名15，
那么得分前6的队总得分就是2*(15+16+17)=96,
则剩下的4个队总得分就是135-96=39，
而剩下的4个队最低得分为9，且得分不同，
其和最小是9+10+11+12=42，
矛盾。
所以，排名前6的队得分不可能是15、16、17。
题目三：
答：两种情况：从低到高分别是9、10、11、13、14、14、15、15、17、17；
或者9、11、12、13、14、14、15、15、16、16。
从题目一知道，得分区间是9-17，
从题目二知道，排名前6的队得分不可能是15、16、17都有。
因此，在15、16、17中，至少有1个不是排名前6的队的得分。
此时，排名最后的4个队得分可选范围只能是9、10、11、12、13，
又注意到，10个队的总得分135是奇数，
前6的队的总得分是偶数，
后4的队总得分只能是奇数。
对前6的队的得分情况进行讨论：
当17不是得分时
，前6的队只能是14、15、16，后4的队得分是9、11、12、13，各队得分
从低到高分别是
9、11、12、13、14、14、15、15、16、16；
当16不是得分时，前6的队只能是
14、15、17，后4的队得分是9、10、11、13，各队得分
从低到高分别是9、10、11、
13、14、14、15、15、17、17；
当15不是得分时，前6的队只能是14、16、17
，前6个队总得分94，后4个队总得分41，这
是不可能的。
得分问题（17年8月27日）
某次考试只有判断题、选择题、填空题三种类型，每种类型的
题目各100道。判断题每题1分，
选择题每题2分，填空题每题5分。每道题目要么得0分，要么得全
部分。小明得了100分，
请问小明的答题情况有多少种可能。
该题目属于得分问题，与零钱凑整问题属于同一类问题。
解题思路可化为以下三道题目：
题目一（简单）
某次考试只有判断题、选择题两种类型，每种类型的题目各10
0道。判断题每题1分，选择题
每题2分。每道题目要么得0分，要么得全部分。小明得了10分，有多
少种不同的答题情况？
题目二（中等难度）
某次考试只有判断题、选择题两种
类型，每种类型的题目各100道。判断题每题1分，选择题
每题2分。每道题目要么得0分，要么得全
部分。小明得了n分，n为不大于100的正整数，
当n为偶数时有多少种答题情况，当n为奇数时又有
多少种答题情况？
题目三（进阶思考,华杯赛真题）
某次考试
只有判断题、选择题、填空题三种类型，每种类型的题目各100道。判断题每题1分，
选择题每题2分
，填空题每题5分。每道题目要么得0分，要么得全部分。小明得了100分，
请问小明的答题情况有多
少种可能。
以下为答案：
题目一：
答:6种。
按正确的2分题目的个数来考虑，2分最少0个，最多5个，共6种可能。
1分题目只是作为2分题目的补充，
所以，共6种可能。
题目二：
答:n为偶数时，n2+1种可能；
n为奇数时，(n+1)2种可能。
类似于题目一的做法，还是考虑正确2分题目的个数，
n为偶数时，2分最少0个，最多n2个，n2+1种可能；
n为奇数时，2分最少0个，最多(n-1)2个, (n+1)2种可能。
题目三：
答:541种。
考虑正确5分题目的个数，最少为0个，最多为20个。
0-20中的，奇数有10个，偶数有11个。
5个数为奇数时，1分与2分钱需凑成的数也是奇数，偶数亦然。
利用题目二的结论， 当5分个数为奇数时，需要凑成的数是5、15、25、……、95，对应的凑法种类分别是：3、8、13、……、48，和是255=10*(3+48)2；
当5分个数为偶数时，需要凑成的数是
0、10、20、……、100，对应的凑法种类分别是：1、6、
11、……、51，和是286=1
1*(1+451)2。
所以，不同的答题种数为255+286=541种。
比赛得分问题（17年6月5日）
足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两
队赛一场），每场比赛胜者得3分，输
者得0分，踢平二者各得1分。若A、B、C、D最终总分分别为
1分、4分、7分、8分。请问：
E最多得多少分，最少得多少分？
该题目属于比赛得分问题,解题思路可化为以下三道题目：
题目一（简单） <
br>足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜者得3分，输
者得0分，踢平二者各得1分。请问5个队的总分相加最多是多少分？
题目二（中等难度）
足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两队赛一场），
每场比赛胜者得3分，输
者得0分，踢平二者各得1分。若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、
7分、8分。请问：
B可能的比赛结果是什么？
题目三（进阶思考,华杯赛真题）
足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两
队赛一场），每场比赛胜者得3分，输
者得0分，踢平二者各得1分。若A、B、C、D最终总分分别为
1分、4分、7分、8分。请问：
E最多得多少分，最少得多少分？
以下为答案：
题目一：
答:总得分之和最多30分。
5个队单循环赛，共赛10场。每场比赛最多产生3分，共30分。
题目二：
答:4场全平或1胜1平2负。
因为4=1+1+1+1=3+1+0+0。
题目三：
答:最多7分，最少5分。
类似于题目二的分析，比赛结果是：
A:1平3负；
B:4平或1胜1平2负；
C:3胜1平1负；
D：2胜2平。
此时，可以知道，比赛平的场次最多是5场，最少是3场。
每平1场，总得分比题目一的30分少1分。
因此，总得分最多27分，最少25分。
所以，E的得分最多为：27-1-4-7-8=7，
E的得分最少为：25-1-4-7-8=5。
得分问题（17年4月12日）
数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7
分，未答对，得0分。参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？
这道题属于比赛得分问题，奥数常见考点，解题过程需要用到两种知识：
(1)鸽笼原理;
(2)排列组合算法。
上述问题的解题思路可化为以下三道题目：
题目一（简单）
数学竞赛，填空题5道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题3道， 答对1道，得7
分，未答对，得0分。总共有多少种得分？
题目二（中等难度）
数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7
分 ，未答对，得0分。如果两个人得分相同，但他们答卷情况并不相同，这样的得分可能有哪
些？
题目三（进阶思考，华杯赛真题）
数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分， 未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7
分，未答对，得0分。参赛人数400人，至少有多少人 的总分相同？
以下为答案：
题目一：
答：24种。
该题是简单的排列组合问题，
填空题得分有6种可能，问答题得分有4种可能，
得分相加也不会出现重复的状况。
所以，共有24种可能。
题目二：
答:6种得分可能出现题目中的情况，
28、32、35、39、42、46。
在得分相同但答对题目类别不同时，
假设同学甲答对了a道填空题，b道问答题，
同学乙答对了m道填空题，n道问答题，
二人得分相同。
则4*a+7*b=4*m+7*n,
其中a、b不大于8，m、n不大于6。
化简有4(a-m)=7(n-b)，
即：(a-m)=7；(n-b)=4
满足条件的a有2个：7、8
满足条件的b有3个：0、1、2
组合以后共6种情况：
此时对应的得分为28、32、35、39、42、46。
题目三：
答:8。
第一步，先计算不同得分的个数：
填空题有9种可能，问答题有7种可能，
但从题目二的分析知道，会出现6种情况的答题情况不同，但得分相同。
故，不同的得分数为7*9-6=57。
第二步,应用鸽笼原理，
总共400个学生，有57种得分，
因为57*7<400<57*8，
所以，得分相同的学生数至少为8。
循环赛得分问题 （17年10月20日）
足球比赛，4个队进行单循环赛，即每个队都和剩余的3只队各赛一场。胜一场得3分，平一
场
得1分，负一场不得分。比赛结束后，4个队的得分恰好是4个连续的自然数。请问排名第
一的队赢了哪
几个队？
答案：赢了排名第二的队。
讲解思路：
解答这种类型的问题，
关键在于求各队的得分。
为此需思考四个问题：
一是4个队得分的总和满足什么条件；
二是4个队得分的总和可能是多少；
三是4个队得分各是多少；
四是根据得分如何判断相互的输赢情况。
步骤1：
先思考第一个问题，
4个队循环赛，
共赛4*32=6场。
每场比赛中参与的两个队要么都平，要么一输一赢，
这两个队总得分要么是2分，要么是3分
因此，6场比赛的总得分范围在12-18之间。
步骤2：
再思考第二个问题，
4个连续的自然数，
如果最小的是n，
这4个数的和是4n+6，其范围是12-18，
因此4n的范围在6-12之间，
故n=2或3，
此时总得分可能是14或18。
步骤3：
再思考第三个问题，
对总得分进行讨论：
(1)当总得分是18时，
这4个队的得分是3、4、5、6，
但根据第一个问题的分析，
总分18必须每场都分胜负，不能有平局，
这与有球队得分为4矛盾。
(2)当总得分是14时，
无矛盾，
所以，这4个队的得分是2、3、4、5。
步骤4：
综合上述几个问题，
第一名：得5分，5=3+1+1，1胜2平；
第二名：得4分，4=3+1，1胜1平1负；
第四名：得2分，2=1+1，2平1负，
注意到有1胜必1负，
故第三名：得3分，只能是3局全平。
对第二名来说，除了其自身外，有胜绩的队只有第一名，
所以，第一名赢了第二名。
思考题：
在原题中条件不变的基础上，请问第四名输给第几名？
循环赛得分问题 （17年10月25日）
足球比赛，若干个队进行单循环赛，即每个队都
和剩余的队各赛一场。胜一场得2分，平一场
得1分，负一场不得分。比赛结束后，前4名的队得分是8
、7、5、4。请问总共多少只队？
答案：6。
讲解思路：
解答这种类型的问题，
关键在于考虑比分。
为此需思考两个问题：
一是n个队总共会产生多少比分；
二是最多可能会有多少个队。
步骤1：
先思考第一个问题，
不管结果如何，
每一场比赛都产生2分的总得分。
n个队共赛n(n-1)2场，
总得分是n(n-1)。
步骤2：
再思考第二个问题，
注意到前4名得分8、7、5、4，
第5名以后得分最多是3分，
则有n只队的总得分不大于8+7+5+4+3(n-1)
即n(n-1)<=
24+3(n-1)
当n>=7时，不可能满足,
故n小于7.
步骤3：
综合上述两个问题，
由于n>=4,
故对n讨论即可：
当n=4,总得分应为12，矛盾；
当n=5,总得分应为20，矛盾；
当n=6,可行。
所以，共6只球队。
思考题：
原题目中条件不变，请问最后一名得分多少？
比赛得分问题（18年6月9日）
拔河比赛是没有平局的。有10个队进行拔河循环赛，每两个队之间都只拔一场。每场比赛
胜者
得1分，负者得0分，如果有几个队得分相同，用抽签决定排名。比赛结束后，第一、
二
名得分相同，第三、四名得分相同，第五、六名得分也相同。其余4个队得分各不相同。
请问第三名得多
少分？
讲解思路：
这一道比赛得分问题，
需要用到的是范围控制的思想。
步骤1：
先思考第一个问题，
排名第一第二的两个队可能得9分么？
每个队都是拔9场，
如果有一个队得9分，
一定是胜了其余所有队，
现在第一第二得分相同，
彼此之间一定有胜负关系，
不可能同时得9分。
步骤2：
再思考第二个问题，
排名前6的队得分可能是8、7、6么？
由于总共比赛场次是10*92=45场，
总得分就是45。
如果排名前6的队得分是8、7、6，
这6个队总得分就是2*(8+7+6)=42，
剩下4个队总得分只能是3分，
这与剩下4个队得分不同矛盾。
因此排名前6的队得分不是8、7、6，
也就是说剩下4个队得分都比5分少。
步骤3：
再思考第三个问题，
第三名得分是多少？
结合步骤1、2的结论知道，
最后4个队的得分在0、1、2、3、4中，
而前6个队伍的总得分是偶数，
注意到10个队总得分45是奇数，
故最后4个队得分和是奇数，
因此最后4个队得分是0、1、2、4或0、2、3、4。
分别对此讨论:
(1)当最后4个队得分0、1、2、4，
前6个队的总得分是45-0-1-2-4=38，
其得分只能是8、6、5,
此时排名第三的队得6分；
(2) 当最后4个队得分0、2、3、4，
前6个队的总得分是45-0-2-3-4=36，
其得分只能是7、6、5,
此时排名第三的队得6分。
不管是哪种情况，
排名第三的队都是6分。
思考题：
拔河比赛是没有平局的。有10个队进行拔河循环赛，每两个队之间都只拔一场。每
场比赛
胜者得2分，负者得1分，如果有几个队得分相同，用抽签决定排名。比赛结束后，第一、
二名得分相同，第三、四名得分相同，第五、六名得分也相同。其余4个队得分各不相同。
请问第三名
得多少分？
循环赛问题（17年8月7日）
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛，每人都
与其他人比赛一场，每局比赛都分胜负而无平
局。甲战胜了丁，甲乙丙3人胜的场数相同。请问丁胜了几
场？
该题目属于循环赛问题，解题思路可化为以下三道题目：
题目一（简单）
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛，每人都与其他人比赛一场。请问总共比赛多少场？
题目二（中等难度）
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛，每人都与其他人比赛一场，每局
比赛都分胜负而无平
局。请问甲、乙、丙、丁4人获胜的场数总共多少场？
题目三（进阶思考,华杯赛真题）
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛，每
人都与其他人比赛一场，每局比赛都分胜负而无平
局。甲战胜了丁，甲乙丙3人胜的场数相同。请问丁胜
了几场？
以下为答案：
题目一：
答:6场。
可以使用排列组合直接计算4*3*2*12=6。
也可以采用列举法，甲打乙丙丁，乙打丙丁，丙打丁，3+2+1=6。
题目二：
答:6场。
任何一场比赛，一定有1个人胜。
所有人胜的场数之和就是总的比赛场数。
从题目一知道，总共比赛6场。
所以，4人胜利的总场数是6场。
题目三：
答:丁胜0场。
从题目二知道，4人胜利的总场数是6场。
设甲乙丙3人胜利的场数都是a,丁胜利的场数是b。
则3a+b=6,显然，a只能取值0、1或2。
由于甲战胜了丁，而丁参加比赛的场数是3，故b<3.
因此，a=(6-b)3>1，
则：a=2,b=0,
所以，丁胜0场。