食品科学与工程就业前景-托福助考

学习奥数的重要性
1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛 思维、换元思维、反向
思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习 奥数，可
以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，< br>智商水平也会得以相应的提高。
2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通 数学的数学内容，求解奥数
题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过 分析判断、逻
辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和
抽象思维能力大有帮助
3. 为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学，课程难度加大 ，特别是数理化是三
门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么 对他学
好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。

4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心
百倍 ，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天
分，凭着在困难面 前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；
一部分孩子在家长的“威逼利诱 ”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、
或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原 因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持
学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特 别是对孩子的意志力是一次很好
的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。
（三）解几何题技巧

1.等分图形
【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到
问题的答案。
例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个
顶点全在三角形的边上）。已 知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，
求右图（4.12）中正方形的面积。

由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两
1

个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。等分后的情况见图4.13和图4.14。


积是

图4.12的正方形面积是




【均分局部】有些 几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可
以考虑把它的局部去均分，然后从整体上去观察 ，往往也能使问题获得解决。
例如图4.15，在正方形ABCD中，画有甲、乙、丙三个小正方 形。问：乙、
丙面积之和与甲相比，哪一个大些？
大家由前面的“均分整体”已经知道， 像甲、乙这样的两个正方形，面积不
是相等的。如图4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC 面积的一半；正方
形丙的面积等于△EDF的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。这< br>样，一个大正方形ABCD，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC；等腰梯形ACFE；
等腰 直角△EDF。其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF
的面积加梯形ACFE的 面积等于△ADC的面积，即等于△ABC的面积。所以，乙、
丙面积之和等于甲的面积。
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2.平移变换
【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问
题很快地得到正确的解答。
例如，下面的两个图形（图4.17和图4.18）的周长是否相等？
单凭眼睛观察 ，似乎图4.18的周长比图4.17的要长一些。但把有关线段平
移以后，图4.18就变成了图4. 19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右
移，它可移成一个正方形。于是，不难发现两图周长是 相等的。


【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何 题，采用平
移空白部分或平移阴影部分的办法，往往能化难为易，很快使问题求得解答。例
如， 计算图4.20中阴影部分的面积。
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圆面积”，然后相加，得整个阴影部分的面积。这显然是很费时费力的。但认真
观察 一下就会发现，图4.20左半左上部的空白部分，与右半左上部的阴影部分
大小一样，只需将右半左上 部的阴影部分，平移到左半左上部的空白部分，所有
的阴影部分便构成一个正方形了（如图4.21）。 所以，阴影部分的面积很快就可
求得为5×5=25。
又如，一块长30米，宽24米的 草地，中间有两条宽2米的走道，把草地
分为四块，求草地的面积（如图4.22）。
这只要把丙向甲平移靠拢，把丁向乙平移靠拢，题目也就很快能解答出来了。
（具体解法略）
3.旋转变换
【旋转成定角】例如下面的题目：
“在图4.23中，半径 为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶
点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接 触点。问：“大正方形的面
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积比小正方形的面积大多少？”

按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。
若将 小正方形围绕圆心旋转45°，使原图变成图4.24，容易发现，小正方形的面
积为大正方形面积的一 半。所以，大正方形面积比小正方形的面积大
（8×2）×（8×2）÷2
=16×16÷2
=128（平方厘米）

又如，如图4.25，求正方形内阴影部分的面积。（单位：厘米）
表面上看，题目也是很难解答 的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方
形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°，就得到 了一个由阴影部分组成
的半圆（如图4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。（解答略 ）
【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。若像打开折扇一样，
绕着某个 定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。
例如，求图4.27的阴影部分的 面积（单位：厘米）。若采用正方形面积减空白部
分面积的求法，
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计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们 不
妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转90°，得到图4.28；再继续旋转，得到
图4. 29。在图4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以，
阴影部分面积是
42×3.14÷2-（4+4）×4×2
=25.12-16
=9.12（平方厘米）
又如，求图4.30阴影部分的面积（单位：厘米）。

将这个图从中间剪开，以o为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半
部下方，便变成 了图4.31。于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边
均为2厘米的一个空白等腰直角三角形 面积的差。即
（4÷2）2×3.14÷2-2×2÷2
=6.28-2
=4.28（平方厘米）
4.对称变换
【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题：
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从A地出发到河边饮马，再到B地（如图4.32所示），走什么样的路最近？如
何确定饮马 的地点？

海伦的方法是这样的：如图4.33，设L为河，作AO⊥L交L于O点，延 长
AO至A＇，使A＇O=AO。连结A＇B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地
点。再连 结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。
为什么呢？因为A＇是A点关于L的对称点，AC 与A＇C是相等的。而A＇
B是一条线段，所以A＇B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条 ，所
以AC+CB=A＇C+CB=A＇B也是最短的一条路了。这就是海伦运用对称变换，
找 到的一种最巧妙的解题方法。运用这种办法，可以巧妙地解决许多几何问题。
【划线均分】通过中 心对称图形的对称中心，任意画一条直线，都可以把原
图形均分成两个大小、形状完全相同的图形。利用 这一性质，可以使某些较复杂
的问题迅速地解答出来。例如

（1）把图形（图4.34）的面积，用一条直线分成相等的两个部分。
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解题时，只要把这个图形看成是由两个矩形（长方形）组成的组合图形， 而
矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形， 所以只要找出两个对称中心（对角
线交点），利 用中心对称图形的上述性质，通过两个对称中心作一条直线，就能
把它的面积分成相等的两个部分了。如 前页的三种分法都行（如图4.35所示）。
（2）如图4.36，长方形ABCD内有一个以O 点为圆心的圆，请画一条直
线，同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。

大家知道，长方形和圆都既是轴对称图形，又是中心对称图形。长方形的对
称中心是对角线的交点，圆的 对称中心是它的圆心。
根据中心对称图形的上述性质，先找出这两个对称中心O点和P点（如图< br>4.37），再过O、P作直线L，此直线L即是所画的那根直线。

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5.割补、拼接、截割
【割补】在数学中，把图形的某个部分割下，补到 某一个新的位置，往往可
以使新的图形，更便于发现数量关系，从而较快地解答出数学题目。
例如，在图4.38中，三个圆的面积都是12.56平方厘米，且三个圆两两相
交，三个交点都是圆心 ，求三块阴影部分的面积。

从表面上看，题目是无法解答的。但只要仔细观察就能发现 ，根据轴对称性
及割补方法，题目可作如下的解答：
如图4.39，将图形1翻折到图形 2的位置；再将图形3和4割下来，合并
在一起，补到图形5的位置上。于是，原来的阴影部分就正好拼 成了一个半圆。
所以，三块阴影部分的面积是12.56÷2=6.28（平方厘米）

【拼接，截割】
（1）平面图形的拼接、截割。
拼接和截割，是两个 相反的过程。平面图形的拼接是把两个或两个以上的图
形拼接在一起；平面图形的截割，是把一个图形截 割成两个或两个以上的图形。
平面几何图形拼接或截割以后，面积和周长的变化有以下规律：
①两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形，它的面积等于原来若干
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个几何图形的面积之和；而周长却会比原图形周长之和要短。如果拼接部分的总
长度为a，那么拼接后减少的周长就是2a。
②把一个平面几何图形截割以后，各小块图形的面积 之和，等于原图形的面
积；但截割后各小块几何图形的周长之和，要比原图形的周长要长。若所有截割< br>部分长度为a，那么截割后增加的长度就是2a。
依据这一规律，可快速地解答一些几何问 题。例如，如图4.40，正方形被
均分为大小、形状完全相同的三个长方形，每个长方形周长都是48 厘米，求正
方形的周长。

解题时，可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而 成的，三个小长方形的
拼接部分，都是小长方形的长，长度等于大正方形的“边长”。拼接以后的图形< br>（大正方形）的周长，比原来的三个小长方形的周长之和，要减少4个“边长”，
而这4个“边长 ”正好相当于大正方形的周长。这就是说，三个小长方形的周长
之和里，刚好包含有两个大正方形的周长 。所以，正方形的周长是
48×3÷2
=144÷2
=72（厘米）
（2）立体图形的拼接、截割。立体几何图形拼接或截割以后，它的体积和
表面积的变化，有以下规律：
①两个或两个以上的几何体，拼接成一个新几何体以后，它的体积等于原来
若干个几何体体 积之和；但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要
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小。如果重叠部分为S，那么减少的面积就是2S。
②把一个几何体截割 以后，各部分的体积之和等于原几何体体积；但截割后
的表面积之和，却大于原几何体的表面积。如果其 中的截割面积为S，那么，增
加的表而积就是2S。
依据这一规律，可以较快地解答出某 些题目。例如，如图4.41，把一个棱
长为5厘米的正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体（ 不计损耗），表
面积会增加多少平方厘米？

因为正方体木块的截割面积为5×5=25（平方厘米），依据上面的规律可知，
表面积会增加
25×2=50（平方厘米）
又如，把长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木 块截成形状、大小相
同的两个长方体，表面会增加多少平方厘米？
由于此题未交代从何处下手截割，所以要分三种情况来解答题目。

①如图4.42左图的截法，表面积会增加。
5×6×2=30×2=60（平方厘米）
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②如图4.42中图的截法，表面积会增加。
10×6×2=60×2=12（平方厘米）
③如图4.42右图的截法，表面积会增加
10×5×2=50×2=100（平方厘米）
6．扩缩图形
【扩图】 解题时，将几何图形扩大，有时候能使一时难以解决的问题变得
非常简单。
例如，图4. 43是一个圆心角为45°的扇形，其中的直角三角形BOC的直角
边为6厘米，求阴影部分的面积。

本来，求阴影部分的面积，只要用扇形面积减去直角三角形面积就行了。但
是同 学们暂时还未学求扇形半径R的方法，怎么办呢？

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由扇形的圆心角为45°，我们不妨将其扩大一倍，如图4.44所示。由此图可以求出三角形DOB的面积为

可知






扩大后的阴影部分面积为
56.52-72÷25=6.52-36
=20.52（平方厘米）
所以，原图所求的阴影部分的面积为
20.52÷2=10.26（平方厘米）
这 是个将图形整体扩大的例子。可否只将图形的某一个局部扩大，来求得问
题的解答呢？回答是肯定的。例 如：
如图4.45，图中的扇形半径为8厘米，圆心角为45°，求阴影部分的面积。

当然，这道题也可以将整个图形扩大一倍，去寻找答案。不过，解题的关键
是求出空白部分 （三角形）的面积，我们不妨以8厘米为边长，作一个正方形，
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这正方形面积便是空白三角形面积的4倍（即只将局部三角形面积扩大4倍）。
于是空白的三角形面积 便是
8×8÷4=16（平方厘米）
所要求的阴影部分的面积便是

【缩小研究对象】 有些图形从整体上研究，由于图形较为复杂，难以一下
子解决问题，若 根据图形特点，缩小研究范围，往往能较快地找到答案。

例如，图4.46是一块黑白 格子布，白色大正方形边长10厘米，白色小正方
形边长4厘米。这块布的白色部分的面积占总面积的百 分之几？

图形令人眼花缭乱，增大了解题时的难度。不过，仔细一看，就可发现它由< br>9块形状大小相同的图形组成，我们只要研究其中一个小图形（如图4.47）的白
色图形占整个 图形的百分之几，就足以解决问题了，所以，题目的解答可以是
（10×10＋4×4）÷［（10＋4）×（10＋4）］
=116÷196
≈0.592=59.2％。
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又如，图4.48是一个对称图形。

问：图中的黑色部分与阴影部分比较，是黑色部分的面积大，还是阴影部分
的面积大？
因 它是个对称图形，可如图中虚线那样画两条直线，将它平分为四个部分。
解题时，我们不必研究整个图形 ，只要研究它的四分之一就行了。


角扇形的面积。再由对称关系可知，图形 中两个空白部分的大小是相等的，故用
图中的上半部分减黑色部分所得的空白部分，等于下面半圆面积减 “卵叶形”阴
影部分所得的空白部分。在这一等式中，既然被减数和差都相等，那么减数（黑
色 部分和叶形阴影部分）也必定是相等的。于是可推出，整个图形的黑色部分和
阴影部分的面积，也必定是 相等的。

7．附录：等积变换
【用等积变换作图】 根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答。
例如
用三种方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。
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形，不论其形状是否相同，只要它们的底、高分别相等，则面积也一定是相等的。
所以，将任意 三角形平均分成四个面积相等的三角形，作图方法如下：
（1）把三角形底边平均分为四份，再把 每个分点与顶点连结（如图4.50甲
所示），所得的四个三角形——△ABD、

△ADE、△AEF和△AFC，是等底同高的，所以面积一定是相等的。（证明略）
（2）如图 4.50乙所示，先找出一条边BC的中点D，连结AD，再找出AD
的中心E，连结BE和CE，所得 到的四个三角形——△ABE、△BDE、△ACE和
△CDE，面积也一定是相等的。（证明略）

再三等分AD得AF=FE=ED；然后，连结BF和BE。这样得到的四个三角形—< br>—△ACD、△BAF、△BFE和△BED，面积也一定是相等的。（证明略）
【用等积变换比大小】 比较两个图形的面积大小，常常以求一个图形的面
积占另一个图形面积的几分之几的形式出现。
如图4.51，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点。求△AEF
是 平行四边形的几分之几？
解题时，可取AD的中点G连结G、E，则有
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△ABE的面积=平行四边形ABEG面积的一半=平行四边形ABCD面积

再取AB中点H，连结H、F，则有

从而还可以推出



这时，所有空白部分占整个平行四边形面积的分数都已经求出来了，于是，
阴影 部分△AEF的面积所占的分数便是

这样，一个本来很难解答的问题，经过等积变换，便较快地找到答案了。
再看下面的一个例子：





形ABCD的面积=？
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解题时，可先连结E、D和B、D，易知











进而便得








即 四边形EFGH的面积∶四边形ABCD的面积
=5∶9
【用等积变换求面积】 用等积变换求图形的面积，是常用的技巧之一。它
能使分散的图形 集中，使生疏、麻烦的题目转化为熟悉、简单的题目。例如
如图4.53，这是个直角梯形。求阴影部分的面积（单位： 厘米）。
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图中的阴影部分由两个同高的三角形组成。它们的面积是：





这道题的解答，也可以把两个阴影部分集中， 连结A、C，因为AB平行于
DC，所以△DAE的面积=△CAE的面积（同底等高），两个阴影部分 的面积就换
成一个三角形CAB的面积了。所以，阴影部分的面积就是8×4÷2=16（平方厘
米）。
又如，如图4.54，这是大小两个正方形组成的图形。大正方形边长为8厘
米 ，小正方形边长为5厘米，求阴影部分的面积。

用一般解法解答此题，是比较麻烦的。我们可作如下巧解。
连结B、E。经观察，会发现△BEC 与△ABE等积，因为它们都是以小正方
形的边长为底，以大正方形的边长为高。从这两个三角形中，分 别减去△BEF的
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面积，就得到△ABF和△FEC为等积的三角形。因此
△ABC的面积=AFC的面积+△ABF的面积
=△AFC的面积+△FEC的面积
=△AEC的面积

=12.5（平方厘米）
【用等积变换证题】 用等积关系证明几何问题，例如


如图4.55，在△ABC中，AB=AC ，D为BC的边上任意一点，DE⊥AB，
DF⊥AC，CG是AB边上的高。证明：CG=DE＋DF 。
证明时，可连结A、D，使△ABC分成△ABD和△ADC两个三角形。于是，
有




因AB=AC，故可用AB代替AC。所以，①+②得




即 CG=DE＋DF
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8．运用图形间的等量关系
【应用弦图解题】 我国古代有种图形叫做“弦图”（如图4.56所示），有的
数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。

我国宋代著名数学家杨辉，在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中，提出了
这样一个问题：
有一块长方形田，面积为864平方步（“步”是古代长度单位，1里=300步，
1步=5尺），已知 长比宽少12步，问：它的长、宽共是多少步？
杨辉在该书上出示了一个弦图（如图4.57），他是用四个面积为864


共是60步。显然，这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！
有些竞赛题也 可以用弦图来巧解。第一届“华罗庚金杯赛”中，就两次出现
了应用弦图来解答的题目。尤其是那一道决 赛题：

平方米。锯下的木条面积是多少平方米？”


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仿杨辉的解法，可假定剩下4块长方形木块，并利用它拼成了一个“弦图 ”，
如图4.58。于是可知，大正方形的面积为






【解纵横交错的复杂题】 把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放 在一
起，常常需要根据长、宽关系，找出等量关系来解答题目。例如

如图4.59，这是由同样大小的纸片摆成的图形，小纸片宽12厘米，求阴影
部分的总面积。
由图可知，5个纸片的长=3个纸片的长+3个纸片的宽，所以
2个纸片长=3个纸片宽
1个纸片长=12×3÷2
=18（厘米）
进而可知，每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6（厘米）
阴影部分的总面积便是
6×6×3=108（平方厘米）
又如，“有9个长方形，它们的长、宽分别相等，用它们拼成的大长方形（如
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图4.60）的面积是45平方厘米，求大长方形的周长。”

解题的关键，是求出一个小长方形的长和宽。由5个小长方形的宽等于

形重新分割为5个小 正方形，小正方形的边长，正好是小长方形的宽（如图4.61）。
所以，5个小正方形面积之和，就是 四个小正方形的面积之和，即5个小正方形
面积为
45÷9×4=20（平方厘米）
每个小正方形的面积为
20÷5=4（平方厘米）
显然，每个小正方形的边长（即小长方形的宽）为2厘米，小长方形的长便
是

进而便可求得大长方形的周长为
［2.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。
此外，题目还可这样解答：

因为小长方形宽的5倍等于长的4倍，所以，可用（4与5的最小公倍数）
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20个小长方形拼成一个大的正方形（如图4.62）。大正方形面积是

它的边长便是10厘米，则小正方形的长为
10÷4=2.5（厘米）
小正方形的宽为
10÷5=2（厘米）
于是，原来的大长方形的周长就是
（2.5×4＋2.5＋2）×2=29（厘米）。
【用面积线段比的关系解题】 利用面积比与线段比之间的等量关系，常常
能使复杂问题简单化。例如


为什么成立？


由图中可以看出，△PBC和△ABC是同底的两个三角形，所以



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又如，第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目：

“如图4.64，一个长方形 地面被两条直线分成四个长方形，其中三个的面
积是20公亩、25公亩和30公亩，另一个（图中阴影 部分）长方形的面积是多
少公亩？”
图中可见，右边两个长方形是长相同的长方形，它们 的面积比等于它们宽的
比；同样，左边两个长方形也是长相同的长方形，它们的面积比，也等于它们宽< br>的比。
设阴影部分面积为x公亩，由于左右两组长方形面积之比，都等于相同的宽
之比，所以

即另一个（阴影部分）长方形面积为37.5公亩。
9．利用间接条件
【利用隐含的间接条件】 发现和利用隐含的间接条件来解答题目，往往能
克服所学知识不够所造成的困 难，大大减少计算的时间。例如

如图4.65，已知正方形面积为18平方厘米，求阴影部分的面积。
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一般解法是用正方形面积，减去圆的面积。但在小学阶段，大家还不会求圆
的半径或直径怎么办呢？
因为圆面积公式是




刃而解。至于能否 求出r或d这样的直接条件，是并不重要的。所以，可以用下
面的方法来解答：


便是
18-14.3=3.87（平方厘米）


阴影部分的面积便是
18-14.13=3.87（平方厘米）

（3）若把正方形面积扩大2倍，则面积为36平方厘米，新正方形的边长
就是6厘米，即 随之也扩大了2倍的新圆的直径为6厘米，半径为3厘米。所
以随之而扩大了2倍的阴影部分的面积是

=7.74（平方厘米）
原来的阴影部分的面积便是
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7.74÷2=3.87（平方厘米）
又如，如图4.66，ABCD为矩形，里面有一个最大的半圆，OC=10厘米，
求阴影部分的面积。

解题时，可将矩形分割为两个小正方形，并连结O、D。因为△DOC是等腰
三 角形，OC=OD=10厘米，所以



故阴影部分的面积便是
100-3.14×50÷2＝100-78.5
=21.5（平方厘米）
【利用定比】 利用题目中不变的“定比”来解题，有时也能使题目得到较
快地解答。这也是利用间接条件去解答题目。
我们仍以上面的第一个例子（图4.65）为例。按照扩、缩图形的思路，可
将它一分为四 ，得到图4.67。




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小正方形的面积和阴影部分的面积也会改变。不过，变化中有个不变的因 素，即
阴影部分面积和小正方形面积之比是不变的。实际上，这也是题目中的一个间接
条件。
设小正方形边长为a，则阴影部分面积占小正方形面积的

所以，原图阴影部分的面积是
18÷4×21.5％×4=4.5×21.5％×4
=0.9675×4
=3.87（平方厘米）
或者是18×21.5％=3.87（平方厘米）

显然，只要是由这样的基本图形拼合 的图形，如以下四图（图4.68），都可
用“21.5％”（即21.5∶100）这一定比，去求图 中的阴影部分的面积。（解略）

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