波兰首都-2016高考作文题目

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8-7概率与统计



1. 能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题.
2. 运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．
3. 理解和运用概率性质进行概率的运算
教学目标
知识点拨
知识点说明

在抛掷一枚硬币时，究竟会出 现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量
重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就 会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半
左右．这里的“大量重复”是指多 少次呢？
历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加 ，出现
正面的频率波动越来越小，频率在
0.5
这个定值附近摆动的性质是出现正面这 一现象的内在必然性规律的
表现，
0.5
恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，< br>0.5
就是抛掷硬币时出现正面的概率．这就是概率统
计定义的思想，这一思想也给出了 在实际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将频
率作为概率的近似值．
在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体。
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做样本的容量。
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，把样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
概率的古典定义：
如果一个试验满足两条：
⑴试验只有有限个基本结果：
⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．
这样的试验，称为古典试验．
对于古典试验中的事件
A
，它的概率定义为：
m
P
A


，
n
表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，< br>m
表示事件
A
包含的试验基本结果
n
数．小学奥数中，所涉及 的问题都属于古典概率．其中的
m
和
n
需要我们用枚举、加乘原理、排列组合 等
方法求出．
相互独立事件：
P

AB

P

A

P

B


事件
A
是否发生对事件
B
发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． < br>公式含义：如果事件
A
和
B
为独立事件，那么
A
和< br>B
都发生的概率等于事件
A
发生的概率与事件
B
发
生 的概率之积．
举例：
⑴明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事件 为相互独立事件.所以明天天
晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的 概率.
⑵第一次抛硬币掉下来是正面向上与第二次抛硬币是正面向上是两个相互独立事件．所以第一次 、
第二次抛硬币掉下来后都是正面向上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上的概率之积，即< br>111
P
.
224
⑶掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个 数字向上是两个相互独立的事件，如果骰子掉在桌上的
1
概率为
0.6
，那么 骰子掉在桌上且数字“
n
”向上的概率为
0.60.1
．
6

1

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例题精讲


【例 1】 （ 2007年“希望杯”二试六年级)气象台预报“本市明天降雨概率是
80%
”．对此信息，下 列
说法中正确的是 ．
①本市明天将有
80%
的地区降水． ②本市明天将有
80%
的时间降水．
③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大．



【巩固】 一个小方木块的六个面上分 别写有数字
2
、
3
、
5
、
6
、
7
、
9
，小光、小亮两人随意往桌面上
扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果 朝上的一面写的是偶数，得
1
分．当小亮扔时，如果朝
上的一面写的是奇数，得
1
分．每人扔
100
次，______得分高的可能性比较大．



【例 2】 在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）
25 21 23 25 27 29 25 28 30 29
26 24 25 27 26 22 24 25 26 28
请填写下表




【例 3】 在某个池塘中随机捕捞
100
条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕
捞
2 00
尾，发现其中有
25
条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或 减少，
那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？



【例 4】 有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张。请
问：这2 张扑克牌花色相同的概率是多少？



【巩固】 小悦从1、2、3、4 、5这5个自然数中任选一个数，冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中
任选一个数。选出的两 个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少



【例 5】 妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4中水
果中任选 一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出
售。他也决定任选一种买 回家。请问：他们买了不同的水果的概率是多少？
1

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【巩固】 在标准英文字典中，由2个不同字母组成的单词一共有55个.如果从26个字母中任取2个 不同
的排列起来，那么恰好能拍成一个单词的概率是多少？



【巩固】 口袋里装有100张卡片，分别写着1，2，3，……，100.从中任意抽出一张。请问：
（1）抽出的卡片上的数正好是37的概率是多少？
（2）抽出的卡片上的数是偶数的概率是多少？
（3）抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？
（4）抽出的卡片上的数是101的概率是多少？
（5）抽出的卡片上的数小于200的概率是多少？



【例 6】 在一只口袋里装着2个红球，3个荒丘和4个黑球。从口袋中任取一个球，请问：
（1）这个球是红球的概率有多少？
（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？
（3）这个是绿球的概率有多少？不是绿球的概率又有多少?



【巩固】 一只口袋里装有5个黑球和3个白球，另一只口袋里装有4个黑球和4个白球。从两只口袋里
各取出一个球。请问：取出的两个球颜色相同的概率是多少？



【巩固】 一只普通的骰子有6个面，分别写有1、2、3、4、5、6。掷出这个骰子，它的任何一面 朝上的
概率都是16.假设你将某一个骰子连续投掷了9次，每次的结果都是1点朝上。那么第十次投< br>掷后，朝上的面上的点数恰好是奇数的概率是多少？



【例 7】 甲、乙两个学生各从
09
这
10
个数字中随机挑选了两个数字（可能相 同），求：⑴这两个数字
的差不超过
2
的概率，⑵两个数字的差不超过
6的概率．



【巩固】 小悦掷出了2枚骰子，掷出的2个数字之和恰好等于10的概率有多少？





【巩固】 分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少？点数之积为6的概率为多少？



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【例 8】 一枚硬币连续抛掷3次，至少有一次正面向上的概率是 ．



【巩固】 冬冬与阿奇做游戏：由冬冬抛出3枚硬币，如果抛出的 结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝
上，冬冬就获胜；否则阿奇获胜。请问：这个游戏公平吗？



【巩固】一枚硬币连续抛4次，求恰有2次正面的概率．



【巩固】 一枚硬币连续抛掷3次，求至少有两次正面向上的概率．



【巩固】 阿奇一次指出8枚硬币，结果恰有4枚硬币正面朝上的概率是多少？有 超过4枚的硬币正面朝
上的概率是多少？



【例 9】 如图 所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是
_______．
【巩固】 如图为
A
、
B
两地之间的道路图，其中⊙表示加油站，小 王驾车每行驶到出现两条通往目的地
方向道路的路口时（所有路口都是三叉的，即每到一个路口都只有一 条或两条路通往目的地），
都用抛硬币的方式随机选择路线，求：⑴小王驾车从
A
到< br>B
，经过加油站的概率．⑵小王驾车
从
B
到
A
，经过 加油站的概率．

AB





【例 10】 小明爬楼梯时以抛硬币来确定下一步跨
1
个台阶还是
2
个台阶，如果是正，那么跨
1
个台阶，如
果是反，那么跨出
2
个台 阶，那么小明走完四步时恰好跨出
6
个台阶的概率为多少？



【巩固】 小明爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，如果点数小于
3
，那么 跨
1
个台阶，如果不小
于
3
，那么跨出
2
个台阶， 那么小明走完四步时恰好跨出
6
个台阶的概率为多少？


1 < /p>

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【巩固】 从小红家门口的车站到学校，有
1
路、
9
路两种公共汽车可乘，它们都是每隔
10
分中开来一辆．小
红到车站后，只要看见< br>1
路或
9
路，马上就上车，据有人观察发现：总有
1
路车过去 以后
3
分钟
就来
9
路车，而
9
路车过去以后
7
分钟才来
1
路车．小红乘坐______路车的可能性较大．



【例 11】 四位同学将各自的一张明信片随意放在一起互相交换，恰有一个同 学拿到自己写的明信片的概
率是________．



【巩固】两封信随机投入4个邮筒，则前两个邮筒都没有投入信的概率是________．



【巩固】 一张圆桌旁有四个座位，
A
、
B
、
C
、
D
四人随机坐到四个座位上，求
A
与
B
不相邻而坐的概率．



【例 12】 小悦与阿奇比赛下军棋，两人 水平相当，两人约定塞7局，先赢4局者胜，现在已经比了三局，
小悦胜了2局，阿奇胜了1局。请问： 小悦获得最后胜利的概率有多少？



【巩固】 (2008年“奥数网 杯”六年级)一块电子手表，显示时与分，使用
12
小时计时制，例如中午
12
点
和半夜
12
点都显示为
12:00
．如果在一天(24小时)中 的随机一个时刻看手表，至少看到一个数
字“1”的概率是 ．



【例 13】 某列车有4节车厢，现有6个人准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢的可能 性是相等的，则
这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为多少？







【巩固】 三个人乘同一辆火车，火车有十节车厢，则至少有两人上同一节车厢的概率为_______．



【巩固】 某人有5把钥匙，一把房门钥匙，但是忘记是哪把，于是逐把试，问恰好第三把打开门的概率？



【巩固】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得 车牌是由
2
、
3
、
5
、
7
、
9< br>五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这
五个 数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______．



1

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【例 14】 某小学六年级有
6
个班，每个班各有
40
名学生，现要在六年级的
6
个班中随机抽取
2
个班，参
加电视台的现场娱乐活动，活动中有
1
次抽奖活动，将抽取
4
名幸运 观众，那么六年级学生小宝
成为幸运观众的概率为多少？



【巩固】 （2009年全国数学资优生水平测试）编号分别为1～10的10个小球，放在一个袋中， 从中随机
地取出两个小球，这两个小球的编号不相邻的可能性是___________。



【例 15】 一个年级有三个班级，在这个年级中随意选取3人，这3人属于同一个班级的概率是多少?



【巩固】 一个班有女生25人,男生27人，任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?



【巩固】 从6名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？



【例 16】 （2008年武汉明心奥数挑战赛六年级）学校门口经常有小贩搞 摸奖活动．某小贩在一只黑色的
口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10 只，其余为白球．搅拌
均匀后，每2元摸1个球．奖品的情况标注在球上（如图）．
8元的
奖品
红球
5元的
奖品
黄球
1元的
奖品
绿球
无
奖品
白球
如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是 ．




【巩固】 用转盘(如图)做游戏，每次游戏游戏者需 交游戏费1元．游戏时，游戏者先押一个数字，然后
快速地转动转盘，若转盘停止转动时，指针所指格子 中的数字恰为游戏者所押数字，则游戏者
将获得奖励36元．该游戏对游戏者有利吗？转动多少次后，游 戏者平均每次将获利或损失多少
元？


【巩固】 用下图中两个转盘进行 “配紫色”游戏．分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另
一个转出了蓝色，则可配成紫色， 此时小刚得1分，否则小明得1分．这个游戏对双方公平
吗？若你认为不公平，如何修改规则，才能使该 游戏对双方公平呢？
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【巩固】 小明和小刚改用如图所示的两个转盘 做“配紫色”游戏．配成紫色，小刚得1分．否则小明得1
分，这个游戏对双方公平吗？为什么？


【巩固】 转动如图所示的转盘两次，每次指针都指向一个数字．两次所指的数字 之积是质数，游戏者
A
得10分；乘积不是质数，游戏者
B
得1分．你认为这 个游戏公平吗？如果你认为这个游戏不公
平，你愿意做游戏者
A
还是游戏者
B
？为什么？你能设法修改游戏规则使得它对游戏双方都公平
吗？

【例 17】 小红的箱子中有4副手套，完全相同，但左、右手不能互换，有一副是姑姑送的，两副是奶奶
送 的，还有一副是自己买的，她从中任拿一副，恰好是姑姑送的那副的概率是多少？



【巩固】 盒子里装着20支圆珠笔，其中有5支红色的，7支蓝色的，8支黑色的。从中随 意抽出4支，每
种颜色的笔都被抽出的概率是多少？





【例 18】
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样 的签，其中
只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推 选
为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？



【巩固】 还是上面的题干，如果每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每
个人抽中 的概率为多少？



【巩固】 在一次军事演习中，进攻方决定对目标进 行两次炮击。第一炮命中的概率是0.6，第二炮命中的
概率是0.8.请问：两炮都集中目标的概率是 多少？恰好有一炮击中目标的概率是多少？两炮都
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未击中目标的概率是多少？



【巩固】 张先生每天早晨上班 时有13的概率碰到堵车。在不堵车的时候，张先生按时到达单位的概率为
0.9，吃到的概率为0.1 ；而堵车的时候，张先生上班迟到的概率高达0.8，按时到达的概率只
有0.2.请问：张先生上班迟 到的概率是多少？



【例 19】 某射手在百步之外射箭恰好射到靶 心的概率为
40%
，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全
部射中靶心的概率为多少 ？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?



37
【例 20】 设在独立重复3次试验中，至少有一次试验成功的概率为，问每次试验成功的概率是多少？
64



【例 21】 已知10件产品中有3件次品，为了保证 使3件次品全部检查出来的概率超过
0.6
，则抽出来检
验的产品最少有 件．



【巩固】 工厂质量检测部门对某一批次的
10
件产品进行抽样检测，如果这
10
件产品中有两件产品是次品，
那么质检人员随机抽 取
2
件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件
是次品的概 率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？






【例 22】 一批零件中有9个合格品和3个废品，安装机器时，从这批零件中随机选取一 个，如果每次取
出的废品不放回去，分别求在取得第一件合格品以前已取出
X
件废品数 的概率，
X0
，1，2，
3．



1
1
2
【例 23】 甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，．⑴现三 人各投篮一次，求3人都没投进
2
3
5
的概率．⑵现在3人各投篮一次，求至 少有两人投进的概率．



1
【巩固】 某篮球运动员投球的命中率为，则他投球10次，恰好连续投进5球的概率是多少？
2



【例 24】 在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为0.5
，
0.4
，
0.2
，考试结束后，
最容易出现几 个人优秀？
1

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【巩固】 在某次的考试中，甲、 乙两人优秀（互不影响）的概率为
0.5
，
0.4
，考试结束后，只有乙优秀
的概率为多少？



【巩固】 有
5
个同学在 一起，小亮的年龄不是最小的，那么小亮年龄最大的可能性是＿＿＿＿
%
．



【例
25
】 甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动 ，很幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物，
事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从 其中一串的最下端取一件，直到礼物取
完为止．甲第一个取得礼物，然后，乙、丙、丁、戊依次取得第< br>2
件到第
5
件礼物，当然取法
各种各样，那么共有 种 不同的取法．事后他们打开这些礼物仔细比较，发现礼物
D
最
精美，那么取得礼物D
可能性最大的是 ，可能性最小的是
B
A
E
D
C

【例 26】 从立方体的八个顶点中选
3
个顶点，你能算出：
⑴它们能构成多少个三角形？
⑵随机取3个顶点，这3个点构成正三角形的可能性有多少？



【拓展】一个标准的五角星(如图)由
10
个点连接而成，从这
10
个点随 机选取
3
个点，则这三个点在同一
条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概 率为多少？如果选取
4
个点，则这四个点恰
好构成平行四边形的概率为多少？

【巩固】从立方体的八个顶点中选
3
个顶点，你能算出：
⑴它们能构成多少个三角形？
⑵随机取3个顶点，这3个点构成正三角形的可能性有多少？



第一讲 观察法
在解答数学题时，第一步是观察。观察 是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小
学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开 发与培养学生智力的第一步。
1

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观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置 特点，条件与结论之间的关系，题目
的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答 出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学

第二册，第 11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引
导儿童观察、思考，初步 培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他
们已有的知识，能够判断本题的意思 是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正
方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上 三个数字的和，都等于左边小正方形中的
数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，
18 -10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。
从竖右列7+2+□=18（图1 -2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图
1-3）。

从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小 方
格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到， 18-7-6=5，在大正方形左下角的小方
格中应填入5（图1-4）。

1