大连理工大学本科招生网-江汉大学分数线

周期问题


1. 掌握各种周期问题的求解方法．
2. 培养学生观察、分析和逻辑推理能力。
教学目标
知识精讲
知识点说明：
周期问题：

周期现象：事物在运动变 化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的
时间叫周期；解决有关周期性 问题的关键是确定循环周期.
分类： 1．图形中的周期问题；
2．数列中的周期问题；
3．年月日中的周期问题．
周期性问题的基本解题 思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题
的依据；其次要确定解题的 突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几
问题等。
⑴观察 、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，
结果就为周期 里的最后一个；
例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？
这个数列的周期是2，
1829
，所以第18个数是2．
⑵如果比整数个周期多
n
个，那么为下个周期里的第
n
个；
例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？
这个数列的周期是3，
16351
，所以第16个数是1．
⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．
例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？
这个数列从第二个数开始循 环，周期是2，
(161)271
，所以第16个数是2．
例题精讲
板块一、图形中的周期问题

【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：
●●○●●○●●○…
你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 1 of 16

【解析】 仔细观察图中球 的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……
也就是按“2个黑 球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再
看看90、10 0里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是
有整数个周期多几个 ，结果就为下一个周期里的第几个．因为
90330
，正好有30个周期，第
90 个是白球．
100333
…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．
【答案】第90个是白球，第100个是黑球

【巩固】 美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序
排列的：
○●○○○●○○○●○○○……
那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？
美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的 ．我
们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个< br>珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为
102425
…2，所以最后一 个珠子是第26
个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠 子中共
有
25126
（个）
【答案】最后一个珠子是黑色的，黑色珠子在这串珠子中共有
26
个

【巩固】 黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下图。这串珠子中，最后一颗珠子应该是____ _色的,
这种颜色的珠子在这串中共有_____颗.

【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 观察图形可知从第二个珠子开始每隔3 个出现一个黑色的，即4个一循环。所以：（101－1）÷4=25，
判定最后一个为黑色，共有25 颗。
【答案】最后一个珠子是黑色的，黑色珠子在这串珠子中共有
25
个

【巩固】 ★○○○★★○○○★★○○○……这样的一排图形中第87个是什么图形，在87个图形中 一
共有多少个五角星？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】
87(23) 17
…2．第87个图形是圆形．
172135
（个）．
【答案】
35


【例 2】 甲、乙、丙三个网站定期更新，甲网 站每隔一天更新1次；乙网站每隔两天更新1次，丙网站
每隔三天更新1次。在一个星期内，三个网站最 多更新 次。
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2004年，希望杯，第二届，五年级，二试
【解析】 甲最多4次，乙最多3次，丙最多2次，和为9次
【答案】
35


【例 3】 小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．
⑴第73颗是什么颜色的？
⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 2 of 16

⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗．
73514< br>(组)……3(颗)，第
73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．
⑵第10颗 黄珠子前面有完整的9组，一共有
5945
(颗)珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2
颗，所以它是从头数的第47颗．列式：
59245247
(颗)
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有
完整 的两组(第9、10组)，共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．列式：
5 2410414
(颗)．
【答案】⑴蓝色 ⑵
47

⑶
14


【巩固】 在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直 到
第50颗，那么其中白珠有多少颗？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】
50(225) 5
…5．
52212
（个）．
【答案】
12


【例 4】 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后 又是5
盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去．问：
⑴第150盏灯是什么颜色？
⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期 变化的，实际上一个
周期就是
54110
（盏）灯．
150(54 1)15
，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应
该是这个周期的最后一盏，是黄 色的灯．
⑵如果是200盏灯，就是
200(541)20
的周期．每个周 期都有4盏蓝灯，
20480
（盏）
前200盏彩灯中有80盏蓝灯．
【答案】⑴
黄色
⑵
80


【巩固】 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就
是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：
1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．
734 181
，即73被4除的余数
是1，因此第73盏灯是白灯．
【答案】
白灯


【巩固】 按下面的摆法，摆一百个三角形，请问 第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有
多少个白色的三角形？
△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 从图中可以看出，按照6个为一个周期 ，因为
100616
…4，所以第100个三角形应该是这一
个周期当中的第四个 ，应该是黑色的．每个周期里有3个白色的，一共有16个周期就有48个白
色三角形，余下的4个三角 形中还有3个白色的，所以一共有
163351
个．
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【答案】
51


【巩固】 流水线上给小木球涂色的次序是：先5 个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然
后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如 此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 小木球的涂色顺序是：“5红、4黄、 3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、
1白”循环一次，给小木球涂色的一个 周期是
5432115
，因此只要用2003除以15，
200315 133
…8根据余数是8就可以判断：第2003个小木球出现在上面所列一个周期中第8
个 ，所以第2003个小球是涂黄色．
【答案】涂黄色

【例 5】 奥运会就要到 了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎
你北京欢迎你北京欢 迎你……”依次排列，第28个字是什么字？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为< br>2855
…3，所以28个
字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一 个周期中的第3个字，所以第28个字是
“欢”字．
【答案】“欢”

【巩固】 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林） ，
那么第50组是什么？
新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运……
奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 要知道第50组是哪两个数，我们首先 要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么．第
一行“新北京新奥运”是6个字一个周期，< br>5068
…2，第50个字就是北．再看第二行“奥林匹
克运动会”是7个字一个周 期，
5077
…1，第50个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，
第50组就 是“北奥”．
【答案】
“北奥”


【例 6】 小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．
⑴最后1枚是几分硬币
⑵这200枚硬币一共价值多少钱？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴每个周期有
3216
枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断
200633
……2，所以最后一枚是1分硬币
⑵每个周期中6枚硬币共价值< br>13221512
（分），用这个数乘以周期次数再加上余下的，
就可以得 到一共价值多少了
12332398
（分），所以，这200枚硬币一共价值398分．
【答案】⑴1分硬币 ⑵398分

【巩固】 桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问： 最
后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】
1963
…1,
1462
…2,所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的．
【答案】最后一个是一角的,第十四个是五角的
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【例 7】 有249朵花，按5朵红 花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？
这249朵花中，什么花最多， 什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有
591327
（朵）花．因为
249279
……6，所以，这249朵花中 含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵
花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一 个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249
朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两 种解法：
（方法1）
249(5913)9
……6
红花有：59550
（朵）绿花有：
139117
（朵）红花比绿花少：
1175067
（朵）
（方法2）
249(5913)9
… …6，一个周期少的：
1358
（朵），
9872
（朵），余下的6
朵中还有5朵红花，所以
72567
（朵）.
【答案】红花最少，少
67
朵


【巩固】 如图所示，每 列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，
A
”，第二组是“们，
B< br>”……

我 们 爱 科 学 我 们 爱 科 学 我
……
A

B

C

D

E

F

G

A

B

C

D

……
⑴写出第62组是什么？
⑵如果“爱，
C”代表1991年，那么“科，
D
”代表1992年……问2008年对应怎样的组？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我 们爱
科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“
ABCDEFG
”七个字母为一个周 期
62512
……2 ,
6278
……6，所以第62组是“们，
F
”
⑵2008是 1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按
“
DEFGABC
” 七个字母为一个周期：
2008199117
（组），
1753
……2
1772
……3，所以2008年对应的组为“学，
F
”．
【答案】
⑴
第62组是“们，
F
” ⑵2008年对应的组为“学，
F
”

【例 8】 如右图，是一片刚刚收 割过的稻田，每个小正方形的边长是
1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小
鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，
它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位 ；不久，它又飞到
关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号
位，再飞到关于A 点对称的4号位，……，如此继续，一直
对称地飞下去。由此推断，2004号位和0号位之间的距离是
多少米？

【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 0米。根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！四次再次回到0号位置 ！2004是4的倍数，
所以第2004号位和0号位之间的距离是0米。
【答案】
0米


板块二、数列中的周期问题
【例 9】 小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…
你知道他写的第81个数是多少吗？
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 5 of 16

你能求出这81个数相加的和是多少吗？
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数． 81个数
则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，
81516…1
⑵每个周期各个数之和是：
7025317
．再用每个周期各数 之和乘以周期次数再加上余下
的各数，即可得到答案．
17167279
，所以 ，这81个数相加的和是279．
【答案】⑴第81个数是7
⑵这81个数相加的和是279


【巩固】 根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？
1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17……
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 观察题目可知数列个位数字每九个数一 组，十位数字依次增加，0～4共五个数，则可列式为：5×9
＋1=46，即51为第46个数。
【答案】第46个数

【巩固】 如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第99行右边第一个数是几？

【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 每7个数，分成两行一个周期，99÷2=49……1，第98行中最大的那个数为：（49 ×7-1）×2=684，
所以第99行从左到右的数依次为：686、688、690 ，第99行右边第一个数是690
【答案】690

【巩固】 某个早晨,容器 中有200个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减少65个,夜间无光照,容器中的细菌
将增加40个 .则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡！
【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周期回归.一昼夜细菌减少65 －40=25个，200÷25=8
天，该解法有误.第6天的时候剩余细菌：200-25×6=50 ，则第7天就可.
【答案】第7天

【例 10】 ⑴
44
……
4
（25个4），积的个位数是几？
⑵24个2相乘，积末位数字是几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，… …，奇数个4相乘得数的末
位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以
25212
…1，25个4相乘，积的末位数字
是4．
⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是2 ，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组
2446
，所
以24个2相乘， 积末位数字是6．
【答案】⑴末位数字是4 ⑵末位数字是6

6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 6 of 16

【巩固】 紧接着1989 后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，
8972
，在9后面写2，
9218
，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问： 这串
数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴根据题意，写出这列数的前面部分数字：868842……“286884”这6个数字重 复出
现，周期是6．
⑵第1999个数字是：因为
(19994)6332 3
，所以，第l999个数字是6．
⑶这1999个数字的和是：
(19 89)(286884)332(286)
271195216119 95

【答案】第l999个数字是6；这1999个数字的和是
11995


【例 11】 12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图．
⑴从1号同学开始，顺时针传l00次，手绢应在谁手中？
⑵从1号同学开始，逆时针传l00次，手绢又在谁手中？
⑶从1号同学开始， 先顺时针传l56次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107
次，最后手绢在谁手中 ？
11
10
9
8
7
6
5
12
1
2
3
4

【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴因为一圈有l2个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从1号 开始，顺时针传l00次，
我们先用除法求传了几圈、还余几次．
100128
( 圈)……4(次)从1号同学顺时针传4次正好传
到5号同学手中．
⑵与第一小题的道理一样 ，先做除法．
100128
(圈)……4(次)这4次是逆时针传，正好传到9
号 同学手中(如图)．
⑶先顺时针传156次，然后逆时针传l43次，相当于顺时针传
156 14313
(次)；再顺时针传l07
次，与13次合并，相当于顺时针传
13 107120
(次)，
1201210
(圈)，手绢又回到l号同学手
中．
11
10
9
8
7
6
5
12
1
2
3
4

【答案】⑴5号同学
⑵9号同学 ⑶l号同学


【巩固】 8个队员 围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按
顺序报数．当报到 72时，球在几号队员手上？
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1
8
7
6
5
4
2
3

【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：
7289
组，没有余数，球正好
在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上．
【答案】8号队员

【巩固】 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的 圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字．的
圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳 蚤也从标有数字．的圆圈起跳，但
它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个 圆圈里数字的乘积是多少？
11
10
9
8
7
6
5
4
0
1
2
3

【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 解答此类问题时，只要能发现旋转周期 现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键．本题
中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电 子跳蚤每跳12步就回到了原来的位置，如此循
环，周期为12．
⑴因为
1991 12165
⑵因为
194912162
11
，所以，红跳蚤跳了199 1步后落到了标有数字11的圆圈．
5
，所以，黑跳蚤跳了1949步后落到了标有数字7的圆圈．
⑶所求的乘积是
11777
.
【答案】
77


【巩固】 如下图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开始按顺 时针方向前进
329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个 位置，第四
天再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位 置？

【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环 变换方向.每一个周期
中，小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156（个）位置. 1 56÷8=19……4，就是说，每个
周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置 . 要使小球回到原来的1号位，
至少应逆时针前进8个位置. 8÷4=2（个）周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又回
到原来“1”号位置.
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 8 of 16

【答案】
4天


【巩固】 如下图，有16把椅子摆成一个圆圈， 依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时
针前进328个，再逆时针前进485个，又 顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针
前进136个，这时他到了第几号椅子？

【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8 ，所以他走到9号位置.又这
个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝6 0…10，因此这个人到了第15(=9+16-10)
号椅子.
【答案】
15


【例 12】 甲、乙两人对一根3米长的木棍涂 色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘米
不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底。 然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，
然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底 ，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长
度是多少？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 此题最好画图为同学们示意：在前30 厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在31-60厘米内的是：4，
2，因此60厘米一个周期：（1+ 3+5+4+2）×30060=75厘米 .
【答案】
75厘米


【例 13】 右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，那么B代表多少？

【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和 与它相
隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.
于是：B=891÷(9×9)=11.
【答案】11

【巩固】 课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数 ．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报
“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34” 是谁报的？“71”是谁报的？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了34次．因为是4个人在报数， 所以报4次就要重复一遍，
也就是说是以4为一个周期重复的．34里面有8个周期还余2次，所以“3 4”应是重复8遍以后第
二个人报的，即乙报的．
71417
…3，所以“71” 应是第三个人报的，即丙报的．
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 9 of 16

【答案】 “34”是乙报的； “71”是丙报的

【巩固】 同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个 好办法，大家排成一排1～2报数，
报2的同学再1～2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学 先玩，如果这列一共有12
人，最先玩的同学是这一列中的第几个？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 第一次1～2报数，报2的是第2，4 ，6，8，10，12这几个同学，这些同学再1～2报数，报2
的是第4，8，12这三名同学，最后 这三名同学再1～2报数，就只剩下第8个同学是报2，所以
最先玩的这个同学是这列中的第8个．
【答案】
第8个


【巩固】 1999名同学从前往后排成一列， 按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，那么后一
个同学就要报出这个数与9的和；如果某名 同学报的数是两位数，那么后一个同学就要报出这
个数的个位数与6的和。现让第一个同学报1，那么最 后一名同学报的数是( )。
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 列出前几个数：1、10、6、15、11、10、6、15、11、10、6、…
可以看出除去第一 个数之外后面每四个数一循环，所以（1999－1）÷4=499…2，那么最后一
名同学报的数是6 。
【答案】
6

【例 14】 某班43名同学围成一圈。由班长起从1 开始连续报数，谁报到100，谁就表演一个节目；然后
再由这个同学起从1开始连续报数，结果第一个 表演节目的是小明，第二个演节目的是小强。
那么小明和小强之间有________名同学。
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2006年，迎春杯，中年级，初赛
【解析】
10043214
。小明和小强之间有同学
14212
（名）或
431429
。
【答案】
29


【例 15】 实验室里有一只特别的钟，一 圈共有20个格．每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9
个格，今天早晨8点整的时候，指针恰 好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 昨晚8点至今早8点，共经历
6012720
(分钟)，
7207102
跳到“0”位，指针共跳了102 次．
由于每次跳9格，所以共跳了
9102918
(格)．每20格一圈，918204518
，因此从“0”位
开始，往回倒45圈，还要倒回18格，正是昨 晚8点时指针所指处：
20182
，因此昨晚8点
整时指针正指着2．
【答案】
2


【巩固】 有
A
、
B、
C
三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是
3:4:5
．每个蜂鸣器每 次鸣叫完后停
8
秒
钟又开始鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，
14
分钟后第二次同时开始鸣叫，此时
B
蜂鸣器
已是第
43
次鸣叫了． 问：最初同时开始鸣叫后的多少秒
A
与
C
第一次同时结束鸣叫？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 14分钟即
1460840
秒，根据题意可知在840秒内
B
蜂鸣器已经鸣叫了42次，也停了42次，
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 10 of 16
6
，说明从今早8点整起，7
分钟，7分钟…往回数，昨晚8点后，第1次指针 跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好

那么B
蜂鸣器每一次鸣叫加停止的时间为
8404220
秒，所以
B蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为：
20812
秒，那么
A
蜂鸣器每次鸣 叫持续
9
秒，
C
蜂鸣器每次鸣叫持续
15
秒，
则
A
、
C
两个蜂鸣器每次鸣叫加停止的时间分别为
9817
秒和
15823
秒，
由于

17,23

391
，所以经过391秒之后
A
与
C
要第二次同时开始鸣叫，由 于在此时
A
与
C
都停止
鸣叫了8秒，所以
A
与C
第一次同时结束鸣叫是在最初开始鸣叫之后的第
3918383
秒．
【答案】
383
秒


【例 16】 有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 我们可以用列表的方法寻求周期．
被除数中“1”的个数
除以6后余数的末位数字
除以6后商的末位数字
1
1
0
2
5
1
3
3
8
4
1
5
5
5
1
6
3
8
7
1
5
…
…
…
通过表格我们可以发现，余数出现的 周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第
二个“1”开始，商的末位数字的 周期为3（1，8，5）
因为
111337
，所以这个数除以6后余数的末位数字是3；
因为
(1111)336
…2，所以这个数除以6后商的末位数字是8．
【答案】
8


【巩固】 有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1” 开始，商的末位
数字的周期为3（1，8，5），因为
11113370
…1，所 以这个数除以6后余数的末位数字是1；
因为
(11111)3370
，所以这 个数除以6后商的末尾数字是5．
【答案】
5


12829
【例 17】 求
2829
的个位数字.
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由128÷4＝32知，
28
1
128
的个位数与
8
的个位数相同，等于6。由29÷2＝14……1知，
29
的个
429< br>位数与
9
的个位数相同，等于9.因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数 字为16－9
＝7.
【答案】
7


（367
367
762
762
）123
123
的得数的尾数是几？ 【巩固】 算式
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了：
7：7，9，3，1……，3674=91…3，个位数是3 ；
2：2，4，8，6……，7624=190…2，个位数是4 ；
3：3，9，7，1……，1234=30…3，个位数是7 ；
因此个位数：（3+4）×7=49 .
【答案】49
板块三、日期中的周期问题
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 11 of 16

【例 18】 阳历1978年1月1日是星期日，阳历2000年1月1日是星期几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 每四年有一个闰年，闰年的年份被4整 除，所以从1978年至1999年共有17个平年，5个闰年，
由此可以算出总天数，用总天数除以7 ，余1是星期一，余2是星期二，依次类推
3651736658035
（天），< br>803571147
（星期）……6（天），所以，阳历2000年1月
1日是星期 六．
【答案】星期六

【巩固】 1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 00、04是闰年，01、02、03 、05是平年，一共度过了：365×6＋2=2192（天），2192÷7=313…1，
2005年的元旦是星期六
【答案】星期六

【巩固】 小童的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期几呢？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从日历上可以看到，每个星期有7天， 就是以7天为一个周期不断地重复．6月1日是星期六，
那么再过7天，即6月8日，还是星期六；如果 再过14天，即6月15日，还是星期六，所以要
知道6月27日是星期几，首先要求出6月27日是6 月1日后的第几天，
27126
（天）；因为
每个星期都是7天，也就是周期为7 ，所以
2673
（星期）…5（天）．这样，从6月1日开始
经过3个星期，最后 一天是星期六，从这最后一天再过5天就是星期四．
【答案】星期四

【巩固】 今天是星期三，那么从明天起第365天是星期几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 题中所说的第365天，不包括今天在内，是说“从今天之后的第365天”．
365752
（星期）…1（天），所以，从明天起，到第365天是星期三．
【答案】星期三

【例 19】 2002年的6月1日是星期六，那么这一年的10月1日是星期几呢？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 我们只要算出6月1日到10月1日要 经过多少天，然后按照7天为一个周期，运用周期变化规
律解答．由于6月1日与10月1日这两个日子 不在同一个月里，就要考虑经过月份是什么月？
一共有多少天？因为6月有30天，7月有31天，8月 有31天，9月有30天，所以6月1日到
10月1日要经过的天数：
30313130 1123
（天），
123717
…4 ，这个周期从周六开
始，那么第4天正好是星期二．
【答案】星期二

【巩固】 2008年3月3号是星期一，算一算2008年8月8号奥运会开幕是星期几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 首先我们应该算出2008年3月3号到8月8号一共有多少天，
(312)3 03130318159
（天）．按照7天为一个周期，
159722
…5，这个周期的第一天是星期一，那么第五天就应
该是星期五，所以2008年8月8号奥运会开幕是 星期五．
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 12 of 16

【答案】星期五

【巩固】 2008年的“六·一”儿童节是星期日，2008年的“十·一”是星期几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这个周期从周日开始，那么第4天正好是星期三．
303131301 123
（天）
123717
…4，
【答案】星期三

【例 20】 某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出1 集，星
期六停播．问：最后一集在星期几播出?
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】1995年，第5届，华杯赛，初赛
【解析】 每星期播6集，84集播 84÷6＝14 个星期，第一集在星期日播出，所以最后一集在星期五播出.
【答案】星期五

【巩固】 某人连续打工24天，赚得190元(日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休 息，无
工资)．已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日．问：这人打工< br>结束的那一天是2月几日?
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】1995年，第5届，华杯赛，初赛
【解析】 因为3×7＜24＜4×7
所以24天中星期六和星期日的个数。都只能是3或4又，190是10的 整数倍．所以24天中的
星期六的天数是偶数再由240—190＝50(元)
便可知道，这 24天中恰有4个星期六、3个星期日星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这
人打工结束的那一天必 定是星期六．由此逆推回去。便可知道开始的那一天是星期四因为．1月
1日是星期日．所以1月22日 也是星期日，从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日从1月
26日往后算，可知第24天是2月1 8日，这就是打工结束的日子．
【答案】2月18日

【巩固】 王师傅在某个特 殊岗位上工作、他每上8天班后，就连续休息2天．如果这个星期六和星期天
他休息，那么，至少再过几 个星期后他才能又在星期天休息？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】第三届，华杯赛，初赛
【解析】 设至少过n个星期，可能第n 个星期六休息，也可能第n个星期六不休息(在星期天与星期一连休
2天)，前者得出：7n-2＝10 K＋8(1)，后者得出：7n—1＝10K＋8(2)，其中K是自然数
(1)即 7n＝10(K＋1)，因此，n是10的倍数，至少是10
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 13 of 16

(2)即 7n＝10K＋9，它表明7n的个位数字是9，所以n＝7，17，…
于是至少再过7个星期后，才能又在星期天体息。
【答案】7个星期

【例 21】 小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶 取牛
奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 21天内，每人取奶7次，方方第8次 取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期．
100714
…2，
所以方方第10 0次取奶是星期四．
【答案】星期四

【巩固】 甲、乙、丙、丁四位医生依次每 天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，那么当丙首
次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊 几次了？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 甲第30次义诊是在总次数的第4×29+1=117（次），117÷7=16……5，从 周三往前数5天，由周
期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、 一、五、二 . 丙
在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天 义诊，所以他
已经去过5次.
【答案】5次

【例 22】 在某个月中刚好有3个星期天的日期是偶数(双数)，则这个月的5日是星期几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 一个星期有7天，注意7是奇数(单数 )，所以任意两个相继星期天的日数奇偶性不同．于是在每
个月从l日到28日这28天中，有
2874
个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数，从而
题中第3个日期为偶数的星期 天必为30日．由此可以推知，这个月的第1个星期天是
30472
日，那么，5日为星 期三．
日
2
9
16
23
30
一
3
10
17
24
二
4
11
18
25
三5
12
19
26
四
6
13
20
27< br>五
7
14
21
28
六
8
15

22
29
所以这个月的5日是星期三．
【答案】星期三

【巩固】 已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个
月的5号是星期几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这道题表面看无从下手．实际上本题暗藏着一个重要条件：在一个月内，无 论是星期几，它的天
数只能是4或5，根据这个知识点，就可知道本月星期一，二都是5天，星期三，日 都是4天，
用列表法可以得到答案．
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 14 of 16

日一
1
78
1415< br>2122
2829
二
2
9
16
23
30三
3
10
17
24
四
4
11
1825
五
5
12
19
26
六
6
13
20
27
所以这个月的5号是星期五．
【答案】星期五

【巩固】 一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有几个月?
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 1月1日是星期日，全年就有53个星期日。每月至少有4个星期日，53-4×12=5， 多出5个星期
日，在5个月中．即最多有5个月有5个星期日．
【答案】星期日

【巩固】 奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”。聪敏的小明立到告诉奶奶：2007年的元旦一定是()。
(A)星期一 (B)星期二 (C)星期六 (D)星期日
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】 2006年，第11届，华杯赛，初赛
【解析】 2006年有365天，而365=7×52+1，又已知2006年有53个星期天，只能 元旦是星期天，且12月
31日也是星期日，所以，2007年月的元旦是星期一。
【答案】A

【例 23】 1998年元旦是星期五，l999年元旦是星期几？2000年元旦是星期几？2001年元旦是星期几？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 l998年是平年，1998年元旦到l999年元旦共365天．
36575 21
，即l998年元旦到1999
年元旦要经过52个星期又l天，1998年元旦是星期五 ，经过52个星期还是星期五，再经过1天
便是星期六，因此l999年元旦是星期六．1999年元旦 到2000年元旦也是365天，也要经过52
周又l天，故2000年元旦是星期日．因为2000年 是闰年，2月份有29天，故2000年元旦到2001
年元旦共366天，
366752 2
，2000年元旦是星期日，经过52周还是星期日，再过2天
便是星期二，即2001年元 旦是星期二．
【答案】星期二

【巩固】 图中是2002年5月份日历表．⑴该 月8号是星期几？⑵该年6月l日是星期几？该年10月1日
是星期几？⑶2004年5月l日是星期几 ?
日一二三四五六
1234
567891011

718
192
262728293031
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 一个星期有7天，因此7天为一个周期 ．从表中我们可以看出l号～７号是一个周期，1号是第
一个循环的第一天，7号是第一个循环的最后一 天，8号是第二个循环的第一天，计算天数时为
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 15 of 16

了方便，我们可以采取“算头不算尾”或“算尾不 算头”的方法．在算该年6月1日、10月1日、2004
年5月1日是星期几时，要注意应准确地算出 各是经过了多少天，这其中不要忘记2004年是闰
年，共有366天．
⑴该月的8号是星期三．
⑵从5月1日到5月31日共31天，
3174
月30日共l53天．
153721
1日是星期六．
【答案】⑴星期三 ⑵星期二 ⑶星期六

【例 24】 2009年的元旦是星期四 ，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个
星期日？
【考点】周期问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2009年，第14届，华杯赛，决赛
【解析】 下表列出各个月的1号的相关信息：

月份
1号距1月
31
1号的天数
除以7的
3
余数
1号的星期
日
数

10月1号与1月1号相距273天，273是7的倍数，所以，10月份的第一天也是星期四。
3月1号是星期日，3月份有31天，所以3月有5个星期日；
5月3号是星期日，5月份有31天，所以5月有5个星期日；
8月3号是星期日，8月份有31天，所以8月有5个星期日；
11月1号是星期日，11月份有30天，所以11月有5个星期日。
【答案】10月份的第一天也是星期四；3月、5月、8月、11月有5个星期日
日 三 五 一 三 六 二 四 日 二
3 6 1 4 6 2 5 0 3 5
59 90 120 151 181 212 243 273 304 334
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
，所以6月1日是星期六．从5月1日到9
3
，所 以2004年5月
6
，所以10月1日是星期二．
⑶从2002年的5月1日到20 04年的4月30日共731天．
7317104
6-1-12.周期问题.题库 教师版 page 16 of 16