伍秉鉴-实习日记40篇

数表规律

知识框架

一、数列的定义
按一定 次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个
数列的第1 项，第2个数称为第2项，第n个数称为第n项。
根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有 有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限
的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。
【诀窍】1，比较简单 的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，
把数列合理地拆分成为几 部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。
2，图形中的数在图形中所 处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，
才能找到规律；
3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。
【注意】通 过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差
异，它们通常是 按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列
问题．
二、等差数列的定义
⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法
定义：从第二项起，每一 项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等
差数列．
譬如：2、5、8、11、14、17、20、
L
从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列
100、95、90、85、80、
L
从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列
⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用
a
1
表示
末项 ：一个数列的最后一项，通常用
a
n
表示，它也可表示数列的第
n
项 。
项数：一个数列全部项的个数，通常用
n
来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用
d
来表示；
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和 ：一个数列的前
n
项的和，常用
S
n
来表示 ．
三、等差数列的相关公式
(1)三个重要的公式
（n1）d
① 通 项公式：递增数列：末项

首项

(项数
1
)

公差，
a
n
a
1

（n1）d
递 减数列：末项

首项

(项数
1
)

公 差，
a
n
a
1

回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数 列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其
实就是首项加上(末项与首项的)间隔 个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个
（nm）d
，有用的公 式：
a
n
a
m


（nm）
② 项数公式：项数

(末项

首项)

公差+1
（a
n
a
1
）d1
(若
a
na
1
)；
n（a
1
a
n
）d1 (若
a
1
a
n
)． 由通项公式可以得到：
n
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．
譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、
L
、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、
L
、(46、47、48)，注意等差
是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的 第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有
484145
项，每组3个数，所以 共
45315
组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．
③ 求和公式：和=(首项

末项)

项数÷2
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(思路1)
123L9899100

（1（99）（98L
4（51）
101505050


14
100
4
）
4

4
2
4

4442
3
44
）
4

44
50
4
43
共50个101
(思路2)这道题目，还可以这样理解：
和= 1234L
+和100999897L
2倍和101101101 101L
9899100
321
101101101
即 ，和
 (1001)1002101505050

(2) 中项定理 ：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首
项与末项和的一半 ；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
譬如：①
4812L3236（436）922091800
，
题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于
209
；
②
656361L531（165）33233331089
，
题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于
3333
．

注：找规律问题，答案并不唯一，只要言之成理即可！
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例题精讲

一、
简单数列规律

【例 1】 例1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字.





【巩固】 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：
① 这个三角阵的排列有何规律？
② 根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。
③ 推断第20行的各数之和是多少？





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【例 2】 将自然数中的偶数2，4，6，8，10…按下表排成5列，问2000出现在哪一列？





【巩固】 按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？ 1993呢？






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【例 3】 下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，1993在哪一列？




【巩固】 从1开始的自然数如下排列，则第2行中的第7个数是多少？



【例 4】 把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4； 第3列为5，6，7，
8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个 三角阵的对称轴，
如图．则在以
1
开头的行中，第2008个数是多少．
5
26
137
48
9
L
L
L
L

L
L
L


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【巩固】 将自然数按下图的方式排列，求第10行的第一个数字是几？ < br>136
259
4813
71218
1117L
16L
101521L
1420L
19L

L





【例 5】 自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？
1
357
911131517

931
333537394143454749
............






【例 1】 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出： 197排在第几行的第几个数？
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 43 45 47 49
… …






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【巩固】 将自然数按下面的形式排列
1
234
56789
16
1718192
LL
问：第10行最左边的数是几？第10行所有数的和是多 少？





【例 2】 对任意两个不同的自然数， 将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对18和42可作
这样的连续变换：18，42→18 ,24→18,6→12,6→6,6
直到两数相同为止．问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 ．





【巩固】 将两个不同的自然数中较大数换 成这两个数之差，称为一次操作．如对18和42可连续进行这样
的操作，则有：18，42→18，2 4→18，6→12，6→6，．直到两数相同为止．试给出和最小的两个
四位数，按照以上操作，最后 得到的相同的数是15．这两个四位数是 与 ．




【例 3】 如下图所示的表中有55个数，那么它们的和等于多少？
1713
2 814
3915
41016
51117
19
20
21
22
23
25
26
27
28
29
31
3 2
33
34
35
37
38
39
40
41< br>43
44
45
46
47
49
50
51
52
53
55
56
57
58
59
61
6 2
63

64
65



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【巩固】 下面方阵中所有数的和是多少？
190 1
1902
1903
M
1948
1949
1902
1903
1904
M
1949
1950
1903
1904< br>1905
M
1950
1951
1904
1905
19 06
M
1951
1952
L
L
L
L
LL
1950
1951
1952

M
1997
1998




【例 4】 观察下面的序号和等式，填括号．
序号 等式
1
1236

3
35715

5
581124

7
7111533


L

LLL


（ ）





【例 6】 将正整数从
1
开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”， 其中
2
在第
1
个拐角处，
3
在第
2
个拐< br>角处，
5
在第
3
个拐角处，
7
在第
4
个拐角处，……．那么在第
100
个拐角处的数
是 ．
22
10
11
12
13
9
2
314
8
1
4
15
7
6
5
16
21
20
19
18
17

（ ）（ ）7983（ ）






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【巩固】 一列自然数：
0
，
1
，
2
，
3
，……，
2024
，第一个数 是
0
，从第二个数开始，每一个都比它前一
个大
1
，最后一个是2024
．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列，则
2005
在
数表中位于第________行第________列。





【例 7】 下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上 的每个数都是它所在行的
第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如
A
格应填的数 是
1013130
，求表中除第一行
和第一列外其它各个格上的数之和？




【例 5】 从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并 用一个平行四边形框出九个数，能否使这九个数
的和等于①1993；②1143；③1989.若能办 到，请写出平行四边形框内的最大数和最小数；若
不能办到，说明理由.



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【巩固】 如图的数阵是 由
77
个偶数排成的，其中
20
，
22
，
24，
36
，
38
，
40
这六个数由一个平行四边
形围住，它们的和是
180
．把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另 外
六个数，如果这六个数的和是
660
．那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数 是 ？
2
16
30
…
142
4
1 8
32
…
144
6
20
34
…
1468
22
36
…
148
10
24
38
…
150
12
26
40
…
152
14
28< br>42
…
154



课堂检测

【随练1】 观察下面已给出的数表，并按规律填空：




【随练2】 下面一张数表里数的排列存在着某种规律，请你找出规律之后，按照规律填空。


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【随练3】 有一堆粗 细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆
了28层．问最下面 一层有多少根?





【随练4】 从1999 这个数里减去253以后，再加上244；然后再减去253，再加上244；……这样一直算下
去，当 减去第_________次时，得数恰好第一次等于0 。





家庭作业

【作业1】 下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：
（1） （2）







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【作业2】 在下面各数阵中，第10行的第3个数分别是几？






【作业3】 观察下面的序号和等式，填括号．
序号 等式
1
1236

3
35715

5
581124

7
7111533


L

LLL


（ ）





【作业4】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层1 0块砖…，依次
每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖 共有多少
块？

（ ）（ ）7983（ ）



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【作业5】 下列数阵中有100个数，它们的和是多少？
11
12
13
M
20
12
13
14
M
21
13
14
15
M
22
L
L
L
M
L
19
20
21
M
28
20
21
22

M
29




【作业6】 有许多等式:

2461353
；

81012147911134
；

161820222415171921235
；


那么第10个等式是_______




教学反馈

学生对本次课的评价
○特别满意 ○满意 ○一般
家长意见及建议

家长签字：


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