职业能力测试-溜冰的作文

2015年小学奥数组合问题专题——统筹与对策



1 ．妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要
用1分钟，洗茶杯 要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要
花20分钟．为了使客人早点喝上茶 ，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?
2．下图是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小 王走这段路所需的分钟数．问小王
从A出发走到B最快需要多少分钟?


3．甲、乙、丙3名车工准备在同样效率的3个车床上车出7个零件，加工各零件所需
要的时间分别为4 ，5，6，6，8，9，9分钟．3人同时开始工作，问最少经过多少分钟
可车完全部零件?
4．如下图，5所学校A，B，C，D，E之间有公路相通，图中标出了各段公路的千米数．现
在想在某 所学校召开一次学生代表会议，应出席会议的代表A，B，C，D，E校分别有6
人、4人、8人，7人 、10人．为使参加会议代表所走的路程总和最小，会议应选在哪
个学校召开?


5．如下图，有10个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长
度，单 位是千米．现在要安装水管，从县城送自来水供给各村．可以用粗细两种水管，
粗管足够供应所有各村用 水，细管只能供一个村用水．粗管每千米要用8000元，细管
每千米要用2000元．把粗管和细管适 当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用．按
你认为最节约的办法，费用应是多少元?


6．某车队有4辆汽车，担负A，B，C，D，E，F这6个分厂的运输任务，下图标出了各
分厂所需的装卸工人数．若各分厂自派装卸工，则共需6+5+8+4+3+7=33人．现在让一部分人跟车装卸，在需要装卸工人较多的分厂再配备装卸工，那么最少需要装卸工人多
少名?
试卷第1页，总3页

7．有5个工件需要先在甲机床上 加工，然后在乙机床上加工，每个工件需加工的时间
如下图所示，单位是小时．那么加工完这5个工件所 需的总工时最短是多少小时?


8．北京和上海分别制成同样型号的车床l0台和 6台，这些车床准备分配给武汉11台、
西安5台，每台车床的运费如下图所示，单位为百元．那么总运 费最少是多少元?


9．电车公司维修站有7辆电车需要维修．如果用一名工人维 修这7辆电车的修复时间
分别为12，17，8，18，23，30，14分钟．每辆电车每停开1分钟 的经济损失是11元．现
在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失减到最小程度， 那么最
小的损失是多少元?
10．某花园的小径如下图所示，一个人能否从图中标有1的点出 发，不重复地走遍所有
小径?如果能，请给出走法；如果不能，请标出最少必须重复的那些小径．


11．有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可取1～10根火柴，以先 取完火柴的
人为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略?
12．桌上有一块金帝牌巧克力，它 被直线划分为排成3行7列的21个小方块．现在让
你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如 下：①每次只许沿一条直线把巧克
力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③谁能留给对 手恰好是一个小
方块，谁就取胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能< br>使你最后获胜?
13．有1996个棋子，两人轮流取棋子，每次允许取其中的2个、4个或8 个，谁最后
取完棋子，就算谁获胜．那么先取的人为保证获胜，第一次应取几个棋子?
14． 甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中
试卷第2页，总3页

减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数．两人轮流走，谁所得到的数是零，就< br>算谁赢．如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略?
15．甲、乙两人 轮流在黑板上写下不超过l0的自然数，规定每次在黑板上写的数要满
足以下条件：它的任何倍数都不能 是黑板上已写的数．最后不能写的人为失败者．如果
甲第一个写数，那么谁有必胜策略?
试卷第3页，总3页

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参考答案
1．16分钟
【解析】在这道题里，最合理的安排应该最省时间．先洗开 水壶，接着烧开水，烧上水以后，
小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶 ，水开了就沏茶，这
样只用16分钟．
2．48分钟
【解析】如下图所示，标上字母：

注意关键点C．从A到B的道路如果经过C点， 那么，从A到C的道路中选一条最省时间的，
即AGC；
从C到B的道路中也选一条最省时间的，即CFB．
因而从A到B经过C的所有道路中最省时 间的就是这两条道路连接起来，即AGCFB．它对应
的总时间时48分钟．
剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB看哪个更加节省时间．
不经过C点的道路有两条：ADHFB，需49分钟；AGIEB，需49分钟．
所以，从A到B最快需要48分钟．
3．17分钟
【解析】加工所有的零件共需： 4+5+6+6+8+9+9＝47分钟，平均到三台车床上加工，平均每
台加工时间为
15< br>分钟．
由于加工各零件都需要整数分钟，因此最快需16分钟完成，但是无论怎么分组，都做不到；
因此延长1分钟，即17分钟，有(6，9)，(6，9)，(4，5，8)，满足题意．
所以，最少经过17分钟可车完全部零件．
4．C学校
【解析】先比较A、B两地 ，以B地为集合地较A地，使29人少走2千米，6人多走2千米，
所以B地比A地好．
B，C，D，E，F不能简单的比较出．
B地集合，共行走6×2+8×3+7×2+10×(3+2)＝100千米；
C地集合，共行走6×(2+3)+4×3+7×(2+3)+10×2＝97千米；
D地集合，共行走6×(2+2)+4×2+8×(3+2)+10×4＝112千米；
E地集合，共行走6×(2+3+2)+4×(3+2)+8×2+7×4＝106千米．
有到C地的路程总和最小，所以集合地应选在C学校．
5．414000元
【解析 】将这个村子依离县城从近到远记为A
1
，A
2
，A
3
，… ，A
10
，
在A
7
之和，粗管可以换成3根或更少的细管，费用将减少．
在A
6
和A
7
之间，无论按粗管还是四条细管，花的钱一样多，在A
6
以 前不安粗管按细管，需
要5条以上的细管，费用将增加．
因此，工程的设计是：从县城到A< br>7
(或A
6
)安一条粗管；A
7
、A
8
之间 安三条细管：A
8
、A
9
之间
安两条细管；A
9
、 A
10
之间安一条细管．这样做，工程总费用最少．
答案第1页，总3页
2
3

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(30+5+2+4+2+3+2)×800+(6+4+5)×2000＝414000元．
6．26名
【解析】显然每个车上跟车工人数在3～8之间．
需要工人数 6 5 8 4 3 7

每车跟车工人数
3
4
5
6
7
8
A
3
2
1
0
0
0
B C D
2 5 1
1 4 0
0 3 0
0 2 0
0 1 0
0 0 0
E F
还需工人数
车下工人数

所有工人数
15+3×4＝17
10+4×4＝26
6+5×4＝26
3+6×4＝27
1+7×4＝29
0+8×4＝32
0 4 15
0 3 10
0 2 6
0 1 3
0 0 1
0 0 0
由上表知，每车上跟车4名或5名工人，这样所需的装卸工人数最少为26名．
7．28小时
【解析】从表中可看出机床A总加工时间是26小时，机床B总加工时间是22小时．同一工
件 不能同时在两个机床上加工，先在机床A加工，后在机床B加工的顺序不能颠倒．
但两个机床可以同时工作，所以把工件2放在最后加工，所需工时数最少．
用机床A的总加工时间加上工件2在机床B加工所需时间就是本题的解．
所以，加工完这五个工件至少需要：3+4+7+5+7+2＝28小时．
8．9700元
【解析】如果有一台车床从北京运往武汉，另一台运往西安，它们的总运费为1500元．交
换 它们的终点，让北京的车床运往西安，上海的车床运往武汉，总运费为1300元．由此知
北京运往武汉 及上海运往西安的方案必不是最佳．
北京运出的车床比西安需求的多，因此有车床是从北京运往武汉， 从而知最佳方案为上海的
车床运往武汉，北京的车床5台运往武汉，5台运往西安，总运费为：
6×700+5×500+5×600＝9700元．
9．1991元
【解析】因 为3个工人各自单独工作，工效又相同，因此，每人维修得时间应尽量相等，设
需维修得车辆分别为：A 、B、C、D、E、F、G，修复得时间依次是12，17，8，18，23，30，
14分，则第一个 工人应修复的车是：C、G、D；第二个工人应修复的车是：B、E；第三个工
人应修复的车是：A、F ．又因为要求把损失减少到最低程度，所以，每人应尽量先修复需短
时间修好的车辆，这样，可按以下的 顺序开修：
第一个人：8，14，18；
第二个人：17，23；
第三个人：12，30．
第一个人修复的车辆经济损失总和是：(8+8+8+14+14+18)×11＝770元．
第二个人修复的车辆经济损失总和是：(17+17+23)×11＝627元．
第三个人修复的车辆经济损失总和是：(12+12+30)×11＝594元．
所以，7辆车经济损失最少为770+627+594＝1991元．
10．见解析
【解析】一个人不可能从图中的第1个点的位置出发，不重复地走过花园的所有小径．因为
图中3，4 ，5，6，7，8都是奇点，所以知道必须重复的小径有3→4，5→6，7→8三段．
11．甲
【解析】先取者甲一定能得胜．
答案第2页，总3页

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因为100＝9×11+1．甲开始取1根，(余下99根是11的倍数)．
这时不论乙取多 少，甲再取的火柴根数与乙刚才的数目凑成11．这时余下88根，仍是11
的倍数．
依此进 行，直至最后余下11根火柴时，轮到乙取，这时不论乙取几根火柴，余下的火柴甲
都可一次取完．
12．12个
【解析】若想给对手留下一个小方块，必使对手上一次留给自己一行或一列才行．
这样上一次 留给对手的行数必为2．因为行或列大于2，对手就不一定会留下一行或一列，
要留给对手2行或2列， 必须使对手上一次留下两行或两列且又不能是两列两行的情况．
……
依次类推，每次留给对 手行列数相等的巧克力是必胜策略．由此可知先取者有必胜策略，只
要他第一次取走3行4列的一块即1 2个小方块，之后按上述策略即可获胜．
13．4个
【解析】易知若最后剩下6个棋子给对方就可以获胜．
进一步推知，剩下12个棋子给对方时 ，若对方取2个或4个可以使下一次剩给对方6个棋
子．若对方取8个则取走余下的4个可以直接获胜．
因此我们考虑如果每次剩下棋子使6的倍数，就可以保证必胜．
由1996÷6＝332……4，知先取的人第一次应取4个棋子．
14．甲
【解析】获胜的人必使对方最后留下一个不为0的一位数．
那么前一次留给对方只能是10．
这又要求前一次留给对方的是11～19中的某数．所以前再前一次留给对方的只能是20．……
依次可以看出每次留给对方末位数为0的必定胜出．
即必胜策略是每次减去黑板上数的个位数字即可．
现在黑板上原始数为1994，则甲开始减 去4，留下1990给乙；于是乙留下的数字只能是
1981～1989中的某个，甲对应的减去这个数 的个位数字，留下1980给乙；……
15．甲
【解析】甲一定获胜，甲可以先写6，去掉 其能作为倍数的数：1，2，3，6，乙只能写4，5，
7，8，9，10中的一个．
将4，5，7，8，9，10分成三组：
(4，5)，(7，8)，(9，10)
乙写任何一组中的某个数，甲就写同一组中的另一个数，从而甲一定获胜．
答案第3页，总3页