秋天的古诗-安全月征文

2019年小学奥数数论专题——完全平方数
1．
21(1234567654321)
是 的平方．
2．
11212312341234512 3456
，这个算式的得数能
否是某个数的平方？
3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
4．一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
5．从1到2019的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
6． 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
7．已知
3528a
恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。
8．已知自然数n满足：
12!
除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 。
9．考虑下列32个数：
1!
，
2!
，
3!
， ……，
32!
，请你去掉其中的一个数，使得其余各
数的乘积为一个完全平方数，划去 的那个数是 ．
10．一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
11．能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
12 ．三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大
的数减去最小的数的 差为60，求这三个数．
13．有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数 ，则这五个数
中最小数的最小值为 ．
14．求一个最小的自然数， 它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5
后是5次方数．
15．两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
1 6．有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个
位数和十位数 )相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案)
17．A是一个两位 数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到
两个不同的五位数，并且这两个五位 数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的
所有可能取值之和为 ．
1 8．已知
ABCA
是一个四位数，若两位数
AB
是一个质数，
BC< br>是一个完全平方数，
CA
是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有 四位数是________．
19．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方 数是四位数，且
各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原< br>来的四位数．
20．有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条 件的最小
的正整数．
21．能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与
2002
的和都是完全平
方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．
22．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
23． 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美
妙数”．问：所有小于 2019的美妙数的最大公约数是多少？
24．记
S(123n)(4k3 )
，这里
n3
．当k在1至100之间取正整数值时，
有 个不同的k，使得S是一个正整数的平方．
25．称能表示成
123k
的 形式的自然数为三角数．有一个四位数
N
，它既是三
角数，又是完全平方数．则
N
．
26．自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，3 6，49，…，问：第612个位置的数
字是几？
27．A是由2019个“4”组成的多位 数，即
444
2002个4
4
，A是不是某个自然数B的平方？如
第 1 页

果是，写出B；如果不是，请说明理由．

参考答案
1．7777777的平方
【解析】
211111111
2
，< br>12345676543217
2
，
原式
(11111117)
2
7777777
2
．
2．不可能
【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数 的个位数
只能是
0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数． < br>这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，
个位 数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．
3．361,400,441,484,529,576,625
【解析】一个合数的约数的 个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1
后所得的乘积.如:1400严格分解 质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×
(1+1)=4×3×2=24 个.(包括1和它自身)
如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个. 这样它们加1
后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数. 即
完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．
由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?
18×18=324 ,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为
192,202,212,222,232,242,252．
即360到630的自然数中 有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．
4．14，20
【解析】设该数为
p
1
a
1
p
2
a2

因此

2a
1
1



2a
2
1


由于
39139313
，
⑴所以，
2a
1
13
，
2a
2< br>113
，可得
a
1
1
，
a
2
6
；
故该数的约数个数为

11


61

14
个；
⑵或者，
2a
1
1 39
，可得
a
1
19
，那么该数的约数个数为
191 20
个．
所以这个数的约数个数为14个或者20个．
5．31
【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．
而
722
3
3
2
266
，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，
由于
2313119222008232322048
，所以
212
、
22
2
、……、
231
2
都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．
6．254
【解析】先将1016分解质因 数：
10162
3
127
，由于
1016a
是一个完 全平方数，所以至
少为
2
4
127
2
，故a最小为
2127254
．
7．2
p
n
a
n
， 那么它的平方就是
p
1
2a
1
p
2
2a
2
p
n
2a
n
，


2a
n
1

39
．
第 1 页

【解析】
35282
3
3
2
 7
2
，要使
3528a
是某个自然数的平方，必须使
3528a各个不同质因
数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以
a
为2可以使
3528a
是完全平方数，故
a
至少为2．
8．231
【解析】先将
12!
分解质因数：由于
12!
除以
n
得到一个完全平方数，
12!2
10
3
5
5
2
711
，
那么这个完全平方数是
12!
的约数 ，那么最大可以为
2
10
3
4
5
2
，
所以
n
最小为
12!2
10
3
4
5
2
3711231
．
本题也可以这样想，既然
12!
除 以
n
得到一个完全平方数，
12!
的质因数分解式中3，7，11
的 幂次是奇数，所以
n
的最小值是
3711231
．
9．15
【解析】设这32个数的乘积为A．
所以，只要划去
16!
这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数．
另外，由于
16!1615!
，而16也是完全平方数，所以划去
15!
也满足题意．
10．424
【解析】设这个数减去
63
为

A
2
，减去
100
为
B
2
，则
A
2
B
2


AB

AB

1006337371
，
可知
AB37
，且AB1
，所以
A19
，
B18
，这样这个数为
18
2
100424
．
11．不可能
【解析】假设能找到， 设这两个完全平方数分别为
A
2
、
B
2
，那么这两个完全平 方数的差为
54

AB

AB

，由于

AB

和

AB

的奇偶性质相同 ，所以

AB

AB

不是4
的倍数，就是 奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以
54
不可能等于两个平
方数的 差，那么题中所说的数是找不到的．
12．12、8、2
【解析】设这三个数从大到小分别 为
A
2
、
B
2
、
C
2
，那么有< br>
AB

AB

80
，

AC

AC

140
，因为
140225 7
，
AC
、
AC
同奇同偶，所以有
AC14
，
AC10
或
AC70
，
AC2
，分别解得
A12
，
C2
和
A36
，
C34
，对于后者
没有满足条件的B，所以A只能等于12，
C2
，继而求得
B 8
，所以这三个数分别为12、
8、2．
13．1123
【解析】考查平 方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数
的时候有技巧：一般是设中间 的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．
设中间数是x,则它们的和为
5x
, 中间三数的和为
3x
．
5x
是平方数，设
5x5
2
a
2
,则
x5a
2
，
3x15a
2
35a
2
是立方数，所以
a
2
至少含有3和5的质因数各2 个, 即
a
2
至
少是225,中间的数至少是1125，那么这五个数中最小 数的最小值为1123．
14．
2
15
3
20
5
24

【解析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数
之后为< br>2
a
3
b
5
c
，由于它乘以2以后是完全平方数 ，即
2
a1
3
b
5
c
是完全平方数，则(a1)
、
b
、
c
都是2的倍数；

同理可知
a
、
(b1)
、
c
是3的倍数，
a、
b
、
(c1)
是5的倍数．
所以，
a
是 3和5的倍数，且除以2余1；
b
是2和5的倍数，且除以3余2；
c
是2和 3
的倍数，且除以5余4．可以求得
a
、
b
、
c
的 最小值分别为15、20、24，所以这样的自然
数最小为
2
15
3
20
5
24
．
15．85
【解析】设这两个完全平方数分别 是
A
2
和
B
2
，且
A
2
B2
77
，则两个完全平方数的和可
以表示为
772B
2，所以
B
越大，平方和越大，
B
越小，平方和越小，而

AB

AB

77
，
77711177
，当
AB77
，
AB1
时，
B
取得最大值
38
，此时两个完全平方数的
和最大，为
2965
；当
A B11
，
AB7
时，
B
取得最小值2，此时两个完全平方数的 和
最小，为85．
16．18、32,43、57,68、82
【解析】设这两个 两位数中较小的那个为
n
，则另外一个为
n14
，由题知，
(n14)
2
n
2
100k
(
k
为正整数)，即
7

n7

25k
，由于
< br>7,25

1
，所以
25

n7
，由
于
n
与
n14
均为两位数，所以
17n7 92
，故
n7
可能为25、50或者75，
n
可能为18、
43或者68．经检验，
n18
、43、68均符合题意，所以这两个两位数为18、32 ，或者43、
57，或者68、82．
17．145
【解析】如果把B放在A的左 边，得到的五位数为
100BA601A
；如果把
B
放在
A的右
边，得到的五位数为
1000AB1006A
；这两个数的差为
1006A601A405A
，是一个完
全平方数，而
4059
25
，所以
A
是5与一个完全平方数的乘积．A又是一个两位数，所以
可 以为
52
2
、
53
2
、
54
2，A的所有可能取值之和为
52
2
53
2
54
2
145
．
18．3163和8368
【解析】本题综合利用数论知 识，因为
AB
是一个质数，所以B不能为偶数，且同时
BC
是
一个完 全平方数，则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B为1或3，
C6
．由于
CA
是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在61～69中只有63和68符合条件，那么A为3或8．那么
AB
可能为31，33，81，83，其中是质数的有31和83，所以满 足条件的四
位数有3163和8368．
19．1156
【解析】设这个四位数为
abcdm
2
①，
由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故
由②

①得：
3333n
2
m
3
(nm)(nm)
③
将
3333
分解质因数，有
3333311101
，其有
11



11



11

8
个约数，但是有
nmnm
，所以只有4种可能 ，即
333313333311111130333101
．
由于
m
2
abcd1000
，故
m30
，所以

nm



nm

2m60
；
又
n
2
(a3)(b3)(c3)(d3)10000
，所以
n100
，故

nm



n m

2n200
；
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一一检验， 只有
33101
满足
1013360
且
10133200
，所以
nm101
，
nm33
，
得
m3 4
，原来的四位数为
34
2
1156
．
20．1444
【解析】平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999 都不是
完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道
144 43838
，
所以满足条件的最小正整数是
1444
．
21．见解析
【解析】因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，因此任一正整数 的平方
n
2
被
4除余0或1．
2，3，4，ij)
．又
2002
被4假设存在四个正整数
n
1
、n
2
、n
3
、n
4
，使得
n
i
n
j
20 02m
2
(i，j1，
除余2，故
n
i
n
j< br>被4除余2或3．
若
n
1
、n
2
、n
3< br>、n
4
中有两个偶数，如
n
1
、n
2
是偶数 ，那么
n
1
n
2
是4的倍数，
n
i
nj
2002
被4除
余2，，所以不可能是完全平方数；
因此
n
1
、n
2
、n
3
、n
4
中至多只有一个 偶数，至少有三个奇数．设
n
1
、n
2
、n
3
为奇 数，
n
4
为偶数，
那么
n
1
、n
2
、n
3
被4除余1或3，所以
n
1
、n
2
、n< br>3
中至少有两个数余数相同．如
n
1
、n
2
被4除< br>余数相同，同为1或3，那么
n
1
n
2
被4除余1，所以< br>n
1
n
2
2002
被4除余3，不是完全平方数；
综上，
n
i
n
j
2002
不可能全是完全平方数．
22．略
【解析】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶 数的平
方能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．
23．60
【解析】
60345
是一个美妙数，因此美妙数的最大公 约数不会大于60．任何三个连续
正整数，必有一个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3．若中 间的数是偶数，它又是
完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所 以任何美
妙数必有因子4．另外，由于完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位 是
0和5，则中间的数能被5整除；若其个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4
和9，则第三个数能被5整除．所以，任何美妙数必有因子5．由于3，4，5的最小公倍数
是60，所 以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的最大公约数至少是60．
综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所以，只能是60．
24．8
【解析】一个平方数除以4的余数是0或1．当
n4
时，S除以 4余3，所以S不是平方数；
当
n3
时，
当k在1至100之间时，S在 13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：
5
2
，
S4k9
，
7
2
，
9
2
，
11
2
，13
2
，
15
2
，
17
2
，
19
2
，其中每1个平方数对应1个k，所以答案为8．
25．1225
【解析】依题有
123
k1)2a
即
k(
ka2
，
2
．因为
k
与
k1
是两个连续自然数，

其中必有一个奇数，有奇数

也互质，于是奇数
m
2
，
相邻偶数相邻偶数
又由相邻自然数互质知，“奇数”与“”
a
2
．
22
相邻偶数
n
2
(
amn
)，而
a
2
为四位数，有
32a99
，即
2
3 2mn99
，又
m
2
与
2n
2
相邻，有7m12
．
当
m7
时，相邻偶数为50时，这时
a2
(75)
2
1225
，即
N1225
； < br>m
2
49
，
n5
满足条件，
当
m9< br>时，
m
2
81
，相邻偶数为80和82都不满足条件；
当
m11
时，
m
2
121
，相邻偶数为120和122都 不满足条件．
所以，
N1225
．
26．0
【解析】1到3的平方是一位数，占去3个位置；
4到9的平方是二位数，占去12个位置；
10到31的平方是三位数，占去66个位置；
32到99的平方是四位数，占去272个位置；
将1到99的平方排成一行，就占去353个位置，从612减去353，还有259个位置．
从100到300的平方都是五位数，因此，第612个位置一定是其中某个数的平方中的一个数
字．
因为
2595154
，即从100起到150，共51个数，它们的平方都是五 位数，要占去255
个位置，而
15115122701
，它的第4个数字是0， 所以第612个位置的数字是0．
27．不是
【解析】
A444
200 2个4
42
2
1111
．如果A是某个自然数的平方，则
111 1
也应是某个自然
2002个1
2002个1
数的平方，
并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，
而
1111111110
不是
4
的倍数，矛盾，所以A不是某个自然数的 平方．
2002个12001个1

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