2018年5月20日-小学手抄报

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小学奥数周期性问题试题专项练习

一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期 _________ ．

2．（3分）黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗
珠子应该是 _________ 色的，这种颜色的珠子在这串中共有 _________ 颗．

3．（3分）流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再
依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是 _________ 色．

4．（3分）把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋 中．第1992粒珠子投在 _________
袋中．


5．（3 分）将数列1，4，7，10，13…依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编< br>号，那么数列中的数349应排在第 _________ 行第 _________ 列．

6．（3分）分数

7．（3分）化成小数后，小数点后面1993位上的数字是 _________ ．
化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是 _________ ．

8．（3分）在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位的 数字是5，那么表示循环节的两个
小圆点，应分别在 _________ 和 _________ 这两个数字上．

9．（3分）1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是 _________ ．

10．（3分）算式（367+762）×123的得数的尾数是 _________ ．

二、解答题（共4小题，满分0分）
11．乘积1× 2×3×4×…×1990×1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？

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367762123

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12．有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的 ，从第三个数开始，

每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？

13．
表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是 _________ ．



14．甲、乙二人对一根3米长的木棍涂 色．首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂
黑5厘米，这样交替做到底．然 后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米
不涂色，交替做到底．最 后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为 _________ 厘米．

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小学奥数周期性问题试题专项练习（一）
参考答案与试题解析


一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期 五 ．

考点： 日期和时间的推算．
分析： 在这十年中有3个闰年，所以这10年的总天数是36 5×10+3，365被7除余1，所以总天数被7除的余
数是13﹣7=6，因此10年后的1月18 日是星期五．
解答： 解：（365×10+3）÷7
=3653÷7
=521（星期）…6（天），
因此10年后的1月18日是星期五．
故答案为：五．
点评： 考查了日期和时间的推算，本题得到从1992年1月18日起再过 十年的1月18日的总天数是关键，同时
还考查了星期几是7天一个循环．

2．（3分）黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗
珠子应该是 黑 色的，这种颜色的珠子在这串中共有 26 颗．

考点： 周期性问题．
分析： 根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三白”交替循环出现的，也就是这一 排列的
周期为4，由此即可得出答案．
解答： 解：因为，（102﹣1）÷4，
=101÷4，
=25…1，
所以，最后一颗珠子是黑色的．
又因为，1×25+1=26（颗），
所以，这种颜色的珠子在这串中共有26颗；
故答案为：黑，26．
点评： 解答此题的关键是，根据图示，找出珠子排列的周期数，由此即可解答．

3．（3分）流 水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再
依次是 5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是 黑 色．

考点： 周期性问题．
分析： 小木球是依次按5红，4黄，3绿，2黑和1白的规律涂色的，把它看成周期性问题，每个周期为15．
由1993÷15=132…13，所以第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑 色，所以第
1993个小球的颜色是黑色．
解答： 解：5+4+3+2+1=15，
1993÷15=132…13，
所以第1993个小球是第133周期中第13个，
应该与第一周期的第13个小球颜色相同，是黑色．
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答：第1993个小珠的颜色是黑色．
故答案为：黑．
点评： 此题关键是找出周期的规律，然后利用除法算式得出小球是第几周期 的第几个，与第一周期的颜色对比
即可得出．

4．（3分）把珠子一个一个地如 图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中．第1992粒珠子投在 B 袋中．


考点： 周期性问题．
分析： 根据题干，可以将已知图形化出分析示意图如下：

这样就把这个题目转变成了一个数字排列的问题，由上图中的数字排列可以看出：右边为第一列，下边< br>为第一行，从1开始依次排列；其规律是：
每10个数字为一个周期，这10个数字分别所在的 列数依次为A→B→C→D→E→F→E→D→C→B；由此规
律，只要求出1992是第几周期的第几 个数字，即可得出答案．
解答： 解：根据题干分析可得：上述数字的排列规律为：每10个数字为一 个周期，这10个数字分别所在的列
数依次为A→B→C→D→E→F→E→D→C→B；
1992÷10=199…2，
所以1992是第200个周期的第二个数字，与第一周期的第二个数字相同，即是B．
答：第1992粒珠子投在B袋中．
故答案为：B
点评： 此题抓住投珠子的方法，把这个实际操作的问题转化成一个单纯的数字问题，可以使分析简洁明了．

5．（3分）将数列1，4，7，10，13…依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列， 从左到右依次编
号，那么数列中的数349应排在第 24 行第 4 列．


考点： 周期性问题．
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分析：

为了分析方便，把列数从左到右依次排列为1、2、3、4、5、6，如上图；
根据题干可得：①此题是一个等差数列，公差是3；
②从排列可以看出，两行为一个周期，即 10个数为一个周期，位置分别在的列数为：2、3、4、5、6、5、
4、3、2、1；
所以只要求出349是这个数列中的第几个数，在第几周期的第几个数字即可得出答案．
解答： 解：根据题干分析可得：
（349﹣1）÷3+1=117，
所以349是这列数中的第117个数．
117÷10=11…7，
所以这个数是第12周期的第7个数字，那么这个数是第1周期的第二行，
所以这个数在第12×2=24行，与第一周期的第7个数字位置相同即：在第4列，
答：数列中的数349应排在第24行第4列．
故答案为：24；4．
点评： 此题要从两个方面考虑周期①行数，两行一周期，②列数，即10个数字依次排列的列数．

6．（3分）分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是 6 ．

考点： 周期性问题．
分析：
=，很显然小数点后面的数字循环周期是6，由此只 要得出1993在第几周期的第几个数字
即可解决问题．
解答：
解：=，它的循环周期是6，
因为1993÷6=332…1，即在第333周期的第一个数 字，与第一周期的第一个数字相同，是6．
故答案案为：6．
点评：
此题抓住的循环节，即可解决问题．

7．（3分）化成小数后，小数点后面1993位上的数字是 7 ．

考点： 周期性问题．
分析：
题目要求“小数点后面1993位上的数字是多少”，所以就要从化成小数后寻找规律．
解答：
解：=
从小数点后面第二位开始，它的循环周期是6，因为（1993﹣1 ）÷6=332，则循环节“142857”恰好重
复出现332次．
所以小数点后面第1993位上的数字是7．
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故答案为：7．
点评： 此题考查了小数化分数的方法以及对循环节的掌握情况，同时培养学生寻找规律的能力．

8．（3分）在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5，那么表示循 环节的两个
小圆点，应分别在 3 和 7 这两个数字上．

考点： 循环小数及其分类．
分析： 表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7的上面，且数 字“5”肯定包含在循环节中，
然后分情况讨论前一个循环节的点应放在哪．
解答： 解：后一个小圆点应加在7上；前一个小圆点的情况：
（1）设前一个小圆点加在“5”的上面，这时 循环周期是3，（100﹣4）÷3=32，第100位数字是7．
（2）设前一个小圆点加在“4” 的上面，这时循环周期是4，（100﹣3）÷4=24…1，第100位数字是4．
（3）设前一个 小圆点加在“3”的上面，这时的循环周期是5，（100﹣2）÷5=19…3，第100位数字正
好 是5．
故答案为：3，7．
点评： 容易看出后一个小圆点应加在7的上面，但前一个圆点 应加在哪个数字上，一下子难以确定，怎么办？
唯一的办法就是“试”．因为循环节肯定要包含5，就从 数字5开始试．逐步向前移动，直到成功为止．这
就像我们在迷宫中行走，不知道该走哪条道才能走出迷 宫，唯一的办法就是探索：先试一试这条，再试
一试那条．

9．（3分）1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是 2 ．

考点： 周期性问题；乘积的个位数．
分析： 根据题干，要求它们的连乘积的个位数字，可 以先求出它们各自的乘积的个位数字是几，由特例不难归
纳出：
（1）9的连乘积的个位数字按9，1循环出现，周期为2；
（2）8的连乘积的个位数字按8，4，2，6循环出现，周期为4；
（3）7的连乘积的个位数字按7，9，3，1循环出现，周期为4．
由此即可解决问题．
解答： 解：根据上述分析可以得出1991个9的乘积个位数字、1990个8的乘积个位数字、19 89个7的个位数
字分别为：
（1）因为1991÷2=995…1，所以1991个9的连 乘积的个位数字是第996周期的第一个数，与第一周期
的第一个数字相同即是9；
（2）因 为1990÷4=497…2，所以1990个8的连乘积的个位数字是第498周期的第二个数字，与第一周< br>期的第一个数字相同即是4；
（3）因为1989÷4=497…1，所以1989个7的连乘 积的个位数字是第498周期的第一个数字，与第一周
期的第一个数字相同即是7．
所以，9×4×7=252，
即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是2．
答：连乘积的个位数是 2．
故答案为：2．
点评： 抓住题干，求出9的连乘积、8的连乘积和7的连乘积的个位数字的规律，是解决本题的关键．

10．（3分）算式（367+762）×123的得数的尾数是 9 ．

考点： 周期性问题．
367762123
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分析： 分别找出个位数字7、2、3的连乘积的个位数的循环周期：如7的连乘积，积的尾数以7，9 ，3，1，循
环出现，周期为4，因为367÷4=913，所以，367的尾数为3；如此类推，…即 可解决问题．
解答： 解：（1）7的连乘积，尾数（个位数字）以7，9，3，1循环出现，周期为4；
因为367÷4=91…3，所以，367的尾数为3．
（2）2的连乘积，尾数以2，4，8，6循环出现，周期为4；
因为762÷4=190…2，所以，762的尾数为4．
（3）3的连乘积，尾数以3，9，7，1循环出现，周期为4；
123÷4=30…3，所以，123的尾数为7．
367762123
（4）综上 所述，（367+762）×123的尾数就是（3+4）×7的尾数，
（3+4）×7=49，
答：得数的尾数是9．
故答案为：9．
点评： 此题考查了利用个位数字为7，2，3的连乘积的积的尾数的规律进行解决问题的方法

二、解答题（共4小题，满分0分）
11．乘积1×2×3×4×…×1990×1991是 一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多
少？

考点： 周期性问题．
分析： 我们用所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以4 95个2才可以，因为他们
乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉 了，那么此时的个位数字就是
要求的第一个不为0的数．
2的495次方的个位数字是8（2 的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期495÷4=123…3）
那么用刚才我们除以49 5个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数
字是2（就是2×8个 位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，
所以最终的去掉4 95个0之后的数一定是个偶数，所以只能是2．
解答： 解：此题中是1991个数字的连乘积，根据题干分析：
所有数的乘积除以了495个5之后得到的个 位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一
起变成了495个0，再除以495个2就 相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的
第一个不为0的数．
2的495次方的个位数字是8；
2的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期，
495÷4=123…3；
那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就 会得到最终的个位数字，6÷8的个位数
字是2（就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是 6，但是注意了2的个数要远多于495个，
所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只 能是2．
点评： 将原式进行分组整合讨论，根据个位数字是2、5乘积的个位数字特点进行分析，得 出从右边数第一位不
为0的数字规律；根据2的连乘积的末位数的出现周期解决问题，是本题的关键所在 ．

367
367
762
123
12．有串自然数，已 知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，从第三个数开始，每
个数字正好是前两 个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？

考点： 周期性问题．
分析：
（1）因为第一个数×=第二个数×，所以第一个数：第二个数=：=3：10．又两 数互质，所以第一
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个数为3，第二个数为10，从而这串数为：
3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…
（2）要求这串数的第1991个数被3除所得的余数是几，可以先推理出得出这串数字除以3的余数的规
律是什么；由此即可解决问题．
解答： 解：根据题干分析可得这串数字为：
3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…
这串数字被3除所得的余数依次为：
0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，
所以可以看出这串数字除以3的余数按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8．
因为1991÷8=248…7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2．
答：这串数的第1991个数被3除所得的余数是2．
点评： 解答此题应注意以下两个问题：（1）由于两个数互质，所以这两个数只能是最简整数比的两个数；
（ 2）求出这串数被3除所得的余数后，找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期．一般来说，一
些 有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性．

13．
表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是 （好，好） ．


考点： 周期性问题．
分析： 此题分成两部分来看 ：（1）上面一部分的周期为：四字一周期，分别为：共→产→党→好；那么第340
个字在340÷4 =85周期最后一个，与第一组中第四个字“好”相同；
（2）同样的方法可以得出下面的周期为：五字一周期：社→会→主→义→好，由此即可解决问题．
解答： 解：根据题干分析：
（1）上面四字一周期，分别为：共→产→党→好；那么第34 0个字在340÷4=85周期的最后一个，与第
一组中第四个字“好”相同；
（2）下面五 字一周期，分别为：社→会→主→义→好，那么第340个字在340÷5=68周期最后一个数字，
与 第一周期的最后一个字“好”相同；
答：由上述推理可得：第340组的数字是（好，好），
故答案为：（好，好）．
点评： 此题也可以这样考虑：因为“共产党好”四个字，“社会主 义好”五个字，4与5的最小公倍数是20，所
以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之 后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每
个周期是20组数．
因为340÷20=17，所以第340组正好写完第17个周期，第340组是（好，好）．

14．甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色．首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5 厘米不涂色，接着再涂
黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接 着涂黑6厘米，再间隔6厘米
不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为 75 厘米．

考点： 公约数与公倍数问题．
分析： 根据题意甲、乙从同一端点开始 涂色，甲按黑、白，黑、白交替进行；乙按白、黑，白、黑交替进行，
如图所示．
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由图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑 、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，
即5×6×2=60厘米，也就是它们按60厘米为 周期循环出现，据此可以轻松求解．
解答： 解：按60厘米为周期循环出现，在每一个周期中没有涂色的部分是，
1+3+5+4+2=15（厘米）；
所以，在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是，
15×（300÷60）=75（厘米）．
故答案为：75．
点评： 此题主要考 查最小公倍数问题，注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍，而不是5与6的最小公倍
数．

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