苏州农业职业技术-小诗一首

智巧趣题



智巧趣题顾名思义，就是有趣的一 类问题，但回答时要十分小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。
要想正确地解答这类题目，一是细心， 善于观察，全面考虑各种情况；二是要充分运用生活中学到的知识；
三是需要那么一点思考问题的灵气和 非常规的思考方法。本讲主要是通过数学趣题的研究学习引发学生学
习奥数的兴趣，激发学生学习奥数的 灵感，充分调动学生学习奥数的积极性。
智巧趣题主要依靠巧妙的构思而解决问题，其中包括火柴棍游 戏、数的恰当排列、称量问题及直线或
圆周形状的报数问题。
【例 1】 用数字1，1，2 ，2，3，3拼凑出一个六位数，使两个1之间有1个数字，两个2之间有2个数
字，两个3之间有3个 数字。
【解析】 312132 231213

【巩固】 把一根线绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？
【解析】 对折一次: 2*2-1=3段 对折二次:4*2-3=5段 对折三次:8*2-7=9段.

【例 2】
12345679999999999

【解析】 粗看起来，本题应该是利用了< br>99999999910000000001
这个知识点。于是有：
12345679999999999

12345679
< br>10000000001

00000012345679
65432 1

注意
12345679
到这个数字的特殊性质，
1234567 99111111111
，可以得到
12345679999999999
 123456799111111111

111111111111111111
654321

【例 3】 有10张，卡片分别标有从2开始的10个连续偶数。如果将它们分成5组，每组两张，计算同
组中两个 偶数和分别得到①34，②22，③16，④30，⑤8。那么每组中的两张卡片上标的数各是
多少？
【解析】 10个连续偶数是:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

8=2+6 16=4+12 22=14+8 30=20+10
34=16+18

【例 4】 售 货员把29个乒乓球分装在5个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓个数小于30，他总可以恰
好把其中的 一盒或几盒卖出，而不必拆盒。问这5个盒子里分别装着多少个乒乓球？
【解析】 一道二进制的题 目！需要老师能和二进制结合起来讲解，1+2+4+8+14=29或者
1+2+4+7+15=29 。

【例 5】 一口井深10米，一只蜗牛从井底白天往上爬2米，晚上又往下滑1米，请 问要多长时间，这只
蜗牛能爬出这口井？

【解析】 “白天往上爬2米，晚上 又往下滑1米”其实一天只往上爬1米，如果这样理解，说这只蜗牛爬
出这口井需要10天就错了．因为 最后一次爬出井外不会往下滑，所以蜗牛只要往上爬9米，晚
上下滑1米，这时距离井口只有2米了，这 样只要一个白天再往上爬2米就到井口了．所以只需
要8天再加一个白天．

【巩固】 蜗牛沿着9米高的柱子往上爬，白天它向上爬5米，而晚上又下降4米，问蜗牛爬到柱顶需要
几天几夜？
【解析】 一昼夜可以爬1米，爬了4昼夜后再经过一个白天即可爬到柱顶，因此需要5天4夜.

【巩固】 青蛙沿着10米高的井往上跳，每次它向上跳半米，然后又落下去，问青蛙爬需要跳几次就能跳
出井外？
【解析】 每次青蛙向上跳半米，然后又落下去，等于还在原地，所以永远也跳不出去.

【巩固】 一只树蛙爬树，每次往上爬5厘米，又往下滑2厘米，这只青蛙这样上下了5次，实际往上爬
了多少厘米？
【解析】 实际上青蛙没爬行一次只前进了5-2=3（厘米），5次共前进了3×5=15（厘米）.

【例 6】 小明的左衣袋和右衣袋中分别装有6枚和8枚硬币，并且两衣袋中硬币的总钱数相等。当任 意
从左边衣袋取出两个硬币与右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边衣袋的钱总数要么比原来的
钱数多2分，要么比原来的钱数少2分，那么两个衣袋中共有多少分钱？
【解析】 2*6=5+7*1，共:2*6*2=24分=2角4分.

【例 7】 甲和乙分别从东 西两地同时出发，相对而行，两地相距
100
里，甲每小时走
6
里，乙每小时 走
4
里。如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时
10
里的速度向乙奔去 ，遇到乙后即回头向甲
奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住。这只狗共跑了多 少里路？
【解析】 只从狗本身考虑，光知道速度，无法确定跑的时间。但换个角度，狗在甲乙之间来 回奔跑，狗从
开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同。由此便能求出答案。
狗一共跑了
100

64

10
（小时），所以狗跑的距离为< br>1010100
（千米）

【巩固】 孙小空和猪坚强一道坐火车从北京 去天津玩，玩了两天后，他们又结伴回北京。非常巧的是，
他们往返所坐的火车都是中午十二点整发车的 ，而途中所用的时间也都是半个小时。坐在火车
上，两个人看着窗外的风景，突然，猪坚强说：“小空， 我们在来回的路上，一定在同一个时间
看到了相同地方的景色。”小空摇了摇头：“哪会这么巧？你又在 骗我吧？”猪坚强向小空解释
了理由，小空一听，原来真是这样。那么同学们，你们能想明白，为什么这 个看起来很不可思
议的结论能成立么？
【解析】 实际上，这个问题可以利用我们以前解决行程问题中用过的图示法解决：
北京
A
天津
12:00
12:30

图中的两条线 分别代表从北京开往天津和从天津返回北京的火车。那么，表示两辆车中途形成的
折线一定会有一个交点
A
，而这个交点就是猪坚强所说的，在同一时间位于相同地方的位置。

【例 8】 如图，这是用24根火柴摆成的两个正方形，请你只移动其中的4根火柴，使它变成两个完 全相
同的正方形。

【解析】 两种方法！图中画圆圈的地方可以左右调换位置！

【例 9】 请将16个棋子分放在边长 30厘米、20厘米、10厘米的3个盒子里，使大盒子里的棋子数是中
盒子里棋子数的2倍，中盒子里 的棋子数是小盒子里棋子数的2倍。问应当如何放置？
【解析】 把小盒子放进中盒子里,大盒子另外放.小盒里放4个,中盒里放4个,大盒里放8个.

【例 10】 吝啬的卖酒老板老钱招聘卖酒伙计，他只给伙计两个分别为5升和3升的盛酒杯，要求满 足所
有顾客的买酒需求（当然顾客只需要整数升的酒），这下难倒了很多前来应聘的人，可是有一个聪明的放牛娃娃却做到了，你知道放牛娃娃是怎么样卖出一升酒的吗？
【解析】 先将5升的酒 杯盛满，倒入3升的容器中，再将3升的酒倒入酒缸中，将5升的酒杯中剩余的2
升酒倒入3升的酒杯中 ；再次将5升的酒杯盛满，再将其中的酒倒入3升的容器中，使3升的酒
杯装满，这样5升酒杯还剩4升 酒；最后把3升酒杯里的酒全部倒入酒缸中，再次将5升酒杯中
的酒倒入3升的酒杯中，把3升的酒杯装 满，这样5升的容器中就剩下1升酒了．如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次
2
3
2
0
0
2
5
2
4
3
4
0
1
3

5升 5
3升 0
还有更简单一方法：用3升的酒杯量2次倒入5升酒杯中，即可量出1升酒．

【巩固】 某人有12升啤酒一瓶，想从中倒出6升．但是他没有6升的容器，只有一个8升的容器和一 个
5升的容器．怎样的倒法才能使8升的容器中恰好装好了6升啤酒？
【解析】 这个数学游戏有两种不同的解法，如下面的两个表所示．
第一种解法：
12 12
8
5
0
0
4
8
0
4
3
5
9
3
0
9
0
3
1
8
3
1
6
5
6
6
0
第二种解法：
12 12 4 0 8 8 3 3 11 11 6 6

8 0 8
5 0 0
8
4
0
4
4
0
4
5
8
1
0
1
1
0
1
5
6
0

【巩固】 卖牛奶人有两桶10升装的牛奶．两个顾 客各带容器去买2升牛奶．一个带的是5升的容器，另
一个带的是4升的容器．这位卖牛奶人如何解决问 题？
【解析】 如下表：

【例 11】 一个农民携带一只狼，一只羊和一棵 白菜，要借助一条小船过河．小船上除了农民只能再带狼、
羊、白菜中的一样．而农民不在时，狼会吃羊 ，羊会吃白菜．农民如何过河呢？
【解析】 如下表：
次数
1
2
3
4
5
6
7

此岸
狼，白菜
狼，白菜
狼
狼
羊
羊


过河
农民，羊〉
〈农民
农民，白菜〉
〈农民，羊
农民，狼〉
〈农民
农民，羊〉

彼岸

羊
羊
白菜
白菜
狼，白菜
狼，白菜
农民，羊，狼，白菜

【例 12】 有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分 钟；孩
子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟．当时正
是初一 夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们
有一盏油灯，同时 可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟
了！他们焦急万分，该怎样 过桥呢？
【解析】 首先姐姐跟弟弟一起过，用时3分钟，姐姐再回去送油灯，用时3分钟，老爷爷跟 爸爸一起过河，
用时12分钟，弟弟将灯送回去，用时1分钟，弟弟和母亲一起过，用时6分钟，弟弟送 灯过河，
用时1分钟，最后与姐姐一起过河，用时3分钟．一共用时：3+3+12+1+6+1+3= 29分钟．最
后能够安全全部过河．

【巩固】 有四个人在晚上准 备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒
塌．过桥的人必须要用到手电 筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：
小强用1分种就可以过桥，中强要2分 中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟后
桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才 能全部安全过桥？
【解析】 小强和中强先过桥，用2分钟；再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在 由大强跟太强一起过桥，
用10分钟，过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过 河再用2分钟，
他们一起用时间：2＋1＋10＋2＋2=17（分钟），正好在桥倒塌的时候全部过河 ．（时间最短过
河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过．这样保证总的时间是最短的）.

【巩固】 赵大爷和一个小八路带着一个负伤的红军战士因为叛徒出卖被日本鬼子追到一条小 河边，河岸
边只有一条能同时乘坐两人的小船，赵大爷划船需要2分钟，小八路划船需要3分钟，负伤的
红军战士划船需要5分钟，现在在危机关头，需要尽快过河，采用怎样的过河方式，三个人全
部 过河用时最少？
【解析】 赵大爷首先跟小八路或者红军战士一起过河，用时2分钟，再由赵大爷把船 划过来，用时2分钟，
最后把剩下的人一起载过去，再用时2分钟．一共用时6分钟．


【例 13】 37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船(无船工)．他们要 全部渡过河去，至少
要使用这只小船渡河多少次？
【解析】 如果由37÷5=7……2， 得出7+1=8次，那么就错了．因为忽视了至少要有1个人将小船划回来
这个特定的要求．实际情况是 ：小船前面的每一个来回至多只能渡4个人过河去，只有最后一次
小船不用返回才能渡5个人过河．因为 除最后一次可以渡5个人外，前面若干个来回每个来回只
能渡过4个人，每个来回是2次渡河，37=4 ×8+5，所以渡河次数是8×2+1=17（次）. （注：
由于数据的特殊性，刚好最后一次5个人过河）．

【巩固】 38个同学要 坐船过河，渡口处只有一只能载4人的小船(无船工)．他们要全部渡过河去，至少
要使用这只小船渡河 多少次？
【解析】 根据前面的解答，实际上前面每次过河的人数只有3人，最后一次最多过4人，因 为38=3×12+2，
所以前面3人一次过了12次，来回一共划了12×2=24（次），最后一次 是2人过河，还要用1
次．所以最终需要渡河的次数是24+1=25（次）．

【例 14】 有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根．甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任 意根
火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴．每次至少要取走一根火柴．谁取得最后一根火
柴谁胜．如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？
【解析】 采用逆推法分析，假设甲获胜，甲最终将 两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根
火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最 少的几种情况是（1，0），（2，0）（1，1）；要
想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2） ；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎
样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1， 2）．所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，
留给乙（3，5），甲必胜.


【例 15】 黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51．甲、乙两人轮流划掉连续的3个数 ．规定在
谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜．问：甲有必胜的策略吗？
【解析】 甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个
数 ．这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划．因
此，若甲 先划，且按上述策略进行，则甲必能获胜.

【例 16】 两个人从1开始 按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁获胜．你
选择先报数还是后报 数？怎样才能获胜？
【解析】 因为50（1+5）=8……2，所以要想获胜，应选择先报，第一次 报2个数，剩下48个数是（1+5=）
6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必胜．

【巩固】 1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移 动1～
7个格．规定将棋子移到最后一格者输．甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？
【解析】 一开始棋子已占一格，棋子的右面有空格1111-1=1110（个）．只要甲始终留给乙 （1+7=）8
的倍数加1格，就可获胜．（1111-1）（1+7）=138……6，所以甲第一步 必须移5格，还剩下
1105格，1105是8的倍数加1．以后无论以移几格，甲下次移的格数与乙移 的格数之和是8，
甲就必胜．

【巩固】 桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流 每次取走1～3根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如
果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
【解析】 获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无 论
对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在
倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，
则必 胜．现在桌上有55根火柴，55÷4=13……3，所以只要甲第一次取走3根，剩下52根火柴
是4 的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，甲必胜．

【例 17】 有11根火柴，两人轮 流从中拿取，每次至少取1根．先取者第一次取得数目不限（但不能全部
取走），以后每人取得数目不得 超过另一人上次取得数目的2倍规定取得最后一根者为胜．先取
者的获胜策略是什么？
【解析】 甲第一次取3根，可获胜.
甲取了3根以后剩下8根，乙如果取3，4，5，6根 ，那么甲将余下的取完，甲胜；乙如果取1
根或者2根，那么甲接着取2根或者1根，此时剩下5根，以 后若乙取2，3，4根，加将余下
的取完，甲胜；若乙取1根，加再取1根，剩3根，无论乙再如何取， 甲必胜．

【巩固】 有一堆火柴，甲先乙后轮流每次取走1～3根．取完全部火柴后，如果 甲取得火柴总数是偶数，
那么甲获胜，否则乙获胜．试分析这堆火柴的根数在1～11根时，谁将获．
【解析】 显然，1根时乙胜，2根或3根时甲胜，4根时乙胜．5根时，甲先取1根，若乙取1根，则 甲
取3根，若乙取2根或3根，则甲取1根，甲胜．6根时，甲先取1根，若乙取1根或2根，
则甲取3根；若乙取3根，则甲取1根，甲胜．7根或8根时，甲先取3根，以后同5根或6
根的情况， 甲胜．9根时，甲取1～3根，相当于8～6根时乙先取的情况，由上面的分析，最终
乙可取得偶数根， 则甲为奇数根，乙胜．10根时，甲先取1根，11根时，甲先取2根，转化为
9根时乙先取的情况，甲 胜．

【例 18】 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币与真 币和重量不同。现需弄清楚
伪币究竟比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天平。那么怎样利 用这架天平称两
次，来达到目的？
【解析】 分成50、50、1三堆：第一次称两个5 0，如果平了，第二次从这100个任意拿1个（当然是真
的）与第三堆的1个称，自然会出结果；第一 次称两个50不平是正常的，第二次我们把其中的
一堆（或重的或轻的都行）分成25、25、称第二次 ：1、把轻的分成25、25，如果平了，说明

那堆重的有假，当然假的是超重；如果不 平，说明这50个轻的有假，假的是轻了；2、把重的分
成25、25，道理同上。所以两次可以发现轻 重，但是找不出哪个是假的。

【例 19】 有大、中、小3个瓶子，最多分别可发装入水 1000克、700克和300克。现在大瓶中装满水，
希望通过水在3个瓶子间的流动动使得中瓶和小 瓶上标出装100克水的刻度线，问最少要倒几
次水？
【解析】 ６


【例 20】 把123，124，125三个数分别写在下图所示的A，B，C三个小圆圈 中，然后按下面的规则修改
这三个数。第一步，把B中的数改成A中的数与B中的数之和；第二步，把C 中的数改成B中
（已改过）的数与C中的数之和；第三步，把A中的数改成C中（已改过）的数与A中的 数之
和；再回到第一步，循环做下去。如果在某一步做完之后，A，B，C中的数都变成了奇数，则停止运算。为了尽可能多运算几步，那么124应填在哪个圆圈中？

【解析】 当 124在A中时，每次运算后的状态分别为：偶奇奇—偶奇奇—偶奇偶—偶奇偶—偶奇偶—偶
奇奇—偶奇 奇，需6步完成操作。
当124在B中时，第一次后，B中的数字为偶数+奇数=奇数，而A、C也是奇数，运算完毕。 当124在C中，开始状态为奇奇偶，然后变为奇偶偶—奇偶偶—奇偶偶—奇奇偶—奇奇奇，需
5步 操作。
所以124在A中时，运算的次数最多。

【例 21】 （可以当作故事 给学生出题）
0
国王带着
1
、
3
、
5
、< br>7
、
9
、
11
六位大臣去旅游。晚上大家要
去住旅馆 ，可只有三间房。
0
国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，
只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。
1
大臣说：“我是质数，我应该住质数房！”
“不对，你是奇数，我才应该住质数房！”
3
大臣说：
他们闹得不可开交， 最后只好请
0
国王来评判。可
0
国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们，
你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的住法呢？
【解析】 首先，在题目里
1
大臣所说的是错误的，而
3
大臣所说的是正确的。
所有的六位大臣都可以去住奇数房，但只有
3
、
5
、
7
、
11
四位大臣可以住在质数房。
所以，例如
1
、
3
、
9
住奇数房，
5
、
7
、
11
住质数房 的安排方法就是正确的。
由前面的分析，
1
、
9
必须住在奇数房， 所以另外四个数中任何一个也住进奇数房，都是一种住
1
4
种不同的住法。
法，那么一共有
C
4

【例 22】 若干个同样的盒子排成一排， 小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有

装棋子，然后他外出了。 小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新
排了一下。小明回来仔细查看了一番 ，没有发现有人动过这些盒子和棋子。问共有多少个盒
子？
【解析】 原来有个空的，说明 现在也有个空的；现在空的说明原来这盒有1个，当然现在也必须有个盒子
有1个；现在盒中有1个，说 明原来是2个，当然现在也必须有个盒子有2个；……考虑50多，
所以有0+1+2+3+4+5+6 +7+8+9+10=55 共11个盒子。

【例 23】 如图10-3，圆周上顺 序排列着1，2，3，……，12这12个数。我们规定：把圆周上某相邻4
个数的顺序颠倒过来，称为 一次变换，例如1，2，3，4可变为4，3，2，1，而11，12，1，2
可变为2，1，12，1 1。问能否经过有限变换，将12个数的顺序变为如图10-4所示的9，1，2，
3，……，8，10 ，11，12？

【解析】 从两个图可以看出，10、11、12没有变化，我们不妨 这样排列：9、8、7、6、5、4、3、2、1
变为8、7、6、5、4、3、2、1、9;这样只要 9次就行。

【例 24】 在一块黑板上将123456789重复50次得到450位数 3456789……。先删去这个数
中从左至右数所有位于奇数位上的数字，再删去所得的数中所有位于 奇数位上的数字，……，
依此类推。那么，最后删去的是哪个数字？
【解析】 容易发现 ，每次留下的应该是2^n位上的数字；2^8=256，2^9=512>450，所以最后一个数
字 应该是第256位上的数；2569=28......4，所以，最后删去的是4。

【例 25】 如图10-5，在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子。一个同学进行 这样的操作：
从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚。当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚 白
子？


【解析】 将黑子右边的第一个编号1，顺时针排下去，到黑子 就是第1991号；每隔1枚，取走1枚，即
第一圈取所有偶数编号的，最后一颗取走的为1990号， 即黑子左边的一个，到黑子时正好跳过
黑子；这样第一圈共取走（1991-1）2=995个，留下了 996个；对剩下的棋子重新按上述方
法（即黑子右边为1号）编号，第2圈就变成了全部取走奇数号， 因为此时黑子为996号，又
正好留下；并且可以知道，只要留下的是偶数枚，黑子总能跳过；9922 =498，第三圈留下498
枚；4982=249，第四圈留下249枚；249为奇数，因此第5圈 结束将正好取走黑子，那么，

当黑子被取走时，还留下（249-1）2=124枚。

【例 26】 “上升数”是指一个数中右边数字比左边大的自然数（如
34
，
568
，
2469
等），上升数不包括
一位数。求所有上升数的 个数。
【解析】 首先，上升数中不可能包含
0
，否则
0
应该在这个数的最高位
分情况讨论如下：
从
1
到
9
中任取不同的两个，将较小的 作为十位，较大的作为个位，就可得到一个两位的上升数，
所以两位的上升数共有
C
9
2
36
（个）；
3
84
（个）
类似地，三位的上升数共有
C
9
；
四位的上升数共有
C
9
4
126
（个）；
5
126
（个）
五位的上升数共有
C
9
；
六位的上升数共有
C
9
6
84
（个）；
七位的上升数共有
C
9
7
36
（个）；
8
9
（个）
八位的上升数共有
C
9
；
九位的上升数共有
C
9
9
1
（个）；
所以上升数共有
3684126126843691502
（个）
考虑到从
1
到
9
中取出若干个（至少两个），都可以唯一地组成一个 上升数。
10
C
9
502
（个）
所以上升数共有：
2
9
C
9
【例 27】 去年学而思杯 颁奖大会上，很多同学都过来领奖了。崔梦迪老师在让所有获奖的同学就座后，
突然突发奇想，让所有同 学用一张纸写下来在会场里的其他同学中，自己认识的人数。崔老师
把同学们写好的纸条收走后，看了一 遍，说：“真巧，咱们所有同学在这里认识的人数都刚好不
一样。”这时下面有个特别聪明的同学，立刻 说道：“不可能，肯定是有人统计错了！”当他解释
过自己这样说的原因后，教室里的其他同学们和崔老 师都很佩服这个同学。那么同学们能够说
出这个同学这样说的原因吗？
【解析】 假设一共来 了
n
名同学，则他们认识的人数应该不超过
n1
。又因为崔老师说所有同学 认识的人
数都不一样，那么这
n
名同学就应该分别认识
0
，
1
，
2
……
n2
，
n1
名同学。
但 是，那名认识
n1
名同学的学生应该认识来参加颁奖的所有同学，也就是说，不可能有人认识
0
名同学。因为这
n
名同学不可能分别认识
0
，
1
，
2
……
n2
，
n1
名同学，所以也就不可能 所
有人认识的人数刚好不同。
【例 28】 （丢番图是古希腊数学家，被誉为“代数学之父 ”。而丢番图的墓碑，就包含了一个很有趣的数

学 问题）以下就是丢番图的墓碑原文，同学们能从其中看出丢番图一共活了多少岁吗？
上帝给予的童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生的旅途。
【解析】 题目中的数量都与丢番图的年龄直接相关，因此可以考虑列方程求解：
设丢番图活了
x
岁。可以根据题目条件列出方程
1111
xxx5x4x

61272
移项后得到
3
x9
，解得
x84
。
28
所以丢番图一共活了
84
岁。
巧解：由题目条件也可简单地列出算术式：

54




1

1111

3


984
（岁）
61272

28
或者利用6、12、7的 最小公倍数是84。也可以快速算出！