安阳中招-晚会策划案

第十一周假设法解题（二）

专题简析：
已知甲是乙的几分之几， 又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数
关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变 倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然
其中的数 量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通
过假设，找出变化前后的相差数 相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”
的量，其他要求的量就迎刃而解了。
例题1 两根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩下
的长度是第二 根剩下的长度的5倍，第二根原来有多少米？
【思路导航】假设第一根用去6×3＝18米，那么第一 根剩下的长度仍是第二根
剩下长度的3倍，而事实上第一根比假设的少用去（6×3－6）＝
1 2米，也就多剩下第二根剩下的长度的（5－3）＝2倍。
（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）
答：第二根原来有12米。
练习1
1. 丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁
晓书的本数是 王阳的10倍，两人原来各有书多少本？
2. 在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍 ，如果中学增加450
棵，小学增加400棵，则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？
3. 两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8吨，第二堆用去11吨，第一
堆剩下的重 量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？
例题2 王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多 6.40元，若两个人各买了
一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱 多少元？
【思路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6.40元，则王明要相应地
花 去4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少
13.20－4.4 0＝8.80元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的3
倍多6.40+8.80＝15.20元， 而题中已告诉：买书后王明的钱是陈刚
的8倍，所以，15.20元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8－3 ＝5倍。
【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元）
答：陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2
1． 甲书架上的书比乙书架上的3倍 多50本，若甲、乙两个书架上各增加150
本，则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原 来各有多少本
书？
2． 上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年 马村中
学增加了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学
生的4倍少2 6人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？
3． 箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的 3倍多2粒，每次从箱子里取
出7粒白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，
那么，箱子里白球原有多少粒？

1
例题3 小红的彩笔枝数是小刚的 ，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚
2
2
的 ，两人原来各有彩笔多少枝？
3
1
【思路导航】假设小刚买了5枝后，小红的彩笔仍为小刚的
2
，则小红只需买（5
1111
×
2
）＝2
2
枝，但实际上小红买了5枝，多买了5－2
2
＝2
2
枝。
12
将小刚买了5枝后的枝数看作“1”，小红多买了2
2
，相当于（
3

11
－
2
）＝
6
。
121
小刚原来：（5－5×
2
）÷（
3
－
2
）－5＝10（枝）
1
小红原来：10×
2
＝5（枝）
答：小刚原来有彩笔10枝，小红原来有彩笔5枝。
练习3
11
1． 小华今年的年龄是爸爸年龄的
6
，四年后小华的年龄是爸爸的
4
，求小华
和爸爸今年的年龄各是多少岁？
31
2． 小红今年的年龄是妈妈的
8
，10年后小红的年龄是妈妈的
2
，小红今年多
少岁？
5
3． 甲书架上的书是乙书架上的
7
，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架
4
上的书是乙书架上的
5
，甲、乙两各书架原来各有多少本书？
4
例题4王芳原有的图书本数是李卫的 ，两人各捐给“希望工程”10本后，则
5
7
王芳的图书的本数是李卫的 ，两人原来各有图书多少本？
10
4
【思路导航】假设李卫捐了10本后，王芳的图 书仍是李卫的
5
，则王芳只需捐
4
10× ＝8本，实际王芳捐了10本， 多捐了10－8＝2本，将李卫
5
471
捐书后剩下的图书看作“1”，着2本书相当 于
5
－
10
＝
10
。
447
（10－10×
5
）÷(
5
－
10
)=30(本)
4
30×
5
＝24（本）
答：李卫原有图书30本，王芳原有图书24本。
练习4

4
1． 甲书架上的书是乙书架上的
5
，从这两个书架上各借出112本后，甲书架
4
上的书是乙书架上的
7
，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？
64
2． 小明今年的年龄是爸爸的
11
，10年前小明的年龄是爸爸的
9
，小明和爸爸
今年各多少岁？
1
3． 甲车间的工人是乙车间的
4
，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的
1
工人只占乙车间的
6
，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？

2
例题5 某校六年级男生人数是女生的 ，后来转进2名男生，转走3名女生，
3
3
这时男生人数是女生的 ，现在男、女生各有多少人？
4
2
【思路导航】假设转走3名女生后，男生人数仍是女生的
3
， 则男生应转走3×
2
实际上男生却转进2人，与应转走2人相差2+2＝4人。
3 ＝2人，
将转走3名女生后的女生人数看作“1”，则相差的4人相当于现在
32
女生的
4
－
3
。
232
（2+3×
3
）÷（
4
－
3
）＝48（人）
3
48×
4
＝36（人）
答：现在男生有36人，女生有48人。
练习5
2
1． 甲车间的工人是乙车间的
5
，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，
7
这样甲车间的人数是乙车间的
9
，现在甲、乙两个车间各有多少人？
2
2． 有一堆棋子，黑子是白子的
3
，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，
5
黑子是白子的
12
，现在白子、黑子各有多少粒？
3． 爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中， 爱华小学
得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的
人数减少 了1人，曙光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是
爱华小学的2倍。两校去年的一等奖的同 学各有多少人？

答案：
练1 1、王阳：（5×5－5）÷（10－5）+5＝9本

丁晓： 9× 5＝45本
2、小学：（400×3－450）÷（3－2）－400＝350棵
中学：350×3＝1050棵
3、第二堆：（11×2－8）÷（4－2）+11＝18吨
第一堆：18×2＝36吨
练2 1、乙：（150×3－150－50）÷（3－2）－150＝100本
甲：100×3+50＝350本
2、牛庄小学：（54+20+8×2+26）÷（4－2）+8＝66人
马村中学：66×2+54＝186人
3、【53－（3×3+2）】÷（7×3－15）＝7次
原有的白球：7×7+3＝52个
111
练3 1、爸爸：（4－4× ）÷（ － ）－4＝36岁
646
1
小华：36×
6
＝6岁
313
2、妈妈：（10－10×
8
）÷（
2
－
8
）－10＝40岁
3
小红：40×
8
＝15岁
545
3、乙：（90－90×
7
）÷（
5
－
7
）－90＝210本
5
甲：210×
7
＝150本
444
练4 1、乙：（112－112×
7
）÷（
5
－
7
）＝210本
4
甲：210×
5
＝168本
464
2、爸爸：（10－10×
9
）÷（
11
－
9
）＝55岁
6
小明：55×
11
＝30岁
111
3、乙：（30－30×
6
）÷（
4
－
6
）＝300人
1
甲：300×
4
＝75人
272
练5 1、乙：（20+35×
5
）÷（
9
－
5
）＝90人
7
甲：90×
9
＝70人
225
2、白：（12+18×
3
）÷（
3
－
12
）＝96粒
5
黑：96×
12
＝40粒

1
3、曙光：（1+6×2.5）÷（2.5－
2
）－6＝2人
爱华：2×2.5＝5人
第十二周倒推法解题

专题简析：
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，
过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与
除之间的互逆关系，从 后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。

13
例题1一本文艺书， 小明第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩下48
35
页，这本书共有多少页？
32
【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－
5
＝
5
。第一天
212
看后还剩下48÷
5
＝120页，这120页占全 书的1－
3
＝
3
，这本书
2
共有120÷
3
＝180页。即
31
48÷（1－
5
）÷（1－
3
）＝180（页）
答：这本书共有180页。
练习1
35
4． 某班少先队员参加劳动，其 中
7
的人打扫礼堂，剩下队员中的
8
打扫操场，
还剩12人打扫教室 ，这个班共有多少名少先队员？
32
5． 一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的
8
，第二天走了余下的
3
，第三天
走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的 路程是多少千米？
12
6． 把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的
6
， 乙拿走了余下的
5
，丙拿走这
3
时所剩的
4
，丁拿走最后剩 下的15个，这堆苹果共有多少个？

12
例题2 筑路队修一段 路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下的，
57
还剩500米，这段公路全长多少 米？
25
【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－
7＝
7
，第一天
51
修后还剩500÷
7
＝700米，如 果第一天正好修全长的
5
，还余下
14
700+100＝800米，这800 米占全长的1－
5
＝
5
，这段路全长800÷
4
5
＝1000米。列式为：
21
【500÷（1－）+100】÷（1－）＝1000米
75
答：这段公路全长1000米。
练习2
21
1． 一堆煤， 上午运走
7
，下午运的比余下的
3
还多6吨，最后剩下14吨还没有
运走，这堆煤原有多少吨？
1
2． 用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的
3又2公顷，第二天耕的比余下的
1
2
多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少 公顷？
11
3． 一批水泥，第一天用去了
2
多1吨，第二天用去了余下< br>3
少2吨，还剩下16
吨，原来这批水泥有多少吨？

11
例题3 有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲 桶，
35
这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
【思路导 航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当
11
乙桶没有倒出< br>5
给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－
5
）＝30千克，这
1
时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出
3
给了乙桶，可见甲
1
桶 原有的油为18÷（1－
3
）＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝
21千克。
11
甲：【24×2－24÷（1－）】÷（1－）＝27（千克）
53
乙：24×2－27＝21（千克）
答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。
练习3
11
4． 小华 拿出自己的画片的
5
给小强，小强再从自己现有的画片中拿出
4
给小华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？
11
5． 甲、乙两人各有人民币 若干元，甲拿出
5
给乙后，乙又拿出
4
给甲，这时他
们各有90元， 他们原来各有多少元？
15
6． 一瓶酒精，第一次倒出
3
，然后倒回瓶中 40克，第二次再倒出瓶中酒精的
9
，
第三次倒出180克，瓶中好剩下60克，原来 瓶中有多少克酒精？

例题4 甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一 次甲拿出与乙相同的钱数给乙；
第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给 甲。
这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【思路导航】根据题意，由 最后甲钱数是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出
与乙同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是56÷2 ＝28元，这28元就
是原来甲比乙多的钱数。
168÷3÷2＝28元
答：原来甲比乙多28元。
练习4
1． 甲、乙、丙三 个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙
班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班 。再从丙班调出与这时甲班相
同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多< br>多少人？
2． 甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙
盒拿出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多
几个球？
3． 甲 、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如果从乙仓库拿出400袋平
均分给甲、丙两仓库，则甲 、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面
粉多少袋？

1
例题5 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从 乙
4
1
仓库运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是< br>4
乙仓库的几分之几？
【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题 意可知，从乙仓库
11
运出
4
到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的
2
。
①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？
112
÷（1－）＝
243

②甲仓库占两仓库和的几分之几？
21
1－
3
＝
3

③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？
114
÷（1－）＝
349

④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？
4
4÷（9－4）＝
5

4
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的
5
。
练习5
1
1． 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出
3
到乙仓库后，又从 乙仓
1
库运出
3
到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的 粮
食是乙仓库的几分之几？
1
2． 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出
5
到乙仓库后，又从乙仓
1
库运出
4
到甲仓库，这时甲、乙 两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮
食是乙仓库的几分之几？
1
3． 甲、乙两 个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出
3
到乙仓库后，又从乙仓
29
库运出< br>5
到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的
10
。原来甲仓库的粮食
是 乙仓库的几分之几？

答案：
练1
53
1． 12÷（1－
8
）÷（1－
7
）＝56人

23
2． 250÷（1－
3
）÷（1－
8
）＝1200千米
321
3． 15÷（1－
4
）÷（1－
5
）÷（1－
6
）＝120个
练2
12
1．（14+6）÷（1－
3
）÷（1－
7
）＝42吨
11
2．【（35+3）÷（1－
2
）+2】÷（1－
3
） ＝117公顷
11
3．【（16－2）÷（1－
3
）+1】÷（1－
2
）＝44吨
练3
11
1、 小华：【12×2－12÷（1－
4
）】÷（1－
5
）＝10张
小强：12×2－10＝14张
11
2、 甲：【90×2－90÷（1－
4
）】÷（1－
5
）＝75元
乙：90×2－75＝105元
51
3、【（60+180）÷（1－
9< br>）－40】÷（1－
3
）＝750元
练4
4． 144÷3÷2＝24人
5． 8×2－4＝12个
6． （400+400÷2）÷（9－6）×（9+6+5）＝4000袋
练5
1、 a：把甲、乙两仓库粮食总吨数看作“1”，先求甲原来占两仓库和的几分之
几？
1113< br>【1－
2
÷（1－
3
）】÷（1－
3
）＝
8

b：原来甲仓库是乙仓库的几分之几？
3
3÷（8－3）＝
5

1115
2、 a：【1－
2
÷（1 －
4
）】÷（1－
5
）＝
12

5
b：5÷（12－5）＝
7
9216
3、 a：【1－
10+9
÷（1－
5
）】÷（1－
3
）＝
19

6
b“6÷（19－6）＝
13




第十三周代数法解题

专题简析：
有一些数量关系比较复 杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至
无法列式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方 程解答。

例题1 某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙
4
种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的共有42个，两种零件
5个生产了多少个？
【思路导航】可以根据两种零件合格的一共有42个，列方程求解。
解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12）个。
4
（x+12）×+x＝42
5
93
x＝42－9
55

x＝18
18+12＝30（个）
答：甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。
练习1
3
3、 某 校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的
4
得优，男、
女生得优 的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？
2
4、 有两盒球，第一盒比第二盒多15个 ，第二盒中全部是红球，第一盒中的
5
是
红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多 少个？
11
5、 六年级甲班比乙班少4人，甲班有
3
的人、乙班有
4
的人参加课外数学组，两
个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？
1
例题2 阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少，女生减少
4
1
，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？
6
【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。
解：设女生有x人，则男生有（x+10）人
11
（1－）x＝（x+10）×（1－）
64
X＝90
90+90+10＝190人
答：原来一共有190名学生在阅览室看书。
练习2
1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加
11
无线电小 组的同学减少
5
，参加航模小组的人数减少
10
，这样，两个组的同
学一样多。去年两个小组各有多少人？

5
2、原来甲、乙两个书架上共有图书 900本，将甲书架上的书增加
8
，乙书架上的
3
书增加
10
，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书
多少本？
3、某车间昨天 生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件比昨
13
天少
10
，生产的乙种零件比昨天增加
20
，两种零件共生产了2065个。昨天
两种零件共 生产了多少个？

11
例题3 甲、乙两校共有22人参加竞赛， 甲校参加人数的比乙校参加人数的少
54
1人，甲、乙两校各有多少人参加？
11< br>【思路导航】这题中的等量关系是：甲×
5
＝乙×
4
－1
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。
11
x＝（22－x）×
54
－1
x＝10
22－10＝12（人）
答：甲校有10人参加，乙校有12人参加。
练习3
12
3． 学校图书 馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的
6
比连环画的
9
少7本，
图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？
24
4． 某小有学生465人，其中女生的< br>3
比男生的
5
少20人，男、女生各有多少人？
11
5． 王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的
5
比李师傅的
4
少
2个，两人各加工了多少个？

5
例题4 甲书架上的书 是乙书架上的，两个书架上各借出154本后，甲书架上
6
4
的书是乙书架上的，甲、 乙两书架上原有书各多少本？
7
4
【思路导航】这道题的等量关系是；甲书架上剩下 的书等于乙书架上剩下的
7
。
5
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有
6
x本。
45
（x－154）×
7
＝
6
x－154
x ＝252
5
252×＝210（本）
6
答：甲书架上原有210本，乙书架上原有252本。
练习4
11
1、 儿子今年的年龄是父亲的
6
，4年后儿子的年龄 是父亲的
4
，父亲今年多少
岁？
2
2、 某校六年级男生是女生人 数的
3
，后来转进2名男生，转走3名女生，这时
3
男生人数是女生的
4
。原来男、女生各有多少人？
39
3、 第一车间人数的
5
等 于第二车间人数的
10
，第一车间比第二车间多50人。
两个车间各有多少人？

2
例题5 一个班女同学比男同学的多4人，如果男生减少3人， 女生增加4人，
3
男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？
【思路导航 】抓住“如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”
这个等量关系列方程。
2
解：设男生有x人，则女生有（
3
x+4）人。
2
X－3＝
3
x+4+4
X＝33
2
3
×33+4＝26（人）
答：这个班男生有33人，女生有26人。
练习5
3
4． 某学校的男教师比女教师的
8
多8人。如果女教师 减少4人，男教师增加8
人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
5． 某无线电厂有两个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果
4
从第 一仓库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的
9
。两
个仓库原来各有 电视机多少台？
4
6． 某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的
5
少3 0人。如果从第二车间调
3
10人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的
4< br>。求原来每个车间的
人数。

答案：
练1
3、 设男生有x人，则女生有（x+28）人
3
X+（x+28）×
4
＝42
X＝12
12+28＝40人
4、 设第二盒中有x个球，则第一盒中有（x+5）个。
2
（x+15）×
5
+x＝69
X＝45
45+15＝60个
5、 设乙班共有x人，则甲班共有（x－4）人。
11
（x－4）×
3
+
4
x＝29
X＝52
52－4＝48人

练2
4． 设航模组有x人，则无线电小组有（x+5）人。
11
（x+5）×（1－
5
）＝x×（1－
10
）
X＝40
40+5＝45
5． 设甲书架上原有x本，则乙书架上原有（900－x）本
53
X×（1+
8
）＝（900－x）×（1+
10
）
X＝400
900－400 ＝500
6． 设昨天生产乙种零件x个，则甲种零件生产了（x+700）个。
31
X×（1+
2 0
）+（x+700）×（1－
10
）＝2065
X＝700
700+700+700＝2100
练3
7． 设买文艺书x本，则连环画有（126－x）本。
12
6
x＝（126－x）×
9
－7
x＝54
126－54 ＝72本
8． 设男生有x人，则女生有（465－x）人
42
x－20＝（465－x）×
53

x ＝225
465－225 ＝240人
9． 设王师傅加工零件x个，则李师傅加工了（62－x）个
11
x＝（62－x）×
54
－2
x＝30
62－30＝32个
练4
1
1、 设父亲今年x岁，则儿子
6
x岁
11
（x+4）×
4
＝
6
x+4
x ＝36
2
2、设原有女生x人，则男生有
3
x人。
23
x+2＝（x－3）×
34

x＝51

2
3
×51＝34人
3、设第二车间有x人，则第一车间有（x+50）人。
39
（x+50）×
5
＝
10
x
x ＝100
100+50 ＝150
练5
3
4． 设女教师有x人，则男教师有（
8
x+8）人。
3
X－4＝
8
x+8+8
x＝32
3
8
×32+8＝20人
5． 设第二仓库原有电视机x台，则第一仓库有3x台。
4
（3x－30）×
9
＝x+30
x ＝130
130×3 ＝390
4
6． 设第二车间原有x人，则第一车间有（
5
x－30）人。
43
x－30+10＝（x－10）×
54

x＝250
4
5
×250－30 ＝170


第十四周比的应用（一）

专题简析：
我们已经学过比的知识，都知道比 和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相
转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易， 化繁为简。

例题1。
24
甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。
35
【思路导航】甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 4：5

甲、乙、丙三数的比 8：12：15
答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。
练习1

45
1、 甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。
58
44
2、 甲数是乙数的，甲数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。
59
31
3、 甲数是丙数的，乙数是丙数的2，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。
72

例题2。
光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第 二小组人
数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少人？
【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比 2：3
二、三两组人数的比 4：5
一、二、三组人数的比 8：12：15
②总份数：8+12+15＝35
8
③第一组：140×＝32（人）
35
12
④第二组：140×＝48（人）
35
15
⑤第三组：140×＝60（人）
35
答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。
练习2
1、 某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与其他作物
面积的比6：1。每种作物各是多少公亩？
2、 黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与 第二组的人数的比是5：4，第二组
与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总 和少15人。六年级
参加植树的共有多少人？
3、 科技组与作文组人数的比是9：10，作 文组与数学组人数的比是5：7。已知数学组与
科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？

例题3。
甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、 乙两校图书本数的比
就是3：4。原来甲校有图书多少本？
【思路导航】由甲、乙两校原有图 书本数的比是7：5可知，原来甲校图书的本数是两校图
书总数的
7
，由于甲校给了乙 校650本，这时甲校的图书占两校图书总数的
7+5
37313
，甲校给乙校的65 0本图书，相当于两校图书总数的－＝。
3+47+53+484
737
650÷（－）×＝2450（本）
7+53+47+5
答：原来甲校有图书2450本。
练习3
1、 小明读一本书，已读的和未读的页数比是1：5。如果再读30页，则已读和未 读的页数

之比为3：5。这本书共有多少页？
2、 甲、乙两包糖的重量比是 4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量
比为7：5。原来甲包有多少克糖？
1
3、 五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的，二班与三班参< br>3
加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？

例题4。
1
从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿 子分得，二儿子分
2
11
得，小儿子分得，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人 的要求怎么也不好分。后来
39
一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗 ？
1111717
【思路导航】因为++＝，﹤1，就是说三兄弟并未将全部牛分完，所以我 们求出三
2391818
个儿子分牛头数的连比，最后再按比例分配。
111
① 三个儿子分牛头数的连比：：：＝9：6：2
239
② 总份数：9+6+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数：
9
17×＝9（头）
17
6
17×＝6（头）
17
2
17×＝2（头）
17
答：大儿子分得9头，二儿子分得6头，小儿子分得2头。
练习4
111
1、 图书室取出一批书，按照一年级得，二年级得，三年级得，正好 是41本，各年级
237
各得多少本？
2、 古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的 妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个男孩，
就把遗产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下 来的是女孩就把遗产的三分
之一给女儿，三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎――一男一女，这是 他没有
预料到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个继承人的比。
（1） 从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是（）：（）：（）。
1
（2） 从母亲至少得遗产的来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（）：（）：（）。
3
1
3、甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％，乙比丙多做。三人各 做多少个？
3

例题5。
两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与 水的体积之比是3：1，另一个瓶中酒
精与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒 精与水的体积之比是多少？

【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中 的酒精占瓶子容积的几分之几再
解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比
33
＝
1+34
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比
44
＝
1+45
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比
3431
+＝
4520
④ 水占一个瓶子容积的比
319
2－＝
2020
⑤ 混合液中酒精与水的比
319
：＝31：9
2020
答：混合液中酒精与水的比是31：9。
练习5
1、 两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的比 是1：3。
现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。
2、 将一条公路平均分给甲 、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2：1，乙队已
修的与剩下的比是5：2。这条公路已修 了全长的几分之几？
5
3、 光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的，照这样的速度 计算，全年可超产
8
1000台。这个工厂上半年生产电视机多少台？

答案：
练1
1、 4：5：8 2、 4：5：9 3、 6：35：14
练2
1、 棉田：粮田：其他＝21：6：1
21+6+1＝28
21
粮田：61600×＝46200公亩
28
6
棉田：61600×＝13200公亩
28
1
其他：61600×＝2200公亩
28
2、第一、二、三组人数的比是15：12：8
15÷（12+8－15）×（15+12+8）＝105人
3、科技组、作文组、数学组的人数的比是9：10：14
69÷（9+14）×（14－10）＝12人
练3

1、
2、
3、
练4
31
30÷（－）＝144页
3+51+5
474
130÷（－）×＝480克
4+17+54+1
11
8÷（13－11）×（11+13）÷（1－）×＝48人
33
111
1、 一、二、三年级的比是：：＝21：14：6
237
21+14+6＝41
21
一年级：41×＝21本
41
14
二年级：41×＝14本
41
6
三年级：41×＝6本
41
2、（1）儿子：母亲＝2：1 母亲：女儿＝2：1，从儿子、母亲、女儿所得的比来看，三人
所得遗产的比是4：2：1。
112
（2）对立遗嘱人的愿望可解释为：他要给母亲至少留下遗产，因此母亲应得，余下的按
333
4：1分给儿子和女儿，儿子、母亲、女儿所得的比是8：5：2。
3、甲：900×30％＝270个
1+3＝4
4
乙：（900－270）×＝360个
3+4
丙：900－270－360＝270个
练5
1、 把一块合金的质量看作“1”
铜一共是
2115
+＝
5+21+328
1541
锌一共是2－＝
2828
1541
新合金中铜与锌的比是：＝15：41
2828
121529
2、×+×＝
22+125+242
55
3、 1000÷（×2－1）×＝2500台
88




第十五周比的应用（二）

专题简析：
比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具 ，有了它，我们处
理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应 用题。

11
例题1甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走的路，而乙走的时间比 甲少，求甲、乙
511
两人速度的比。
甲路程乙路程
【思路导航】因为速度＝路程÷时间，所以，甲、乙速度的比＝：
甲时间乙时间
1
（1）甲、乙路程的比：（1+）：1＝6：5
5
1
（2）甲、乙时间的比：1：（1－）＝11：10
11
65
（3）甲、乙速度的比：：=12：11
1110
答：甲、乙速度的比是12：11。
练习1
11
1、 小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多，小芳用的时间比小明多。求小明
58
和小芳速 度的比。27:20
11
2、 甲走的路程比乙多，乙用的时间比甲多。求甲、乙的速度比。5:3
34
3、 一个人步行每 小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人骑自
行车的速度和步行速度的比是多少 ？3:1

例题2制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有159 0个零件的制
造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？ 【思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效率的比
进行解答 。
甲、乙、丙工作效率的比：
111
：：＝15：18：20
654.5
总份数：15+18+20＝53
15
甲：1590×＝450（个）
53
18
乙：1590×＝540（个）
53
20
丙：1590×＝600（个）
53
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。
练习2
1、 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？700、600、
525

2、 甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5分钟，比 乙制
2
造一个零件所用的时间多25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少。甲、乙、丙各5
制造了多少个零件？240、300、400
3、 加工某种零件要三道工序，专做第 一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零件48
个，32个，28个，现有118名工人，要使每天 三道工序完成的零件个数相同，每道工
序应安排多少工人？28、42、48

例题 3两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5，两厂西服价格的比是11：10。已知两
厂这个月内总 产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？
【思路导航】因为产值＝价格×产量，所以
甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：（乙价格×乙产量）
两厂的产值比为：（11×6）：（10×5）＝66：50
66
甲厂产值为：6960×＝3960（元）
66+50
50
乙厂产值为：6960×＝3000（元）
66+50
答：两厂的产值分别是3960万元和3000万元。
练习3
1、 甲、乙两个长方形长的比是4：5，宽的比是3：2，面积的和是242平方厘米。求甲、
乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？132、110
2、 苹果和梨的单价的比是6：5，王 大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3，共花去18元。
王大妈买苹果和梨各花了多少元？8、10
3、 大、小两种苹果，其单价比是5：4，重量比是2：3。把两种苹果混合，成为100千
克的混合苹果，单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？5、4

▲例题4 A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比
就是7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？
【思路导航】
解法一：因为A、B两种商 品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格
差不变，所以价格差对应的份数也应该相 同。
原价格比＝7：3＝21：9
现价格比＝7：4＝28：16
【这样前后项的差都是12，价格涨了（28－21）＝7份，是70元】
70÷（28－21）＝10元
A：10×21＝210（元）
B：10×9＝90（元）
解法二：由于两种商品的价格差不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。
（1）原来A商品的价格是价格差的几倍
7
7÷（7－3）＝
4
（2）后来A商品的价格是价格差的几倍
7
7÷（7－4）＝
3

（3）A、B两种商品的价格差是
77
70÷（－）＝120（元）
34
（4）原来A商品的价格是
120÷（7－3）×7＝210（元）
（5）原来B商品的价格是
120÷（7－3）×3＝90（元）
答：A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。
练习4
用两种思路解答下列应用题：
1、 甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是 4：3。甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队
水泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？216
4
2、 甲书架上的书是乙书架上的，两书架上各增加154本后，甲书架上的书是乙书架上< br>7
5
的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？56、98
6
▲兄弟两 人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。从年初到年底，他们都结余
720元。他们每 年的收入各是多少元？7200、5400

例题5如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲 地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1：
2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，李华同 时以每小时10千米的速度从乙
地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千 米？

甲丙乙
【思路导航】
解法一：根据路程的比和速度的比求出时间 的比，从而求出王刚和李华所用的时间，再求出
各自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比
12
：＝5：4
410
王刚所用的时间
1÷（5－4）×5＝5（小时）
甲地到丙地的路程
4×5＝20（千米）
甲、乙两地的路程
20×（1+2）＝60（千米）
解法 二：如果李华每小时行4×2＝8千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时多行
10－8＝2千米 。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行了10
×1＝10千米。据此，可求出王刚 从甲地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间
10 ×1÷（10－4×2）＝5（小时）
甲、乙两地的路程
4×5×（1+2）＝60（千米）
▲解法三：如果王刚每小时行10÷2＝5千米，就能和李华同时 到达。由此可见，王刚走完

甲地到丙地的路程，用每小时4千米的速度和每小时5千米的 速度相比，所用的时
111
间相差1小时。再根据1千米的路程，两种速度所用的时间相差－＝ 小时。最
4520
后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程
11
1÷（－）＝20（千米）
4
10÷2
甲、乙两地的路程
20×（1+2）＝60（千米）
答：甲、乙两地相距60千米。
练习5
1、 一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返 一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽车去
时每小时行45千米，返回时每小时行30千米。甲、 乙两地相距多少千米？72
▲甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率 的比是6：5。甲、乙
5
每小时各做多少个？乙：（3000×－2400）÷1＝100个、 甲：120
6
2、 下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的 路程的比是
2：3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时以每小时50千米的速度从乙地开往丙地，客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的路程？
500

甲丙乙
答案：
练1
1
1、 小明与小芳路程的比是（1+）：1＝6：5
5
1
小明与小芳时间的比是1：（1+）＝8：9
8
65
小明与小芳速度的比是：：＝27：20
89
1
2、 甲、乙路程的比是（1+）：1＝4：3
3
1
甲、乙时间的比是1：（1+）：1＝4：5
4
43
甲、乙速度的比是：＝5：3
45
3、 （1）骑自行车每行1千米用的时间为：60÷5－8＝4分钟
60
（2）骑车与步行的速度的比是：5＝3：1
4
练2
111
1、 甲、乙、丙效率的比是：：＝28：25：21
33.54
总份数：28+25+21＝73

28
甲应加工的个数：1825×＝700个
73
25
乙应加工的个数：1825×＝600个
73
21
丙应加工的个数：1825×＝525个
73
2、 （1）5÷（1+25％）＝4分钟
2
（2）5×（1－）＝3分钟
5
111
（3）：：＝12：15：20
543
（4）12+15+20＝47
12
（5）甲：940×＝240个
47
15
乙：940×＝300个
47
20
丙：940×＝400个
47
111
3、 （1）：：＝14：21：24
483228
（2）14+21+24＝59
14
（3）第一道工序：118×＝28名
59
21
第二道工序：118×＝42名
59
24
第三道工序：118×＝48名
59
练3
1、 （1）甲、乙两个长方形面积的比是：（4×3）：（5×2）＝6：5
（2）甲、乙两个长方形的面积分别是：
6
甲：242×＝132平方厘米
6+5
5
乙：242×＝110平方厘米
6+5
2、 苹果与梨的总价比为：
（6×2）：（5×3）＝4：5
苹果：18×
4
＝8元
4+5
5
梨：18×＝10元
4+5
3、两样苹果的总价：4.4×100＝440元
两种苹果总价的比：（5×2）：（4×3）＝5：6
5
大苹果的总价：440×＝200元
5+6

2
大苹果的重量：100×＝40千克
2+3
大苹果的单价：200÷40＝5元
小苹果的单价：5÷5×4＝4元
练4
1、 解法一：54÷（4－3）×4＝216吨
解法二：54÷（
434
－）×＝216吨
4+34+34+3
2、 解法一：甲、乙原来的比是4：7
甲、乙后来的比是5：6＝15：18
甲书架上原有的书：154÷（15－4）×4＝56本
乙书架上原有的书：154÷（18－7）×7＝98本
解法二：由于甲、乙两个书架上本数 的差没有变，因此，以甲、乙两个书架上本书的差为单
位“1”来考虑。
甲、乙两个书架上相差的本数
54
154÷（－）＝42本
6－57－4
原来甲、乙两个书架上的本数
甲：42÷（7－4）×4＝56本
乙：42÷（7－4）×7＝98本
3、 解法一：兄、弟二人收入的是4：3＝20：15
兄、弟二人支出的比是18：13
兄一年的收入是720÷（20－18）×20＝7200元
弟一年的收入是720÷（15－13）×15＝5400元
解法二：兄弟二人的收入相差
418
720÷（－）＝1800元
4－318－13
兄、弟每年的收入各是：
兄：1800÷（4－3）×4＝7200元
弟：1800÷（4－3）×3＝5400元
练5
11
1、 解法一：4÷（+）＝72千米
4530
30
解法二：45×（4×）＝72千米
45+30
5
2、 乙：（3000×－2400）÷1＝100个
6
6
甲：100×＝120个
5
3、 （1）乙地到丙地的路程
11
1÷（－）＝300千米
50
40÷2×3
（2）甲、乙两地之间的路程

2
300×（1+）＝500千米
3