山西中北大学-学生自我介绍

六年级数学奥数培训资料

第1讲 定义新运算
第2讲 简便运算（一）
第3讲 简便运算（二）
第4讲 简便运算（三）
第5讲 简便运算（四）
第6讲 转化单位“1”（一）
第7讲 转化单位“1”（二）
第8讲 转化单位“1”（三）
第9讲 设数法解题
第10讲 假设法解题（一）
第11讲 假设法解题（二）
第12讲 倒推法解题
第13讲 代数法解题
第14讲 比的应用（一）
第15讲 比的应用（二）
第16讲 用“组合法”解工程问题
第17讲 浓度问题
第18讲 面积计算（一）
第19讲 面积计算（二）
第20讲 面积计算
目录
第21讲 抓“不变量”解题
第22讲 特殊工程问题
第23讲 周期工程问题
第24讲 比较大小
第25讲 最大最小问题
第26讲 加法、乘法原理
第27讲 表面积与体积（一）
第28讲 表面积与体积（二）
第29讲 抽屉原理（一）
第30讲 抽屉原理（二）
第31讲 逻辑推理（一）
第32讲 逻辑推理（二）
第33讲 行程问题（一）
第34讲 行程问题（二）
第35讲 行程问题（三）
第36讲 流水行船问题
第37讲 对策问题
第38讲 应用同余问题
第39讲 “牛吃草”问题
第40讲 不定方程
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第1讲 定义新运算

一、知识要点
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运
算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计
算程序，将数值代 入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是 一些特殊的运算符号，如：
*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种
运算定律的。
二、精讲精练
【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路 导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。这里
的“*”就代表一种新运 算。在定义
新运算中同样规定了要先算小括号
里的。因此，在13*（5*4）中，就
要先算小括号里的（5*4）。
练习1：
1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×12，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4
×q-(p+q)÷2。求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”
是新的运算符号。

练习2：
1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝MN+NM，求10*20－14。
【例题3】如果1 *5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，
3*3=3 +33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此

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13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26
5*4=（5+4）+（5-4）=10
13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26
3△(4△6)
＝3△【4×6－（4+6）÷2】
＝3△19
＝4×19－（3+19）÷2
＝76－11
＝65
7*4=7+77+777+7777=8638
210*2=210+210210=210420

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练习3：
1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+ 222+2222，
3*3=3+33+333，……那么4*4=________。
2．规定， 那么8*5=________。

3．如果2*1=12，3*2=133，4*3=14 44，那么（6*3）÷（2*6）=________。
【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1⑥
－1⑦ =1⑦×A，那么，A是几？
【思路导航】这题的新运算被定义为：@ =
（a－1）×a×（a＋1），据此，可以求出1⑥－
1⑦ =1（5×6×7）－1（6×7 ×8），这里的分
母都比较大，不易直接求出结果。根据1⑥－1
⑦ =1⑦×A，可得出A = (1⑥－1⑦)÷1⑦ =
（1⑥－1⑦）×⑦ = ⑦⑥ －1。即
练习4： 1．规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1⑧－1
⑨＝1⑨×A，那么A=________。
2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4 ×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1⑩+1
⑾＝1⑾×□，那么□＝________。
3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54< br>中，x＝________。
【例题5】设a⊙b=4a－2b+12ab,求z⊙（4
⊙1）＝34中的未知数x。 【思路导航】先求出小括号中的4⊙1=4×
4-2×1+12×4×1＝16，再根据x⊙16＝ 4x－2×
16+12×x×16 = 12x－32，然后解方程12x－
32 = 34，求出x的值。列算式为
练习5：
1．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7
求x。
2．对两个整数a和b定义新运算“△”：a△b=
3．对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝
的整数）。如果1*2＝1，那么3*12＝________。
，求6△4+9△8。
（其中m是一个确定
4⊙1＝4×4-2×1+12×4×1＝16
x⊙16＝4x－2×16+12×x×16
＝12x－32
12x－32 = 34
12x= 66
x＝5.5
A =（1⑥－1⑦）÷1⑦
=（1⑥－1⑦）×⑦
= ⑦⑥－1
=（6×7×8）（5×6×7）－1
= 1又35－1
= 35
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第2讲 简便运算（一）
一、知识要点
根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一
些较复杂的 四则混合运算化繁为简，化难为易。
二、精讲精练
【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37）
【思路导航】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质：a－b－
c = a－（b＋c），使运算过程简便。所以
原式＝4.75+8.25－9.63－1.37
＝13－（9.63+1.37）
＝13－11
＝2
练习1：计算下面各题。
1． 6.73－2 又817+（3.27－1又917）
2. 7又59－（3.8+1又59）－1又15
3. 14.15－（7又78－6又1720）－2.125
4. 13又713－（4又14+3又713）－0.75
【例题2】计算333387又12×79+790×66661又14
【思路导航】可把分 数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。所
以：原式＝333387.5×79+7 90×66661.25
＝33338.75×790+790×66661.25
＝（33338.75+66661.25）×790
＝100000×790
＝79000000
练习2：计算下面各题：
1. 3.5×1又14+125％+1又12÷45
2. 975×0.25+9又34×76－9.75
3. 9又25×425+4.25÷160
4. 0.9999×0.7+0.1111×2.7
【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3
【思路导航】此题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：36 = 1.2×
30。这样一转化，就可以运用乘法分配律了。所以
原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3
＝1.2×（30×1.09+1.2×67.3）
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＝1.2×（32.7+67.3）
＝1.2×100
＝120
练习3：计算：
1. 45×2.08+1.5×37.6
2. 52×11.1+2.6×778
3. 48×1.08+1.2×56.8
4. 72×2.09－1.8×73.6
【例题4】计算：3又35×25又25＋37.9×6又25
【思路导航】虽然3又35与6又25的和为10，但是与它们相乘的另一个因数不
同，因此， 我们不难想到把37.9分成25.4和12.5两部分。当出现12.5×6.4时，我们又
可以将6 .4看成8×0.8，这样计算就简便多了。所以
原式＝3又35×25又25＋（25.4+12.5）×6.4
＝3又35×25又25＋25.4×6.4＋12.5×6.4
＝（3.6+6.4）×25.4＋12.5×8×0.8
＝254＋80
＝334
练习4：
计算下面各题：
1．6.8×16.8＋19.3×3.2
2．139×137138＋137×1138
3．4.4×57.8＋45.3×5.6
【例题5】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5
【思路导航】先分组提取公因数，再第二次提取公因数，使计算简便。所以
原式＝81.5×（15.8＋51.8）＋67.6×18.5
＝81.5×67.6＋67.6×18.5
＝（81.5＋18.5）×67.6
＝100×67.6
＝6760
练习5：
1．53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5
2．235×12.1＋+235×42.2－135×54.3
3．3.75×735－38×5730＋16.2×62.5
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第3讲 简便运算（二）
一、知识要点
计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘
法分配律来 简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。
二、精讲精练
【例题1】计算：1234＋2341＋3412＋4123
【思路导航】整体观察全式，可 以发现题中的4个四位数均由数1，2，3，4组成，
且4个数字在每个数位上各出现一次，于是有
原式＝1×1111＋2×1111＋3×1111＋4×1111
＝（1＋2＋3＋4）×1111
＝10×1111
＝11110
练习1：
1．23456＋34562＋45623＋56234＋62345
2．45678＋56784＋67845＋78456＋84567
3．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68
【例题2】计算：2又45×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28
【思路导航】 我们可以先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运
用乘法分配律来简算。所以
原式＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2
＝2.8×（23.4＋65.4）＋88.8× 7.2
＝2.8×88.8＋88.8×7.2
＝88.8×（2.8＋7.2）
＝88.8×10
＝888
练习2：计算下面各题：
1．99999×77778＋33333×66666
2．34.5×76.5－345×6.42－123×1.45
3．77×13＋255×999＋510
【例题3】计算（1993×1994－1）（1993＋1992×1994）
【思路导航 】仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中1993×1994可变
形为1992＋1）×1 994=1992×1994＋1994，同时发现1994－1 = 1993，这样就可以
把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。所以
原式＝【（1992＋1）×1994－1】（1993＋1992×1994）
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＝（1992×1994＋1994－1）（1993＋1992×1994）
＝1
练习3：计算下面各题：
1．（362＋548×361）（362×548－186）
2．（1988＋1989×1987）（1988×1989－1）
3．（204＋584×1991）（1992×584―380）―1143
【例题4】有 一串数1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的，那么其
中第2000个数与2 001个数相差多少？
【思路导航】这串数中第2000个数是20002，而第2001个数是20 012，它们相差：
20012－20002，即
20012－20002
＝2001×2000－20002＋2001
＝2000×（2001－2000）＋2001
＝2000＋2001
＝4001
练习4：计算：
1．19912－19902 2．99992＋19999 3．999×274＋6274
【例题5】计算：（9又27＋7又29）÷（57＋59）
【思路导航】在本题中，被除数 提取公因数65，除数提取公因数5，再把17与19
的和作为一个数来参与运算，会使计算简便得多。
原式＝（657＋659）÷（57＋59）
＝【65×（17＋19）】÷【5×（17＋19）】
＝65÷5
＝13
练习5：
计算下面各题：
1．（89＋1又37＋611）÷（311＋57＋49）
2．（3又711＋1又1213）÷（1又511＋1013）
3．（96又6373＋36又2425）÷（32又2173＋12又825）
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第4讲 简便运算（三）
一、知识要点
在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号
和数字特点 ，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律
的模式，以便于口算，从而 简化运算。
二、精讲精练
【例题1】
计算：（1）
44
45
×37
（1） 原式＝（1－
1
45
）×37
＝1×37－
1
45
×37
＝37－
37
45

＝36
8
45

练习1
用简便方法计算下面各题：
1.
14
15
×8 2.
4. 73×
74
75
5.
【例题2】
计算：73
11
15
×
原式＝（72+
16
8
）×
1

＝72×
1
8
+
16
158

15
×
1
8

＝9+
2

＝9
2
15
15

- 8 -
（2） 27×
15
26

（2） 原式＝（26+1）×
15

＝26×
15
26
26
+
15
26

＝15+
15
26

＝15
15
26

2
25
×126 3. 35×
11

1997
36
1998
×1999

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练习2
计算下面各题：
111
1. 64 × 2. 22 ×
1792021
111314
3. ×57 4. 41 × +51 ×
1
7634
【例题3】
计算：
1
5
×27+
3
5
×41
原式＝
3
5
×9+
3
5
×41
＝
3
5
×（9+41）
＝
3
5
×50
＝30
练习3
计算下面各题：
1.
131
4
×39+
4
×27 2.
5
6
×35+
6
×17
【例题4】
计算：
5
6
×
15256
13
+
9
× + ×
原式＝
1
6
×
5
13
+
2
13
5
18
6
13
5
9
×
13
+ ×
＝（
1
6
+
2
9
+
6
18
）×
5
1813
13

＝
13
18
×
5

＝
5
13
18

练习4
计算下面各题：
1．
1
17
×
4
9
+
5
17
×
1
9

45
3.
1
8
×5+
51
8
×5+
8
×10
2.
13
7
×
4
+
3
7
×
161
6
+
7
×
12

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3． ×79 +50× + × 4. × + × + ×3
916152
【例题5】
5
1998
计算：（1）166 ÷41 （2） 1998÷1998
201999
11998×1999+1998
解： （1）原式＝（164+2 ）÷41 （2）原式＝1998÷
201999
411998×2000
＝164÷41+ ÷41 ＝1998÷
201999
1
＝4+
1
20

＝4
1
20

练习5
计算下面各题：
1. 54
2
5
÷17
- 10 -
2. 238÷238
238
239


1998×
1999
1999
1998×2000

2000

3. 163
11
13
÷41
39

＝
＝

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第5讲 简便运算（四）
一、知识要点
前面我们介绍了运用定律和性质以及数 的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向
同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数 的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，< br>11111
形如 的分数可以拆成 － ；形如 的分数可以拆成 ×（ －
a×(a+1)aa+1a×（a+n）na
a+b11
），形如 的分数可以拆成 + 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
a+na×bab
二、精讲精练
【例题1】
计算： + + +…..+
1×22×33×499×100
1111111
原式＝（1－ ）+（ － ）+（ － ）+…..+ （ － ）
2233499100
1111111
＝1－ + － + － +…..+ －
2233499100
1
＝1－
100
99
＝
100
练习1
计算下面各题：
1. + + +…..+
4×55×66×739×40
11111
2. + + + +
10×1111×1212×1313×1414×15
111111
3. + + + + +
2612203042
1111
4. 1－ + + +
6425672
【例题2】
计算： + + +…..+
2×44×66×848×50
- 11 -
1
1
1111
1111
1111

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1
原式＝（ + + +…..+ ）×
2×44×66×848×502
111111111
＝【（ － ）+（ － ）+（ － ）…..+ （ － ）】×
24466848502
111
＝【 － 】×
2502
6
＝
25
练习2
计算下面各题：
1.
1111111
2222
+ + +…..+ 2. + + +…..+
3×55×77×997×991×44×77 ×1097×100
111111111
3. + + +…..+ 4. + + + +
1×55×99×1333×3742870130208
【例题3】
1315
计算：1 － + － + －
31220304256

原式＝1 －（ + ）+（ + ）－（ + ）+（ + ）－（ + ）
33445566778

＝1 － － + + － － + + － －
33445566778
1
＝1－
8
7
＝
8
练习3
计算下面各题：
157911
1.1 + － + －
26122030
19111315
2.1 － + － +
420304256
819981998
3. + + + +
1×22×33×44×55×6
7911
4.6× － ×6+ ×6
122030
【例题4】
17911
1
- 12 -

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111111
计算： + + + + +
248163264
11111111
原式＝（ + + + + + + ）－
2481632646464
1
＝1－
64
63
＝
64
练习4
计算下面各题：
111
1. + + +………+
248256
22222
2. + + + +
392781243
3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
【例题5】
1
111
计算：（1+ + + ）×（ + + + ）－（1+ + + + ）×（ + + ）
23423452345234
111111
设1+ + + ＝a + + ＝b
234234
11
原式＝a×（b+ ）－（a+ ）×b
55
11
＝ab+ a－ab－ b
55
1
＝ （a－b）
5
1
＝
5
练习5
1111
1.（ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ）
2345345623456345
111
2.（ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（
8911011129
11
+ + ）
1011
3.（1+ + + ）×（ + + + ）－（1+
19992999
- 13 -
1
11111111

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+ + + ）×（ + + ）
299920002001
111111
- 14 -

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第六讲 转化单位“1”（一）

专题简析：
把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。
acacaba
如果甲是乙的 ，乙是丙的 ，则甲是丙的 ；如果甲是乙的 ，则乙是甲的 ；如果甲的 等
bdbdbab
ccabcaaad
于乙的 ，则甲是乙的 ÷ ＝ ，乙是甲的 ÷ ＝ 。
ddbadbbbc

例题1。
24
乙数是甲数的 ，丙数是乙数的 ，丙数是甲数的几分之几？
35
248
× ＝
3515
练习1
33
1. 乙数是甲数的 ，丙数是乙数的 ，丙数是甲数的几分之几？
45
11
2. 一根管子，第一次截去全长的 ，第二次截去余下的 ，两次共截去全长的几分之几？
42
3. 一个旅客从甲城坐火车到乙 城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他醒来时，发现剩下的路程是
1
他睡着前所行路程的 。想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他睡着时火车行了全程的几分之
4
几？

例题2。
14
修一条8000米的水渠，第一周修了全长的 ，第二周修的相当于第一周的 ，第二周修了多少米？
45
14
解一：8000× × ＝1600（米）
45
14
解二：8000×（ × ）＝1600（米）
45
答：第二周修了1600米。

练习2
用两种方法解答下面各题：
11
1. 一堆黄沙30吨，第一次用去总数的 ，第二次用去的是第一次的1 倍，第二次用去黄沙多少吨？
54
17
2. 大象可活80年，马的寿命是大象的 ，长颈鹿的寿命是马的 ，长颈鹿可活多少年？
28
11
3. 仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的 ，第二次取出余下的 ，第二次取出多少吨？
53


例题3。
12
晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了余下的 ，第二天比第一天多看了15页，
45
- 15 -

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这本书共有多少页？
121
解： 15÷【（1－ ）× － 】＝300（页）
454
答：这本书有300页。
练习3
13
1. 有一批货物，第一天运了这批货物的 ，第二天运的是第一天的 ，还剩90吨没有运。这批货物
45
有多少吨？
12
2. 修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的 ，第二天修了余下的 ，已知这两天共修路1200
43
米，这条公路全长多少米？
24
3. 加工一批零件，甲先加工了这批零件的 ，接着乙加工了余下的 。已知乙加工的个数比甲少200
59
个，这批零件共有多少个？

例题4。
4
男生人数是女生人数的 ，女生人数是男生人数的几分之几？
5
45
解：把女生人数看作单位“1”。 1÷ ＝
54
5
把男生人数看作单位“1”。 5÷4＝
4
练习4
3
1． 停车场里有小汽车的辆数是大汽车的 ，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？
4
6
2． 如果山羊的只数是绵羊的 ，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？
7
3
3． 如果花布的单价是白布的1 倍，则白布的单价是花布的几分之几？
5

例题5。
11
甲数的 等于乙数的 ，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？
34
113111
解： ÷ ＝ ÷ ＝1
434343
31
答：甲数是乙数的 ，乙数是甲数的1 。
43
练习5
32
1. 甲数的 等于乙数的 ，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？
45
25
2. 甲数的1 倍等于乙数的 ，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和的几分之几？
36
32
3. 甲数是丙数的 ，乙数是丙数的 ，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲 数的几分之几？（想一想：
45
这题与第一题有什么不同？）

- 16 -

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答案：
9513
练1 1、 ＝ 2、 ＝ 3、 ＝ ＝
20888
练2 1、 ＝7.5（吨） 2、 ＝35（年） 3、 ＝8吨
练3 1、 ＝150吨 2、 ＝1600米 3、 ＝1500个
115
练4 1、 ＝1 2、＝1 3、 ＝
368
871278
练5 1、 ＝ ＝1 2、 ＝ ＝ 3、＝1 ＝
15823815
第七讲 转化单位“1”（二）

专题简析：
我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可拓展我们 的解题思路，
提高我们的思维能力。

例题1。
23
甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？
34
321
解法一：把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的 × ＝ ，
432
332
丙：216÷（1+ + × ）＝96
443
3
乙：96× ＝72
4
2
甲：72× ＝48
3
34
解法二：可将“乙数是丙数的 ”转化成“丙数是乙数的 ”，把乙数看作单位“1”。
43
24
乙：216÷（ +1+ ）＝72
33
2
甲：72× ＝48
3
3
丙：72÷ ＝96
4
233
解法三：将条件“甲数是乙数的 ”转化为“乙数是甲数的 ”，再将条件“乙数是丙数的 ”转化为
324
4
“丙数是乙数的 ”，以甲数为单位“1”。
3
334
甲：216÷（1+ + × ）＝48
223
3
乙：48× ＝72
2
4
丙：72× ＝96
3
答：甲数是48，乙数是72，丙数是96。
练习1
- 17 -

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下面各题怎样计算简便就怎样计算：
53
1. 甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？
64
21
2. 橘子的千克数是苹果的 ，香蕉的千克数是橘子的 ，香蕉和苹果共有220千克，橘子有多少千克？
32
91
3. 某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的 ，初二的学生数是初三学生数的1
104
倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？

例题2。
32
红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的 等于黄气球的 ，蓝气球有24只，红气球和黄气球各
53
有多少只？
32329
解法一：将条件“红气球的 等于黄气球的 ”转化为“黄气球的只数是红气球的（ ÷ ＝） ”。
535310
先求红气球的只数，再求出黄气球的只数。
32
红气球：（62－24）÷（1+ ÷ ）＝20（只）
53
黄气球：62－24－20＝18（只）
322310
解法二：将条件“红气球的 等于黄气球的 ”转化为“红气球的只数是黄气球的（ ÷ ＝） ”。
53359
先求黄气球的只数，再求出红气球的只数。
23
黄气球：（62－24）÷（1+ ÷ ）＝18（只）
35
红气球：62－24－18＝20（只）
答：红气球有20只，黄气球有18只。
练习2
25
1. 甲数的 等于乙数的 ，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？
36
24
2. 今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的 正好是乙得奖金的 ，甲、乙两人各得
37
奖金多少元？
11
3. 商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克，香蕉重量的 等于苹果重量的 ，梨子的重量是200千克。
43
香蕉和苹果各多少千克？

例题3。
23
已知甲校学生数是乙校学生数的 ，甲校的女生数是甲校学生数的 ，乙校的男生数是乙校学生
510
21
数的 ，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？
50
解法一：把乙校学生数看作单位“1”。
232121
【 × +（1－ ）】÷（1+ ）＝
5105052
解法二：把甲校学生数看作单位“1”
- 18 -

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5521351
（ － × + ）÷（1+ ）＝
22501022
1
答：甲、乙两校女生总数占两校学生总数的 。
2
练习3
112
1. 在一座城市中，中学生数是居民的 ，大学生是中学生数的 ，那么占大学生总数的 的理工科大
545
学生是居民数的几分之几？
325
2. 某人在一次选举中，需 的选票才能当选，计算 的选票后，他得到的选票已达到当选票数的 ，
436
他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？
313
3. 某校有 的学生是男生，男生的 想当医生，全校想当医生的学生的 是男生，那么全校女生的
5204
几分之几想当医生？

例题4。
21
仓库里的大米和面粉共有2000袋。大米运走 ，面粉运作 后，仓库里剩下大米和面粉正好相
510
等。原来大米和面粉各有多少袋？
解法一：将大米的袋数看作单位“1”
212
（1－ ）÷（1－ ）＝
5103
2
2000÷（1+ ）＝1200（袋）
3
2000－1200＝800（袋）
解法二：将面粉的袋数看作单位“1”
123
（1－ ）÷（1－ ）＝
1052
3
2000÷（1+ ）＝800（袋）
2
2000－800＝1200（袋）
答：大米原有1200袋，面粉原有800袋。
练习4
21
1. 甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的 、乙完成自己的 时，两人所剩零件数量相
34< br>等，已知甲比乙多做了70个，甲、乙两人各准备加工多少个零件？
2
2. 一批水果四天卖完。第一天卖出180千克，第二天卖出余下的 ，第三、四天共卖出这批水果的一
7
半，这批水果有多少千克？
3. 甲、乙两人合 打一篇书稿，共有10500字。如果甲增加他的任务的20％，乙减少他的任务的20％，
那么甲打的 字数就是乙的2倍，问两人原来的任务各是多少？

例题5。
400名学生参加植 树活动，计划每个男生植树20棵，每个女生植树15棵。除抽出25％的男生搞
卫生外，其他的同学都 按计划完成了植树任务。问共植树多少棵？
解： 20×（1－25％）×400
- 19 -

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＝20×0.75×400
＝6000（棵）
答：共植树6000棵。
练习5
11
1. 有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的 放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的 放在
33
一起是12公顷，那么，菜地有多少公顷？
2. 师徒两人加工同样多的零 件，师傅要10分钟，徒弟要18分钟。两人共同加工零件168个，如果要
在相同的时间内完成，两人 各应加工零件多少个？
3. 有5元和2元的人民币若干张，其金额之比为15：4。如果5元人民币 减少6张，则两种人民币的
张数相等。求原来两种人民币的张数各是多少？

答案：
8
练1 1、 丙数＝64 乙数＝48 甲数＝40 2、 ＝110千克 3、＝
27
练2 1、 乙数＝72 甲数＝90 2、 乙＝1400元 甲＝1200元
3、 香蕉＝400千克 苹果＝300千克
131
练3 1、＝ 2、 ＝ 3、 ＝
50840
练4 1、 乙＝56个 甲＝126个 2、 ＝600千克 3、 甲＝6000字 乙＝4500字
练5 1、 ＝18公顷 2、 徒弟＝60个 师傅＝108个
3、 2元币＝12张 5元币＝18张

第8讲 转化单位“1”（三）
一、知识要点
解 答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位
“1”，将已知条件进 行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。
二、精讲精练
【例题1 】有两筐梨。乙筐是甲筐的35，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的
梨是甲筐的79。甲、乙两筐 梨共重多少千克？
解：5÷（5（5+3）－9（7+9））＝80（千克）
答：甲、乙两筐梨共重80千克。
练习1：
1．某小学低年级原有少先队员是非少 先队员的13，后来又有39名同学加入少先队
组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的78。低年 级有学生多少人？
2．王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的119，后来从合格产品中又发 现
了2个不合格产品，这时算出产品的合格率是94％。合格产品共有多少个？
3．某校六年 级上学期男生占总人数的54％，本学期转进3名女生，转走3名男生，
这时女生占总人数的48％。现 在有男生多少人？
【例题2】某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的38。后来又买进20根长跳
- 20 -

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绳，这时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的712。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少
根？
解法一：根据短跳绳的根数没有变，我们把短跳绳看作单位“1”。可以得出原来的
长跳绳根数 占短跳绳根数的3（8-3），后来长跳绳是短跳绳的7（12-7）。这样就找到
了20根长跳绳相当 于短跳绳的（7（12-7）－3（8-3）），从而求出短跳绳的根数。
再用短跳绳的根数除以（1－ 712）就可以求出这个学校现有跳绳的总数。即
20÷【7（12-7）－3（8-3）】÷（1－712）＝60（根）
解法二：把短跳绳 看作单位“1”，原来的总数是短跳绳的8（8-3），后来的总数是
短跳绳的12（12-7）。所以 20÷（12（12-7）－8（8-3））÷（1－712）＝60（根）
答：这个学校现有长、短跳绳的总数是60根。
练习2：
1．阅览室看书的同学中 ，女同学占35，从阅览室走出5位女同学后，看数的同学
中，女同学占47，原来阅览室一共有多少名 同学在看书？
2．一堆什锦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖后，奶糖只占25％，这堆
糖中有奶糖多少千克？
3．数学课外兴趣小组，上学期男生占59，这学期增加21名女生后 ，男生就只占25
了，这个小组现有女生多少人？
【例题3】有两段布，一段布长40米，另 一段长30米，把两段布都用去同样长的一
部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的 35，每段布用去多少米？
解： 40－（40－30）÷（1－35）＝15（米）
答：每段布用去15米。
练习3：
1．有两根塑料绳，一根长80米，另一根长4 0米，如果从两根上各剪去同样长的一
段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的27，两根绳各剪去多少米？
2．今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的512时，儿子多少岁？
3．仓库 里原来存大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓库里所
剩的大米袋数时面粉的3 4，仓库里原有大米和面粉各多少袋？
4．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路， 甲队筑的路时其他三个队
的12，乙队筑的路时其他三个队的13，丙队筑的路时其他三个队的14，丁 队筑了多
少米？
【例题4】某商店原有黑白、彩色电视机共630台，其中黑白电视机占15 ，后来又
运进一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的30％，问：又运进黑白电视机多少台？
解： 630×（1－15）÷（1－30％）－630＝90（台）
- 21 -

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答：又运进黑白电视机90台。
练习4：
1．书店运来科技书和文艺书共240包，科技书占16。后来又运来一批科技书，这
时科技书 占两种书总和的311，现在两种书各有多少包？
2．某市派出60名选手参加田径比赛，其中女选手 占14，正式比赛时，有几名女选
手因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的211。问：正式参赛 的女选手有多少人？
3．把12千克的盐溶解于120千克水中，得到132千克盐水，如果要使盐水 中含盐
8％，要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？
4．东风水果店上午运进梨和苹果共1 020千克，其中梨占水果总数的15；下午又运
进梨若干千克，这时梨占两种水果总数的25，下午运 进梨多少千克？
【例题5】一堆煤，运走的比总数的25多120吨，剩下的比运走的56多60吨，
这堆煤原有多少吨？
解： （120+120×56+60）÷（1―25―25×56）＝1050（吨）
答：这堆煤原有1050吨。
练习5：
1．修一条路，第一天修了全长的25多6 0米，第二天修的长度比第一天的34多
35米，还剩100米没有修，这条路全长多少米？
2．修一条路，第一天修了全长的25多60米，第二天修的长度比第一天的34少
35米，这两天共修 路420米，这条路全长多少米？
3．某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的25，第二天修了剩 下部分的59又
20米，第三天修的是第一天的14又30米，这样，正好修完，这段公路全长多少米？
- 22 -

六年级数学奥数培训资料
第9讲 设数法解题
一、知识要点
在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来 缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，
但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这 时就可以采用“设数代入
法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数要 尽量的方
便计算），然后求出解答。
二、精讲精练
【例题1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。
解： 由第一个 等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是
12，所以右边括号内应填4。
说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。
练习1：
1．已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（ ）个○。
2．五个人比较 身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊
矮5厘米，甲与戊谁高，高几厘米 ？
3．甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运60吨到乙仓库，从乙仓库运
45吨 到丙仓库，从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最少？最
多的比最少的多多少 吨？
【例题2】足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加15，问一张门票降
价 多少元？
【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可
以随便假设一个观众数。为了方便，假设原来只有一个观众，收入为15元，那么降价后
有两个观众，收 入为15×（1+15）＝18元，则降价后每张票价为18÷2＝9元，每张票
降价15－9＝6元。 即：
15－15×（1+15）÷2＝6（元）
答：每张票降价6元。
说明：如果设原来有a名观众，则每张票降价：
15－15a×（1+15）÷2a＝6（元）
练习2：
1．某班一次考试，平均 分为70分，其中34及格，及格的同学平均分为80分，那
么不及格的同学平均分是多少分？
2．游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批学生后，学生总数增加
了20％，小学 生占学生总数的40％，小学生增加百分之几？
3．五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生
- 23 -

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是全部男生的25，全部女生人数占全年级人数的几分之几？
【例题3】小王在一个小山坡来 回运动。先从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原
路下山，每分钟跑240米，又从原路上山，每分 钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑
200米，求小王的平均速度。
【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是1200，设一个单程是1200米。则
（1）四个单程的和：1200×4＝4800（米）
（2）四个单程的时间分别是；
1200÷200＝6（分）
1200÷240＝5（分）
1200÷150＝8（分）
1200÷200＝6（分）
（3）小王的平均速度为：
4800÷（6+5+8+6）＝192（米）
答：小王的平均速度是每分钟192米。
练习3：
1．小华上山的速度是每小时3 千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又沿原
路下山的平均速度。
2．张师傅骑自行车 往返A、B两地。去时每小时行15千米，返回时因逆风，每小时
只行10千米，张师傅往返途中的平均 速度是每小时多少千米？
3．小王骑摩托车往返A、B两地。平均速度为每小时48千米，如果他去时 每小时行
42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？
【例题4】某幼儿园中班 的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多15，女孩
平均身高比男孩高10％，这个班男孩平均 身高是多少？
【思路导航】题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有5人，则男孩有6人。
（1） 总身高：115×【5+5×（1+15）】＝1265（厘米）
（2） 由于女孩平均身高是男孩的（1+10％），所以5个女孩的身高相当于5×（1+10％）＝5.5个男孩的身高，因此男孩的平均身高为：
1265÷【（1+10％）×5+6】＝110（厘米）
答：这个班男孩平均身高是110厘米。
练习4：
1．某班男生人数是女生的23 ，男生平均身高为138厘米，全班平均身高为132厘
米。问：女生平均身高是多少厘米？
2．某班男生人数是女生的45，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是
130厘米，求男 、女生的平均身高各是多少？
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3．一个长方形每边增加10％，那么它的周长增加百分之几？它的面积增加百分之几？
【例 题5】狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30
米，马开始追它。问狗再 跑多远，马可以追到它？
【思路导航】马跑一步的距离不知道，跑3步的时间也不知道，可取具体数值 ，并不
影响解题结果。
设马跑一步为7，则狗跑一步为4，再设马跑3步的时间为1，则狗跑 5步的时间为1，
推知狗的速度为20，马的速度为21。那么，
20×【30÷（21－20）】＝600（米）
练习5：
1．猎狗前面26步远 的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但兔
跑9步的距离仅等于狗跑4步的距离。问 兔跑几步后，被狗抓获？
2．猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑 2步的时
间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再跑多远，猎狗可以追
到它？
3．狗和兔同时从A地跑向B地，狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离，而狗跑2步
的时间等于兔跑3步的时间，狗跑600步到达B地，这时兔还要跑多少步才能到达B地？
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第10讲 假设法解题（一）
一、知识要点
假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合 推
算。有些题目用假设法思考，能找到巧妙的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或 减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设某
个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求 出这个分率对应的和，最后依据
它与实际条件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185，已知甲数的14与乙数的15的和是42，求两数各是多少？
【思 路导航】假设将题中“甲数的14”、“乙数的15”与“和为42”同时扩大4
倍，则变成了“甲数与 乙数的45的和为168”，再用185减去168就是乙数的15。
解： 乙：（185－42×4）÷（1－15×4）＝85
答：甲数是100，乙数是85。
练习1：
1．甲、乙两人共有钱150元，甲的12与乙的110的钱数和是35元，求甲、 乙两
人各有多少元钱？
2．甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的17，乙队人数 的13，共抽调
78人，甲、乙两个消防队原来各有多少人？
3．海洋化肥厂计划第二季度生 产一批化肥，已知四月份完成总数的13多50吨，五
月份完成总数的25少70吨，还有420吨没完 成，第二季度原计划生产多少吨？
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩 色电视机卖出19，则比黑白电视机多5
台。问：两种电视机原来各有多少台？
【思路导航】 从图中可以看出：假设黑白电视机增加5台，就和彩色电视机卖出19
后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后，相当于彩色电视机的（1－19）＝ 89。
（250+5）÷（1+1－19）＝135（台）
250－125＝115（台）
答：彩色电视机原有135台，黑白电视机原有115台。
练习2：
1．姐妹俩养 兔120只，如果姐姐卖掉17，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多
少只兔？
2．学校有篮球和足球共21个，篮球借出13后，比足球少1个，原来篮球和足球各
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有多少个？
3．小明甲养的鸡和鸭共有100只，如果将鸡卖掉120，还比鸭多17只，小 明家原
来养的鸡和鸭各有多少只？
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅 加工零件个数的38与徒弟
加工零件个数的47的和为49个，师、徒各加工零件多少个？
【 思路导航】假设师、徒两人都完成了47，一个能完成（105×47）＝60个，和实
际相差（60－ 49）＝11个，这11个就是师傅完成将零件的38与完成加工零件的47
相差的个数。这样就可以求 出师傅加工了【11÷（47－38）】＝56个。即：
师傅：（105×47－49）÷（47－38）＝56（个）
徒弟：105－56＝49（个）
答：师傅加工了56个，徒弟加工了49个。
练习3：
1．某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台，卖出彩色电视机的25和黑白电 视
机的37，共卖出57台。问：原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？
2．甲、乙两个 消防队共有336人，抽调甲队人数的57、乙队人数的37，共抽调
188人参加灭火。问：甲、乙两 个消防队原来各有多少人？
3．学校买来足球和排球共64个，从中借出排球个数的14和足球个数的 13后，还
剩下46个，买来排球和足球各是多少个？
【例题4】甲、乙两数的和是300，甲数的25比乙数的14多55，甲、乙两数各
是多少？
【思路导航】甲数的25与乙数的25的和就是甲、乙两数的25，是300×25＝
120， 因为甲数的25比乙数的14多55，所以从120中减去55所得的差就可以看成是
乙数的14与乙数 的25的和。
乙：（300×25－55）÷（25+14）＝100
甲：300－100＝200
答：甲数是200，乙数是100。
练习4： 1．畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的25比绵羊的12多50只，这个畜牧场
有山羊、绵羊 各多少只？
2．师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件的个数的58比徒弟加工零件个数的23多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？
3．某校六年级甲、乙两个班共种100棵树， 乙班种的110比甲班种的13少16棵，
两个班各种多少棵？
【例题5】育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加16，女学生减少15，
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共有710人，本学期男、女学生各有多少人？ 【思路导航】假设本学期女学生不是减少15，而是增加16，半学期应该有750×
（1+16） ＝875人，比实际多875－710＝165人，这165人是假设女学生也增加16
多出的人数，而 实际女学生减少15，所以，这165人对应着女学生的（15+16）＝1130。
上学期女生：【750×（1+16）－710】÷（15+16）＝450（人）
本学期女生：450×（1－15）＝360（人）
本学期男生：710－360＝350（人）
答：本学期男学生有350人，女学生有360人。
练习5：
1．金放在水里称， 重量减轻119，银放在水里称，重量减少110，一块重770克
的金银合金，放在水里称是720克 ，这块合金含金、银各多少克？
2．某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中 招的新生比去年增
加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？ < br>3．袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加38，黄球减少25后，红球与黄
球的总数变 为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？
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第11讲 假设法解题（二）
一、知识要点
已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙 各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要
求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数
量关系比较 复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变
化前后的相差数相当于单位 “1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就
迎刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】两根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩下的
长度是第二 根剩下的长度的5倍，第二根原来有多少米？
【思路导航】假设第一根用去6×3＝18米，那么第一 根剩下的长度仍是第二根剩下
长度的3倍，而事实上第一根比假设的少用去（6×3－6）＝12米，也 就多剩下第二根剩
下的长度的（5－3）＝2倍。
（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）
答：第二根原来有12米。
练习1：
1．丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁晓书
的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？
2．在植树劳动中，光明中学植树的棵数是 光明小学的3倍，如果中学增加450棵，
小学增加400棵，则中学是小学的2倍。求中、小学原来各 植树多少棵？
3．两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8吨，第二堆用去11吨，第一堆剩< br>下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？
【例题2】王明平时积蓄下来的零花钱比 陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了一本
4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚 原来有零花钱多少元？
【思路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6.40元，则王明要相应 地花去
4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.20－4 .40＝8.80元，那
么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的3倍多6.40+8.80＝15.20 元，而题中已告诉：买
书后王明的钱是陈刚的8倍，所以，15.20元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8 －3＝5倍。
【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元）
答：陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2：
1．甲书架上的书比乙书架上的3倍 多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，
则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原 来各有多少本书？
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2．上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍 多54人，本学年马村中学增加
了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的 4倍少26人，
上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？
3．箱子里有红、白两种玻璃球 ，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7粒
白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球 和53粒红球，那么，箱子里白球原有
多少粒？
【例题3】小红的彩笔枝数是小刚的12，两 人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚
的23，两人原来各有彩笔多少枝？
【思路导航】假设 小刚买了5枝后，小红的彩笔仍为小刚的12，则小红只需买（5×
12）＝2又12枝，但实际上小红 买了5枝，多买了5－2又12＝2又12 枝。将小刚
买了5枝后的枝数看作“1”，小红多买了2又12 ，相当于（23－12）＝16。
小刚原来：（5－5×12）÷（23－12）－5＝10（枝）
小红原来：10×12＝5（枝）
答：小刚原来有彩笔10枝，小红原来有彩笔5枝。
练习3：
1．小华今年的年龄是爸爸年龄的16，四年后小华的年龄是爸爸的14，求小华和 爸
爸今年的年龄各是多少岁？
2．小红今年的年龄是妈妈的38，10年后小红的年龄是妈妈的12，小红今年多少
岁？ < br>3．甲书架上的书是乙书架上的57，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架上的
书是乙书架 上的45，甲、乙两各书架原来各有多少本书？
【例题4】王芳原有的图书本数是李卫的45，两人各 捐给“希望工程”10本后，则
王芳的图书的本数是李卫的710，两人原来各有图书多少本？
【思路导航】假设李卫捐了10本后，王芳的图书仍是李卫的45，则王芳只需捐10
×45＝8本， 实际王芳捐了10本，多捐了10－8＝2本，将李卫捐书后剩下的图书看作
“1”，着2本书相当于4 5－710＝110。
（10－10×45）÷(45－710)=30(本)
30×45＝24（本）
答：李卫原有图书30本，王芳原有图书24本。
练习4：
1．甲书架上的书是乙书架上的45，从这两个书架上各借出112本后，甲书架上 的
书是乙书架上的47，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？
2．小明今年的年龄是爸爸的 611，10年前小明的年龄是爸爸的49，小明和爸爸今
年各多少岁？
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3．甲车间的工人是乙车间的14，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人
只占乙车 间的16，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？
【例题5】某校六年级男生人数是女生的23，后来 转进2名男生，转走3名女生，这
时男生人数是女生的34，现在男、女生各有多少人？
【思 路导航】假设转走3名女生后，男生人数仍是女生的23，则男生应转走3×23
＝2人，实际上男生却 转进2人，与应转走2人相差2+2＝4人。将转走3名女生后的女
生人数看作“1”，则相差的4人相 当于现在女生的34－23。
（2+3×23）÷（34－23）＝48（人）
48×34＝36（人）
答：现在男生有36人，女生有48人。
练习5： 1．甲车间的工人是乙车间的25，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这样
甲车间的人数 是乙车间的79，现在甲、乙两个车间各有多少人？
2．有一堆棋子，黑子是白子的23，现在取走1 2粒黑子，添上18粒白子后，黑子
是白子的512，现在白子、黑子各有多少粒？
3．爱华 小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一等
奖的人数是曙光小学的2.5 倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1人，曙
光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖 的人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖
的同学各有多少人？
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第12讲 倒推法解题
一、知识要点 < br>有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较
繁琐。所以， 解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，
从后到前一步一步地推算， 这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练
【例题1】一本文艺书，小明第一天看了全书 的13，第二天看了余下的35，还剩
下48页，这本书共有多少页？
【思路导航】从“剩下 48页”入手倒着往前推，它占余下的1－35＝25。第一天
看后还剩下48÷25＝120页，这1 20页占全书的1－13＝23，这本书共有120÷23
＝180页。即
48÷（1－35）÷（1－13）＝180（页）
答：这本书共有180页。
练习1：
１．某班少先队员参加劳动，其中37的人打扫礼堂，剩下队员中的58打扫操场，
还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？
２．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全 程的38，第二天走了余下的23，第三天
走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？
３．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的16，乙拿走了余下的25，丙拿走这
时所剩的3 4，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？
【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的15又100米，第二天修了余下的
27 ，还剩500米，这段公路全长多少米？
【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下 的1－27＝57，第一天
修后还剩500÷57＝700米，如果第一天正好修全长的15，还余下7 00+100＝800米，
这800米占全长的1－15＝45，这段路全长800÷45＝1000米 。列式为：
【500÷（1－27）+100】÷（1－15）＝1000米
答：这段公路全长1000米。
练习2：
１．一堆煤，上午运走27，下午运的比 余下的13还多6吨，最后剩下14吨还没
有运走，这堆煤原有多少吨？
２．用拖拉机耕一块 地，第一天耕了这块地的13又2公顷，第二天耕的比余下的
12多3公顷，还剩下35公顷，这块地共 有多少公顷？
３．一批水泥，第一天用去了12多1吨，第二天用去了余下13少2吨，还剩下
16吨，原来这批水泥有多少吨？
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【例题3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出13给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲
桶，这时两 桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、 乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙桶
没有倒出15给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－15）＝ 30千克，这时甲桶内只有48－30
＝18千克，而甲桶已倒出13给了乙桶，可见甲桶原有的油为1 8÷（1－13）＝27千克，
乙桶原有的油为48－27＝21千克。
甲：【24×2－24÷（1－15）】÷（1－13）＝27（千克）
乙：24×2－27＝21（千克）
答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。
练习3：
１．小华拿出自己的画片的15给小强，小强再从自己现有的画片中拿出14给小华 ，
这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？
２．甲、乙两人各有人民币若干元， 甲拿出15给乙后，乙又拿出14给甲，这时他
们各有90元，他们原来各有多少元？
３．一 瓶酒精，第一次倒出13，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的59，
第三次倒出180克， 瓶中好剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？
【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次 甲拿出与乙相同的钱数给乙；
第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲 。这样，甲、
乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【思路导航】根据题意，由最 后甲钱数是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出与乙
同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是56÷2＝ 28元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。
168÷3÷2＝28元
答：原来甲比乙多28元。
练习4：
１．甲、乙、丙三个班共有学生144人，先 从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再
从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班 相同的人数给甲班，这样，
甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？
２．甲、 乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出
8个放入丙盒后，三个盒子内 的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？
３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如 果从乙仓库拿出400袋平均分
给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多 少袋？
【例题5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出14到乙仓库后，又从乙
仓 库运出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库
的几分之几？
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【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1 ”，由题意可知，从乙仓库运
出14到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的12。
①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？
12÷（1－14）＝23
②甲仓库占两仓库和的几分之几？
1－23＝13
③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？
13÷（1－14）＝49
④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？
4÷（9－4）＝45
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的45。
练习5：
1．甲、乙两个仓库各有粮食若 干吨，从甲仓库运出13到乙仓库后，又从乙仓库运
出13到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等 。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分
之几？
２．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运 出15到乙仓库后，又从乙仓库运
出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮 食是乙仓库的几分
之几？
３．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出13到乙仓库后 ，又从乙仓库运
出25到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的910。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几
分之几？
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第13讲 代数法解题
一、知识要点
有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用 算术方法解答比较繁、难，甚至无法列式
算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个， 乙种
零件全部合格，甲种零件只有45合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了
多 少个？
【思路导航】本体用算术方法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共有42个，
列方程求解。
解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12）个。
（x+12）×45+x＝42
45x+9+x＝42
95x＝42－9又35
x＝18
18+12＝30（个）
答：甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。
练习1：
1．某校参加数学 竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的34得优，男、
女生得优的一共有42人，男、女生 参赛的各有多少人？
2．有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的25 是
红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？
3．六年级甲班比乙班少4人，甲班有 13的人、乙班有14的人参加课外数学组，
两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少 人？
【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少14，女生减少
1 6，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？
【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。
解：设女生有x人，则男生有（x+10）人
（1－16）x＝（x+10）×（1－14）
x＝90
90+90+10＝190人
答：原来一共有190名学生在阅览室看书。
练习2：
1．某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线
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电小组的同学减少15，参加航模小组的人数减少11 0，这样，两个组的同学一样多。去
年两个小组各有多少人？
2．原来甲、乙两个书架上共有 图书900本，将甲书架上的书增加58，乙书架上的
书增加310，这样，两个书架上的书就一样多。 原来甲、乙两个书架各有图书多少本？
3．某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生 产的甲种零件比昨天少
110，生产的乙种零件比昨天增加320，两种零件共生产了2065个。昨天 两种零件共生
产了多少个？
【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的15 比乙校参加人数的
14少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
【思路导航】这题中的等量关系是：甲×15＝乙×14－1
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。
15x＝（22－x）×14－1
x＝10
22－10＝12（人）
答：甲校有10人参加，乙校有12人参加。
练习3：
1．学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书 馆
买来的文艺书和连环画各是多少本？
2．某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？
3．王师傅 和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两
人各加工了多少个？
【例题4】甲书架上的书是乙书架上的56，两个书架上各借出154本后，甲书架上
的书是乙书架上 的47，甲、乙两书架上原有书各多少本？
【思路导航】这道题的等量关系是；甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的47。
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有56x本。
（x－154）×47＝56x－154
x ＝252
252×56 ＝210（本）
答：甲书架上原有210本，乙书架上原有252本。
练习4：
1．儿子今年的年龄是父亲的16，4年后儿子的年龄是父亲的14，父亲今年多少岁？
2． 某校六年级男生是女生人数的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男
生人数是女生的34。原 来男、女生各有多少人？
3．第一车间人数的35等于第二车间人数的910，第一车间比第二车间多50人。
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两个车间各有多少人？
【例题5】一个班女同学比男同学的23多4人，如果男生减少3人， 女生增加4人，
男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？
【思路导航】抓住“如 果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”这
个等量关系列方程。
解：设男生有x人，则女生有（23x+4）人。
x－3＝23x+4+4
x＝33
23×33+4＝26（人）
答：这个班男生有33人，女生有26人。
练习5：
1．某学校的男教师比女教师的38多8人。如果女教师减少4人，男教师增加8人 ，
男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
2．某无线电厂有两个仓库。 第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果从第一
仓库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是 第一仓库的49。两个仓库原来各有电
视机多少台？
3．某工厂第一车间的人数比第二车间的 人数的45少30人。如果从第二车间调10
人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的34。求 原来每个车间的人数。
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第14讲 比的应用（一）
一、知识要点
我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相
转化。运用 这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：
（ ）。
【思路导航】
甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 4：5
甲、乙、丙三数的比 8：12：15
答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。
练习1：
1．甲数是乙数的45，乙数是丙数的58，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
2．甲数是乙数的45，甲数是丙数的49，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
3．甲数是丙数的37，乙数是丙数的2又12，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：
（ ）。
【例题2】光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一
小 组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各
有多少人？
【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比 2：3 二、三两组人数的比 4：5
一、二、三组人数的比 8：12：15
②总份数：8+12+15＝35
③第一组：140×835＝32（人）
④第二组：140×1235＝48（人）
⑤第三组：140×1535＝60（人）
答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。
练习2：
1．某 农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与其他
作物面积的比6：1 。每种作物各是多少公亩？
2．黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是 5：4，第
二组与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年< br>级参加植树的共有多少人？
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3．科技组与作文组人数的比是9：10，作文组与数学组人数的比是5：7。已知数学
组与科 技组共有69人。数学组比作文组多多少人？
【例题3】甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果 甲校给乙校650本，甲、乙
两校图书本数的比就是3：4。原来甲校有图书多少本？
【思路 导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知，原来甲校图书的本数是
两校图书总数的7（7+5 ），由于甲校给了乙校650本，这时甲校的图书占两校图书总数
的3（3+4），甲校给乙校的650 本图书，相当于两校图书总数的7（7+5）－3（3+4）
＝1384。
650÷（7（7+5）－3（3+4））×7（7+5）＝2450（本）
答：原来甲校有图书2450本。
练习3：
1．小明读一本书，已读的和未读的页 数比是1：5。如果再读30页，则已读和未读
的页数之比为3：5。这本书共有多少页？
2 ．甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的
重量比为7：5。 原来甲包有多少克糖？
3．五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的13， 二班与
三班参加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？ 【例题4】从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿
子分得12，二 儿子分得13，小儿子分得19，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照
老人的要求怎么也不好分。后来 一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么
回事吗？
【思路导航】因为12+1 3+19＝1718，1718﹤1，就是说三兄弟并未将全部牛
分完，所以我们求出三个儿子分牛头数 的连比，最后再按比例分配。
① 三个儿子分牛头数的连比：12：13：19＝9：6：2
② 总份数：9+6+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数：17×917＝9（头）17×617＝6（头）17×217＝2
（头）
答：大儿子分得9头，二儿子分得6头，小儿子分得2头。
练习4：
1．图书室取 出一批书，按照一年级得12，二年级得13，三年级得17，正好是41
本，各年级各得多少本？ < br>2．古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个
男孩，就把遗 产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产的三
分之一给女儿，三分之二给母 亲。结果他的妻子生了双胞胎，一男一女，这是他没有预料
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到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个继承人的比。
（1）从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是（）：（ ）：
（ ）。
（2）从母亲至少得遗产的13来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：（ ）：
（ ）。
3．甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％，乙比丙多做13。 三人各做
多少个？
【例题5】两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是 3：1，另
一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积< br>之比是多少？
【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几 分
之几再解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比 3（1+3）＝ 34
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 4（1+4）＝ 45
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 34+45 ＝ 3120
④ 水占一个瓶子容积的比 2－3120 ＝ 920
⑤ 混合液中酒精与水的比 3120：920＝31：9
答：混合液中酒精与水的比是31：9。
练习5：
1．两块一样重的合金，一块合 金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的比是
1：3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜 与锌的比。
2．将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2：1，乙队已修的与剩下的比是5：2。这条公路已修了全长的几分之几？
3．光华电视机厂上半年生产的 电视机产量占全年的58，照这样的速度计算，全年可
超产1000台。这个工厂上半年生产电视机多少 台？
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第15讲 比的应用（二）
一、知识要点
比是反映数量关系的一种常见形式， 也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处
理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲 ，我们讲探讨稍复杂的比是应用
题。
二、精讲精练
【例题1】甲、乙两个学生放学 回家，甲要比乙多走15的路，而乙走的时间比甲少
111，求甲、乙两人速度的比。
【思路导航】因为 速度＝路程÷时间，所以，甲、乙速度的比＝甲路程甲时间：乙
路程乙时间
（1）甲、乙路程的比：（1+15）：1＝6：5
（2）甲、乙时间的比：1：（1－111）＝11：10
（3）甲、乙速度的比：611：510=12：11
答：甲、乙速度的比是12：11。
练习1：
1．小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多15，小芳用的时间比小明多1 8。
求小明和小芳速度的比。
2．甲走的路程比乙多13，乙用的时间比甲多14。求甲、乙的速度比。
3．一个人步行每 小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人
骑自行车的速度和步行速度的比是多少 ？
【例题2】制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590
个 零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个
零件？
【思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效
率的比进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比： 16：15：11.5＝15：18：20
总份数：15+18+20＝53
甲 ：1590×1553＝450（个）
乙 ：1590×1853＝540（个）
丙 ：1590×2053＝600（个）
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。
练习2：
1 ．加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件
需要甲、乙、丙三 人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？
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2．甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件 。甲制造一个零件需5分钟，比
乙制造一个零件所用的时间多25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少 25。甲、乙、丙
各制造了多少个零件？
3．加工某种零件要三道工序，专做第一、二、三道 工序的工人每小时分别能完成零
件48个，32个，28个，现有118名工人，要使每天三道工序完成 的零件个数相同，每
道工序应安排多少工人？
【例题3】两个服装厂一个月内生产服装的数量 是6：5，两厂西服价格的比是11：
10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是 多少万元？
【思路导航】因为产值＝价格×产量，所以
甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：（乙价格×乙产量）
两厂的产值比为：（11×6）：（10×5）＝66：50
甲厂产值为：6960×66（66+50）＝3960（元）
乙厂产值为：6960×50（66+50）＝3000（元）
答：两厂的产值分别是3960万元和3000万元。
练习3：
1．甲、乙两个长 方形长的比是4：5，宽的比是3：2，面积的和是242平方厘米。
求甲、乙两个长方形的面积分别是 多少平方厘米？
2．苹果和梨的单价的比是6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3，共花去
18元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？
3．大、小两种苹果，其单价比是5：4，重量比 是2：3。把两种苹果混合，成为100
千克的混合苹果，单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原 来每千克各是多少元？
【例题4】A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元 ，它们
的价格比就是7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？
【思路导航】
解 法一：因为A、B两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由
于价格差不变，所以价 格差对应的份数也应该相同。
原价格比＝7：3＝21：9 现价格比＝7：4＝28：16
【这样前后项的差都是12，价格涨了（28－21）＝7份，是70元】
70÷（28－21）＝10元 A：10×21＝210（元） B：10×9＝90（元）
解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。
（1）原来A商品的几个是价格差的几倍 7÷（7－3）＝74
（2）后来A商品的价格是价格差的几倍 7÷（7－4）＝73
（3）A、B两种商品的价格差是 70÷（73－74）＝120（元）
（4）原来A商品的价格是 120÷（7－3）×7＝210（元）
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（5） 原来B商品的价格是 120÷（7－3）×3＝90（元）
答：A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。
练习4：
用两种思路解答下列应用题：
1．甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3。甲队给乙队 54吨水泥后，甲、乙
两队水泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？
2．甲书架上的 书是乙书架上的47，两书架上各增加154本后，甲书架上的书是乙
书架上的，甲、乙两书架上原来各 有多少本书？
3．兄弟两人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。从年初到年底，他
们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？
【例题5】如图是甲、乙、丙三地的线路图 ，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的
路程比是1：2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地 ，李华同时以每小时10千
米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相 距多少千米？
【思路导航】
解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚 和李华所用的时间，
再求出各自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比 14：210＝5：4
王刚所用的时间 1÷（5－4）×5＝5（小时）
甲地到丙地的路程 4×5＝20（千米）
甲、乙两地的路程 20×（1+2）＝60（千米）
解法二：如果李华每小时行4×2＝8千米，他将与王刚同时到达丙 地。现在他每小时
多行10－8＝2千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行了 10×
1＝10千米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间10 ×1÷（10－4×2）＝5（小时）
甲、乙两地的路程4×5×（1+2）＝60（千米）
解法三：如果王刚每小时行10÷3＝5千米，就能和李华同时到达。由此可见，王刚
走完甲地到丙地 的路程，用每小时4千米的速度和每小时5千米的速度相比，所用的时间
相差1小时。再根据1千米的路 程，两种速度所用的时间相差 14－15＝ 120小时。
最后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程1÷（14－1（10÷÷2）＝20（千米）
甲、乙两地的路程20×（1+2）＝60（千米）
答：甲、乙两地相距60千米。
练习5：
1．一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。
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汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？
2．甲做 3000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比是6：5。
甲、乙每小时各做多 少个？
3．下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程的
比 是2：3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时以每小时50
千米的速度从 乙地开往丙地，客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的路程？

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第16讲 用“组合法”解工程问题
一、知识要点
在解答工程问题时，如果对题 目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确
的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数 学信息进行恰当组合，使之成为一个新
的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解 题途径。
二、精讲精练
【例题1】一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天， 乙队做3天，只
能完成工程的730，乙队单独完成全部工程需要几天？
【思路导航】此题已 知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队货乙队的工作
效率，则问题可解，然而这正是本题的 难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3
天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来 考虑，就可以求出甲队2天的工作
量730－115×3＝130，从而求出甲队的工作效率。所以
1÷【115－（730－115×3）÷（5－3）】＝20（天）
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
练习1：
1．师、徒二人合做一批零件， 12天可以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟
接着做1天，共完成任务的320。如果这批零件 由师傅单独做，多少天可以完成？
2．某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的524。如果这项工 程由甲队独做2天，
再由乙队独做3天，能完成全部工程的13124。甲、乙两队单独完成这项工程各 需多少
天？
3．甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做 12
天，还剩这项工程的815。甲、乙两队独做各需几天完成？
【例题2】一项工程，甲队 独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，
则能完成这项工程的12。现在甲、乙两队合 做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现
两段所用时间相等。求两段一共用了几天？
【思路 导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（12－112×3）÷2＝18；再由
条件“做完后发现两 段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若
干天完成，即可求出相等的时间。
（1）乙队每天完成这项工程的（12－112×3）÷2＝18
（2）两段时间一共是1÷（18×2+112）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。
练习2：
1．一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工 程
的815。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。
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这两段时间一共是几天？
2．一项工程，甲 、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务
时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工 程要几天完成？
3．某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先
由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙
的2倍 。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？
【例题3】移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8 小时完成，先由哥哥栽了3
小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的1116没有栽，已知哥哥每小 时比弟弟每小
时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时， 弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1
小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽 总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几（1－1116－18×1）÷（3－1）＝332
一共要移栽的西红柿苗多少棵7÷【332－（18－332）】＝112（棵）
答：共要移栽西红柿苗112棵。
练习3：
1．加工一批机器零件，师、徒合做1 2小时可以完成。先由师傅加工8小时，接着再
由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的35。已知师傅 每小时比徒弟多做10个零件。
这批零件共有多少个？
2．修一条公路，甲、乙两队合做6天 可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，
还剩这条公路的310没有修。已知甲队每天比乙队多修 20米。这条公路全长多少米？
3．修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时 从两端开工，结
果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？
【例题4】一项工作，甲 、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，
乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的23 ；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，
也可以完成这项工作的23。如果由甲、丙合做，需几小时完 成？
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的
23” 组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的23”，则求
出甲的工作效率。同理 ，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几（23－16×2）÷（6－2）＝112
丙每小时完成这项工程的几分之几（23－16×3）÷（6－3）＝118
甲、丙合做需完成的时间为：1÷（112+118）＝7由15（小时）
答：甲、丙合做完成需要7有15小时。
练习4：
1．一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙
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合做2小时，可以完成这项工作的1318；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可
以完 成这项工作的1118。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
2．一项工程，甲、乙合做6天可 以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、
乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。 乙独做这项工程要几天就可以完成？
3．一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天 完成。现在甲、乙、
丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5又12天完成。乙队单独做这项工程需 多少
天可以完成？
4．一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲 、丙合做
2小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？
【例题5】 一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、
乙两队合修4天，再由丙队参 加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工
修这条公路，几天可以完成？
【思 路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完
成”组合成“甲、乙两队 各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”
就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的【1－（124+130）】×（4+7）＝140
三队合修完成时间为1÷（124+130+140）＝10（天）
答：10天可以完成。
练习5：
1．一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才 完
成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
2．一条水渠，甲队独挖120天完成， 乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩
下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队 单独挖，多少天可以完成？
3．一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如 果甲、丙合
做3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？
4．一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又
合做了1 2天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少
天？
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第17讲 浓度问题
一、知识要点 < br>在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得
到了糖水，其 中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，
糖水就越甜，也就是说糖水甜 的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的
比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖 含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒
精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与 溶液质量的比值，通常用百
分数表示，即，
浓度＝溶质质量溶液质量×100％＝溶质质量（溶质质量＋溶剂质量）×100%
解答浓度 问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比
较容易，在列方程时，要注意 寻找题目中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的 条件和问题逐一
分析，也可以分步解答。
二、精讲精练
【例题1】有含糖量为7％ 的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多
少克糖？
【思路导航】根据题意 ，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增
加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并 没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓
度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的 质量，用现在糖水的质量减去
原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克）
现在糖水的质量 ：558÷（1－10％）＝620（克）
加入糖的质量 ：620－600＝20（克）
答：需要加入20克糖。
练习1：
1．现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多
少克？
2．有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？
3．有甲、 乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第
一次把20毫升纯酒精由乙 瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶
里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？ < br>【例题2】一种35％的新农药，如稀释到1.75％时，治虫最有效。用多少千克浓度
为35％ 的农药加多少千克水，才能配成1.75％的农药800千克？
【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种
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稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。
800千克1.75％的农药含纯农药的质量为800×1.75％＝14（千克）
含14千克纯农药的35％的农药质量为14÷35％＝40（千克）
由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800－40＝760（千克）
答：用 40千克的浓度为35％的农药中添加760千克水，才能配成浓度为1.75％的
农药800千克。
练习2：
1．用含氨0.15％的氨水进行油菜追肥。现有含氨16％的氨水30千克，配置 时需加
水多少千克？
2．仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。一星期后再测，发 现含水量降低到
80％。现在这批水果的质量是多少千克？
3．一容器内装有10升纯酒精， 倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满。
这时容器内溶液的浓度是多少？
【例 题3】现有浓度为10％的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30％的盐水，可
以得到浓度为22％ 的盐水？
【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质
及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶质的
量。
20千克10％的盐水中含盐的质量20×10％＝2（千克）
混合成22％时，20千克溶液中含盐的质量20×22％＝404（千克）
需加30％盐水溶液的质量（4.4－2）÷（30％－22％）＝30（千克）
答：需加入30千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水。
练习3：
1．在100千克浓度为50％的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液就
可以配制成2 5％的硫酸溶液？
2．浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克混合后所 得到的
酒精溶液的浓度是多少？
3．在20％的盐水中加入10千克水，浓度为15％。再加入多少千克盐，浓度为25％？
【例题4】将20％的盐水与5％的盐水混合，配成15％的盐水600克，需要20％的
盐水和5％的 盐水各多少克？
【思路导航】根据题意，将20％的盐水与5％的盐水混合配成15％的盐水，说明混
合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间的相等
关系列 方程解答。
解：设20％的盐水需x克，则5％的盐水为600－x克，那么
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20％x+（600－x）×5％＝600×15％
X ＝400
600－400＝200（克）
答：需要20％的盐水400克，5％的盐水200克。
练习4：
1．两种钢分别 含镍5％和40％，要得到140吨含镍30％的钢，需要含镍5％的钢和
含镍40％的钢各多少吨？
2．甲、乙两种酒各含酒精75％和55％，要配制含酒精65％的酒3000克，应当从
这两 种酒中各取多少克？
3．甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为40％；乙桶有糖水 40千
克，含糖率为20％。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？
【例题5】甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种质量分数的
盐水10克倒 入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙
管中。现在丙管中的盐水的 质量分数为0.5％。最早倒入甲管中的盐水质量分数是多少？
【思路导航】混合后甲、乙、丙3个试 管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。
根据题意，可求出现在丙管中盐的质量。又因为丙管中 原来只有30克的水，它的盐是从
10克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克盐水中盐的质 量。而乙管里的盐又
是从10克盐水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克盐水中盐的质量。而甲 管里的
盐是某种浓度的盐水中的盐，这样就可得到最初倒入甲管中盐水的质量分数。
丙管中盐的质量：（30+10）×0.5％＝02（克）
倒入乙管后，乙管中盐的质量：0.2×【（20+10）÷10】＝0.6（克）
倒入甲管，甲管中盐的质量：0.6×【（10+10）÷10】＝1.2（克）
1.2÷10＝12％
答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是12％。
练习5：
1．从装满100克80％的盐水中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再倒
出40 克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？
2．甲容器中又8％的盐 水300克，乙容器中有12.5％的盐水120克。往甲、乙两个
容器分别倒入等量的水，使两个容器 中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克水？
3．甲种酒含纯酒精40％，乙种酒含纯酒精36％， 丙种酒含纯酒精35％。将三种酒
混在一起得到含酒精38.5％的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多 3千克，那么甲种酒有
多少千克？
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第18讲 面积计算（一）
一、知识要点
计算平面图形的面积时，有些问题乍 一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联
系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图 形，分析、研究已知条件，并加
以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通 已知条件与所求
问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身
的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，
再经 过分析推导，方能寻求出解题的途径。
二、精讲精练
【例题1】已知如图，三角形ABC的 面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=23BC，求
阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部 分为两个三角形，但三角形AEF的面积
无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF= S△EDF（等
底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF
的面积。
因为BD=23BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，
所以S△ABF＝ S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所 以S△DCF＝8÷5＝1.6（平
方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1：
1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。





2．如图所示，AE=ED，DC＝13BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。







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3．如图所示，DE＝12AE，BD＝2DC，S△ EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面
积。






【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形
的面积，求另两个三角形的面积各是多少？
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高 相
等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底
等高）可知：S△ABO等 于6，而△ABO与△AOD的高相等，
底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为6÷2＝3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷2＝3。
答：△AOD的面积是3。
练习2：
1． 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的
面积，求另两个三角形 的面积是多少？




2．已知AO＝13OC，求梯形ABCD的面积（如图所
示）。



3．已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求 梯形
ABCD的面积。（如图所示）。


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【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF 的面积为
15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。
【思路导航】由于E、F三 等分BD，所以三角形ABE、AEF、
AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形B EC、
CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三
角形AEF面积的3 倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积
的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF 面积的
3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3：
1．四边形ABCD的对角 线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15
平方厘米。求四边形ABCD的面积（ 如图）。




2．已知四边形ABCD的对角线被E、F、G 三点四等分，且阴影部分面积为15平方
厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。




3．如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。




【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4 平方厘米。那么，梯形ABCD
的面积是多少平方厘米？
【思路导航】因为BO＝2DO，取 BO中点E，连接AE。根
据三角形等底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S
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△COB＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4：
1．如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。




2．已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积（如图所示）。




3．已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积（如图所示）。




【例题5】如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角 形ADB的面积是3，三角形
ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。
【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助
线AE后，使问题可有如下解法。
由图上 看出：三角形ADE的面积等于长方
形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到
三角形A BE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三
角形AEC与三角形A CF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，
高是三角形BEC的2倍，三角 形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为
16－3－4－2.5＝6.5。
练习5：
1．如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平 方厘
米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。

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2．如图所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE＝ 4平方厘米，S△AFD＝
6平方厘米，求三角形AEF的面积。




3．如图所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4
平方厘米，求三角形AEF的面积。

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第19讲 面积计算（二）

一、知识要点
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个 基本
单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
二、精讲精练
【例题1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。




【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积。
62×3.14×＝28.26（平方厘米）
答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。
练习1：
1．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



2．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



3．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



【例题2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。



【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
3.14×
4
2

－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）
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14
1
4
1
4

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答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。
练习2：
1．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



2．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。



3．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。



【例题3】如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相
等。求长 方形ABO1O的面积。



【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两 个扇形中的空白部分相等。又因为图中两
个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半 （如图19－10右图所示）。
所以3.14×12×14×2＝1.57（平方厘米）
答：长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。
练习3：
1．如图所示 ，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）
的面积与阴影部分（2 ）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。



2．如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的中点，求阴影部分的面积。


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3．如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。




【例题4】如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。


【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，
把它还原成长方形后 （如图所示）。
I和II的面积相等。




因为原 大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积
分别相等，所以
6×4＝24（平方厘米）
答：阴影部分的面积是24平方厘米。
练习4：
1．如图所示，求四边形ABCD的面积。



2．如图所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。




3．图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件 求阴影部分的面
积（单位：厘米）。
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【例题5】如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平
方厘米， ∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。



< br>【思路导航】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去
三角形BOC 的面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度）
扇形的面积：2×2×3.14×60360≈2.09（平方厘米）
三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.16平方厘米。
练习5：
1．如图所示，∠1＝15度 ，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘
米。求阴影部分的面积（得数保留两位小 数）。



2．如图所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆 的直径AC＝6厘米，BD：DC
＝3：1。求阴影部分的面积。




3．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。



4、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。


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第20讲 面积计算
一、知识要点 < br>对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中
的部分图形进 行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来
解答。在圆的半径r用小学知 识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。
二、精讲精练
【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。



【思路导航 】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形
（如图），等腰直角三角形的斜 边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径
为20÷2＝10厘米
[3.14×102×14－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右 半部分向
下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面
积中，减去两直角 边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×12－（20÷2）2×12＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1：
1．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）



2．如图 所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的
蓝色直角三角形纸片，一张 黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形
纸片面积之和是多少？

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【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。


【思路 导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空
白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去 空白部分（a）的面积。如图所示。




3.14×62×14－（6×4－3.14×42×14）＝16.82（平方厘米）
解法 二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面
积相加，刚好多计算 了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。



3.14×42×14+3.14×62×14－4×6＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。
练习2：
1．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。




2．如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以A C、BC
为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。




3．如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为 6厘米和8厘米，
高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。

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【例题3】在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】解法一 ：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如
图所示），再用正方形的面积减去全部空 白部分。



空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：把图中8个扇形的 面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图所示），而
8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3：
1．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




2．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




3．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




【例题4】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。
【思路导航】这道题的 难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但
我们可以看出，AC是等腰直角三角形AC D的斜
边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的
高等于斜边的一半（如图所示），我们 可以求出等
腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD
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的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半
径的平 方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4：
1．如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的
面积。



2．如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的
面积。


3．如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为 半径
分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。



【例题5】在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。
【 思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未
知，又无法求出，所以 我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形
的半径为边长做一个新的正方形（如图 所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×
2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这 样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，
再把半径的平等直接代入公式计算。



3.14×（30×2）×14－30＝17.1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。
- 63 -

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练习5：
1．如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。




2．如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平 方厘米，
求阴影部分的面积。




3．如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。





- 64 -

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第21讲 抓“不变量”解题

专题简析：
一些分数的分子与分母被施 行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分
子或分母，或分子、分母的差，或 分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

437
例1．将 的分子与分母同时加上某数后得 ，求所加的这个数。
619
解法一：因为分数的分子与分母 加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原
7
题转化成了一各简单的 分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的 ，由此
9
可求出新分数的分子和分母。”
7
分母：（61-43）÷（1－ ）＝81
9
7
分子：81× ＝63
9
81-61＝20或63-43＝20
4377
解法二： 的分母比分子多18， 的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将 的分
6199
子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
7
① 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
9
777×963
② 约分后所得的 在约分前是： ＝ ＝
999×981
③ 所加的数是81-61＝20
答：所加的数是20。
练习1：
972
1、 分数 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是多少？
1815
13
2、 分数 的分子、分母同加上一个数后得 ，那么同加的这个数是多少？
135
3、
35
的分子、分母加上同一个数并约分后得 ，那么加上的数是多少？
197
582
4、 将 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是多少？
793

例2：
42
将一个分数的分母减去2得 ，如果将它的分母加上1，则得 ，求这个分数。
53
4
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2 得 ”可知，
5
523
分母比分子的 倍还多2。由“分母加1得 ”可知，分母比分子的 倍少1，从而将原题转化
432
成一个盈亏问题。
- 65 -

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35
分子：（2+1）÷（ － ）=12
24
3
分母：12× -1＝17
2
解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
2412412
① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。 ＝ ＝ ， ＝
3618515
② 原分数的分母是：
18-1＝17或15+2＝17
12
答：这个分数为 。
17
练习2：
73
1、 将一个分数的分母加上2得 ，分母加上3得 。原来的分数是多少？
94
34
2、 将一个分数的分母加上2得 ，分母加上2得 。原来的分数是多少？
45
34
3、 将一个分数的分母加上5得 ，分母加上4得 。原来的分数是多少？
79
57
4、 将一个分数的分母减去9得 ，分母减去6得 。原来的分数是多少？
84

例3：
5
在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分
7
1
数就等于 ，求原来的最简分数是多少。
2
51017
解法一：两个新分数在未约分时，分母相 同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ， = 。
714214
107
根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想 和 的分子和分母再乘以2。
1414
所以
510201714
＝ ＝ ， ＝ ＝
7142821428
17
故原来的最简分数是 。
28
解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以
5117
（ + ）÷2＝
7228
17
答：原来的最简分数是 。
28
练习3：
5
1、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，
8
1
这个分数就等于 ，求这个分数。
2
- 66 -

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6
2、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，
7
1
这个分数就等于 ，求这个分数。
3
7
3、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个
9
3
分数就等于 ，求这个分数。
5

例4：
73
将一个分数的分母加3得 ，分母加5得 。原分数是多少？
94
721321
解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将 两个分数化成分子相同的分数，即 ＝ ， ＝ 。
927428
2121
根据题意， 两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将 和 的分子和分母
2728
7214232142
再同乘以2。则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 。所以，原分数的分母是（54－3＝）51。原分
9275442856
42
数是 。
51
94
解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的 ，分母加5后是分子的 ，
73
49
因此，原分数的分子是（5－3）÷（ － ）＝42。原分数的分母是42÷7×9-3=51，原分数
37
是
练习4：
54
1、 一个分数，将它的分母加5得 ，加8得 ，原来的分数是多少？（用两种方法）
65
67
2、 将一个分数的分母减去3，约分后得 ；若将它的分母减去5，则得 。原来的分数是多少？（用
78
两种方法做）
35
3、 把一个分数的分母减去2，约分后等于 。如果给原分数的分母加上9，约分后等于 。求原分数。
47

例5：
11
有一个分数，如果分子加1，这个分数等于 ；如果分母加1，这个分数就等于 ，这个分数是多少？
23
1
根据“分子加1，这个分数等于 ”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等
2
1
于 ”可知，分母 比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×
3
3< br>2+2=8。所以，这个分数是 。
8
练习5：
- 67 -
42
。
51

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11
1、 一个分数，如果分子加3，这个分数等于 ，如果分母加上1，这个分数等于 ，这个分数是多
23
少？
11
2、 一个分数，如果分子加5，这个分数等于 ，如果分母减3，这个分数等于 ，这个 分数是多少？
23
11
3、 一个分数，如果分子减1，这个分数等于 ；如果分母加11，这个分数等于 ，这个分数是多少？
23
答案：
练1
1、 41 2、17 3、 37 4、 16
练2
1、
练3
92531
1、 2、 3、
164245
练4
6084165
1、 2、 3、
67101222
练5
779
1、 2、 3、
202416
21121220
2、 3、 4、
25132341
第22讲 特殊工程问题

专题简析：
有些 工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考
虑运用一些 特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。

例1：
修一条路，甲队每天 修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6
小时，几天可以完成？
把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则
11
1÷[ + ]÷6=4（天）
5×810×6
或1÷[（
11
+ ）×6]=4（天）
5×810×6
答：4天可以完成。
练习1：
1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队 每天修8小时，5天可以完成。现在让甲、乙
两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？
2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7人合作，多
少天可以完成？
3、 货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天 可以运完，用20辆小板车6
天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改 用小 板车运，必须在
两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？
- 68 -

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例2：
有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需 要12小时，丙需要15
小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。 最后，两个仓库同时
搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”
① 三人同时搬运了
111
2÷（ + + ）=8（小时）
101215
② 丙帮甲搬了
11
（1- ×8）÷ =3（小时）
1015
③ 丙帮乙搬了
8-3=5（小时）
答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。
练习2：
11
1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的 ，徒弟每小时加工自己任务的 。
101 5
师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几
小时？
2、 有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小 时，丙需要9
小时。甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两 个仓
库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？
5
3、 甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的 ，乙每小时加工12个零件，甲
8
单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？

例3：
一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做 了若干天，然后由乙继续
做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？
解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。
解：设甲做了x天，则乙做了（14-x）天。

11
x+ ×（14-x）=1
2012
X=5
111
解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是 ×14，比总工作量多了 ×14-1= ，乙
12126
11111
每天的能够做量比甲每天的工作两哦了 - = ，因此甲做了 ÷ =5（天）
122030630
练习3：
1、 一项工 程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直
至完成全部任 务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？
2、 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做 需40天完成。甲队单独做若干天后，由乙队接
着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天 ？
3、 一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，这样 共用40
天完成。求乙休息的天数。
- 69 -

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例4：
甲、乙两人合作加工一批 零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才
完成。如果由甲单独加工这批零 件，需要多少天才能完成？
解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。
17
① 甲、乙同时做的工作量为 ×（10-3）＝
88
71
② 乙单独做的工作量为1－ ＝
88
11
③ 乙的工作效率为 ÷3=
824
111
④ 甲的工作效率为 － ＝
82412
1
⑤ 甲单独做需要的天数为1÷ ＝12（天）
12
解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，甲3天的
工作量相当于这批零件的2÷8=14
3÷[（10-8）÷8]=12（天）或
3×[8÷（10-8）]=12（天）
答：甲单独做需要12天完成。
练习4：
1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在 合作中，甲因输请假5天，因此共用15天才完工。如果
全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？
2、 一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，还可以做多少条裤子？
3、 一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5小时，因此，经过7.5小时
才 完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？
4、 一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7 天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效
率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少 天才能完成？

例5：
放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时 放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12
小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。 问：同时开放这五个阀门几小时可以放
满这个水池？
从整体入手，比较条件中各个阀门出现的 次数可知，①③号阀门各出现3次，②④⑤号阀门
11111
各出现2次。如果 + + + 再加一个 ，则是五个阀门各放3小时的总水量。
15101288
111111
1÷[（ + + + + ）÷3]=1÷[ ÷3]=6（小时）
151012882
练习5：
1、 完成一件工作，甲、乙合作需15小时，乙、丙 两人合作需12小时，甲、丙合作需10小时。
甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？
11
2、 一项工程，甲干3天，乙干5天可以完成 ，甲干5天、乙干3天可完成 。甲、乙合干需几
23
天完成？
3、 完成一件工作，甲、乙两人合作需20小时， 乙、丙两人合作需28小时，丙、丁两人合作需30
小时。甲、丁两人合作需几小时？
- 70 -

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4、 一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完成，由一、< br>二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成。由第一小队单独干需要多
少 天？
答案：
练1
1、 1÷（
11
4×6
+
8×5
）÷2＝7.5小时
2、 1÷（
1
3×8
×2+
1
4×7
×7）＝3天
3、 （1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的
1－（
1
3×4
×2+
1
4×5
×5+
11
20×6
×7）×2＝
4

（2）后两天需要小板车：
11
4
÷（
20×6
×2）＝15辆
练2
1、 2÷（
1
10
+
1
15
）－10＝2小时
2、 2÷（
111
18
+
12
+
9
）＝8小时
甲帮乙：（1－
1
12
×8）÷
1
18
＝6小时
甲帮丙：（1－
1
9
×8）÷
1
18
＝2小时
3、 解法一：12×（
5
8
÷
1
12
）÷（1－
5
8
）＝240个
解法二：12÷（8－5）×5×12＝240个
练3
1、 （
11
4
×6－1）÷（
4
－
1
12
）＝3天
2、 甲：（1－
111
40
×35）÷（
30
－
40
）＝15天
乙：35－15＝20天
3、 40－（1－
1
50
×40）÷
1
75
＝25天
练4
1、 5×【12÷（15－12）】＝20天
2、 48－48÷30×20＝16条
3、 2.5×【6÷（7.5－6）】＝10小时
练5
1、 1÷【（
111
15
+
12
+
10
）÷2】＝8小时
2、 1÷【（
1
2
+
1
3
）÷（3+5）】＝9.6天
3、 1÷（
111
20
+
30
－
28
）＝21小时
- 71 -

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11111
4、 1÷【（ + + + ）÷3－ 】＝54天
1815122015


第23讲 周期工程问题

专题简析：
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定 顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清
一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题 迅速地化难为易。其次要注意最后不满一
个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。

例1：
一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲 做1小时，再
由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
1136
① 需循环的次数为：1÷（ + ）= ＞7（次）
12185
111
② 7个循环后剩下的工作量是：1-（ + ）×7=
121836
111
③ 余下的工作两还需甲做的时间为： ÷ = （小时）
36123
11
④ 完成任务共用的时间为：2×7+ =14 （小时）
33
1
答：完成任务时需共用14 小时。
3
练习1：
1、 一项工程，甲单独做要6小 时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……的顺序
交替工作，每次1小时，需要多少 小时才能完成？
2、 一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小 时，然后由乙接替甲
打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少 小时？
3、 一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙…… 的顺序轮
流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的23共要多少时间？

例2：
2
一项工程，甲、乙合作26 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样 交替轮流做，恰好用整数
3
天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮 流做要多半天才能完成。这项工程
由甲单独做要多少天才能完成？
由题意可以推出“甲先”的 轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，
两种轮流方式完成的天数必定相 同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
1
乙甲乙甲……乙甲 乙 甲 < br>2
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的 工
作效率是乙的2倍。
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221
① 甲每天能做这项工程的1÷26 × =
31+240
1
② 甲单独做完成的时间1÷ =40（天）
40
答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。
练习2：
1、 一项工程，乙单独做20天 可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用
整数天完成。如果第一天乙做，第 二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。
这项工程由甲独做几天可以完成？
2、 一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整
1
数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多 天才能完成。这
3
项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？
3
3、 一项工程，甲、乙合作12 小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，
5< br>也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多
1
小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？
3
4、 蓄水池有一跟进水 管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。
现在池内有半池水，如 果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后
水池的水刚好排完？

例3：
一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天 数完成。如果第一天乙
做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60 个不能完成。已知甲、
乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？
由题意可以推出“ 甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，
两种轮流方式完成的天 数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
乙甲乙甲……乙甲 乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作
效率的 差。
甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个）
乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个）
答：甲每天做150个，乙每天做90个。
练习3：
1、 一批零件如果第一天师傅做，第 二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天徒
弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做 ，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。
已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒 二人每天各做多少个？
2、 一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完 成。如果死一天乙做，第
25
二天甲做，这样交替轮流做要多 天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只需2 天就可以完成。
58
现在，由乙独做需要几天才能完成？
3、 红星机械厂有108 0个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，
恰好整数小时可以完成 。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮
流完成时所用的天数后，还剩 60个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3小时36分就能完成。
- 73 -

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师、徒每小时各能完成多少个？

例4：
打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两 人轮流工作。
甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小 时……如此
这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？
根据已知条件，我们可以把6小时的 工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3
小时。
119
① 每循环一次，他们共完成全部工程的（ + ）×3＝
121520
92
② 总工作量里包含几个920：1÷ =2
209
91
③ 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1- ×2＝
2010
11111
④ 由于 ＞ ，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（ - ）÷
1012101215
1
＝
4
11
⑤ 打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+ =13 （小时）
44
1
答：打印这部稿件共需13 小时。
4
练习4：
1、 一个水池安装了甲、乙两根 进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟能把空
池灌满。现在，甲、乙两管轮流 开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，
乙2分钟……如此交替下去，灌满一 池水共需几分钟？
2、 一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲 、乙两人轮流工作，甲
工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工 作1小时……如
此交替下去，完成这件工作共需多少小时？
3、 一项工程，甲单独做要50 天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2日两人一起开工，
52
甲每工作3天则 休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的 为几月几日？
75
4、 一项工程， 甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时，甲队做5天，
休息2天，乙 队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？

例5：
有一项工程，由甲、乙、 丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成
1
呢感。如果按乙、丙 、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用
3
天。已知 甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完
工？ 由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍
数 ，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。
三 种轮流方式做的情况可表示如下：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲
- 74 -

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1
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙 丙
2
1
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙 甲
3
21212
从中可以退出：丙= 甲；由于乙=甲－ 丙=甲－ 甲× ，又推出乙= 甲；与题中“三个工程
32323
队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、 丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流
方式用的天数必定如下所示：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲乙
1
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙 甲
2
1
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲 乙
3
12
由此推出：丙= 甲，丙= 乙
23
111
① 丙队每天做这项工程的 × =
13226
123
② 乙队每天做这项工程的 ÷ =
26352
1137
③ 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（ + + ）=5 （天）
1326529
7
答：甲、乙、丙合作要5 天完工。
9
练习5：
1、 有一项工程，由三个工程队 每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如
11
果按乙、丙、甲次序 轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已
34
知甲单独做7 天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
2、 有一项工程 ，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果
11
按乙 、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知
22
甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
3、 有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成
1
呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用
2
17
天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13 天可以完成，且3个工程队的工效
39
各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？
4、 蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙
1
管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有 池水， 如果
6
按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出 水池？
答案：
练1
1、 （1）需循环的次数
- 75 -

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1115
1÷（ + ）＝ ＞3
6104
（2）3个循环后剩下的工作量
111
1－（ + ）×3＝
6105
（3）最后由乙做的时间
1111
（ － ）÷ ＝ 小时
56103
（4）需要的总时间
11
2×3+1+ ＝7 小时
33
2、 （1）需循环的次数
11140
1÷（ + ）＝ ＞8
142017
（2）3个循环后剩下的工作量
114
1－（ + ）×8＝
1420140
（3）最后由乙做的时间
412
÷ ＝ 小时
140145
（4）需要的总时间
22
2×8+ ＝16 小时
55
3、 （1）需循环的次数
21124
÷（ + ）＝ ＞3
39127
（2）3个循环后剩下的工作量
2111
－（ + ）×3＝
391212
（3）最后由乙做的时间
113
÷ ＝ 小时
1294
（4）需要的总时间
33
2×3+ ＝6 小时
44
练2
1、 提示：甲的效率是乙的2倍
20÷2＝10天
2
2、 提示：乙的效率是甲的
3
1113
1÷【 ×（1－ ）+ 】＝3 天
6365
2
3、 提示：乙的效率是甲的
3
33
1÷（1÷12 × ）＝21小时
53－1+3
- 76 -

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4、 （1）需几个周期

1
2
÷（
1
3
－
1
5
）×3＝
15
4
＞3
（2）3个周期后剩下的水

1
2
－（
1
3
－
11
5
）×3＝
10

（3）需要的时间
2×3+1+（
1
10
+
119
5
）÷
3
＝7
10
小时
练3
1、 师傅：84÷（7－4）×7＝196个
徒弟：84÷（7－4）×4＝112个
2、 提示：乙的效率是甲的（1－
23
5
）＝
5

1÷（1÷2
53
8
×
5－2+5
）＝7天
3、 3小时36分＝3
3
5
小时
师、徒效率和：1080÷3
3
5
＝300个
师傅每小时的个数：（300+60）÷2＝180个
徒弟每小时的个数：（300－60）÷2＝120个
练4
1、 提示：把6分钟看作一个循环
（1） 每循环一次的工作量
（
117
24
+
18
）×（1+2）＝
24

（2） 总工作量里面有几个
7
24

1÷
7
24
＝3
3
7

（3） 3个循环后剩下的工作量
1－
71
24
×3＝
8

（4） 一共需要的时间
6×3+1+（
1
8
－
1
24
）÷
11
18
＝20
2
分钟
2、 提示：把6分钟看作一个循环
（1） 1个循环的工作量
（
1
12
+
1
15
）×（1+2）＝
9
20

（2） 总工作量里面有几个
9
20

1÷
92
20
＝2
9

（3） 3个循环后剩下的工作量
- 77 -

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91
1－ ×2＝
2010
（4） 一共需要的时间
111
6×2+ ÷ ＝13 小时
10125
11
说明：2个循环后，是由甲接着干2小时，所以直接用 ÷
1012
3、 提示：把12天看作一个循环
12天中甲的工作量
19
×（3+3+3）＝
5050
12天中乙的工作量
11
×（5+5）＝
606
总共需要的天数

5291
÷（ + ）＝2
75506
（12天减去最后休息的1天）
12×2－1＝23天
52
完成全部任务的 为3月24日。
75
4、 提示：把7天看作一个周期
22
1÷（ ×5+ ×6）＝15
33
7×15－1＝104天
练5
1、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推
23
出丙的效率是甲的 ，丙的效率也是乙的 。
34
122
（1） 丙的工作效率 × ＝
7321
238
（2） 乙的工作效率 ÷ ＝
21463
12817
（3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ + + ）＝2 天
7216323
2、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1 ，否则与题意矛盾。由此可以
13
推出丙的效率是甲的 ，乙的效率是甲的 。
24
111
（1） 丙的效率 × ＝
10220
1113
（2） 乙的效率 ×（1－ × ）＝
102240
1134
（3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ + + ）＝4 天
1020409
122
3、 由题意可以推出，丙的效率是甲的 ＝ ，丙的效率是乙的 ，进而推出甲、乙、丙工作效率的比
243
- 78 -

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是4：3：2。
74
1÷（1÷13 × ）＝31天
94+3+2
2
4、 提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过 ，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。
3
2
（1） 水池里的水超过 时需要几个循环
3
21111130
（ － ）÷（ － + － ）＝ ＞4
3634567
（2） 循环5次以后，池中水占
111113
+（ － + － ）×5＝
634564
（3） 总共需要的时间
313
4×5+（1－ ）÷ ＝20 小时

434

第24讲 比较大小
专 题 简 析：
我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研 究如何比较一些较复杂
的数或式子的值的大小。
解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形 式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断。
11a
如：a＞b＞0，那么a的平方＞b 的平方；如果a＞b＞0，那么 ＜ ；如果 ＞1，b＞0，那么a＞b
abb
等等。 比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相等（都是1），
减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。
如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。 再根据被除数相等，商越小，除数越大的
道理判断原数的大小。
除了将比较大小转化为比差、 比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行
判断。

例1：
777773888884
比较 和 的大小。
777778888889
这两个分数的分子与分母各不相同，不能直接比较大小，使用通分的方法又太麻烦。由于这里的两
个分数 都接近1，所以我们可先用1分别减去以上分数，再比较所得差的大小，然后再判断原来分数的
大小。
77777358888845
因为1－ = ，1－ =
777778777778888889888889
55
＞
777778888889
777773888884
所以 ＜ 。
777778888889
练习1：
- 79 -

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77777756666661
1、 比较 和 的大小。
77777776666663
98765987698798
2、 将 ， ， ， 按从小到大的顺序排列出来。
98766987798899
235861652971
3、 比较 和 的大小。
235862652974

例2：
1111111
比较 和 哪个分数大？
111111111
可以先用1分别除以这两个分数，再比较所得商的大小，最 后判断原分数的大小。
11111111
因为1÷ ＝ ＝10
1111111111
1111111111
1÷ ＝ ＝10
11
10
11
＞10
1111111
1111111
所以 ＜
111111111
练习2：
33333
1、 比较A＝ 和B＝ 的大小
1666166
11111111
2、 比较 和 的大小
222222221888888887
88888879999991
3、 比较 和 的大小。
88888899999994

例3：
1234512346
比较 和 的大小。
9876198765
两 个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近，可以根据通分的原理，用交叉相乘法比较分数
的大小。
因为12345×98765
＝12345×98761+12345×4
＝12345×98761+49380
12346×98761
＝12345×98761+98760
而 98761＞49380
所以12346×98761＞12345×98765
则
1234512346
＜
9876198765
练习3
176177
1、 比较 和 的大小。
257259
2222144443
2、 如果A＝ ，B＝ ，那么A与B中较大的数是_______.
3333266665
- 80 -

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5671
3、 试比较 与 的大小。
987654398765431

例4．
123473
已知A×15×1 ＝B× ÷ ×15＝C×15.2÷ ＝D×14.8× 。A、B、C、D四个数中最大的是
9934574
_______.
123473
求A、B、C、D四个数中最大的数，就要找15×1 ， ÷ ×15，15.2÷ ，14.8× 中最小的。
9934574
1
15×1 ＞15
99
4
15.2÷ ＞15
5
231
÷ ×15＝13
343
73
14.8× ＝14.6
74
23
答：因为 ÷ ×15的积最小，所以B最大。
34
练习4
241
1、 已知A×1 ＝B×90％＝C÷75％＝D× ＝E÷1 。把A、B、C、D、E这5个数从小到大排列，
355
第二个数是______.
●
252413
1、 2、 有八个数，0.51 ， ， ，0.51， ， 是 其中的六个数，如果从小到大排列时，第四个
394725
●●
数是0.5111…， 那么从大到小排列时，第四个数是哪个？
3、 在下面四个算式中，最大的得数是几？
1111
（1）（ + ）×20 （2）（ + ）×30
17192429
1111
（3）（ + ）×40 （4）（ + ）×50
31374147

例5．
图24－1中有两个红色的正方形，两个蓝色的 正方形，它们的面积已在图中标出（单位：平方厘米）。
问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正 方形面积大？

2
1996

1992
2


红 蓝

1997
2
2

1993



红 蓝

通过计算结果再比较大小自然是可以，但比较麻烦。我们可以采取间接比较的方法。
1997
2
－1997
2
＝（1997+1966）×（1997－1996）
- 81 -

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＝3993
1993
2
－1992
2
＝（1993+1992）×（1993－1992）
＝3985
（）

因为1997
2
－1997
2
＞1993
2
－1992
2

所以 1997
2
+1997
2
＞1993
2
+1992
2

练习5
1、 如图 24－2所示，有两个红色的圆和两个蓝色的圆。红色的两圆的直径分别是1992厘米和1949
厘米 ，蓝色的两圆的直径分别是1990厘米和1951厘米。问：红色的两圆面积之和大，还是蓝色
的两圆 面积之和大？
2、 如图24－3所示，正方形被一条曲线分成了A、B两部分，如果x

＞y，是比较A、B两部分周长
的大小。
1357991
3、 问 × × × ×…× 与 相比，哪个更大？为什么？
246810010






红
蓝
A



B
x
红

Y

蓝


图24－2 图24－3

答案：
练1
1、
77777756666661
＞
77777776666663
98987987698765
2、 ＜ ＜ ＜
99988987798766
235861652971
3、 ＞
235862652974
练2
1、
33333
＞
1666166
11111111
2、 ＜
222222221888888887
88888879999991
3、 ＞
88888899999994
练3
176177
1、 ＞
257259
2222144443
2、 ＜
3333266665
- 82 -

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5671
3、 ＜
987654398765431
练4
1、 C
●●●●
251324
2、 六个已知的数的大到小排列是 ＞ ＞ ＞0.51 ＞0.51＞ ，因为0.51是八个数从小到大排列
392547
●●●< br>的第四个，说明另外两个数一定比0.51小，所以这八个数中第四个大的数是0.51。
3、 （3）的积最大
练5
1、 红色两圆的面积大
2、 B的周长大。
1357991
3、 × × × ×…× ＜ 。
246810010

第25讲 最大最小问题

专题简析：
人们碰到的各种优化问题、高效 低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最
小问题。最大最小问题设计到的知识多 ，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。

例1：
a－b
a和b是小于100的两个不同的自然数，求 的最大值。
a+b
根 据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就
是说 ，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99
a－b99－149
的最大值是 =
a+b99+150
a－b49
答： 的最大值是 。
a+b50
练习1：
x－y
1、 设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求 的最大值。
x+y
a－b
2、 a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求 的最小值。
a+b
x+yx+y
3、 设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求 的最大值；②求 的
x－yx－y
最小值。

例2：
22
有甲、乙两个两位数，甲数 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多少？
73
22
甲数：乙数= ： =7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，
37
- 83 -

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甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56
答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：
34
1、 有甲、乙两个两位数，甲数的 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多少？
105
51
2、 甲、乙两数都是三位数，如果甲数的 恰好等于乙数的 。这两个两位数的和最小是多少？
64
3、 加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、 三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、
28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安 排多少工人？

例3：
如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？
在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时 减去1后，
又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这 样的数对
共有78+1＝79个。
答：这样的数对共有79个。
练习3
1、 两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？
2、 如果两个三位数的和是525 ，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有多少个？组
成这样的数对的两个数的差最小是多 少？最大是多少？
3、 如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的 数对共有多少个？组成
这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？

例4．
三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少？
因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间数＝114
而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114÷2＝57，最小数是57－1＝56
答：最小数是56。
练习4
1、 桑连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是252。三个数中最小的数是______.
2、 a、b、c是从小到大排列的三个数，且a－b＝b－c，前两个数的积与后两个数的积之差是
280。 如果b＝35，那么c是_____。
3、
6510
被分数 ， ， 除得的结果都是整数的最小分数是______。
71421

例5．
三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最
小的 三位数。
因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，2886÷222能得到三个数字的和。
设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为

abc+acb+bac+bca+cab+cba
＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2
＝（a+b+c）×222
＝2886
即a+b+c＝2886÷222＝13
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答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。
练习5
1、 有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是3108。所有这样的6个三位
数中最大的一个是多少？
2、 有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的 和是2220。所有这样的6个三位
数中最小的一个是多少？
3、 用a、b、c能组成6个 不同的三位数。这6个三位数相加的和是2886。已知a、b、c三个数字
中，最大的数字是最小数字 的2倍，这6个三位数中最小的数是多少？

答案：
练1
1、
991201
2、 3、 （1）399 （2）
10197199
练2
1、
甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。
2、 甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。
111
3、 一、二、三道工序所需的工人数的比是
48
：
32
：
28
＝14：21：24，所以至少安排14+21+24
＝59个工人。
练3
1、 9999+（9999－8921）＝11077
2、 较小的数最大 是（521－1）÷2＝262，100～262共有163个自然数,所以共有163对,两个数的差
最大是525－100－100＝325
3、 数对共有9999－3456－1000+1＝554 4个，两个数的和最大是9999－3456+9999＝16542，两个数
的和最小是1000+3 456+1000＝5456
练4
1、 最大数－最小数＝4 中间数＝252÷4＝63 最小数＝63－2＝61
2、 根据题意可得（a－c）×b＝2 80，进而可以推出a－c＝280÷b＝280÷35＝8，所以，c＝35－8÷2
＝31
3、 所求的分数，它的分子是6，5，10的最小公倍数，分母是7，14，21的最大公约数，所 以答案是
30
。
7
练5
1、 符合题意的三个数字之和是31 08÷222＝14，因此，所有这样的6个三位数中最大的一个是941
（三个数字不能有0，否则就 不能排出6个不同的三位数）。
2、 三个数字的和是2220÷222＝10，最小的一个是127。
3、 最小的数是346。

第26讲 加法、乘法原理
例题1：
小红、小丽和小敏三个人到世纪 公园游玩拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种
不同的拍照方法？
练习1：
1、4个好朋友在旅游景点拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？
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2、用0，2，3三个数字组成不同的三位数，一共可以组成多少种不同的三位数？
3、有1 克、2克和5克的砝码各一个，那么在天平上可以称出多少种不同质量的物体？
（砝码都放在右盘）
例题2：
从北京到天津的列车中途要经过4个站点，这列列车从北京到天津要准备多少种不同
的车票？
练习2：
1、一列列车从甲地到乙地要经过5个站点，这列列车从甲地到乙地要准备多少种不
同的车票？
2、5个人进行下棋比赛，每两个人之间都要赛一场，一共要赛多少场？
3、一把钥匙只能开 一把锁，现在有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。
最多要试多少次才能配好全部的钥匙和 锁？
例题3：
在4×4的方格图中（如右图），共有多少个正方形？





练习3：
1、在3×3的方格图中，共有多少个正方形？




2、在5×5的方格图中，共有多少个正方形？






3、在6×6的方格图中，共有多少个正方形？
例题4：
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从3，5，7，11，13这五个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一
共可 以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？
练习4：
1、从1，3，5，7 这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共
可以组成多少个不同的分数？其中有多 少个真分数？
2、从5，7，11，13这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母 和分子，一
共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？
3、从2，3，7 ，11，13，17这六个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和
分子，一共可以组成多少个不 同的分数？其中有多少个真分数？
例题5：
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个不同的三位数？
练习5：
1、用1，2，3，4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？
2、如右图所示：A、B、C、D四 个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种染
色。如果要求相邻的区域染不同的颜色，共有多少种 不同的染色方法？
3、用6，3，0，5，9这五个数字可能组成多少个不同的三位数？用6 ，3，0，5，9
这五个数字可以组成多少个不同的三位数？用6，3，2，5，9这五个数字可以组成 多少个
不同的三位数?



第27讲 表面积与体积（一）
专题简析：
小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图 形
到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这
些几 何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好
习惯，解题时要认真 细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：
（1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体 图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两
个立体图形粘合到一起，减少的表面 积等于粘合面积的两倍。
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（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体， 应把它们最小的面拼合起来。若
把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来 。

例题1：
从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米 、高2厘米的小长
方体，剩下部分的表面积是多少？
这是一道开放题，方法有多种：
①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。

图27--1

②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。

图27--2

③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。
- 88 -

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练习1：
图27--3

1、从一个长10厘米、宽6厘 米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小
正方体，剩下部分的表面积是多少？



2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的 小厂
房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？



3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会 发生
怎样的变化？

例题2：
把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来， 如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这
个立体图形的表面积。

- 89 -

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图27—4

要求这个复杂形体的表 面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方
向上的小正方体各面就组合成了如下图形（ 如图27-5所示）。
从上往下看

而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向 的面积是相等的。整个立体图形的表
面积可采用（S上+S左+S前）×2来计算。
（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2
=（81+72+90）×2
=243×2
=486（平方厘米）
答：这个立体图形的表面积是486平方厘米。
练习2：
1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。
- 90 -
从左往右看
图27—5
从前往后看

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图27—6

2、一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方 体堆成的。它们的
表面积是多少平方厘米？

3、一个正方体的表面积是384平方 厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正
方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

例题3：
把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，
这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？
把两个相同的大长方体拼成一个大厂 房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的
表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面 积最小，就必须使两个拼合面的
面积最大，即减少两个9×7的面。
（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2
=（63+36+28）×4—126
- 91 -

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=508—126
=382（平方厘米）
答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。
练习3：
1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是
多少？




2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方 体，再将这两个长方体拼成
一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。




3、用6块（如图27-8所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法， 其中表
面积最小的是多少平方厘米？
1厘米
2厘米

例题4：
3厘米

一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘 米，则体
积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。 < br>我们知道：体积=长×宽×高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高
=40÷2 =20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30
（平方厘 米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘
- 92 -

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米）。而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148（平 方厘
米）。即
40÷2=20（平方厘米）
90÷3=30（平方厘米）
96÷4=24（平方厘米）
（30+20+24）×2
=74×2
=148（平方厘米）
答：原 长方体的表面积是148平方厘米。
练习4：
1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米 ，
则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来厂房体的表
面 积是多少平方厘米？



2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高 为3厘米和2厘米的长方体后，便成为
一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积 是多少立方厘米？




3、有一个厂房体如下图所示，它的正 面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、
高都是质数，这个长方体的体积是多少？
宽
长

例题5：
如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分 别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组
- 93 -
高

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成一个物体。求这个物体的表面积。

如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际
上三个向上 的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一
个大圆柱的表面积加上中、 小圆柱的侧面积。
3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1× 1+2×3.14×0.5×1
=3.14×（4.5+3+2+1）
=3.14×10.5
=32.97（平方米）
答：这个物体的表面积是32.97平方米。
练习5：
1、一个棱长为40厘米的 正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，各有一
个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米 。求这个零件的表面积。



2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？



3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞 ，在上、
下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（∏
取3.14 ）。
- 94 -

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答案：
练1

1、 切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1×1的正方形，新增加了左右下
面三个1×1的正 方形，所以表面积大小不变。
2、 4×4×6－2×2×2＝92平方厘米
3、 中心挖 去的洞的体积是：1
2
×3×3－1
3
×2＝7立方厘米，挖洞后木块的体积 ：3
3
－7＝
20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是1
2
×4 －1
2
＝3平方厘米，挖洞后木块的表
面积：（3
2
+3）×6＝7 2平方厘米。
练2
1、 从三个不同的方向看，得到图答27－1：




从上往下看 从前往后看 从左往右看
（1×1×12+1×1×8+1×1×7）×2＝54平方厘米
2、 （2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200平方厘米
3、 因为64＝4×4×4，所以 大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被，那么大正方体的
表面积是小正方体的4×4＝16倍，小正方 体的表面积是：384÷16＝24平方厘米
练3
1、将正方体分为两个长方体，表面积就 增加了2个30÷6＝15平方厘米，拼成大正方体，
表面积将减少两个拼合面的面积，正好是1个30 ÷6＝15平方厘米，所以大长方体的
表面积是30+30+6＝35平方厘米。
2、要是表 面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有如图答27
－2两种：表面积都是（ 3×3+3×4×2）×2＝66平方厘米。
- 95 -

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3、设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左 面和右面的面积就是x
2
平方分米。其
余的面积为2x
2
平方分米， 根据题意，大长方体的表面积是：8x
2
+8×2x
2
＝600 x＝5
大长方体的体积是：5×5×2×5＝250立方分米
练4
1、 （48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122平方厘米
2、 减少的表面积实质是高度分别为2厘 米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。
把两个合并起来，用120÷（2+3）＝24厘米， 求到正方体底面的周长，正方体的棱
长就是24÷4＝6厘米。圆长方体的体积是：6×6×（6+3+ 2）＝396立方厘米
3、 长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×（宽+高），2 09＝11×19，
所以长＝11，宽+高＝19，或长＝19，宽+高＝11，根据题意，宽和高只能 是17和2，
长方体的体积就是11×17×2＝374
练5
1、 40
2
×6+3.14×4×10×2＝9651.2平方厘米
2、 用两个同样的工件可拼成图答27－3的圆柱体。
3.14×15×（46+54）÷2＝2355平方厘米
4
3、 立方体的表面积 和是：6×10
2
－4
2
×4－2×3.14×（
2
）
2
＝510.88平方厘米
打洞后增加的面积是：
4
3.14 ×4×（10－4）+4×（10－4）×4×2+4
2
×2－3.14×（
2
）
2
×2＝274.24平方厘
米
表面积是：510.88+274.24＝785.12平方厘米
4
体积是：10< br>3
－4
2
×10×2+4
3
－3.14×（ ）
2
×（10－4）＝668.64平方厘米
2


第28讲 表面积与体积（二）
例题1：
有大、中、小三个正方体水池，它们的 内边长分别为6米、3米、2米。把两堆碎石分
别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和 4厘米。如果将这两堆碎石都沉
在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？
练习1：
1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。把两堆碎
石分别沉没在中 、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米，如果将
这两堆碎石都沉没在大水池中， 那么大水池水面将升高多少厘米？
2、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、 20厘米、5厘米的
长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？
3、将表面积为5 4平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一
个大正方体（不计损耗），求这 个大正方体的体积
- 96 -

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例题2：
一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘 米、
高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？
练习2：
1 、一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装有高3厘米的水。现把一个底面半径是1
厘米、高5厘米的圆 柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米（∏取3）？
2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水， 水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积市2平方里。
在这个杯中放进棱长6厘米的正方形铁块后，水面 没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？
3、在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方形容器里，直 立放着一个长100厘米、
底面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水50厘米深。现 在把铁棍轻轻
地向上方提起24厘米，露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米
例题3：
某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2倍。当贴着它一
最大的内 侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积（如图28-1所示）。

练习3：
1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的体积是2 16
立方分米。求这个圆锥体的体积。
2、一个正方体的纸盒中如图28-2所示，恰好能装 入一个体积6.28立方厘米的圆柱
体。纸盒的容积有多大（∏取3.14）？

3 、如图28-3所掷，圆锥形容器中装有3升水，水面告诉正好是圆锥高读的一半。这
个容器还能装多少 水？
- 97 -

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例题4：
如果把12 件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打
包物体的表面积最小呢？
a
c
b
图28—4
练习4：
1、如果把长8厘米，宽7厘 米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件
大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的 表面积最小？
2、一个精美小礼品盒的形状是长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。请你帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？为什么？
3、一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米，宽是5厘米，高是2厘米。把10 包
香烟包 装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需要多少包装纸（包
转念能够纸的重叠部 分忽略不计）。你认为哪一种包装比较合理？
例题5：
一只集装箱，它的内尺寸是18×1 8×18。现在有批货箱，它的外尺寸是1×4×9。问
这只集装箱能装多少只货箱？
练习5：
1、有一个长方体的盒子，从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7厘米。在 这
个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多可放几块？
2、从一个长、 宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面，尽可能大地
切下一个正方体，然后从剩余的 部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余
的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积 是多少立方厘米？
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3、现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长
方体无盖 铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少
立方厘米？

第29讲 抽屉原理（一）
专 题 简 析：
如果给你5盒饼干，让你把它们放 到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有
2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯 定有一个邮箱中至少有2封信。如
果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分 到2本练习册。这
些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：（1 ）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少
有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。 （2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到
x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或 更多个元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结
论。
本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。

例题1：
某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？
把一年中的天数 看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把367个元素放到366个抽屉
中，至少有一个抽屉中有2个元 素，即至少有两个学生的生日是同一天。
平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉 ，共366个抽屉。把367个
人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有 两个学生的生日是
同一天。
练习1：
1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？
2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？
3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？

例题2：
- 99 -

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某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是 ：有买一本的、二本的、也有
三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种 书最多买一
本）？
首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类 型看成7
个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去的人数应大于抽屉
数。所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。
买书的类型有：
买一本的：有语文、数学、外语3种。
买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本的：有语文、数学和外语1种。
3+3+1=7（种）把7种类型看做7个抽屉，要保 证一定有两位同学买到相同的书，至
少要去8位学生。
练习2：
1、某班学生去买 语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买
一本的、二本的、三本或四本的。，问 至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相
同的书（每种书最多买一本）？
2、学校图 书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少
要几个同学才能保证一定有两人 所借的图书属于同一种？
3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三 种，问
最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？

例题3：
一只袋 中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少
要摸出多少只手套才能保证 有3副同色的？
把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有1副同色的，就是< br>1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的
后，4个 抽屉中还剩下3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副
手套是同色的，以此类推 。
把四种颜色看成是4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有一副就要摸出5只
手套。 这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出
2只手套又能保证有一 副手套是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套
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