雅思托福换算-银行客户经理总结

第六讲 取整问题
第一格：阿呆一手拿着剪刀，一手挠着头看着地上的绳子，心想：“ 我要把绳子截成一米长
的小段，应该怎么截呢？”地上有一根绳子，标明这根绳子长五米．
第二格：阿呆蹲在地上，拿着剪刀的手已经剪在了这根绳子的中点处．
第三格：阿呆疑惑的想：“现在还能截出多少个一米长的小段？”

教学目标
1．

了解取整符号的概念和性质；
2．

了解带有取整符号类的数列的变化区间；
3．

学会求取整数列的值；
4．

学会求解关于取整符号的方程；
知识点概述
基本概念：

x


表示不大于
x
的最大整数，通常叫做
x
的整数部分，

一．

x

x

x

，通 常叫做
x
的小数部分或真分数部分；


如

3.14

3

，

3.14

0.14

．

基本性质：

二．
，

x

x
x

1

，
0

x

1
；
1.

x1

x

x


xy2

x



y

xy


，
0

x



y

2

(
x
、
y
均为整数是等号才成立)．

2.

0

x

1


n

n1
若x、y均为整数

若x、y均不是整数

3.

若
xyn
是整数 ，则

x



y




关于取整符号的方程

三．

x

的方程， 通常都要先把

x

是整数以
x
拆成

x



x

，然后利用
1.

有关
x
、

x

、


及

x

有范围的特点求解．

2.
< br>一些复杂的
x
、

x

、

x
的方程，有时候用换元的方法来化简求值，例如方程：



即有

5x2



y

2
（其


5x2

3x3

，因为

5x2



5x

2

，然后令
5xy
，
中
x
y
3y

），于是方程变为

y

23

，把
y
拆开，有
5
5
5

y

103y 153

y

3

y

15
，所以
2

y

3

y

15

，容易算出此时
11y5
y

y


y

88

，所以
x

．

3353

例1．
（1）


3.1

< br>
2.5




4.75

< br>
0.8


_____；（2）

4
< br>


2



______；

「分析」问题的关键是将取整符号和取小符号都去掉，容易知道

π

的值为3．

练习
1
、

102π



π



π




______
．

例2．
（1）


20132011


_______；


2012

35

35

（
2
）
37

2

37


< br>8.75



8.75


______ __
．

36

36

「分析」如何用凑整的 方法把这些取整符号中的分数化成带分数．



20132011

练习
2
、（
1
）

10

 3.6


_______
；（
2
）


_______
．


2012



例3．
已知

x

1
，

y

2
，

z

3
，求：
< br>x2y3z

的所有可能值．
「分析」先算出x、y、z的取值范围，然后再根据取值范围的取法确定可能值．


练习3、
已知

x

1
，

y

2
，

z

3
，求：
< br>xyz

的所有可能值．



例4． 

131

132

1382
 
1383


L


21



21


_______．

2 1

21

「分析」看到这道题，大家会想，要是没有取整符号就 好了，剩下的就是一个等差数列，
我们可以用配对的想法来求和．而现在取整符号确实存在，有了取整符 号之后，各项就
不构成等差数列了，那我们要怎么办呢？配对的想法在这里还用得上吗？
< br>
51

52

59

51 0

练习4、


L


11< br>


11

的和是________．


11

11


例5．
解方程：（1）
2x3

x

4

x

；
（2）
2013
< br>x

2012

x

2011
．

x

有范围的特点求解．

「分析」先把
x拆成

x



x



，然后利用

x

是整数以及






例6．
解方程：

2x1

3x0.5
．
「分析」先把
2x1
设为y，采用换元法．

课
堂 内 外
彗 星 彗星（Comet），中文俗称“扫把星”，是太阳系中小天体之一类．由冰冻物质和尘埃组
成．当 它靠近太阳时即为可见．太阳的热使彗星物质蒸发，在冰核周围形成朦胧的彗发和一
条稀薄物质流构成的 彗尾．由于太阳风的压力，彗尾总是指向背离太阳的方向．
彗星是星际间物质，英文是Comet，是 由希腊文演变而来的，意思是“尾巴”或“毛发”，
也有“长发星”的含义．而中文的“彗”字，则是“ 扫帚”的意思．在《天文略论》这本书
中写道：彗星为怪异之星，有首有尾．
历史上第一个被 观测到相继出现的同一天体是哈雷彗星，牛顿的朋友和捐助人哈雷
（1656一1742年）在1705 年认识到它是周期性的．它的周期是76年．历史记录表明自从
公元前240年也可能自公元前466年 来，它每次通过太阳时都被观测到了．它最近一次是在
1986年通过的．离太阳很远时彗星的亮度很低 ，而且它的光谱单纯是反射阳光的光谱．当
彗星进入离太阳8个天文单位以内时，它的亮度开始迅速增长 并且光谱急剧地变化．科学家
看到若干属于已知分子的明亮谱线．发生这种变化是因为组成彗星的固体物 质（彗核）突然
变热到足以蒸发并以叫做彗发的气体云包围彗核．太阳的紫外光引起这种气体发光．彗发 的
直径通常约为105千米，但彗尾常常很长，达108千米或1天文单位．
科学家估计一般 接近太阳距离只有几个天文单位的彗星将在几千年内瓦解．公元1066
年，诺曼人入侵英国前夕，正逢 哈雷彗星回归．当时，人们怀有复杂的心情，注视着夜空中
这颗拖着长尾巴的古怪天体，认为是上帝给予 的一种战争警告和预示．后来，诺曼人征服了
英国，诺曼统帅的妻子把当时哈雷彗星回归的景象绣在一块 挂毯上以示纪念．中国民间把彗
星贬称为“扫帚星”、“灾星”．像这种把彗星的出现和人间的战争、饥 荒、洪水、瘟疫等灾
难联系在一起的事情，在中外历史上有很多．彗星是在扁长轨道(极少数在近圆轨道 )上绕太
阳运行的一种质量较小的云雾状小天体．

作业
（
1
）


2.1



1.5




2.75



3.8


；

（
2< br>）

2




6

< br>
．

1.

计算：

，

y

2

，

z

0

，求：

2.

已知

x

1

（
1
）

xyz


的所有可能值是多少；

（
2
）

3xyz


的所有可能值是多少？


的运算结果是多少？

3.

求



11

L


11


11



31

32

332

4.

解方程：
4x6

x

43


5.

解方程：

2x

4x7

第六讲 取整问题

例题：
例7．
答案：（1）14.8；（2）72
详解：（ 1）


3.1



2.5




4.75



0.8



30.5

40.814.8
；
（2）
4




2


12 6=72
．

例8．
答案：2011；
42
17

18

20132 011



20121

2011


201220112011

详解：（1）







2011
；
2





35

35

17
 
（2）
原式


361


2


361



40.75 42
．
36

36

18



例9．
答案：4、5、6、7、8、9
详解：那么，
42y 6
，
2y3
，
4x2y3z10
，
1x 2
，
3z4
，
93z12
，
所以

x2y3z

的可能值有4、5、6、7、8、9．

例10．
答案：2118
详解：我们先把首末两项配对，得到下面这个算式

< br>131

1383



131
 
1383

1311383

131
1383


52




51



21

21

2









131

1383


该算 式左侧为整数，因此右侧也得是整数，也就是说




得是整数，
2121


而这部分一定大于0小于2，所以必定 是1．由此可得上面这个算式的计算结果必为
52151
．
同理可得：


132

1382



1 32

1382

1321382

132

1382


52




51



21
< br>21

2




< br>



133

1381



133

1381

1331381< br>
133

1381


52




51


< br>21

21

2121


21

21



21

21


……



1341
< br>1343



1341

1343

13411343

1341

1343


52




5 1



21

21

2







由此将算式首 末配对，每一对的和都是51，这里面还有一些特殊的情况：

1321
1363

1342

；
133952


21

21

21

< br>
26

26
，除上述两组外其余共有40
< br>对51，总和为
405152262118
．

1
例11．
答案：（1）0、1.4、2.8；（2）
1

1006
详解：将x替换为[x]+｛x｝，然后先对[x]进行估算再确定{x}的值．

例12．
答案：
375
、、
266
y1< br>12
详解：设：
y2x1
，则
x
，原式变形为
2

y

3y4
，解得y为4、
3
、
2
，
2
33
375
于是x的值是、、．
266


练习：
1. 答案：3π
－
6
简答：
π

3
，

π

π3
，讲这两 个算式代入计算即可：

102π



π



π

33


3

3

6
．

2. 答案：35；
简答：略．
3. 答案：6、7、8
简答：略．
4. 答案：20
简答：

51

52

59

510< br>

L


11

11
< br>11



11



51

510



52

59



55

56






L


 







< br>11

11



11

1 1



11

11


 255
20

2011

2012

作业：
1
6.
答案：（1）5.8；（2）
3
简答：略．
7.
答案：（1）2、3或4；（2）0、1、2、3、4
简答：略．
8.
答案：129
简答：略．
9.
答案：11.5
简答：
4

x

4

x

6

x

43
，则有
4

x

432

x

，得

x

11
，

x



1
，答案是11.5．
2
10.
答案：3.5或3.25 简答：原式可化为

2x

4x7
，令
2xy< br>有

y

2y7
，将
y

y



y

代入有

y

2

y

7
，再解方程可得
y7
或
y6.5
，所以
x3.5
或
x3.25
．