高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲数论综合提高一
2010浙江文科数学-项目经理岗位责任制
第十五讲数论综合提高
本讲知识点汇总：
一. 整除
1.
整除的定义
如果整数a除以整数b
b 0
，所得的商是整数且没有余数，
b整除，也可以说 b能整除a，记作b|a .
如果除得的结果有余数，我们就说
a不能被b整除，也可以说 b不整除a.
我们就说a能被
2.
整除判定
(1)
尾数判断法
能被2、5整除的数的特征：个位数字能被
能被4、25整除的数的特征：末两位能被
能被& 125整除的数的特征：末三位能被
2或5整除；
4或25整除；
8或125整除.
(2)
截断求和法
能被9、99、999及其约数整除的数的特征.
(3)
截断求差法
能被11、101、1001及其约数整除的数的特征.
(4)
分解判定：一些复杂整数的整除性，例如
质的整数，分别验证整除性.
63、72等，可以把它们分拆成互
3.
常用整除性质
(1)
(2)
(3)
(4)
已知 a | b、a |c，则
a
| b c
以及
a| b c
. ( b>c)
已知 ab
|ac，则 b |c .
已知 a | bc 且
a,b 1
，则 a | c
•
已知 a | c 且 b |c，贝V
a, b c
.
4.
整除的一些基本方法：
(1)
分解法：
① 分解得到的数有整除特性；
② 两两互质.
(2)
数字谜法：
① 被除数的末位已知；
② 除数变为乘法数字谜的第一个乘数 .
(3)
试除法：
① 除数比较大；
② 被除数的首位已知
(4)
同除法：
①
被除数与除数同时除以相同的数；
② 简化后的除数有整除特性 •
二、质数与合数
1.
质数与合数的定义
质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了
的数.
1和它本身之外，还能被其它数整除
2.
分解质因数
分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式.
典型题型
女口： 100
2
5 , 28 0 2
5 7 •
23
一.
整除
1.
的判别法要非常熟悉，尤其是
基本整除问题：对各种整除
9和11这种常见数字；
(1)
9的考点：乱切法；
(2)
11的考点：① 奇位和减偶位和； ②
两位截断求和； ③ 三位截断，奇段和减 偶段
和.
2.
整除性质的使用；
3.
整除与位值原理；
4.
整除方法在数字谜中的应用.
二.
质数合数
1.
质数合数填数字：注意 2和5的特殊性;
2.
判断大数是否为质数：逐一试除法；
3.
末尾0的个数问题：层除法.
例1.
(
1)五位数3口6口5没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少?
(2) 如果六位数387□匚|□能被624整除，则三个方格中的数是多少？
(3) 末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？
「分析」（1） 75可以分解为3和25;
（2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目 改
为数字谜的形式进行解答.
练习1、（ 1）六位数10 37 没有重复数字，如它能被 36整除，那么这个六位数是多 少？
（2） 如果六位数374□□口 能被324整除，则三个方格中的数是多少？
（3）
末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？
例2.
将自然数1, 2,
3,…，依次写下去组成一个数：
某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被
111213L，如果写到
36整除，那么这个自然数 N是多少？
「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足 N能被4和9整除，接下来就要用到整
除特性了，尤其是 9的整除特性如何运用是关键.
练习2、将自然数
1，2，3，…，依次写下去组成一个数：
果写到某个自然数 N时，所组成的数恰好第一次能被
111213L，如
45整除，那么这个自然数 N是多
少？
例3.
已知3a7 bOc是495的倍数，其中a，
b，c分别代表不同的数字.请问：三位数 abc
是多少？
「分析」分解495=5
X
9
X
11,可知只要两个三位数分别满足是
分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？
5、9、11的倍数即可,
练习3、已知aOOb 3c5是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字.请问:
位数abc是多少?
例4.
一个各位数字互不相同的五位数可以被
9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被
23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？
「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被
23整除”及最大值或最小值可确
定五位数的前三位,然后根据
9的整除特性确定其余数字.
练习 4、一个各位数字互不相同的四位数可以被
9整除,去掉末两位之后形成的两位数
可以被 29
整除,这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？
例5.
72
乘以一个三位数后,正好得到一个立方数 • 这个三位数最大是多少？
「分析」立方数需满
足所含质因数个数均为 3的倍数,分解 72可以确定质因数的种类,
满足上述条件基础上试数即
可得出这个三位数.
例6.
在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n个数的乘积的末尾
0的个数比 前n 1
个数的乘积的末尾 0的个数少3个，那么n最小是多少？
「分析」
末尾 0 的个数决定于 2和 5的对数,有一对 2、 5就可以确定一个 0,而题目 数列
中
2的个数一定多于 5的个数,所以只要使数列中数字满足有三个质因数
5即可.
数学王国里的一颗明珠 一一梅森素数
早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究
著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果
美数（Perfect number）.
1640年6月，费马在给马林 梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发
现了三
个非常重要的性质.我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”
了形如
2
P
1
1
p
2
1
的先河，他在名
p
（
P1
）
2
P
是素数，则（2- 1） 2
是完
.这封信讨论
的数（其中p为素数）.
2
P
1
梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对
作了大量的计算、验证工
p=2 , 3, 5, 7, 13 ,17,
257的数时，
2
1
是
p
作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于
19, 31,
67, 127, 257时，
2
1
是素数；而对于其他所有小于
p
合数.前面的7个数（即2, 3, 5, 7, 13,
17和19）属于被证实的部分，是他整理前 人的工作
得到的；而后面的4个数（即31, 67,
127和257）属于被猜测的部分. 不过， 人们对其断言
仍深信不疑.
虽然梅森的断言中包含着若干错误， 但他的工作极大地激发了人们研究
p
2
1
型素
数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位.梅森的工作是素数研究的一个转折
点和里程
碑.由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究
型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”
p
2
1
；并以Mp记之（其中M为梅
p
2
1
森姓名的首字母），即
Mp 2
p
1
.如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即型素数）.
2300多年来，人类仅发现
47个梅森素数.由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们 誉为
数
海明珠”.自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；
因此，寻找新的
梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程.
作业
1.
五位数3口0口5没有重复数字，如它能被 225整除，那么这个五位数是多少?
2.
(1)已知六位数2口01口2是99的倍数，那么这个六位数是多少?
(2)已知六位数19 49 是72的倍数，那么这个六位数是多少?
3.
201 202 203 L 500的末尾有多少个连续的 0?
4.
两个连续自然数的乘积是 1190，这两个数中较小的是多少?
5.
太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，…，
颗
颗炼成不老长生丹.然后装入金葫芦，
不足千，问共炼多少颗仙丹？
每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干.已知丹数
第十五讲数论综合提高一
例7.
答案：(1)
30675、38625、39675; (2) 504; (3) 26999
详解：
(
1)据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是
25的倍 数，即后
一个空填 2或7,填2时，没有重复数字又是 3的倍数，所以只能是
38625,
填7时，满足条件是 30675或39675,所以答案是
30675、38625、39675.
(2) 将六位数补成 387999 ,
387999除以624余495，所以387999减去495的差
387504
一定是624的倍数，所以答案是 504.
(3)
931 等于
26999.
改成竖式的数字谜，
999，填完整就是29乘以
29乘以某某某答案后三位是
例&
答案：36
详解：要是36的倍数，只要是 4和9的倍数即可.9的整除特性是乱切法就可以，所
以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有
1+2+3+…+
N
是9的倍数，即
N N
1
是9的倍数，即N或N 1是9的倍数，所以
2
满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36,写到36时，第一次满足是
4的倍数，
所以N最小是36.
例9.
答案：865
详解：
495 5 9
11
，即只要满足是5、9、11的倍数即可•对肓，不论a取哪一个
一位数都不可能是11和5的倍数，所以b0C 一定是11和5的倍数，即是605.于是307
是9的倍数，所以a是8,所以a、b、c组成的三位数是865.
例 10 .
答案：13806、94365
详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806
最大且数字不同，则前三位只能是 943,再根据9的整除特性，所以最大是
94365.
例11 .
答案：648
例12 .
答案：83
详解：这是一个首项为1,公差为3的等差数列，由题意知第n 1个数应为125的倍数,
即3n 1 125k，可知k取2时符合要求，此时 n为83.
练习：
练习
1、答案：
(
1) 105372; (2) 220、544 或 868; (3)
20999
练习2、答案：35
练习3、答案：548或908
简答：即a00b 3c5要分别被4、9和11整除，由a00b与3c5整除特性且a、b、c代表
不同数字可知
^0b与3c5分别要被
(
4、9)与11整除，所以可求得abc是548或908.
练习4、答案：最小值是2907;最大是8793
作业
6.
答案：38025
简答：能被225整除，即能分别被 9和25整除，所以可得该五位数为
38025.
7.
答案：
(
1) 260172 ； (2)
197496
简答：
(
1)设该六位数为2a01b2，其为99的倍数，即2a
1 b2能被99整除，又a、 b为个位
数，所以易知 a 6, b
7，所以该六位数为260172 ； (2)能被72整除，即能
分别被8和9整除，所以可得该六位数为 197496.
8.
答案：75
简答：500!所含0的个数减去200!所含0的个数即可，答案为75.
9.
答案：34
简答：易知34
1190 35
,所以可估算出所求的数为 34.
22
10.
答案：900
简答：前n次共炼制n
2
颗仙丹，且n
2
是60的倍数，所以n含有质因数2
、3和5,于
是当n
235 30
时，n
2
900为所求答案.