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第十九讲 计数综合提高上



一、 枚举法．
1、
简单枚举．
2、
分类枚举．
3、
特殊的枚举：标数法、树形图．

二、 加法原理——分类
如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法
数相加就得到所有的方 法数．
加法原理的类与类之间会满足下列要求：
(
1
)只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；
(
2
)类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．

三、 乘法原理——分步
如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那 么把每步的方
法数相乘就得到所有的方法数．
乘法原理的步与步之间满足下列要求：
(
1
)每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；
(
2
)步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，……，直到最后．

四、 排列：从m个不同的元素中取出n个（
nm
），并按照一定的顺序 排成一列，其方法
．．
数叫做从m个不同元素中取出n个的排列数，记作
A
m
，它的计算方法如下：
从m开始递减地连乘n个数
n
A
m
m(m1)……(mn1)

n

五、 组合：从
m
个不同元素中取出
n
个（< br>nm
）作为一组（不计顺序），可选择的方法数
．．
n
叫做从
m
个不同元素中取出
n
个不同的组合数，记作
C
m
，它的 计算方法如下：

n
[m

m1

LL


mn1

]
A
mC
n

A
n
n

n1


LL
21
n
m

10nmn012m
 m
；
C
m
1
；
C
m
C
mC
m
C
m
LC
m
2
m
．
注意：几个常用公式：
C
m
；
C
m

六、 一些好用的计数技巧和方法：
1.
捆绑法：对于要求必须站在一起的人，可以采用事先捆绑的方法来处理．
2.
插空 法：对于不能相邻的情况，先把其他人先排好，再把不能相邻的人插入其他人
之间的空隙中．
3.
有重复数字的数字排列问题，可以用“数字挑位置”的方法解决．
4.
数字0不能作为多位数的首位，在计数时需要特别注意．
5.
对挑出的对象有特殊 要求的计数问题，一般来说要优先考虑有特殊要求的对象或位
置，尽可能地让余下的对象或位置的确定变 得简单．
6.
当满足要求的情况很多时，可以尝试用排除法计算不满足要求的情况，再从所 有可
能的情况中排除不满足要求的，也能得到问题的答案．

例1．
某人射击8枪，命中4枪，命中的4枪中恰好有3枪连在一起的情况有多少种？
「分析」首先 仔细思考一下命中的4枪之间是否有顺序区别？然后确定其中3枪连在一
起的位置选择有多少种情况？

练习1、在由1和2组成的六位数中（例如112111、111111等），恰好有3个1 连在一
起的六位数有多少个？

例2．
一种电子表在6时24分30秒的 显示为6:24:30，那么从6时到7时这段时间里，此表
的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？
「分析」分钟的十位和秒钟的十位可能性比较少，所以，应优先确定．

练习2、现 在我们规定一种记日期的方式，把“2012年05月12日”写作“120512”，
即只需写出后面 六位数，那么在2013年有多少天按这种计数方式写出的六位数六个数
字互不相同？

纳达尔和费德勒进行网球比赛，谁先得
6
分就赢得此局，最 后费德勒在第一局
6:4
获
例3．
胜，已知在过程中费德勒从未落后过，那么比赛过程一共有多少种不同的可能？

「分析」大家还记得最短路线问题中曾经学习过的标数法吗？


练习
3
、皇马和巴萨两队进行足球比赛，最后皇马
5:3
获胜，已知在过程中皇马从未落
后过，那么进球过程一共有多少种不同的可能？


小王左口袋里有
10
张黑卡片，分别写着
1
到
10
，右口袋里有
10
张红卡片，也分别写
例4．
着
1
到
10
．他从两个口袋 里各取出一张卡片，然后计算两张卡片上数的乘积，如果乘
积恰好是
6
的倍数，那么共 有多少种不同的取法？

「分析」两个数的乘积是
6
的倍数这两个数需要符合什么要求？


练习
4
、小高有
12
个黑球，分别写着
1
到
12
，还有
10
个红球，分别写着
1
到
10
．他
从两个种球里各取出一个，然后计算两球上数的乘积，如果乘积恰好是
10
的倍数，那
么共有多少种不同的取法？

（注：此题中
6
不能倒过来当
9
用，
9
也不能倒过来当
6
用）


NB A
总决赛在洛杉矶湖人和波士顿凯尔特人队之间进行，比赛采用
7
局
4
胜制，比赛
例5．
分为主场和客场，第
1
，第
2
，第< br>6
，第
7
场均在洛杉矶进行，第
3~5
场在波士顿进行．最< br>终湖人队在自己的主场获得总冠军，那么比赛中的胜负结果有多少种可能？

「分析」由
7
局
4
胜制及主场获胜两个要求你可得出什么？通过分析寻找一下解决这道< br>题目的突破口．



各位数字均不大于
5
，且能被
99
整除的六位数共有多少个？

例6．
「分析」
99
的整除特性是什么，在这道题目中任何应用？

年龄“外号”知多少
总角：指童年．
语出《诗经》，如《诗•卫风•氓》“总角之宴”．
垂髫：指童年．
古时童子未冠，头发下垂，因而以”垂髫”代指童年．
束发：指青少年．

一般指15岁左右，这时应该学会各种技艺．
及笄：指女子15岁．
语出《礼记•内则》“女子……十有五年而笄”．
“笄”，谓结发而用笄贯之，表示已到出嫁的年岁．
待年：指女子成年待嫁，又称“待字”．
弱冠：指男子20岁．
语出《礼记•曲礼上》“二十曰弱，冠”．古代男子20岁行冠礼，表示已经
成年．
而立：指30岁．
语出《论语•为政》“三十而立”．以后称三十岁为“而立”之年．
不惑：指40岁．
语出《论语•为政》“四十而不惑”．以后用“不惑”作40岁的代称．
艾： 指50岁．
语出《礼记•曲礼上》“五十曰艾”．老年头发苍白如艾．
花甲：指60岁．

作业
1.
8个同学排成一排照相，其中4个人要站在一起，共有多少种站法？



2.
甲、乙队之间进行篮球比赛，比赛采用7局4胜制，等比到第6场就分出了胜负，甲赢< br>得了比赛，那么有多少种可能？



3.
甲、乙、丙、 丁四人各有一个作业本混放在一起，4个人看也不看就随便各拿了1本，
那么至少有一人拿错有多少种可 能？



4.
小明左口袋里有8张红卡片，上面写着1到8， 右口袋里有8张黑卡片，上面也写着1
到8，如果从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算得到卡片上两 数的乘积，那么能被
6整除的乘积共有多少个？（6不能倒过来当9用）



5.
各位数字均不大于4，且能被99整除的六位数共有多少个？

第十九讲 计数综合提高上

例7．
答案：20
详解：分情况讨论，如果第1到3 枪命中，第4枪有4种方法；第2到4枪命中，最后
一枪有3种可能；3到5命中，有3种；4到6命中 ，有3种；5到7命中，3种；6到
8命中，4种．共20种情况．

例8．
答案：1260
详解：从右边数第二位和第四位上的数字可取0到5，第一位和第三位上的数 字可取0
到5或7到9．乘法原理可知答案为1260．

答案：
42
例9．
详解：画一个
64

的表格，则答案就是在虚线以下部分 ，从
A
到
B
的方法数，注意最右面一列不标数，因为有人达到
6分比赛即结束，
标数，得到答案为
42
．



A
























B
例10．
答案：
35
详解：分五类讨论，（
1
）黑卡和红卡都是
6
的倍数，此时有
1
种取法；（
2
）黑卡是
6
的倍数 而红卡不是
6
的倍数，此时有
9
种取法；（
3
）红卡是6
的倍数而黑卡不是
6
的倍
数，此时有
9
种取法；（< br>4
）黑卡上的数字是
3
或
9
，红卡上的数字是
2、
4
、
8
或
10
，此
时有
8
种取法；（
5
）红卡上的数字是
3
或
9
，黑卡上的数字是< br>2
、
4
、
8
或
10
，此时有
8种取法．所以共有
35
种取法．


例11．
答案：
30
详解：湖人在主场获得胜利，则最少打了
6
场，即可分 两种情况讨论：（
1
）打了
6
场，
则湖人在前
5
场 中输了
2
场，
5
选
2
，有
10
种可能；（
2
）打了
7
场，则湖人在前
6
场中
输了
3
场，
6
选
3
，有
20
种可能．所以共有
3 0
种可能．

例12．
答案：
575
解法：设六位数为
abcdef

，由其可 被
99
整除且各位数字不大于
5
，可知
abcdef99
，
则
ace9

且
bdf9

，

954053152244143233 3
，所以
a
、
c
、
e
有
23
种可
能（只有
a
不能是
0
），
b
、
d
、
f
有
25
种可能，所以共有
2325575

个符合要求的六位
数．





练习
1
、答案：
12
简答：前
3
位是
1
，有
4
种；
2
到
4
位是
1
，有< br>2
种；
3
到
5
位是
1
，有
2
种；
4
到
6
位
是
1
，有
4
种． 所以共
12
种．



练习
2
、答案：
30

简答：千位（表示月份的十位）只 能是
0
，十位只能是
3
，其它两个数字共
30
种情况．
B
练习
3
、答案：
28
简答：题目可转化为如右 图由
A
到
B
点共有多少种最短的走法，且
必须沿着虚线右下方的边走 ．由标数法可知共有
28
种可能．


练习
4
、答案：
30
简答：黑球数为
10
时，任 意红球均可，红球为
10
时，任意黑球均可，除去红
10
黑
10重复的情况，共有
21
种取法，另一类情况是一个球提供质因数
2
，另一 个球提供质因
数
5
，共有
4+5=9
种取法，所以，本题共有
21+9=30
种不同取法．






A

作业
1．

答案：
2880


简答：把要站在一起的
4
个人捆绑在一起，由乘法原理可知共有
A
5
5

A
4
4
2880
种站法．

2．

答案：
10 < br>简答：甲在第
6
场取得胜利，则甲赢了第
6
场且在前
5
场中赢了
3
场，即五选三的问题，
共有
10
种可能．


3．

答案：
23
简答：共有
4!
种 情况，减去全拿对的
1
种情况，则符合要求的情况有
23
种．


4．

答案：
21
简答：按照例
4
、练
4
的方法详解即可．


5．

答案：
100
简答：设六位数为
abcdef

，由其可被
99
整除且各 位数字不大于
4
，可知
abcdef99

，
则
ace9

且
bdf9

，

9441432333
，所以
a
、
c
、
e
有
10
种可能，
b
、
d< br>、
f
也有
10
种可能，所
以共有
1010100

个符合要求的六位数．