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第十二讲 计数综合练习
【学生注意】
本讲练习满分100分，考试时间70分钟．

一、填空题Ⅰ
（本题共有8小题，每题6分）
1.
用0、1、2、3、4 、5这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依次增大，且任意
两个数字的差都不是1， 这样的三位数共有________个．



2.
从1到30中选出两个不同的数相加，和大于30的情况有_______种．



3.
从1000到2010中，十位数与个位数相同的数有______个．



4.
在用数字0、1组成一个6位数中，至少有4个连续的1的数共有______个．



5.
3个海盗分30枚金币，如果每个海盗最多分12枚，一共有_______种不同的分法．



6.
右图中有______条线段，______个三角形，______个梯形．




C
A
B
D
E
F

7.
一台综艺节目，由2个不同的舞蹈和3个不同的演唱组成．如果第一个节 目是舞蹈，那么共有_____
种不同的安排方法．



8.
有身高各不相同的5个孩子，按下列条件排成一行：
条件1：最高的孩子不排在边上．
条件2：最高的孩子的左边按由高到矮向左排列．
条件3：最高的孩子的右边按由高到矮向右排列．
那么符合上述所有条件的排队方法有________种．



二、填空题Ⅱ
（本题共有4小题，每题7分）
9.
（1）平面上7个点，任意三点不共线，那么可以连出_______个三角形．



（2）两条平行线上各有4个点，从这些点中任取3个作为顶点，可以连出______个三角形．




10.
如图，左边是由22个六边形组成的图形 ，在六边形内蚂蚁只可
以选如右边箭头所指的方向之一爬到相邻的六边形内．一只蚂蚁
从六边形 A出发，选择不经过六边形B的路线到达六边形C，那
么这样的路线共有________条．




A B
C

11. < br>8块相同的奥运纪念徽章分给小高、卡莉娅、墨莫、萱萱四人，每人至少分一块，有______种不同< br>的分法．



12.
由0、1、2、…、9组成的小于 5000且没有重复数字的四位数共有________个，其中从小到大第
2010个是______ __．



三、填空题Ⅲ
（本题共有3小题，每题8分）
13.
有些三位数，相邻两个数字的差都不超过，比如424、244、110、……，所有 这样的三位数有_______
．．．
2
．
个．




14.
各位数字之和为4的四位数有______个，其中能被11整除的有_______个．




15.
在下面数字谜中，七个不同汉字表示七个不同数字， “高思学校尖子班”表示的七位数有_______
种不同的取值．
高 思 学 校
+
尖 子 班
2 0




1 0

第十二讲 计数综合练习
1.
答案：4．解答：枚举法，符合要求的数只有420、520、530、531，共4个．

2.
答案：225．解答：较小数是1时，较大数只能取30，有1种取法；较小数是2时， 较大数只能取30和29，有2
种取法；……较小数是15时，较大数可取16、17、
L、30，有15种取法；……较小数是29时，较大数只能取
30，有1种取法．所以一共有
123L141514L321225
种情况．
3. 答案：101．解答：在1000到1999中，十位与个位相同有10种情况：00、11、22、
L
、99，千位和百位也有10
种情况：10、11、12、
L
、19．所 以在1000到1999中，十位数与个位数相同的数有
1010100
个．另外，200 0
到2010中只有2000是十位数与个位数相同的，所以符合要求的数一共有101个．

4.
答案：5．解答：枚举即可，有111100、111110、111101、1111 11、101111共五个．

5.
答案：28．解答：不妨设三个海盗分别为甲 、乙、丙．当甲海盗分到8枚金币时，乙海盗的金币可能是10、11、
12枚，有3种分法；当甲海盗 分到9枚金币时，乙海盗的金币可能是9、10、11、12枚，有4种分法；……当甲
海盗分到12枚 金币时，乙海盗的金币可能是6、7、8、9、10、11、12枚，有7种分法．所以一共有
12 3456728
种不同的分法．

6.
答案：42、18、1 8．解答：每条直线（如直线AD）上有6条线段，一共有
6742
条线段；每个三角形都 由顶点
以及AD、BE或CF上的一段线段组成，有
6318
个；AD、BE或C F中，任两条之间有6个梯形，所以一共有
6C
3
2
18
个梯形 ．

7.
答案：48．解答：设舞蹈是第1个和第
n
个节目，则
n
可取2、3、4、5，有4种取法．同时两个舞蹈的顺序有
A
2
2
2
3
种，3个演唱的顺序有
A
3
6
种，所以一 共有
42648
种不同的安排方法．

123
8.
答案：14．解答：按最高的孩子左边的孩子人数分类，可的符合要求的排队方法有
C
4C
4
C
4
14
种．

9.
（1）答案35．解答：任取三个点就确定了一个三角形，共有
C
7
3
35
个．
2112
（2）答案：48．解答：一条直线上取两个点，另一条上取一个点， 就确定了一个三角形，共有
C
4
C
4
C
4
C
4
48
个．

10.
答案：466．解答：标数法．

11.
答案：35．解答：用插板法， 有
C
7
3
35
种不同的分法．

12. 答案：2016、4980．解答：用乘法原理，求出符合要求的四位数有
4987201 6
个．求其中第2010个数，只
需从大往小数到第7个数即可，它是4980．

13.
答案：188．解答：按十位数字分类讨论．如十位是2时，百位可取1、2、3、4 有四种取值，个位可取0、1、2、
3、4有五种取值，所以十位数字是2的有
4520< br>个．按这样把十位数字是0到9的情况都进行计数，可求得符
合要求的三位数一共有188个．

14.
答案：20、6．解答：设
abcd
的各位数字之和为4 ，则
a
、由于
xyzw7
c1
、
b1
、
d1
这四个正整数的和是7．
3
的正整数解个数是
C
6
20
个，故各位数字之和4的四位数有20个．其中能被11整除的数，必有
ac bd2
，

a,c

的取值有

1,1
、

2,0

两种，

b,d
< br>的取值有两种

0,2

、

1,1
、

2,0

三种，故有
236
个．

15.
答案：40．解答：容易推断出：校+班=10，学+子=10，思+尖=9，高=1 ，尖

0．按“思，尖”的取值分类讨论：
（1）思=0，尖=9时，
10 283746
，“校”有6种取值，取完“校”之后，“班”的值就确定了，而“学”
的可选取值还有4种，所以此类情况有
6424
种填法；（2）“思=2，尖=7”或“ 思=7，尖=2”或“思=3，尖=6”
或“思=6，尖=3”时，余下的数字均不足以配成两对和数1 0，故没有符合要求的填法；（3）“思=4，尖=5”或“思
=5，尖=4”时，
102 837
，“校”有4种取值，取完“校”之后，“班”的值就确定了，而“学”的可选取
值 还有2种，所以此类情况有
24216
种填法．所以一共有
241640< br>种不同的取值．