太阳雪-工程部经理

六年级数学奥数举一反三（上下册）

第一周 定义新运算

专题简析：
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运
算。
解 答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算
程序，将数值代入， 转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一 些特殊的运算符号，如：
*、等，这是与四则运算中的“、、、·”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种
运算定律的。

例题1。
假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26
5*4=（5+4）+（5-4）=10
13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26

练习1
1..将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。
2.设a*b=a
2
+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
1
3.设a*b=3a－ ×b，求（25*12）*（10*5）。
2

例题2。
设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6).
3△(4△6).
＝3△【4×6－（4+6）÷2】
＝3△19
＝4×19－（3+19）÷2
＝76－11
＝65
练习2
1． 设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2． 设p、q是两个数，规定p△q＝p
2
+（p－q）×2。求30△（5△3）。
MN1
3． 设M、N是两个数，规定M*N＝ + ，求10*20－ 。
NM4

例题3。
如果1*5=1+11+111+1111+11111 ，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那
么7*4 =？，210*2=？
7*4=7+77+777+7777=8638
210*2=210+210210=210420

1

六年级数学奥数举一反三（上下册）

练习3
1． 如果 1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33 +333，…..那么，
4*4=？，18*3=？
2． 规定a*b=a+aa+aaa+aaa+aaaa……..a,那么8*5=？

（b-1）个a
111
3． 如果2*1= ，3*2= ，4*3= ，那么（6*3）÷（2*6）=？。
233444

例题4。
111
规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果 － = ×
⑥⑦⑦
A，那么A是几？
A =（
111
－ ）÷
⑥⑦⑦
11
=（ － ）×⑦
⑥⑦
⑦
= －1
⑥
6×7×8
= －1
5×6×7
3
=
5
练习4
11
1. 规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……..如果 － ＝
⑧⑨
1
×A，那么A=？。
⑨
11
2. 规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，…..如果 +
⑩（11）
＝
1
×
□
，那么
□
＝？。
（11）
3. 如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，….5※6＝5+6+7+8+9 +10，那么x※3＝54中，x＝？

例题5
1
设a⊙b=4a-2b+ ab,求x⊙（4⊙1）＝34中的未知数x。
2
1
4⊙1＝4×4-2×1+ ×4×1＝16
2
1
X⊙16＝4x－2×16+ ×x×16
2
＝12x－32
X ＝5.5

2

六年级数学奥数举一反三（上下册）

练习5
1． 设a⊙b=3a-2b,已知x⊙（4⊙1）＝7求x。
2a-b
2． 对两个整数a和b定义新运算“▽”：a▽b= ，求6▽4+9▽8。
(a+b)×(a-b)
4xy
3． 对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝ （其中m是一个确定的整数）。
mx+3y
如果1*2＝1，那么3*12＝？





































3

六年级数学奥数举一反三（上下册）

第二周 简便运算（一）

专题简析：
根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公 式，可以把一
些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。

例题1。
计算4.75-9.63+（8.25-1.37）
原式＝4.75+8.25－9.63－1.37
＝13－（9.63+1.37）
＝13－11
＝2
练习1
计算下面各题。
1． 6.73-2
89
17
+（3.27－1
17
） 2. 7
3. 14.15－（7
717
8
－6
20
）－2.125 4. 13

例题2。
计算333387
1
2
×79+790×66661
1
4

原式＝333387.5×79+790×66661.25
＝（33338.75+66661.25）×790
＝100000×790
＝79000000

练习2
计算下面各题：
1. 3.5×1
114
4
+125％+1
2
÷
5
2. 975
3. 9
21
5
×425+4.25÷
60
4. 0.9999

例题3。
计算：36×1.09+1.2×67.3
原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3
＝1.2×（32.7+67.3）
＝1.2×100
＝120
疯狂操练 3
计算：
1. 45×2.08+1.5×37.6 2. 52
3. 48×1.08+1.2×56.8 4. 72

5
9
－（3.8+1
51
9
）－1
5

7
13
－（4
17
4
+3
13
）－0.75
×0.25+9
3
4
×76－9.75
×0.7+0.1111×2.7
×11.1+2.6×778
×2.09－1.8×73.6
4

六年级数学奥数举一反三（上下册）


例题4。
计算：3
3
5
×25
2
5
+37.9×6
2
5

原式＝3
3
5
×25
2
5
+（25.4+12.5）×6.4
＝3
32
5
×25
5
+25.4×6.4+12.5×6.4
＝（3.6+6.4）×25.4+12.5×8×0.8
＝254+80
＝334
练习4
计算下面各题：
1. 6.8×16.8+19.3×3.2
2. 139×
1371
138
+137×
138

3. 4.4×57.8+45.3×5.6

例题5。
计算81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5
原式＝81.5×（15.8+51.8）+67.6×18.5
＝81.5×67.6+67.6×18.5
＝（81.5+18.5）×67.6
＝100×67.6
＝6760
练习5
1. 53.5×35.3+53.5×43.2+78.5×46.5
2. 235×12.1+235×42.2－135×54.3
3. 3.75×735－
3
8
×5730+16.2×62.5

答案：
练一： 1、＝6 2、＝1 3、＝11 4、＝5
练二： 1、＝7.5 2、＝975 3、＝4250 4、＝0.9999
练三： 1、＝150 2、＝2600 3、＝120 4、＝18
练四： 1、＝176 2、＝138
68
69
3、＝508
练五： 1、＝7850 2、=5430 3、=1620






5

六年级数学奥数举一反三（上下册）


第三周 简便运算（二）

专题简析：
计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进 行一定的转化，创造条件运用乘法
分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。

例题1。
计算：1234+2341+3412+4123
简析 注意到题中共有 ４个四位数，每个四位数中都包含有１、２、３、４这几个
数字，而且它们都分别在千位、百位、十位、 个位上出现了一次，根据位值计数的原则，
可作如下解答：
原式＝1×1111+2×1111+3×1111+4×1111
＝（1+2+3+4）×1111
＝10×1111
＝11110
练习1
1. 23456+34562+45623+56234+62345
2. 45678+56784+67845+78456+84567
3. 124.68+324.68+524.68+724.68+924.68

例题2。
4
计算：2 ×23.4+11.1×57.6+6.54×28
5
原式＝2.8×23.4+2.8×65.4+11.1×8×7.2
＝2.8×（23.4+65.4）+88.8× 7.2
＝2.8×88.8+88.8×7.2
＝88.8×（2.8+7.2）
＝88.8×10
＝888
练习2
计算下面各题：
1. 99999×77778+33333×66666
2. 34.5×76.5－345×6.42－123×1.45
3. 77×13+255×999+510

例题3。
1993×1994－1
计算
1993+1992×1994
（1992+1）×1994－1
原式＝
1993+1992×1994
1992×1994+1994－1
＝
1993+1992×1994
＝1
6

六年级数学奥数举一反三（上下册）

练习3
计算下面各题：
1.
3.
362+548×3611988+1989×1987
2.
362×548－1861988×1989－1
204+584×19911
－
1992×584－380
143

例题4。 有一串数1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的，那么其中第2000个
数与2001个数相差多少？
2001
2
－2000< br>2
＝2001×2000－2000
2
+2001
＝2000×（2001－2000）+2001
＝2000+2001
＝4001
练习4
计算：
1. 1991
2
－1990
2
2. 9999
2
+19999 3. 999×274+6274

例题5。
计算：（9
22
7
+7
9
）÷（
5
7
+
5
9
）
原式＝（
656555
7
+
9
）÷（
7
+
9
）
＝【65×（
1111
7
+
9
）】÷【5×（
7
+
9
）】
＝65÷5
＝13
练习5
计算下面各题：
1. （
836
9
+1
7
+
11
）÷（
3
11
+
5
7
+
4
9
）
2. （3
712510
11
+1
13
）÷（1
11
+
13
）
3. （96
63
73
+36
24
25
）÷（32
21
73
+12
8
25
）

答案：
练一： 1、＝222220 2、＝333330 3、＝2623.4
练二： 1、＝9999900000 2、＝246 3、＝256256
练三： 1、＝1 2、＝1 3、＝
142
143

练四： 1、＝3981 2、＝100000000 3、＝280000
练五： 1、＝2 2、＝2.5 3、＝3

7

六年级数学奥数举一反三（上下册）


第四周 简便运算（三）

专题简析：
在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还 要仔细审题，仔细观察运算符号
和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变 成符合运算定律
的模式，以便于口算，从而简化运算。

例题1。
计算：（1）
44
45
×37 （2） 27×
15
26

（1） 原式＝（1－
1
45
）×37 （2） 原式＝（26+1）×
15
26
＝1×37－
1
45
×37 ＝26×
1515
26
+
26

＝37－
37
45
＝15+
15
26

＝36
8
45
＝15
15
26


练习1
用简便方法计算下面各题：
1.
14
15
×8 2.
2
25
×126 3. 35×
11
36

4. 73×
74
75
5.
1997
1998
×1999
例题2。
计算：73
1
15
×
1
8

原式＝（72+
161
15
）×
8

＝72×
1161
8
+
15
×
8

＝9+
2
15

＝9
2
15

练习2
计算下面各题：
1. 64
1
17
×
1
9
2. 22
11
20
×
21

3.
1
7
×57
1
6
4. 41
1314
3
×
4
+51
4
×
5


8

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例题3。
计算：
1
5
×27+
3
5
×41
原式＝
33
5
×9+
5
×41
＝
3
5
×（9+41）
＝
3
5
×50
＝30
练习3
计算下面各题：
1.
1
4
×39+
3
4
×27 2.
15151
6
×35+
6
×17 3.
8
×5+
8
×5+
8
×10
例题4。
计算：
5
6
×
15256
13
+
9
×
13
+
18
×
13

原式＝
1
6
×
5
13
+
2
9
×
5
13
+
65
18
×
13

＝（
1265
6
+
9
+
18
）×
13

＝
13
18
×
5
13

＝
5
18

练习4
计算下面各题：
1．
1
17
×
4
9
+
5
17
×
1
9
2。
133161
7
×
4
+
7
×
6
+
7
×
12

3．
5
9
×79
16
17
+50×
1
9
+
1
9
×
5
17
4。
5
17
×
3
8
+
1
15
×
7
16
+
1
15
×3
1
2


例题5。
计算：（1）166
1
20
÷41 （2） 1998÷1998
1998
1999

解： （1）原式＝（164+2
1
1998×1999+1998
20
）÷41 （2）原式＝1998÷
1999

＝164÷41+
41
20
÷41 ＝1998÷
1998×2000
1999

＝4+
1
20
＝1998×
1999
1998×2000

＝4
1
20
＝
1999
2000


9

六年级数学奥数举一反三（上下册）


练习5
计算下面各题：
223811
1、 54 ÷17 2、 238÷238 3、 163 ÷41
52391339

答案：
722521997
练一： 1、＝7 2、＝10 3、＝10 4、＝72 5、＝1997
8
练二： 1、＝7
2
17

练三： 1、＝30
练四： 1、＝
1
17

练五： 1、＝3
1
5






























2、＝1
1
20

2、＝20
2、＝
1
4

2、＝
239
240

3、＝8
1
6

3、＝5
3、＝50
3、＝3
39
40

4、＝72
4、＝
7
16

10

六年级数学奥数举一反三（上下册）


第五周 简便运算（四）

专题简析：
前面我们介绍了运用定 律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同
学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆 项法）进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目 的。一般地，
1111111
形如 的分数可以拆成 － ；形如 的分数可以拆成 ×（ － ），
aa+1naa+n
a×(a+1)a×（a+n）
形如
a+b
a×b
的分数可以拆成
11
a
+
b
等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。

例题1。
计算：
1111
1×2
+
2×3
+
3×4
+…..+
99×100

原式＝（1－
111111
2
）+（
2
－
3
）+（
3
－
4
）+…..+ （
1
99
－
100
）
＝1－
1111111
2
+
2
－
3
+
3
－
4
+…..+
99
－
100

＝1－
1
100

＝
99
100

练习1
计算下面各题：
1.
1
4×5
+
1
5×6
+
11
6×7
+…..+
39×40

2.
1
10×11
+
1
11×12
+
111
12×13
+
13×14
+
14×15

3.
111111
2
+
6
+
12
+
20
+
30
+
42

4. 1－
1111
6
+
42
+
56
+
72


例题2。
计算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…..+
1
48×50

原式＝（
22221
2×4
+
4×6
+
6×8
+…..+
48×50
）×
2

＝【（
1
2
－
1
4
）+（
1111111
4
－
6
）+（
6
－
8
）…..+ （
48
－
50
）】×
2

＝【
111
2
－
50
】×
2

11

六年级数学奥数举一反三（上下册）

＝
6
25

练习2
计算下面各题：
1.
11
3×5
+
5×7
+
1
7×9
+…..+
1
97×99

2.
1
1×4
+
1
4×7
+
1
7×10
+…..+
1
97×100

3.
1
1×5
+
1
5×9
+
1
9×13
+…..+
1
33×37

4.
11111
4
+
28
+
70
+
130
+
208


例题3。
计算：1
1
3
－
7
12
+
9111315
20
－
30
+
42
－
56

原式＝1
1
3
－（
1
3
+
1
4
）+（
1
4
+
1
5
）－（
1
5
+
11111
6
）+（
6
+
7
）－（
7
+
8
）
＝1
1
3
－
1
3
－
1
4
+
1
4
+
1
5
－
1
5
－
1
6
+
1
6
+
111
7
－
7
－
8

＝1－
1
8

＝
7
8

练习3
计算下面各题：
1. 1
157911
2
+
6
－
12
+
20
－
30

2. 1
1
4
－
9
20
+
11
30
－
13
42
+
15
56

3.
1998
1×2
+
81998
2×3
+
3×4
+
4×5
+
5×6

4. 6×
7
12
－
9
20
×6+
11
30
×6

例题4。
计算：
1111
2
+
4
+
8
+
16
+
1
32
+
1
64

原式＝（
11111111
2
+
4
+
8
+
16
+
32
+
64
+
64
）－
64

＝1－
1
64

＝
63
64

12

六年级数学奥数举一反三（上下册）

练习4
计算下面各题：
1111
1. + + +………+
248256
22222
2. + + + +
392781243
3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

例题5。
111
计算：（1+ + + ）×（ + + + ）－（1+ + + + ）×（ + + ）
23423452345234
111111
设1+ + + ＝a + + ＝b
234234
11
原式＝a×（b+ ）－（a+ ）×b
55
11
＝ab+ a－ab－ b
55
1
＝ （a－b）
5
1
＝
5
练习5
11111
1. （ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ）
2345345623456345
11111
2. （ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ）
8911
1111111111
3. （1+ + + ）×（ + + + ）－（1+ + +
02001
1111
+ ）×（ + + ）
2001

答案：
9168
练1 1、 ＝ 2、 ＝ 3、 ＝ 4、 ＝
403079
163395
练2 1、 ＝ 2、 ＝ 3、 ＝ 4、 ＝
991003716
51
练3 1、 ＝1 2、 ＝1 3、 ＝1665 4、 ＝3
68
255242
练4 1、 ＝ 2、 ＝ 3、 ＝111108
256243
111
练5 1、 ＝ 2、 ＝ 3、 ＝
12962002


13

六年级数学奥数举一反三（上下册）

第6周 尾数和余数
专题简析：
自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与
除数积的 差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这
种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析 因为213=210＋3 ，把210分解质因数：210=2×3×5×7，
所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2× 7=14，3×5=15，3×
7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共 有7个两位数。
练习一
1，写出除109后余4的全部两位数。
2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？
3，写出除1290后余3的全部三位数。
例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？
（2）（21×26 ）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21
×26）]积的尾数是几？
分析 （1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少
个125相乘，个位还是5；
（2 ）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6
相乘，积的尾数是几就行了。因为个位 6乘6，积的个位仍然是6，
所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
14

六年级数学奥数举一反三（上下册）

练习二
1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？
2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？
3，（12 ×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000
个（12×63）]积 的尾数是几？
例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？
（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？
分析 （1）我们先列举前几个4的积， 看看个位数在怎样变化，
1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4< br>×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断
重复出现。50÷2=25 没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。
（2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的 个位是以“9，
1”两个数字不断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本
乘 积的个位是9。
练习三
1，24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？
2，1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
3，94×94×94×…×94[1 02个94]－49×49×…×49[101个49]，
差的个位是多少？
15

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例题4 把17化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是
多少？
分析 因为17≈0.7… …，化成的小数是一个无限
循环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于100÷6=16… …4，
所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。
练习四
1，把111化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
2，57写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？
3，有一串数：5、8、13、21 、34、55、89……，其中，从第三
个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000 个数被
3除后所得的余数是多少？


例题5 555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？
分析 如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，
看一看余数在按怎样的规律变化。
16

六年级数学奥数举一反三（上下册）


从竖式中可 以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不
断重复出现。2001÷6=333……3，所 以，当商是整数时，余数是4。
练习五
1，444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？
2，当商是整数时，余数各是几？
（1）666…6÷4[100个6]
（2）444…4÷74[200个4]
（3）888…8÷7[200个8]
（4）111…1÷7[50个1]




17

六年级数学奥数举一反三（上下册）

第７周 一般应用题（一）

专题简析：
一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一
起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序
也比较多样。因此，一般应用题没有 明显的结构特征和解题规律可循。
解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分< br>析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所
求问题（综合法）；也可以从 问题出发，找出必须的两个条件（分析
法）。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方 法。
例1 五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16人参加少先队
活动，剩下的同学 相当于原来4个班的人数。原来每班多少人？
分析与解答：从每班选16人参加少先队活动，6个班共 选16×6=96
（人）。剩下的同学相当于原来4个班的人数，那么，96人就相当于
原来（ 6－4）个班人人数，所以，原来每班96÷2=48（人）。
练 习 一
1，五个同 学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，
五位同学剩下的钱正好等于原来3人的存款 数。原来每人存款多少？
2，把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了68箱时，正
好运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？
3，老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每 队栽了6棵时，发现
剩下的树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵？
18

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例2 某车间按计划每天应 加工50个零件，实际每天加工56个零件。
这样，不仅提前3天完成原计划加工零件的任务，而且还多 加工了
120个零件。这个车间实际加工了多少个零件？
分析 如果按原计划的天数加工， 加工的零件就会比原计划多56×3
＋120=288（个）。为什么会多加工288个呢？是因为每天 多加工了
56－50=6（个）。因此，原计划加工的天数是288÷6=48（天），实际
加 工了50×48＋120=1520（个）零件。
练 习 二
1，汽车从甲地开往乙地 ，原计划每小时行40千米，实际每小时多行
了10千米，这样比原计划提前2小时到达了乙地。甲、乙 两地相距
多少千米？
2，小明骑车上学，原计划每分钟行200米，正好准时到达学校，有< br>一天因下雨，他每分钟只能行120米，结果迟到了5分钟。他家离学
校有多远？
3， 加工一批零件，原计划每天加工80个，正好按期完成任务。由于
改进了生产技术，实际每天加工100 个，这样，不仅提前4天完成加
工任务，而且还多加工了100个。他们实际加工零件多少个？
例3 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停
了15天没有加工。40 天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。
这时两人各加工了多少个零件？
分析 甲工作 了40天，而乙停止了15天没有加工，乙只加工了25
天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是 甲20天加工的零件
19

六年级数学奥数举一反三（上下册）

和乙25天加工的零件同样多。由于甲每天比乙多加工6个，20天一
共多加工6×20=12 0（个）。这120个零件相当于乙25-20=5（天）加
工的个数，乙每天加工120÷（25-2 0）=24（个）。乙一共加工了24
×25=600（个），甲一共加工了600×2=1200（个 ）
练 习 三
1，甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10个。途中乙因事< br>休息了5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，这时两
人各加工帽子多少个？ 2，甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时比乙车多行
20千米。途中乙因修车用了2 小时，6小时后甲车到达两地中点，而
乙车才行了甲车所行路程的一半。A、B两地相距多少千米？ < br>3，甲、乙两人承包一项工程，共得工资1120元。已知甲工作了10
天，乙工作了12天，且 甲5天的工资和乙4天的工资同样多。求甲、
乙每天各分得工资多少元？
例4 服装厂要加 工一批上衣，原计划20天完成任务。实际每天比
计划多加工60件，照这样做了15天，就超过原计划 件数350件。原
计划加工上衣多少件？
分析 由于每天比计划多加工60件，15天就比 原计划的15天多加
工60×15=900（件），这时已超过计划件数350件，900件中去掉这< br>350件，剩下的件数就是原计划（20－15）天中的工作量。所以，原
计划每天加工上衣（9 00－350）÷（20－15）=110（件），原计划加
工110×20=2200（件）。
20

六年级数学奥数举一反三（上下册）

练 习 四
1，用汽车运一堆煤，原计划8小时运完。实际每小时比原计划多运
1.5吨，这样运了6 小时就比原计划多运了3吨。原计划8小时运多
少吨煤？
2，汽车从甲地开往乙地，原计划1 0小时到达。实际每小时比原计划
多行15千米，行了8小时后，发现已超过乙20千米。甲、乙两地相
距多少千米？
3，小明看一本书，原计划8天看完。实际每天比原计划少看了4页。
这样，用10天才看完了这本书。这本书一共有多少页？
例5 王师傅原计划每天做60个零件，实 际每天比原计划多做20个，
结果提前5在完成任务。王师傅一共做了多少个零件？
分析 按实际做法再做5天，就会超产（60＋20）×5=400（个）。为
什么会超产400个呢？是因为 每天多生产了20个，400里面有几个
20，就是原计划生产几天。400÷20=20（天），因此 ，王师傅一共做
了60×20=1200（个）零件。
练 习 五
1，食堂准 备了一批煤，原计划每天烧0.8吨，实际每天比原计划节
约了0.1吨，这样比原计划多烧了2天。这 批煤一共有多少吨？
2，造纸厂生产一批纸，计划每天生产13.5吨，实际每天比原计划多
生产1.5吨，结果提前2.5天完成了任务。实际用了多少天？
3，机床厂生产一批机床，原计划每 天生产15台，实际每天生产18
台，这样比原计划提前3天完成了任务。这批机床一共有多少台？
21

六年级数学奥数举一反三（上下册）

第８周 一般应用题（二）

专题简析：
较复杂的一般应用题，往往具有两组或两 组以上的数量关系交织
在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠
拢。 因此，我们在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单
化，从而正确解答。
例1 工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25根，用
短管子铺需要35根。已知这两种管子的长 相差2米，这段排水管道
长多少米？
分析 因为每根长管子比每根短管子长2米，25根长 管子就比25根
短管子长50米。而这50米就相当于（35－25）根短管子的长度。因
此， 每根短管子的长度就是50÷（35－25）=5（米），这段排水管道
的长度应是5×35=175（ 米）。
练 习 一
1，生产一批零件，甲单独生产要用6小时，乙单独生产要用8小时 。
如果甲每小时比乙多生产10个零件，这批零件一共有多少个？
2，一班的小朋友在操场上 做游戏，每组6人。玩了一会儿，他们觉
得每组人数太少便重新分组，正好每组9人，这样比原来减少了 2组。
参加游戏的小朋友一共有多少人？
3，甲、乙二人同时从A地到B地，甲经过10小时 到达了B地，比
乙多用了4小时。已知二人的速度差是每小时5千米，求甲、乙二人
22

六年级数学奥数举一反三（上下册）

每小时各行多少千米？
例2 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙都
比丙多拿24千克。结帐 时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹果多
少元？
分析 三人拿同样多的钱买苹果应该分 得同样多的苹果。24×2÷
3=16（千克），也就是丙少拿16千克苹果，所以得到24×2=48 元。
每千克苹果是48÷16=3（元）。
练 习 二
1，甲和乙拿出同样多 的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了
13支，乙拿了7支，因此，甲又给了乙6角钱。每支铅笔 多少钱？
2，春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红
没有带食品，结 果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小
军各2.2元钱。每个面包多少元？
3， “六一”儿童节时同学们做纸花，小华买来了7张红纸，小英买来
了和红纸同样价格的5张黄纸。老师把 这些纸平均分给了小华、小英
和另外两名同学，结果另外两名同学共付给老师9元钱。老师把9元
钱怎样分给小华和小英？
23

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例3 甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨，
小卡车的 载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和
5升。用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油 最少？
分析 大汽车一次运5吨，耗油10升，平均运1吨货耗油10÷5=2
（升）；小 汽车一次运2吨，耗油5升，平均运1吨货耗油5÷2=2.5
（升）。显然，为耗油量最少应该尽可能 用大卡车。177÷5=35
（辆）……2吨，余下的2吨正好用小卡车运。因此，用35辆大汽
车和1辆小汽车运耗油量最少。
练 习 三
1，五名选手在一次数学竞赛中共得40 4分，每人得分互不相同，并
且都是整数。如果最高分是90分，那么得分最少的选手至少得多少
分？
2，用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1
角的邮票多少张？ 3，某班有60人，其中42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55
人会打乒乓球。可以肯 定至少有多少人四项都会？
例4 有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报34份，江海晚报30份，电视报22份。那么
订江海晚报和电视报的共有多 少家？
分析 这栋楼共订报纸34+30+22=86（份），因为每家都订2份不同
的报 纸，所以一共有86÷2=43家。在这43家居民中，有34家订了
北京日报，剩下的9家居民一定是 订了江海晚报和电视报。
24

六年级数学奥数举一反三（上下册）

练 习 四
1，五（1）班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔 ，全
班共带了三种水果，其中苹果40个，梨32个，桔子26个。那么，
带梨和桔子的有多少 个同学？
2，在一次庆祝“六一”儿童节活动中，一个方队的同学每人手里都
拿两种颜色的气 球，共有红、黄、绿三种颜色。其中红色有56只，
黄色的有60只，绿色的有46只。那么，手拿红、 绿两种气球的有多
少个同学？
3，学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组，第一小队的同 学们
每人都参加了其中的两个小组，其中9人参加球类小组，6人参加美
术小组，7人参加音乐 小组的活动。参加美术和音乐小组活动的有多
少个同学？
例5 一艘轮船发生漏水事故，立 即安装两台抽水机向外抽水，此时
已进水800桶。一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水1 4
桶，50分钟把水抽完。每分钟进水多少桶？
分析 50分钟内，两台抽水机一共能抽水 （18＋14）×50=1600（桶）。
1600桶水中，有800桶是开始抽之前就漏进的，另80 0桶是50分钟
又漏进的，因此，每分钟漏进水800÷50=16（桶）。
练 习 五
1，一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两
管齐开，20分钟能把一池 水放完。已知进水管每分钟往池里进水0.8
吨，求出水管每分钟放水多少吨？
25

六年级数学奥数举一反三（上下册）

2，某工地原有水泥120吨 。因工程需要，又派5辆卡车往工地送水
泥，平均每辆卡车每天送25吨，3天后工地上共有水泥101 吨。这
个工地平均每天用水泥多少吨？
3，一堆货物重96吨，甲队用16小时运完，乙队用 24小时运完。如
果让两队同时合运，几小时运完？
第９周 一般应用题（三）

专题简析
解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：
1，弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2，分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3，拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
例1 甲、乙两工人生产同样 的零件，原计划每天共生产700个。由
于改进技术，甲每天多生产100个，乙的日产量提高了1倍， 这样二
人一天共生产1020个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？
分析 二人实际每 天比原计划多生产1020－700=320（个）。这320
个零件中，有100个是甲多生产的，那 么320－100=220（个）就是
乙日产量的1倍，即乙原来的日产量，甲原来每天生产700－2 20=480
（个）。
练 习 一
1，工厂里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。进行技术改造后，1号
26

六年级数学奥数举一反三（上下册）

锅炉每月节约1吨煤，2号锅 炉每月烧煤量减少了一半，现在每月共
烧煤3.5吨。原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？
2， 甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80个。由于更换
了机器，甲每天多做40个，乙每天生 产的是原来的4倍，这样二人
一天共生产零件300个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？
3，甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖100米，实际甲
队因有人请假，每天比计划少挖 15米，而乙队由于增加了人，每天
挖的是原计划的2倍，这样两队每天一共挖了150米。求两队原计 划
每天各挖多少米？


例2 把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米 ，然后将竹竿倒转过
来插入水底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。求竹竿的
长。
分析 因为竹竿先插了一次，湿了40厘米，倒转过来再插一次又湿
了40厘米，所以湿了的 部分是40×2=80（厘米）。这时，湿的部分
比它的一半长13厘米，说明竹竿的长度是（80－1 3）×2=134（厘米）。
练 习 二
1，有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下 的部分正好做一个长8厘
米，宽6厘米的长方形框架。这根铁丝原来长多少厘米？
2，有一根 竹竿，两头各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍
少10厘米。这根竹竿原来长多少厘米？
27

六年级数学奥数举一反三（上下册）

3，两根电 线一样长，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部
分第一根是第二根长度的4倍。两根电线原 来各长多少米？

例3 将一根电线截成15段。一部分每段长8米，另一部分每段长5< br>米。长8米的总长度比长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米？
分析 设这15段中有 X段是8米长的，则有（15－X）段是5米长
的。然后根据“8米的总长度比5米的总长度多3米”列 出方程，并
进行解答。
练 习 三
1，某人过一个小山坡共用了20分钟，他 上坡每分钟走80米，下坡
每分钟走102米。上坡路比下坡路少220米。这段小坡路全长多少米？
2，食堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千
克。已知买回的大米比 面粉多165千克，求买回大米、面粉各多少千
克？
3，老师买回两种笔共16支奖给三好学 生，其中铅笔每支0.4元，圆
珠笔每支1.2元，买圆珠笔比买铅笔共多用了1.6元。求买这些笔共
用去多少钱？
例4 甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，
因此前4小时甲比乙少做400个零件。又同时加工4小时后，甲总共
加工的零件反而比乙多4200 个。甲、乙每小时各加工零件多少个？
分析 （1）在后4小时内，甲一共比乙多加工了4200+ 400=4600（个）
零件，甲每小时比乙多加工4600÷4=1150个零件。
28

六年级数学奥数举一反三（上下册）

（2）在前4小时内 ，甲实际只加工了4－2.5=1.5小时，甲1.5
小时比乙1.5小时应多做1150×1.5=1 725个零件，因此，1725＋
400=2125个零件就是乙2.5小时的工作量，即乙每小时加工 2125÷
2.5=850个，甲每小时加工850＋1150=2000个。

练 习 四
1，甲、乙二人同时从A地去B地，前3小时，甲因修车1小时，因
此乙邻先于甲4 千米。又经过3小时，甲反而领先了乙17千米。求
二人的速度。
2，师徒二人生产同一种零 件，徒弟比师傅早2小时开工，当师傅生
产了2小时后，发现自己比徒弟少做20个零件。二人又生产了 2小
时，师傅反而比徒弟多生产了10个。师傅每小时生产多少个零件？
3，甲每小时生产1 2个零件，乙每小时生产8个零件。一次，二人同
时生产同样多的零件，结果甲比乙提前5小时完成了任 务。问：甲一
共生产了多少个零件？


例5 加工一批零件，单给甲加 工需10小时，单给乙加工需8小时。
已知甲每小时比乙少做3个零件，这批零件一共有多少个？
分析 因为甲每小时比乙少做3个零件，8小时就比乙少做3×8=24
（个）零件，所以， 24个零件就是甲（10－8）小时的工作量。甲每
小时加工24÷（10－8）=12（个），这批零 件一共有12×10=120（个）。
29

六年级数学奥数举一反三（上下册）

练 习 五
1 ，快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了4小时，
而慢车用了6.5小时。已知快车每小 时比慢车多行25千米。甲、乙
两地相距多少千米？
2，妈妈去买水果，她所带的钱正好能买 18千克苹果或25千克的梨。
已知每千克梨比每千克苹果便宜0.7元，妈妈一共带了多少钱？ 3，师徒二人加工零件，已知师傅6小时加工的零件和徒弟8小时加
工的零件相等。如果师傅每小时 比徒弟多加工3个零件，那么，徒弟
每小时加工多少个零件？
第10周 数 阵

专题简析：
填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来
的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一
些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号 ）表示满足条件的数，通过分析、
计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供< br>方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。
把分析推理和 试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
30

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例题1 把5、6 、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，
如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意
可知：A＋B＋C ＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。
把两式相比较可知，E=42－35= 7，即中间填7。然后再根据5＋
9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。
练 习 一
1，把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线
上的各数的和都是12。

2，把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上
的各数的和都是13。

31

六年级数学奥数举一反三（上下册）

3，将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三
个数的和相等。

例题2 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个
数的和是30。

分析 设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2
＋3＋……＋1 0＋a＋b=30×2，即55＋a＋b=60，a＋b=5。在1——10
这十个数中1＋4=5，2 ＋3=5。
当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，
9）和（3， 5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个
数分别为（1，5，9，10）和（4，6 ，7，8）。
练习二
1，把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○
内数的和相等。
32

六年级数学奥数举一反三（上下册）


2，把1——10 这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶
点的○内四个数的和都相等，且和最大。
< br>3，将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、
左四格、右四格、中间四格以及 对角线四格内四个数的和都是18。

33

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例题3 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线
上三个圆内数的和相等、且最大。

分析 设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和
时，a、b、c都被计算了 两次，根据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋
（a＋b＋c）除以3没有余数。1＋2＋3＋4＋5 ＋6=21，21÷3=7没有
余数，那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数。在1——6六个数< br>中，只有4＋5＋6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别
为4、5、6。（1＋2 ＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12，所以有下面的
填法：

练习三
1，将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的
和相等。
34

六年级数学奥数举一反三（上下册）


2，将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的
和都是17。

3，将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的
和相等。

35

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例题4 将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三
个○内数的和相等。

分析 首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么，
三条线段上的总和是1＋2＋ 3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a，由于三条
线段上的和相等，所以（28＋2a）除以3应该没 有余数。由于28÷
3=9……1，那么2a除以3应该余2，因此，a可以为1、4或7。当
a=1时，（28＋2×1）÷3－1=9，即每条线段上其他两数的和是9，因
此，有这样的填法。
练 习 四
1，将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于
25。

2，将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3
个○内的数的和相等。
36

六年级数学奥数举一反三（上下册）


3，将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，
内圆四个数的和以及横行、竖行上四个 数的和都等于18。


例题5 如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈 。如果在这些
圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个
顶点上的数的 和相等。问这六个质数的积是多少？

分析 设每个小三角形三个顶点处○内数的和为X。 因为中间的
小三角形顶点处的数在求和时都用了三次，所以，四个小三角形顶点
37

六年级数学奥数举一反三（上下册）

处数的总和是4X=20＋2 X，解方程得X=10。由此可知，每个小三角形
顶点处的三个质数的和是10，这三个质数只能是2、 3、5。因此这6
个质数的积是2×2×3×3×5×5=900。如图（b）。

练习五
1，将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角
线上三个数的积都相等。

2，将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠
近大三角形每条边 上五个数的和相等，并且尽可能大。这五个数之和
最大是多少？

3，将1——9九 个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数
之和等于里面三角形边上○内数之和。
38

六年级数学奥数举一反三（上下册）



第十一周 假设法解题（二）

专题简析：
已知甲是乙的几分之几，又知 甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数
关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问 题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然
其中的数量关 系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通
过假设，找出变化前后的相差数相当 于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”
的量，其他要求的量就迎刃而解了。
例题1 两根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩下
的长度是第二根剩下的长度的5倍 ，第二根原来有多少米？
【思路导航】假设第一根用去6×3＝18米，那么第一根剩下的长度仍是第 二根
剩下长度的3倍，而事实上第一根比假设的少用去（6×3－6）＝
12米，也就多剩下第 二根剩下的长度的（5－3）＝2倍。
（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）
答：第二根原来有12米。
练习1
1、 丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借 出5本给其他同学，则丁
晓书的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？
2、 在植树 劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍，如果中学增加450
棵，小学增加400棵，则中学是 小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？
3、 两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8吨 ，第二堆用去11吨，第一
堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？
例题2 王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了
一本4.40元的故事书后，王 明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？
【思路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍 多6.40元，则王明要相应地
花去4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了4.40元，比1 3.20元少
13.20－4.40＝8.80元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的3
倍多6.40+8.80＝15.20元，而题中已告诉：买书后王明的钱是陈刚
的8倍，所以，15. 20元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8－3＝5倍。
【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元）
答：陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2
1、 甲书架上的书比乙书架上的3倍多50本，若甲、乙两个书架上各增加150
39

六年级数学奥数举一反三（上下册）

本，则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原来各有多少本
书？
2、 上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村中
学增加了20人，牛庄小学减 少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学
生的4倍少26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多 少人？
3、 箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取
出7粒 白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，
那么，箱子里白球原有多少粒？

40

六年级数学奥数举一反三（上下册）

1
例题3 小红的彩笔枝数是小刚的 ，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚
2
2
的 ，两人原来各有彩笔多少枝？
3
1
【思路导航】假设小刚买了5枝后，小红的彩笔仍为小刚的 ，则小红只需买（5
2
1111
× ）＝2 枝，但实际上小红买了5枝，多买了5－2 ＝2 枝。
2222
12
将小刚买了5枝后的枝数看作“1”，小红多买了2 ，相当于（
23
11
－ ）＝ 。
26
121
小刚原来：（5－5× ）÷（ － ）－5＝10（枝）
232
1
小红原来：10× ＝5（枝）
2
答：小刚原来有彩笔10枝，小红原来有彩笔5枝。
练习3
11
1、 小华今年的年龄是爸爸年龄的 ，四年后小华的年龄是爸爸的 ，求小华
64
和爸爸今年的年龄各是多少岁？
31
2、 小红今年的年龄是妈妈的 ，10年后小红的年龄是妈妈的 ，小红今年多
82
少岁？
5
3、 甲书架上的书是乙书架上的 ，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架
7
4
上的书是乙书架上的 ，甲、乙两各书架原来各有多少本书？
5
4
例题4 王芳原有的图书本数是李卫的 ，两人各捐给“希望工程”10本后，
5
41

六年级数学奥数举一反三（上下册）

则王芳的图书的本数是李卫的
7
，两人原来各有图书多少本？
10
4
【思路导航】假设李卫捐了10本后，王芳的图书仍是李卫的 ，则王芳只需捐
5
4
10× ＝8本，实际王芳捐了10本，多捐了10－8＝2本， 将李卫
5
471
捐书后剩下的图书看作“1”，着2本书相当于 － ＝ 。
51010
447
（10－10× ）÷( － )=30(本)
5510
4
30× ＝24（本）
5
答：李卫原有图书30本，王芳原有图书24本。
练习4
4
1、 甲书架上的书是乙书架上的 ，从这两个书架上各借出112本后，甲书架
5
4
上的书是乙书架上的 ，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？
7
2、 小明今年的年龄是爸爸的
今年各多少岁？
1
3、 甲车间的工人是乙车间的 ，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的
4
1
工人只占乙车间的 ，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？
6

2
例题5 某校六年级男生人数是女生的 ，后来转进2名男生，转走3名女生，
3
3
这时男生人数是女生的 ，现在男、女生各有多少人？
4
64
，10年前小明的年龄是爸爸的 ，小明和爸爸
119
42

六年级数学奥数举一反三（上下册）

2
【思路导航】假设转走3名女生后，男生人数仍是女生的 ，则男生应转走3×
3
2
＝2人，实际上男生却转进2人，与应转走2人相差2+2 ＝4人。
3
将转走3名女生后的女生人数看作“1”，则相差的4人相当于现在
32< br>女生的 － 。
43
232
（2+3× ）÷（ － ）＝48（人）
343
3
48× ＝36（人）
4
答：现在男生有36人，女生有48人。
练习5
2
1． 甲车间的工人是乙车间的 ，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，
5
7
这样甲车间的人数是乙车间的 ，现在甲、乙两个车间各有多少人？
9
2
2． 有一堆棋子，黑子是白子的 ，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，
3
黑子是白子的
5
，现在白子、黑子各有多少粒？
12
3． 爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去 年的比赛中，爱华小学
得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖
的人数减少了1人，曙光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数
是爱华小学的2倍。两校去年 的一等奖的同学各有多少人？

答案：
练1 1、 王阳：（5×5－5）÷（10－5）+5＝9本
丁晓： 9× 5＝45本
2、 小学：（400×3－450）÷（3－2）－400＝350棵
中学：350×3＝1050棵
3、 第二堆：（11×2－8）÷（4－2）+11＝18吨
第一堆：18×2＝36吨
练2 1、乙：（150×3－150－50）÷（3－2）－150＝100本
甲：100×3+50＝350本
43

六年级数学奥数举一反三（上下册）

2、 牛庄小学：（54+20+8×2+26）÷（4－2）+8＝66人
马村中学：66×2+54＝186人
3、 【53－（3×3+2）】÷（7×3－15）＝7次
原有的白球：7×7+3＝52个
练3 1、爸爸：（4－4×
1
6
）÷（
11
4
－
6
）－4＝36岁
小华：36×
1
6
＝6岁
2、妈妈：（10－10×
3
8
）÷（
13
2
－
8
）－10＝40岁
小红：40×
3
8
＝15岁
3、乙：（90－90×
5
7
）÷（
4
5
－
5
7
）－90＝210本
甲：210×
5
7
＝150本
练4 1、乙：（112－112×
4
7
）÷（
4
5
－
4
7
）＝210本
甲：210×
4
5
＝168本
2、爸爸：（10－10×
4
9
）÷（
6
11
－
4
9
）＝55岁
小明：55×
6
11
＝30岁
3、乙：（30－30×
1
6
）÷（
1
4
－
1
6
）＝300人
甲：300×
1
4
＝75人
练5 1、乙：（20+35×
272
5
）÷（
9
－
5
）＝90人
44

六年级数学奥数举一反三（上下册）

7
甲：90× ＝70人
9
225
2、白：（12+18× ）÷（ － ）＝96粒
3312
黑：96×
5
＝40粒
12
1
3、曙光：（1+6×2.5）÷（2.5－ ）－6＝2人
2
爱华：2×2.5＝5人
第十二周 倒推法解题

专题简析：
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，
过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与
除之间的互逆关系，从 后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。

13
例题1 一本文艺书，小明第一天看了全书的 ，第二天看了余下的 ，还剩下
35
48页，这本书共有多少页？
32
【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－
5
＝
5
。第一
212
天看后还剩下48÷
5
＝120页，这120页占全书的1－
3
＝
3
，这
2
本书共有120÷
3
＝180页。即
31
48÷（1－
5
）÷（1－
3
）＝180（页）
答：这本书共有180页。
练习1
35
4、 某班少先队员参加劳动，其中 的人打扫礼堂，剩下队员中的 打扫操场，
78
还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？
32
5、 一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的
8
，第二天走了余下的
3
，第三
天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？
12
6、 把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的
6
，乙拿走了余下的
5
，丙拿走
3
这时所剩的
4
，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？
45

六年级数学奥数举一反三（上下册）


46

六年级数学奥数举一反三（上下册）

12
例题2 筑路队修一段路，第一天修了全长的 又100米，第二天修了余下的 ，
57
还剩500米，这段公路全长多少米？
25
【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－
7
＝
7
，第一
51
天修后还剩500÷
7
＝700米，如果第一天正好修全长的
5
，还余
14
下700+100＝800米，这800米占全长的1－
5
＝
5
，这段路全长
4
800÷
5
＝1000米。列式为：
21
【500÷（1－ ）+100】÷（1－ ）＝1000米
75
答：这段公路全长1000米。
练习2
21
① 一堆煤，上午运走
7
，下午运的比余下的
3
还多6吨，最后剩下14吨还没
有运走，这堆煤原有多少吨？
1
② 用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的
3
又2公顷，第二天耕的比余下
1
的
2
多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？
11
③ 一批水泥，第一天用去了
2
多1吨，第二天用去了余下
3
少2吨，还剩下
16吨，原来这批水泥有多少吨？

47

六年级数学奥数举一反三（上下册）

11
例题3 有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出 给乙桶后，又从乙桶中倒出 给甲桶，
35
这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
【思 路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当
11
乙桶没有倒 出
5
给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－
5
）＝30千克，
1
这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出
3
给了乙桶，可
1
见甲桶原有的油为18÷（1－
3
）＝27千克，乙桶原有的油为48
－27＝21千克。
11
甲：【24×2－24÷（1－ ）】÷（1－ ）＝27（千克）
53
乙：24×2－27＝21（千克）
答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。
练习3
11
4、 小华拿出自己的画片的
5
给小强，小强再从自己现有的画片中拿出
4
给小
华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？
11
5、 甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出
5
给乙后，乙又拿出
4
给甲，这时
他们各有90元，他们原来各有多少元？
1
6、 一瓶酒精，第一次倒出
3
，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的
5
9
，第三次倒出180克，瓶中好剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？

48

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例题4 甲、乙、丙三人共 有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；
第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿 出与这时甲相同的钱数给甲。
这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【 思路导航】根据题意，由最后甲钱数是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出
与乙同样的钱数给乙后 ，甲剩下的钱是56÷2＝28元，这28元就
是原来甲比乙多的钱数。
168÷3÷2＝28元
答：原来甲比乙多28元。
练习4
1． 甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调 出与乙班相同的人数给乙
班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班相
同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多
多少人？
2． 甲 、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙
盒拿出8个放入丙盒后，三个盒子 内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多
几个球？
3． 甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6 ：9：5，如果从乙仓库拿出400袋平
均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓 库共存面
粉多少袋？

49

六年级数学奥数举一反三（上下册）

1
例题5 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 到乙仓库后，又从乙
4
1
仓库运出 到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食
4
是乙仓库的几分之几？ < br>【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意可知，从乙仓库
11
运 出
4
到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的
2
。
①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？
112
÷（1－ ）＝
243

②甲仓库占两仓库和的几分之几？
21
1－
3
＝
3

③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？
114
÷（1－ ）＝
349

④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？
4
4÷（9－4）＝
5

4
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的
5
。
练习5
1
1． 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出
3
到乙仓库后，又从乙仓
1
库运出
3
到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮
食是乙仓库的几分之几？
1
2． 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出
5
到乙仓库后，又从乙仓
1
库运出
4
到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮
食是乙仓库的几分之几？
1
3． 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出
3
到乙仓库后，又从乙仓
29
库运出
5
到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的
10
。原来甲仓库的粮
食是乙仓库的几分之几？

答案：
练1
53
1． 12÷（1－
8
）÷（1－
7
）＝56人
50

六年级数学奥数举一反三（上下册）

23
2． 250÷（1－
3
）÷（1－
8
）＝1200千米
321
3． 15÷（1－
4
）÷（1－
5
）÷（1－
6
）＝120个
练2
12
1． （14+6）÷（1－
3
）÷（1－
7
）＝42吨
11
1、【（35+3）÷（1－
2
）+2】÷（1－
3
）＝117公顷
11
3． 【（16－2）÷（1－
3
）+1】÷（1－
2
）＝44吨
练3
11
① 小华：【12×2－12÷（1－
4
）】÷（1－
5
）＝10张
小强：12×2－10＝14张
11
② 甲：【90×2－90÷（1－
4
）】÷（1－
5
）＝75元
乙：90×2－75＝105元
51
3、 【（60+180）÷（1－
9
）－40】÷（1－
3
）＝750元
练4
4． 144÷3÷2＝24人
5． 8×2－4＝12个
6． （400+400÷2）÷（9－6）×（9+6+5）＝4000袋
练5
1、 a：把甲、乙两仓库粮食总吨数看作“1”，先求甲原来占两仓库和的几分之
几？
1113
【1－
2
÷（1－
3
）】÷（1－
3
）＝
8

b：原来甲仓库是乙仓库的几分之几？
3
3÷（8－3）＝
5

1115
2、 a：【1－
2
÷（1－
4
）】÷（1－
5
）＝
12

5
b：5÷（12－5）＝
7
9216
3、 a：【1－
10+9
÷（1－
5
）】÷（1－
3
）＝
19

6
b“6÷（19－6）＝
13




第十三周 代数法解题
51

六年级数学奥数举一反三（上下册）


专题简析： 有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至
无法列式算式，这时我们 可根据题中的等量关系列方程解答。

例题1 某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零 件比乙种零件多12个，乙
4
种零件全部合格，甲种零件只有 合格，两种零件合格的共有42个，两种零件
5
个生产了多少个？
【思路导航】可以根据两种零件合格的一共有42个，列方程求解。
解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12）个。
4
（x+12）× +x＝42
5
93

5
x＝42－9
5

x＝18
18+12＝30（个）
答：甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。
练习1
3
3、 某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的
4
得优，
男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？
2
4、 有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的
5
是
红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？
11
5、 六年级甲班比乙班少4人，甲班有
3
的人、乙班有
4
的人参加课外数学组，
两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？
1
例题2 阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少 ，女生减
4
1
少 ，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？
6
【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。
解：设女生有x人，则男生有（x+10）人
11
（1－ ）x＝（x+10）×（1－ ）
64
X＝90
90+90+10＝190人
答：原来一共有190名学生在阅览室看书。
练习2
1、 某小学去年参加无线电小组的同 学比参加航模小组的同学多5人。今年参加
11
无线电小组的同学减少
5
，参加航模小组的人数减少
10
，这样，两个组的
同学一样多。去年两个小组各有多少人？
52

六年级数学奥数举一反三（上下册）

5
2、 原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加
8
，乙书架
3
上的书增加
10
，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各
有图书多少本？
3、 某车间昨天 生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件比昨
13
天少
10
，生产的乙种零件比昨天增加
20
，两种零件共生产了2065个。昨
天两种零件共生产了多少个？

11
例题3 甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的 比乙校参加人数的
54
少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
11
【思路导航】这题中的等量关系是：甲×
5
＝乙×
4
－1
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。
11

5
x＝（22－x）×
4
－1
x＝10
22－10＝12（人）
答：甲校有10人参加，乙校有12人参加。
练习3
12
2、 学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的
6
比连环画的
9
少7
本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？
24
3、 某小有学生465人，其中女生的
3
比男生的
5
少20人，男、女生各有多少
人？
11
4、 王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的
5
比李师傅的
4

少2个，两人各加工了多少个？

53

六年级数学奥数举一反三（上下册）

5
例题4 甲书架上的书是乙书架上的 ，两个书架上各借出154本后，甲书架上
6
4
的书是乙书架上的 ，甲、乙两书架上原有书各多少本？
7
4
【思路导航】这道题的等量关系是；甲书架 上剩下的书等于乙书架上剩下的
7
。
5
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有
6
x本。
45
（x－154）×
7
＝
6
x－154
x ＝252
5
252× ＝210（本）
6
答：甲书架上原有210本，乙书架上原有
252本。
练习4
11
1、 儿子今年的年龄是父亲的
6
，4年后儿子的年龄是父亲的
4
，父亲今年多少
岁？
2
2、 某校六年级男生是女生人数的
3
，后来转进2名男生，转走3名女生，这
3
时男生人数是女生的
4
。原来男、女生各有多少人？
39
3、 第一车间人数的
5
等于第二车间人数的
10
，第一车间比第二车间多50人。
两个车间各有多少人？





2
例题5 一个班女同学比男同学的 多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，
3
男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多 少人？
【思路导航】抓住“如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”
这个 等量关系列方程。
2
解：设男生有x人，则女生有（
3
x+4）人。
2
X－3＝
3
x+4+4
X＝33
2

3
×33+4＝26（人）
答：这个班男生有33人，女生有26人。
54

六年级数学奥数举一反三（上下册）

练习5
3
④ 某学校的男教师比女教师的
8
多8人。如果女教师减少4人，男教师 增加8
人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
⑤ 某无线电厂有两 个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果
4
从第一仓库取出30台，存入第二仓 库，则第二仓库就是第一仓库的
9
。两
个仓库原来各有电视机多少台？
4
⑥ 某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的
5
少30人。如果从第二 车间调
3
10人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的
4
。求原来每个车间
的人数。

答案：
练1
③ 设男生有x人，则女生有（x+28）人
3
X+（x+28）×
4
＝42
X ＝12
12+28＝40人
④ 设第二盒中有x个球，则第一盒中有（x+5）个。
2
（x+15）×
5
+x＝69
X＝45
45+15＝60个
⑤ 设乙班共有x人，则甲班共有（x－4）人。
11
（x－4）×
3
+
4
x＝29
X＝52
52－4＝48人
练2
4． 设航模组有x人，则无线电小组有（x+5）人。
11
（x+5）×（1－
5
）＝x×（1－
10
）
X ＝40
40+5＝45
5． 设甲书架上原有x本，则乙书架上原有（900－x）本
53
X×（1+
8
）＝（900－x）×（1+
10
）
X＝400
900－400 ＝500
6． 设昨天生产乙种零件x个，则甲种零件生产了（x+700）个。
55

六年级数学奥数举一反三（上下册）

31
X×（1+
20
）+（x+700）×（1－
10
）＝2065
X ＝700
700+700+700＝2100
练3
7、 设买文艺书x本，则连环画有（126－x）本。

1
x＝（126－x）×
2
69
－7
x＝54
126－54 ＝72本
8、 设男生有x人，则女生有（465－x）人

42
5
x－20＝（465－x）×
3

x ＝225
465－225 ＝240人
9、 设王师傅加工零件x个，则李师傅加工了（62－x）个

11
5
x＝（62－x）×
4
－2
x＝30
62－30＝32个
练4
1、 设父亲今年x岁，则儿子
1
6
x岁
（x+4）×
11
4
＝
6
x+4
x ＝36
2、 设原有女生x人，则男生有
2
3
x人。

23
3
x+2＝（x－3）×
4

x＝51

2
3
×51＝34人
3、 设第二车间有x人，则第一车间有（x+50）人。
（x+50）×
39
5
＝
10
x
x ＝100
100+50 ＝150
练5
4． 设女教师有x人，则男教师有（
3
8
x+8）人。
X－4＝
3
8
x+8+8
x＝32
56

六年级数学奥数举一反三（上下册）

3

8
×32+8＝20人
5． 设第二仓库原有电视机x台，则第一仓库有3x台。
4
（3x－30）×
9
＝x+30
x ＝130
130×3 ＝390
4
6． 设第二车间原有x人，则第一车间有（
5
x－30）人。
43

5
x－30+10＝（x－10）×
4

x＝250
4

5
×250－30 ＝170


第十四周 比的应用（一）

专题简析：
我们已经 学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相
转化。运用这种方法解决一些 实际问题可以化难为易，化繁为简。

例题1。
24
甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
35
【思路导航】甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 4：5

甲、乙、丙三数的比 8：12：15
答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。
练习1
45
1、 甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
58
44
2、 甲数是乙数的 ，甲数是丙数的 ，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
59
31
3、 甲数是丙数的 ，乙数是丙数的2 ，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
72

例题2。
光明小学将五年级的1 40名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小
组人数的比是2：3，第二小组和第三 小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少人？
【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比 2：3
二、三两组人数的比 4：5
57

六年级数学奥数举一反三（上下册）

一、二、三组人数的比 8：12：15
②总份数：8+12+15＝35
8
③第一组：140× ＝32（人）
35
12
④第二组：140× ＝48（人）
35
15
⑤第三组：140× ＝60（人）
35
答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。
练习2
1、 某农场把6 1600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与其他作物
面积的比6：1。每种作 物各是多少公亩？
2、 黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是5：4 ，第二组
与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级
参加植树的共有多少人？
3、 科技组与作文组人数的比是9：10，作文组与数学组人数的比是5 ：7。已知数学组与
科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？

例题3。
甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的
比就是3：4。原来甲校有图书多少本？
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知 ，原来甲校图书的本数是两校图
书总数的
7
，由于甲校给了乙校650本，这时甲校的图书占两校图书总数的
7+5
37313
，甲校给乙校的650本图书，相当于两校图书总数的 － ＝ 。
3+47+53+484
737
650÷（ － ）× ＝2450（本）
7+53+47+5
答：原来甲校有图书2450本。
练习3
1、 小明读一本书，已读的和未读的页数比是1 ：5。如果再读30页，则已读和未读的页数
之比为3：5。这本书共有多少页？
2、 甲、 乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量
比为7：5。原来甲 包有多少克糖？
1
3、 五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的 ，二班与三班参
3
加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学 竞赛？

例题4。
1
从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子分得 ，二儿
2
11
子分得 ，小儿子分得 ，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的 要求怎么也不好分。
39
后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗？
58

六年级数学奥数举一反三（上下册）

1111717
【思路导航】因为 + + ＝ ， ﹤1，就是说三兄弟并未将全部牛分完， 所以我们求
2391818
出三个儿子分牛头数的连比，最后再按比例分配。
111
① 三个儿子分牛头数的连比： ： ： ＝9：6：2
239
② 总份数：9+6+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数：
9
17× ＝9（头）
17
6
17× ＝6（头）
17
2
17× ＝2（头）
17
答：大儿子分得9头，二儿子分得6头，小儿子分得2头。
练习4
111
1、 图书室取出一批书，按照一年级得 ，二年级得 ，三年级得 ，正好是41本，各年
237
级各得多少本？
2、 古罗马富豪约翰逊再临终前，对 怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个男孩，
就把遗产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如 果生下来的是女孩就把遗产的三分
之一给女儿，三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎―― 一男一女，这是他没有
预料到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个继承人的比。
（1） 从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是（ ）：（ ）：
（ ）。
1
（2） 从母亲至少得遗产的 来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：（ ）：（ ）。
3
1
3、 甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％，乙比丙多做 。三人各做多少个？
3

例题5。
两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，另一个瓶中 酒
精与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？
【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分之几再
解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比
33
＝
1+34
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比

44
＝
1+45
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比
3431
+ ＝
4520
④ 水占一个瓶子容积的比
59

六年级数学奥数举一反三（上下册）

319
2－ ＝
2020
⑤ 混合液中酒精与水的比
319
： ＝31：9
2020
答：混合液中酒精与水的比是31：9。
练习5
1、 两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的比 是1：3。
现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。
2、 将一条公路平均分给甲 、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2：1，乙队已
修的与剩下的比是5：2。这条公路已修 了全长的几分之几？
5
3、 光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的 ，照这样的速度计算，全年可超产
8
1000台。这个工厂上半年生产电视机多少台？

答案：
练1
1、 4：5：8 2、 4：5：9 3、 6：35：14
练2
1、 棉田：粮田：其他＝21：6：1
21+6+1＝28
21
粮田：61600× ＝46200公亩
28
6
棉田：61600× ＝13200公亩
28
1
其他：61600× ＝2200公亩
28
2、 第一、二、三组人数的比是15：12：8
15÷（12+8－15）×（15+12+8）＝105人
3、 科技组、作文组、数学组的人数的比是9：10：14
69÷（9+14）×（14－10）＝12人
练3
1、
2、
3、
练4
111
1、 一、二、三年级的比是 ： ： ＝21：14：6
237
21+14+6＝41
21
一年级：41× ＝21本
41
31
30÷（ － ）＝144页
3+51+5
474
130÷（ － ）× ＝480克
4+17+54+1
11
8÷（13－11）×（11+13）÷（1－ ）× ＝48人
33
60

六年级数学奥数举一反三（上下册）

14
二年级：41× ＝14本
41
6
三年级：41× ＝6本
41
2、 （1）儿子：母亲＝2：1 母亲：女儿＝2：1，从儿子、母亲、女儿所得的比来看，
三人所得遗产的比是4：2：1。
11
（2）对立遗嘱人的愿望可解释为：他要给母亲至少留下 遗产，因此母亲应得 ，余
33
2
下的 按4：1分给儿子和女儿，儿子、母亲、女儿所得的比是8：5：2。
3
3、 甲：900×30％＝270个
1+3＝4
乙：（900－270）×
4
＝360个
3+4
丙：900－270－360＝270个
练5
1、 把一块合金的质量看作“1”
2115
铜一共是 + ＝
5+21+328
1541
锌一共是2－ ＝
2828
1541
新合金中铜与锌的比是 ： ＝15：41
2828
121529
2、 × + × ＝
22+125+242
55
3、 1000÷（ ×2－1）× ＝2500台
88




第十五周 比的应用（二）

专题简析：
比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们 处
理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。

11
例题1 甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走 的路，而乙走的时间比甲少 ，求甲、
511
乙两人速度的比。
甲路程乙路程
【思路导航】因为 速度＝路程÷时间，所以，甲、乙速度的比＝ ：
甲时间乙时间
1
（1）甲、乙路程的比：（1+ ）：1＝6：5
5
61

六年级数学奥数举一反三（上下册）

1
（2）甲、乙时间的比：1：（1－ ）＝11：10
11
65
（3）甲、乙速度的比： ： =12：11
1110
答：甲、乙速度的比是12：11。
练习1
11
1、 小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多 ，小芳用的时间比小明多 。求小
58
明和小芳速度的比。27:20
11
2、 甲走的路程比乙多 ，乙用的时间比甲多 。求甲、乙的速度比。5:3
34
3、 一个人步行每小时走5千米， 如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人骑自
行车的速度和步行速度的比是多少？3:1

例题2 制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个零 件的
制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？
【 思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效率的比
进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比：
111
： ： ＝15：18：20
654.5
总份数：15+18+20＝53
15
甲 ：1590× ＝450（个）
53
18
乙 ：1590× ＝540（个）
53
20
丙 ：1590× ＝600（个）
53
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。
练习2
1、 加工一 个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件需要甲、
乙、丙三人加工。 如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？700、600、
525
2、 甲、 乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5分钟，比乙制
2
造一个零件 所用的时间多25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少 。甲、乙、丙各
5
制造了多少个零件？240、300、400
3、 加工某种零件 要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零件48
个，32个，28个，现有11 8名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相同，每道工
序应安排多少工人？28、42、48

例题3 两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5，两厂西服价格的比是11：10。已 知两
厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？
【思路导航】因为产值＝价格×产量，所以
62

六年级数学奥数举一反三（上下册）

甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：（乙价格×乙产量）
两厂的产值比为：（11×6）：（10×5）＝66：50
66
甲厂产值为：6960× ＝3960（元）
66+50
50
乙厂产值为：6960× ＝3000（元）
66+50
答：两厂的产值分别是3960万元和3000万元。
练习3
1、 甲、乙两个长方形长的比是4：5，宽的比是3：2，面积的和是242平方厘米。求甲、
乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？132、110
2、 苹果和梨的单价的比是6：5，王 大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3，共花去18元。
王大妈买苹果和梨各花了多少元？8、10
3、 大、小两种苹果，其单价比是5：4，重量比是2：3。把两种苹果混合，成为100千
克的混合苹果，单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？5、4

▲例题4 A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比
就是7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？
【思路导航】
解法一：因为A、B两种商 品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格
差不变，所以价格差对应的份数也应该相 同。
原价格比＝7：3＝21：9
现价格比＝7：4＝28：16
【 这样前后项的差都是12，价格涨了（28－21）＝7份，是70元】
70÷（28－21）＝10元
A：10×21＝210（元）
B：10×9＝90（元）
解法二：由于两种商品的价格差不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。
（1）原来A商品的价格是价格差的几倍
7
7÷（7－3）＝
4
（2）后来A商品的价格是价格差的几倍
7
7÷（7－4）＝
3
（3）A、B两种商品的价格差是
77
70÷（ － ）＝120（元）
34
（4）原来A商品的价格是
120÷（7－3）×7＝210（元）
（5） 原来B商品的价格是
120÷（7－3）×3＝90（元）
答：A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。
练习4
用两种思路解答下列应用题：
1、 甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3。甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队
63

六年级数学奥数举一反三（上下册）

水泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？216
4
2、 甲书架上的书是乙书架上的 ，两书架上各增加154本后，甲书架上的书是乙书架上
7
5
的 ，甲、乙两书架上原来各有多少本书？56、98
6
▲兄弟两人，每年收入的比是4：3，每 年支出的比是18：13。从年初到年底，他们都结余
720元。他们每年的收入各是多少元？7200 、5400

例题5 如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地 的路程比是
1：2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千米的速度从
乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？

甲 丙 乙
【思路导航】 < br>解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚和李华所用的时间，再求出
各自所 走的路程。
王刚和李华所用时间的比
12
： ＝5：4
410
王刚所用的时间
1÷（5－4）×5＝5（小时）
甲地到丙地的路程
4×5＝20（千米）
甲、乙两地的路程
20×（1+2）＝60（千米）
解法二：如果李华每小时行4×2＝8千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时多行
10－8＝2 千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行了10
×1＝10千米。据此，可求出 王刚从甲地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间
10 ×1÷（10－4×2）＝5（小时）
甲、乙两地的路程
4×5×（1+2）＝60（千米）
▲解法三：如果王刚每小时行10÷2＝5千米，就能和李华同时 到达。由此可见，王刚走完
甲地到丙地的路程，用每小时4千米的速度和每小时5千米的速度相比，所用 的时
111
间相差1小时。再根据1千米的路程，两种速度所用的时间相差 － ＝ 小
4520
时。最后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程
11
1÷（ － ）＝20（千米）
4
10÷2
甲、乙两地的路程
20×（1+2）＝60（千米）
答：甲、乙两地相距60千米。
练习5
64

六年级数学奥数举一反三（上下册）

1、 一辆汽车在甲、乙两站 间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽车去
时每小时行45千米，返回时每小时行3 0千米。甲、乙两地相距多少千米？72
▲甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲 、乙工作效率的比是6：5。甲、乙
5
每小时各做多少个？乙：（3000× －2400）÷1＝100个、甲：120
6
2、 下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲 地到丙地的路程与乙地到丙地的路程的比是
2：3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地， 一辆客车同时以每小时50
千米的速度从乙地开往丙地，客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的 路程？
500

甲 丙 乙
答案：
练1
1、 小明与小芳路程的比是（1+
1
5
）：1＝6：5
小明与小芳时间的比是1：（1+
1
8
）＝8：9
小明与小芳速度的比是：
65
8
：
9
＝27：20
2、 甲、乙路程的比是（1+
1
3
）：1＝4：3
甲、乙时间的比是1：（1+
1
4
）：1＝4：5
甲、 乙速度的比是
4
4
：
3
5
＝5：3
3、 （1）骑自行车每行1千米用的时间为：60÷5－8＝4分钟
（2）骑车与步行的速度的比是
60
4
：5＝3：1
练2
1、 甲、乙、丙效率的比是
1
3
：
1
3.5
：
1
4
＝28：25：21
总份数：28+25+21＝73
甲应加工的个数：1825×
28
73
＝700个
乙应加工的个数：1825×
25
73
＝600个
丙应加工的个数：1825×
21
73
＝525个
2、 （1）5÷（1+25％）＝4分钟
（2）5×（1－
2
5
）＝3分钟
（3）
1
5
：
11
4
：
3
＝12：15：20
（4）12+15+20＝47
65

六年级数学奥数举一反三（上下册）

（5）甲：940×
12
47
＝240个
乙：940×
15
47
＝300个
丙：940×
20
47
＝400个
3、 （1）
111
48
：
32
：
28
＝14：21：24
（2）14+21+24＝59
（3）第一道工序：118×
14
59
＝28名
第二道工序：118×
21
59
＝42名
第三道工序：118×
24
59
＝48名
练3
1、 （1）甲、乙两个长方形面积的比是：（4×3）：（5×2）＝6：5
（2）甲、乙两个长方形的面积分别是：
甲：242×
6
6+5
＝132平方厘米
乙：242×
5
6+5
＝110平方厘米
2、 苹果与梨的总价比为：
（6×2）：（5×3）＝4：5
苹果：18×
4
4+5
＝8元
梨 ：18×
5
4+5
＝10元
3、 两样苹果的总价：4.4×100＝440元
两种苹果总价的比：（5×2）：（4×3）＝5：6
大苹果的总价：440×
5
5+6
＝200元
大苹果的重量：100×
2
2+3
＝40千克
大苹果的单价：200÷40＝5元
小苹果的单价：5÷5×4＝4元
练4
1、 解法一：54÷（4－3）×4＝216吨
解法二：54÷（
434
4+3
－
4+3
）×
4+3
＝216吨
2、 解法一：甲、乙原来的比是4：7
甲、乙后来的比是5：6＝15：18
甲书架上原有的书：154÷（15－4）×4＝56本
乙书架上原有的书：154÷（18－7）×7＝98本
66

六年级数学奥数举一反三（上下册）

解法二：由于甲、 乙两个书架上本数的差没有变，因此，以甲、乙两个书架上本书的
差为单位“1”来考虑。
甲、乙两个书架上相差的本数
154÷（
5
6－5
－
4
7－4
）＝42本
原来甲、乙两个书架上的本数
甲：42÷（7－4）×4＝56本
乙：42÷（7－4）×7＝98本
3、 解法一：兄、弟二人收入的是4：3＝20：15
兄、弟二人支出的比是18：13
兄一年的收入是720÷（20－18）×20＝7200元
弟一年的收入是720÷（15－13）×15＝5400元
解法二：兄弟二人的收入相差
720÷（
418
4－3
－
18－13
）＝1800元
兄、弟每年的收入各是：
兄：1800÷（4－3）×4＝7200元
弟：1800÷（4－3）×3＝5400元
练5
1、 解法一：4÷（
11
45
+
30
）＝72千米
解法二：45×（4×
30
45+30
）＝72千米
2、 乙：（3000×
5
6
－2400）÷1＝100个
甲：100×
6
5
＝120个
3、 （1）乙地到丙地的路程
1÷（
11
50
－
40÷2×3
）＝300千米
（2）甲、乙两地之间的路程
300×（1+
2
3
）＝500千米











67

六年级数学奥数举一反三（上下册）

第十六周 用“组合法”解工程问题

专题简析：
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件 孤立、分散、静止地看，则难以
找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰 当组合，
使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到
解题途 径。

例题1。一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，
7
只能完成工程的 ，乙队单独完成全部工程需要几天？
30
1
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是
15
，只 要求出甲队货乙队的
工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将
甲队独做 5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，
71
甲队独做2天来考虑，就可以求出 甲队2天的工作量
30
－
15
×3
1
＝
30
，从而求出甲队的工作效率。所以
171
1÷【
15
－（
30
－
15
×3）÷（5－3）】＝20（天）
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
练习1
1、 师、徒二人合做一批零件，12天可 以完成。师傅先做了3天，因事外出，
3
由徒弟接着做1天，共完成任务的
20
。如果这批零件由师傅单独做，多少
天可以完成？
5
2、 某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的
24
。如果这项工程由甲队独做
132天，再由乙队独做3天，能完成全部工程的
24
。甲、乙两队单独完成这
项工程各需多少天？
3、 甲、乙两队合做，20天可完成一项工程 。先由甲队独做8天，再由乙队独
8
做12天，还剩这项工程的 。甲、乙两队独做各需几天完成？
15

68

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例题2。
一项工程 ，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，
1
则能完成这项工程的
2
。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完
后发现两段所用时间相等。求两 段一共用了几天？
111
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（
2
－
12
×3）÷2＝
8
；再由
条件“做完后发现两段所用时间相 等”的题意，可组合成由两个乙
队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1） 乙队每天完成这项工程的
111
（
2
－
12
×3）÷2＝
8

（2） 两段时间一共是
11
1÷（
8
×2+
12
）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。
练习2
1、 一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这8
项工程的
15
。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发< br>现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？
2、 一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让 甲独做6天，再由乙独做，完成
任务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？
3、 某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工
作先由甲做 了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，
丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这 一工作。问总共用了多少天？

69

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例题3。
移 栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小
11
时后，又由弟弟栽 了1小时，还剩总棵数的
16
没有栽，已知哥哥每小时比弟弟
每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把 “哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽
了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就 可以求出哥哥每小时栽总
数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
1113
（1－
16
－
8
×1）÷（3－1）＝
32

一共要移栽的西红柿苗多少棵
313
7÷【
32
－（
8
－
32
）】＝112（棵）
答：共要移栽西红柿苗112棵。
练习3
1、 加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小时，
3
接 着再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的
5
。已知师傅每小时比徒
弟多做10个零件。这批零件共有多少个？
2、 修一条公路，甲、乙 两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队
3
修3天，还剩这条公路的
10< br> 没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这
条公路全长多少米？
3、 修一段公路 ，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时从两端开
工，结果在距中点750米处相遇。这段 公路全长多少米？

70

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例题4。
一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小 时后，乙、
2
丙合做2小时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小
3
2
时，也可以完成这项工作的 。如果由甲、丙合做，需几小时完成？
3
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做 2小时，可以完成这项工作
2
的
3
”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这
2
项工作的
3
”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求
出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
211
（
3
－
6
×2）÷（6－2）＝
12

丙每小时完成这项工程的几分之几
211
（
3
－
6
×3）÷（6－3）＝
18

甲、 丙合做需完成的时间为：
111
1÷（
12
+
18
）＝7
5
（小时）
1
答：甲、丙合做完成需要7
5
小时。
练习4
1、 一项工作，甲、乙、 丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、
13
丙合做2小时，可以完成这项工作 的
18
；如果甲、乙合做2小时后，丙再
11
做4小时，可以完成这项工作的
18
。这项工作如果由甲、丙合做需几小时
完成？
2、 一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙 、丙合做10天可以完成。现在先
由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项 工
程要几天就可以完成？
3、 一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天 完成。现在甲、
1
乙、丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5 天完成。乙队单独做这
2
项工程需多少天可以完成？
4、 一件工作，甲、乙合做4 小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲、
丙合做2小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工 作需几小时才能
完成？

71

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例题5。
一条公路 ，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、
乙两队合修4天，再由丙队参加一起修 7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三
队同时开工修这条公路，几天可以完成？
【思路导航】 将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全
部完成”组合成“甲、乙两队各修（4 +7）＝11天后，再由丙队单
独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
111
【1－（
24
+
30
）】×（4+7）＝
40

三队合修完成时间为
111
1÷（ + + ）＝10（天）
243040
答：10天可以完成。
练习5
1、 一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4 小时后，乙又用6小
时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
2、 一条水渠 ，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，
剩下的由丙队加入一起挖，又用1 2天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少
天可以完成？
3、 一件工作，甲、乙合做6天可以 完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、
丙合做3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部 工作由3人合
做，需几天可以完成？
4、 一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独 做24天后，乙队加入，
两队又合做了12天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？

答案：
练1
31
1、 1÷【（
20
－
12
）÷（3－1）】＝30天
135
2、 乙：1÷【（
24
－
24
×2）÷（3－2）】＝8天
131
甲：1÷（
24
－
8
）＝12天
81
3、 乙：1÷【（1－
15
－
20
×8）÷（12－8）】＝60天
11
甲：1÷（
20
－
60
）＝30天
练2
811
1、 乙队的工作效率：（
15
－
15
×5）÷4＝
20

11
总共的天数：1÷（
15
+
20
×2）×2＝12天
72

六年级数学奥数举一反三（上下册）

2、 1÷【（1－
1
8
×6）÷3】＝12天
3、 甲做的天数：1÷（
111
12
+
18
×3+
24
×3×2）＝2天
总共的天数：2+2×3+2×3×2＝20天
练3
1、 师傅每小时做这批零件的（
3
－
1
8－6）＝
1
512
×6）÷（
20

这批零件共有10÷【
111
20
－（
12
－
20
）】＝600个
2、 甲队每天修这条公路的（1－
31
×3）÷（5－3）＝
1
10
－
610

这条公路全长多少米 20÷【
1
－（
11
106
－
10
）】＝600米
3、 甲、乙两队工作效率的比是：
11
40
：
24
＝3：5
这段公路的全长 750÷（
13
2
－
3+5
）＝6000米
或 750×2÷（5－3）×（5+3）＝6000 米
练4
1、 甲队的工作效率（
131
×2）÷（4－2）＝
1
18
－
49

丙队的工作效率（
11
－
1
×2）÷（4－2）＝
1
18418

甲、丙合做需要的时间1÷（
11
9
+
18
）＝6小时
2、 乙队每天能做全工程的【1－（
111
6
×3－
10
×3）】÷（6－3）＝
15

乙队独做这项工程需要的时间1÷
1
15
＝15天
3． 乙队每天能做全工程的【1－（
1111
10
×4－
8
×4）】÷（5
2
－4）＝
15
乙队单独做这项工程需要的时间1÷
1
15
＝15天
4、 乙队的工作效率【1－（
1
4
×2+
1
5
×2）】÷（6－2－2）＝
1
20

乙独做这件工作需要的时间1÷
1
20
＝20小时
练5
1、 乙每小时做这件工程的（1－
1
×4）÷（6+4）＝
1
12

15

甲、乙合做完成需要的时间1÷（
112
12
+
15
）＝6
3
小时
73

六年级数学奥数举一反三（上下册）

2、 甲、乙两队完成的工作量（
1
+
12
120

40
）×（8+2）＝
3

丙队单独挖需要的时间1÷【（1－
2
3
）÷12】＝36天
3． 乙的工作效率【1－（
1
3+
1
3）＝
1
6
×
10
×3）】÷（9－3－
15

丙的工作效率
111
10
－
15
＝
30

三人合做需要的时间1÷（
11
6
+
10
）＝5天
4、 甲队的工作效率【1－
1
×（12+15）】÷（24－15）＝
1
3090

甲队单独做需要的时间1÷
1
90
＝90天






























74

六年级数学奥数举一反三（上下册）

第十七周 浓度问题

专题简析：
在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将 糖溶于水就得到
了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖 水
就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决
定 的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二
者质量的比值叫 酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，
即，
溶质质量溶质质量
浓度＝ ×100％＝ ×100％
溶液质量溶质质量+溶剂质量
解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较
容易，在 列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复 杂。要根据题目的条件和问题逐一分
析，也可以分步解答。

例题1。
有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？
【思路 导航】根据题意，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，
糖水的质量也增加了 ，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中
的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度 求出现在糖水的质量，用现在
糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克）
现在糖水的质量 ：558÷（1－10％）＝620（克）
加入糖的质量 ：620－600＝20（克）
答：需要加入20克糖。
练习1
1、 现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少克？
2、 有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？
3、 有甲、乙两个瓶子 ，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次
把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶 ，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶
里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？

例题2。
一种35％的新农药，如稀释到1.75％时，治虫最有效。用多少千克浓度为35 ％的农药
加多少千克水，才能配成1.75％的农药800千克？
【思路导航】把浓度高的溶 液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过
程中，溶质的质量是不变的。这是解这类 问题的关键。
800千克1.75％的农药含纯农药的质量为
800×1.75％＝14（千克）
含14千克纯农药的35％的农药质量为
14÷35％＝40（千克）
由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为
800－40＝760（千克）
75

六年级数学奥数举一反三（上下册）

答：用40千克的浓度为35％的农药中添加760千克水，才能配成浓度为1.75％ 的农
药800千克。
练习2
1、 用含氨0.15％的氨水进行油菜追肥。现有含氨16％的氨水30千克，配置时需加水多少
千克？
2、 仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水量降低到80％。现在这批水果的质量是多少千克？
3、 一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满 ；再倒出5升，再用水加满。这
时容器内溶液的浓度是多少？

例题3。
现有浓度为10％的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度
为22％的盐水 ？
【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质及溶液
的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶
质的量。
20千克10％的盐水中含盐的质量
20×10％＝2（千克）
混合成22％时，20千克溶液中含盐的质量
20×22％＝404（千克）
需加30％盐水溶液的质量
（4.4－2）÷（30％－22％）＝30（千克）
答：需加入30千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水。
练习3
1、 在 100千克浓度为50％的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液就可以
配制成25％的硫 酸溶液？
2、 浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克混合后所得到的 酒精
溶液的浓度是多少？
3、 在20％的盐水中加入10千克水，浓度为15％。再加入多少千克盐，浓度为25％？

例题4。
将20％的盐水与5％的盐水混合，配成15％的盐水600克，需要20％的盐水 和5％的
盐水各多少克？
【思路导航】根据题意，将20％的盐水与5％的盐水混合配成15 ％的盐水，说明混合前两
种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间的< br>相等关系列方程解答。
解：设20％的盐水需x克，则5％的盐水为600－x克，那么
20％x+（600－x）×5％＝600×15％
X ＝400
600－400＝200（克）
答：需要20％的盐水400克，5％的盐水200克。
练习4
1、 两种钢分别含镍5％ 和40％，要得到140吨含镍30％的钢，需要含镍5％的钢和含镍
40％的钢各多少吨？
76

六年级数学奥数举一反三（上下册）

2、 甲、乙两种酒各 含酒精75％和55％，要配制含酒精65％的酒3000克，应当从这两种
酒中各取多少克？
3、 甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为40％；乙桶有糖水40千克，
含糖率为20％。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？

例题5。
甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种质量分数的盐水1 0克倒
入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数为0.5％。最早倒入甲管中的盐水质量分数是多少？
【思路导航】混合后甲 、乙、丙3个试管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。根据题
意，可求出现在丙管中盐的质量 。又因为丙管中原来只有30克的水，它的盐
是从10克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30 克盐水中盐的质量。
而乙管里的盐又是从10克盐水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克盐水中盐的质量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐，这样就可得到最初倒
入甲管中盐水的质量分 数。
丙管中盐的质量：（30+10）×0.5％＝02（克）
倒入乙管后，乙管中盐的质量：0.2×【（20+10）÷10】＝0.6（克）
倒入甲管，甲管中盐的质量：0.6×【（10+10）÷10】＝1.2（克）
1.2÷10＝12％
答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是12％。
练习5
1、 从装满100克80％的盐水 中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再倒出40
克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复 三次后，杯中盐水的浓度是多少？
2、 甲容器中又8％的盐水300克，乙容器中有12.5％的盐 水120克。往甲、乙两个容器
分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少 克水？
3、 甲种酒含纯酒精40％，乙种酒含纯酒精36％，丙种酒含纯酒精35％。将三种酒混在
一起得到含酒精38.5％的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲种酒有多
少千 克？

答案：
练1
1、 300×（1－20％）÷（1－40％）－300＝100克
2、 20×（1－15％）÷（1－20％）－20＝1.25千克
1
3、 第一次把20毫升的纯酒精倒入甲瓶，则甲瓶的浓度为：20÷（200+20）＝ ，第二
11
1200
次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶中含酒精200× ＝ 毫升，乙瓶中
1111
1200
含水20×（1－ ）＝ 毫升，即两者相等。
1111
练2
1、 30×（16％－0.15％）÷0.15％＝3170千克
2、 100×（1－90％）÷（1－80％）＝50千克
2.55
3、 10×（1－ ）×（1－ ）÷10＝37.5％
1010
77

六年级数学奥数举一反三（上下册）

练3
1、 100×（50％－25％）÷（25％－5％）＝125千克
2、 （500×70％+300×50％）÷（500+300）×100％＝62.5％
3、 原有浓度为20％的盐水的质量为：10×15％÷（20％－15％）＝30千克
第二次加入盐后，溶液浓度为25％的质量为：
136
【30×（1－20％）+10】÷（1－25％）＝ 千克
3
13616
加入盐的质量： －（30+10）＝ 千克
33
练4
1、 解：设需含镍5％的钢x吨，则含镍40％的钢140－x吨，
5％x+（140－x）×40％＝140×30％
X ＝40
140－40＝100吨
2、 （3000×75％－3000×65％）÷【1×（75％－55％）】＝1500克
3000－1500＝1500克
3、 解法一：设互相交换x千克糖水。
【（60－x）×40％+x×20％】÷60＝【（40－x）×20％+x×40％】÷40
X＝24
60
解法二：60－60× ＝24千克
40+60
练5
1、 解法一：100×80％＝80克 40×80％＝32克
（80－32）÷100＝48％ 40×48％＝19.2克
（80－32－19.2）÷100＝28.8％
40×28.8＝11.52克
（80－32－19.2－11.52）÷100＝17.28％
404040
解法二：80×（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）÷100＝17.28％
100100100
2、 300×8％＝24克 120×12.5％＝15克
解：设每个容器应倒入x克水。

2415
＝
300+x120+x
X ＝180
3、 解：设丙种酒有x千克，则乙种酒有（x+3）千克，甲种酒有（11－2x－3）千克。
（11－2x－3）×40％+（x+3）×36％+35％x＝11×38.5％
X＝0.5
11－2×0.5－3＝7千克






78

六年级数学奥数举一反三（上下册）

第十八周 面积计算（一）

专题简析：
计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间 找不到任何联
系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以
深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题
的小 “桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，
添加一些辅助线 ，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分
析推导，方能寻求出解题的途 径。

例题1。
2
已知图18－1中，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD= BC，求阴影部
3
分的面积。
A


F
E



B
C
D

18－1


【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于 AE=ED,
连接DF，可知S
△
AEF
=S
△
EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分
转化为求三角形BDF的面积。
2
因为BD= BC，所以S
△
BDF
＝2S
△
DCF
。又因为AE＝ED，所以S
△
ABF
＝S
△BDF
＝2S
△
DCF
。
3
因此，S
△
ABC
＝5 S
△
DCF
。由于S
△< br>ABC
＝8平方厘米，所以S
△
DCF
＝8÷5＝1.6（平方厘米） ，
则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1
1、 如图18 －2所示，AE＝ED，BC=3BD，S
△
ABC
＝30平方厘米。求阴影部分的面 积。
1
2、 如图18－3所示，AE=ED，DC＝ BD，S
△
ABC
＝21平方厘米。求阴影部分的面积。
3
1
3、 如图18－4所示，DE＝ AE，BD＝2DC，S
△
EBD
＝5平方厘米。求三角形ABC的面
2
积。





B




A
A
F
A
F
E
B
E
E
C
B
F
C
D
18－2
C
D
18－3
D
18－4
79

六年级数学奥数举一反三（上下册）


例题2。
两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面
积，求另两个 三角形的面积各是多少？

A
D

O

6

12

C

B
18－5



【思路导航】已知S
△
BOC
是S
△
DOC
的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S
△
ABD
与S
△
ACD
相等（等底等高）可知：S
△
ABO
等于6，而△
ABO
与△
AOD
的高相等，底是△
AOD
的2倍。所以△
AOD
的面积为6÷2＝3。
因为S
△
ABD
与S
△
ACD
等底等高 所以S
△
ABO
＝6
因为S
△
BOC
是S
△
DOC
的2倍 所以△
ABO
是△
AOD
的2倍
所以△
AOD
＝6÷2＝3。
答：△
AOD
的面积是3。
练习2
1、 两条对角线把梯形ABCD分割 成四个三角形，（如图18－6所示），已知两个三角形的
面积，求另两个三角形的面积是多少？
1
2、 已知AO＝ OC，求梯形ABCD的面积（如图18－7所示）。
3
3、 已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形AB CD
的面积。（如图18－8所示）。
D
A


A
A
D
O
D

4
O
O

4 8

8

B
C
C
C
B
B

18－7
18－8
18－6

例题3。
四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的 面积为15平方厘
米。求四边形ABCD的面积（如图18－9所示）。
D







A
F
E
B
18－9
80
C

六年级数学奥数举一反三（上下册）

【思路导航】由于E、F三等 分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，
它们的面积相等。同理，三角形BE C、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，
三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形 BCD的面积是三角形
CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍 。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3
1、 四边形ABCD的对角线BD被 E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平
方厘米。求四边形ABCD的面积（如图18 －10）。
2、 已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方 厘米。
求四边形ABCD的面积（如图18－11所示）。
3、 如图18－12所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。

D
6 D
D A
A
E

E
G
A


F
4
F
·

G
E
C C
B
C

B
B
18－12
18－11
18－10

例题4。
如图18－13所示，BO ＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的
面积是多少平方厘米？
D

A
O



E

B
C

18－13

【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点 E，连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性
质，可知S
△
DBC
＝S< br>△
CDA
；S
△
COB
＝S
△
DOA
＝4，类推可得每个三角形的面积。所
以，
S
△
CDO
＝4÷2＝2（平方厘米） S
△
DAB
＝4×3＝12平方厘米
S
梯形
ABCD
＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4
1、 如图18－14所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。
2、 已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积（如图18－15所示）。
3、 已知 S
△
AOB
＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积（如图18－16所示）。

D
D
A
D A
A
O
O

O


C
C
B
B
C
B
18－16
18－15
18－14
81

六年级数学奥数举一反三（上下册）

例题5。
如图18 －17所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF
的面积是4，求三 角形ABC的面积。

F
F
A
A


C C



E
E
D
D
B

18－17


【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看出： 三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到
三角形ABE的面积为5 。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。
因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高， C为EF的中点，而三角形ABE
与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积 为5÷2＝
2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。
练习5
1、 如图18－18所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平
方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。
2、 如图18－19所示， 长方形ABCD的面积为20平方厘米，S
△
ABE
＝4平方厘米，S
△AFD
＝6平方厘米，求三角形AEF的面积。
3、 如图18－20所示，长方形AB CD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积
均为4平方厘米，求三角形AEF的面积。

A
A
D
A D
D

F

F
F

C

C
C
B
B
B
E E
E

18－19
18－20
18－18

答案：
练1
1、 30÷5×2＝12平方厘米
2、 21÷7×3＝9平方厘米
21
3、 5×3÷ ＝22 平方厘米
32
练2
1、 4÷2＝2 8÷2＝4
2、 8×2＝16 16+8×2+4＝36
3、 15×3＝45 15+5+15+45＝80
练3
1、 15×2＝30平方厘米
82

六年级数学奥数举一反三（上下册）

2、 15×4＝60平方厘米
3、 6×6÷2－6×4÷2＝6平方厘米 6×2÷4＝3平方厘米
（6+3）×6÷2＝27平方厘米
练4
1、 4×2＝8平方厘米 8×2＝16平方厘米
16+8+8+4＝36平方厘米
2、 14÷2＝7平方厘米 7÷2＝3.5平方厘米
14+7+7+3.5＝31.5平方厘米
3、 6×（3+1）＝24 6÷3＝2 24+6+2＝32
练5
1
1、 20÷2－7＝3 3× ＝1.5 20－7－5－1.5＝6.5
2
10－6
223
2、 20÷2＝10 （10－4）× ＝2 20－6－4－2 ＝7
10555
41
3、 24÷2＝12平方厘米 （12－4）×（1－ ）＝5 平方厘米
123
12
24－4－4－5 ＝10 平方厘米
33

第19讲 面积计算（二）

一、知识要点
在进行组合图形的面积计算 时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由
几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条 件和要求的问题间的关
系。
二、精讲精练
【例题1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。




【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积。
62×3.14×＝28.26（平方厘米）
答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。
练习1：
1．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。


83
1
4
1
4

六年级数学奥数举一反三（上下册）


2．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



3．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



【例题2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。



【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所
示）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一
半。
3.14×
4
2

－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。
练习2：
1．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



2．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。



3．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。



1
4
84

六年级数学奥数举一反三（上下册）

【例题3】如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的
面积相等。求长 方形ABO1O的面积。



【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两 个扇形中的空白部分相等。又因
为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半 （如图
19－10右图所示）。所以3.14×12×14×2＝1.57（平方厘米）
答：长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。
练习3：
1．如图所示 ，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴
影部分（1）的面积与阴影部分（2 ）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。



2．如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的中点，求阴影部分的面
积。


85

六年级数学奥数举一反三（上下册）

3．如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。




【例题4】如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。


【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，
把它还原成长方形后 （如图所示）。
I和II的面积相等。




因为原 大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三
角形面积分别相等，所以
6×4＝24（平方厘米）
答：阴影部分的面积是24平方厘米。
练习4：
1．如图所示，求四边形ABCD的面积。



2．如图所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长
度。




3．图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中 的已知条件求阴
影部分的面积（单位：厘米）。
86

六年级数学奥数举一反三（上下册）

【例题5】如图所示，图中圆 的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积
是7平方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积 （得数保留两位小数）。




【思路导航】阴影部分的面积等 于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，
再减去三角形BOC的面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度）
扇形的面积：2×2×3.14×60360≈2.09（平方厘米）
三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.16平方厘米。
练习5：
1．如图所示，∠1＝15度 ，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为100
平方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小 数）。



2．如图所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆 的直径AC＝6厘米，
BD：DC＝3：1。求阴影部分的面积。




3．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。



4、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。


87

六年级数学奥数举一反三（上下册）

第20讲 面积计算
一、知识要点
对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分 解有一定的困难，这时，可以通
过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根 据“容
斥问题“的原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整
体地代 入面积公式求面积。
二、精讲精练
【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。



【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等 腰直
角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边
的一半，圆 的半径为20÷2＝10厘米
[3.14×102×14－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右 半部分向
下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面
积中，减去两直角 边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×12－（20÷2）2×12＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1：
1．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）



2．如图 所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49
厘米的蓝色直角三角形纸片，一张 黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求
红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？

88

六年级数学奥数举一反三（上下册）

【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。


【思路 导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空
白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去 空白部分（a）的面积。如图所示。




3.14×62×14－（6×4－3.14×42×14）＝16.82（平方厘米）
解法 二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两
个扇形面积相加，刚好多计算 了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。



3.14×42×14+3.14×62×14－4×6＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。
练习2：
1．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。




2．如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以< br>AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。




3．如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为 6厘米和
8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。

89

六年级数学奥数举一反三（上下册）

【例题3】在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】解法一 ：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的
一半（如图所示），再用正方形的面积减去全部空 白部分。



空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：把图中8个扇形的 面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图所
示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3：
1．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




2．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




3．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




【例题4】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。
【思路导航】这道题的 难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不
知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形AC D
的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边
上的高等于斜边的一半（如图所示），我们 可以求
90

六年级数学奥数举一反三（上下册）

出等 腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平
方。这样虽然半径未求出 ，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代
入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4：
1．如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴
影部分的面积。



2．如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴
影部分的面积。


3．如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。



【例题5】在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面
积。 < br>【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形
的半径未知，又无法求 出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的
关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方 形（如图所示），从图中可以看
出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于 60。这样
虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。



3.14×（30×2）×14－30＝17.1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。
91

六年级数学奥数举一反三（上下册）

练习5：
1．如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。




2．如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平 方
厘米，求阴影部分的面积。




3．如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。



第二十一周 抓“不变量”解题

专题简析：
一些分数的分子与分母被 施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有
变。抓住分子或分母，或分子、分母的差， 或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转
化并解答。

例1．
437
将 的分子与分母同时加上某数后得 ，求所加的这个数。
619
解 法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，
所以，原题转 化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子
7
是分母的 ，由此可求出新分数的分子和分母。”
9
7
分母：（61-43）÷（1－ ）＝81
9
7
分子：81× ＝63
9
81-61＝20或63-43＝20
92

六年级数学奥数举一反三（上下册）

437
解法二： 的分母比分子多18， 的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所
619
7
以将 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
9
7
① 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
9
777×963
② 约分后所得的 在约分前是： ＝ ＝
999×981
③ 所加的数是81-61＝20
答：所加的数是20。
练习1：
972
1、 分数 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是多少？
1815
13
2、 分数 的分子、分母同加上一个数后得 ，那么同加的这个数是多少？
135
3、
35
的分子、分母加上同一个数并约分后得 ，那么加上的数是多少？
197
582
4、 将 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是
793
多少？

例2：
42
将一个分数的分母减去2得 ，如果将它的分母加上1，则得 ，求这个分数。
53
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2
4 523
得 ”可知，分母比分子的 倍还多2。由“分母加1得 ”可知，分母比分子的
5432
倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
35
分子：（2+1）÷（ － ）=12
24
3
分母：12× -1＝17
2
解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
2412412
① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。 ＝ ＝ ， ＝
3618515
② 原分数的分母是：
18-1＝17或15+2＝17
12
答：这个分数为 。
17
练习2：
73
1、 将一个分数的分母加上2得 ，分母加上3得 。原来的分数是多少？
94
34
2、 将一个分数的分母加上2得 ，分母加上2得 。原来的分数是多少？
45
93

六年级数学奥数举一反三（上下册）

34
3、 将一个分数的分母加上5得 ，分母加上4得 。原来的分数是多少？
79
57
4、 将一个分数的分母减去9得 ，分母减去6得 。原来的分数是多少？
84

例3：
5
在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个
7
1
数，这个分数就等于 ，求原来的最简分数是多少。
2
510
解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。 将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ，
714
17107
= 。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想 和 的分
2141414
子和分母再乘以2。所以
510201714
＝ ＝ ， ＝ ＝
7142821428
17
故原来的最简分数是 。
28
解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以
5117
（ + ）÷2＝
7228
17
答：原来的最简分数是 。
28
练习3：
5
1、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去
8
1
同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
2
6
2、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去
7
1
同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
3
7
3、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一
9
3
个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
5

例4：
73
将一个分数的分母加3得 ，分母加5得 。原分数是多少？
94
721
解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分 数化成分子相同的分数，即 ＝ ，
927
94

六年级数学奥数举一反三（上下册）

32121
＝ 。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将
42827
和
2
的分子和分母再同乘以2。则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 。所 以，原分数
289275442856
42
的分母是（54－3＝）51。原分数是 。
51
9
解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的 ，分母加5
7
449
后是分子的 ，因此，原分数的分子是（5－3）÷（ － ）＝42。原分数的分母
337
42
是42÷7×9-3=51，原分数是 。
51
练习4：
54
1、 一个分数，将它的分母加5得 ，加8得 ，原来的分数是多少？（用两种方法）
65
67
2、 将一个分数的分母减去3，约分后得 ；若将它的分母减去5，则得 。原来的分数是
78
多少？（用两种方法做）
35
3、 把一个分数的分母减去2，约分后等于 。如果给原分数的分母加上9，约分后等于 。
47
求原分数。

例5：
11
有一个分数，如果分子加1，这个分数等于 ；如果分母加1，这个分数就等于 ，这个
23
分数是多少？
1
根据“分子加1，这个分数等于 ”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这
2
1
个分数就等于 ”可知，分母 比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷
3
3
（3-2）=3，分母 是3×2+2=8。所以，这个分数是 。
8
练习5：
11
1、 一个分数，如果分子加3，这个分数等于 ，如果分母加上1，这个分数等于 ，这
23
个分数是多少？
11
2、 一个分数，如果分子加5，这个分数等于 ，如果分母减3，这个分数等于 ，这个 分
23
数是多少？
11
3、 一个分数，如果分子减1，这个分数等于 ；如果分母加11，这个分数等于 ，这个
23
分数是多少？
答案：
练1
95

六年级数学奥数举一反三（上下册）

1、 41 2、17 3、 37 4、 16
练2
1、
练3
92531
1、 2、 3、
164245
练4
6084165
1、 2、 3、
67101222
练5
779
1、 2、 3、
202416










21121220
2、 3、 4、
25132341
第二十二周 特殊工程问题

专题简析：
有 些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我
们就可以考虑运用一 些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。

例1：
修一条路，甲队每 天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，
每天工作6小时，几天可以完成？
把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则
11
1÷[ + ]÷6=4（天）
5×810×6
或1÷[（
11
+ ）×6]=4（天）
5×810×6
答：4天可以完成。
练习1：
1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队 每天修8小时，5天可以完成。现
在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？
2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7
人 合作，多少天可以完成？
96

六年级数学奥数举一反三（上下册）

3、 货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用2 0
辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全
改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？

例2：
有两个同样 的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，
丙需要15小时。甲和丙在 A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。
最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙 各多少时间？
设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”
⑦ 三人同时搬运了
111
2÷（ + + ）=8（小时）
101215
⑧ 丙帮甲搬了
11
（1- ×8）÷ =3（小时）
1015
③ 丙帮乙搬了
8-3=5（小时）
答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。
练习2：
1
1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的 ，徒弟每小时加工自
10
1
己任务的 。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮 助徒弟加工，直至完成任
15
务，师傅帮徒弟加工了几小时？
2、 有两个同样的 仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，
丙需要9小时。甲、乙在A仓 库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙
搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各 多少小时？
5
3、 甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的 ，乙每小时加工12
8
个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？

例3：
一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做 了若干天，然
后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？
解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。
解：设甲做了x天，则乙做了（14-x）天。

11
x+ ×（14-x）=1
2012
X=5
11
解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是 ×14，比总工作量多了 ×
1212
11111
14-1= ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了 - = ，因此甲做了 ÷
61220306
97

六年级数学奥数举一反三（上下册）

1
=5（天）
30
练习3：
1、 一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若 干天后，由乙接着做余下
的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？
2、 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队单独做若干天后，
由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？
3、 一项工程，甲独做要5 0天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，
这样共用40天完成。求乙休息的天数。

例4：
甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此 ，两人共用
了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？
解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。
17
⑥ 甲、乙同时做的工作量为 ×（10-3）＝
88
71
⑦ 乙单独做的工作量为1－ ＝
88
11
⑧ 乙的工作效率为 ÷3=
824
111
⑨ 甲的工作效率为 － ＝
82412
1
⑩ 甲单独做需要的天数为1÷ ＝12（天）
12
解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，
甲3天 的工作量相当于这批零件的2÷8=14
3÷[（10-8）÷8]=12（天）或
3×[8÷（10-8）]=12（天）
答：甲单独做需要12天完成。
练习4：
1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在 合作中，甲因输请假5天，因此共用15天才
完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？
2、 一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，还可以做多少
条裤子？
3、 一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5小时，因此，
经过7.5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？
4、 一项工程，甲先单独做2天 ，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、
乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙 单独做，需要多少天才能完成？

例5：
放满一个水池的水，如果同时开放①②③ 号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤
号阀门，12小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门， 8小时可以放满。问：同时开放这
五个阀门几小时可以放满这个水池？
从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现3次，②
98

六年级数学奥数举一反三（上下册）

11111
④⑤号阀门各出现2次。如果 + + + 再加一个 ，则是五个阀门各放3小时的
15101288
总水量。
111111
1÷[（ + + + + ）÷3]=1÷[ ÷3]=6（小时）
151012882
练习5：
4、 完成一件工作，甲、乙合作需15小时，乙、丙 两人合作需12小时，甲、丙合作需
10小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？
11
5、 一项工程，甲干3天，乙干5天可以完成 ，甲干5天、乙干3天可完成 。甲、
23
乙合干需几天完成？
6、 完成一件工作，甲、乙两人合作需20小时， 乙、丙两人合作需28小时，丙、丁两
人合作需30小时。甲、丁两人合作需几小时？
7、 一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完
成，由一、二、四小 队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成。由
第一小队单独干需要多少天？

答案：
练1
11
10、 1÷（ + ）÷2＝7.5小时
4×68×5
11
11、 1÷（ ×2+ ×7）＝3天
3×84×7
12、 （1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的
1111
1－（ ×2+ ×5+ ×7）×2＝
3×44×520×64
11
（2）后两天需要小板车： ÷（ ×2）＝15辆
420×6
练2
11
7、 2÷（ + ）－10＝2小时
1015
111
8、 2÷（ + + ）＝8小时
18129
11
甲帮乙：（1－ ×8）÷ ＝6小时
1218
11
甲帮丙：（1－ ×8）÷ ＝2小时
918
515
9、 解法一：12×（ ÷ ）÷（1－ ）＝240个
8128
解法二：12÷（8－5）×5×12＝240个
练3
111
4、 （ ×6－1）÷（ － ）＝3天
4412
99

六年级数学奥数举一反三（上下册）

111
5、 甲：（1－ ×35）÷（ － ）＝15天
403040
乙：35－15＝20天
11
6、 40－（1－ ×40）÷ ＝25天
5075
练4
1、 5×【12÷（15－12）】＝20天
2、 48－48÷30×20＝16条
3、 2.5×【6÷（7.5－6）】＝10小时
练5
111
5、 1÷【（ + + ）÷2】＝8小时
151210
11
6、 1÷【（ + ）÷（3+5）】＝9.6天
23
111
7、 1÷（ + － ）＝21小时
203028
11111
4、 1÷【（ + + + ）÷3－ 】＝54天
1815122015







第二十三周 周期工程问题

专题简析： < br>周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。
解答时，首先要弄清 一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问
题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个 周期的部分所需的工作时间，这样
才能正确解答。

例1：一项工程，甲单独做需要 12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时
后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人 如此交替工作，问完成
任务时需共用多少小时？
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
① 需循环的次数为：1÷（
1136
+ ）= ＞7（次）
12185
111
+ ）×7=
121836
100
② 7个循环后剩下的工作量是：1-（